目錄

題型一規(guī)律探索題1

類型一探索圖形累加規(guī)律1

類型二探索圖用循環(huán)規(guī)律9

拓展類型數(shù)式規(guī)律11

題型一規(guī)律探索題

類型一探索圖形累加規(guī)律

針對(duì)演練

1.（2023荊州改編）以下圖形是將黑白兩種顏色的菱形紙片按一定的規(guī)律排列組

成，第1個(gè)圖形有4張白色紙片，第2個(gè)圖形有7張白色紙片，第3個(gè)圖形有

10張白色紙片，…，依此規(guī)律，那么第12個(gè)圖形中白色紙片的個(gè)數(shù)為（）

第1題圖

A.34B.37C.42D.46

2.（2023重慶八中初三（下）第三次月考）以下是由一些火柴搭成的圖案：圖①用了

5根火柴，圖②用了9根火柴，圖③用了13根火柴，按照這種方式擺下去，擺

第⑧個(gè)圖案用火柴棒的根數(shù)為（）

第2題圖

A.33B.32C.31D.30

3.（2023重慶B卷）以下圖形都是由幾個(gè)黑色和白色的正方形按一定規(guī)律組成，

圖①中有2個(gè)黑色正方形，圖②中有5個(gè)黑色正方形，圖③中有8個(gè)黑色正方

形，圖④中有11個(gè)黑色正方形，…，依此規(guī)律，圖⑩中黑色正方形的個(gè)數(shù)是（）

第3題圖

A.32B.29C.28D.26

4.（2023重慶B卷）以下圖形都是按照一定規(guī)律組成，第一個(gè)圖形中共有2個(gè)三

角形，第二個(gè)圖形中共有8個(gè)三角形，第三個(gè)圖形中共有14個(gè)三角形，…，依

此規(guī)律，第五個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)是（）

第4題圖

A.22B.24C.26D.28

5.如圖，以下圖形是由邊長(zhǎng)為2的等邊三角形按照一定規(guī)律排列而成，第①個(gè)

圖形的周長(zhǎng)為6,第②個(gè)圖形的周長(zhǎng)為8,第③個(gè)圖形的周長(zhǎng)為10,第④個(gè)圖

形的周長(zhǎng)為12,按照這樣的規(guī)律來(lái)擺放，那么第⑧個(gè)圖形的周長(zhǎng)為（）

第5題圖

A.18B.19C.20D.21

6.（2（）23天水改編）將一些相同的“O〃按如下圖的規(guī)律依次擺放，其中圖①中

“O”的個(gè)數(shù)為5個(gè)，圖②中“?！ǖ膫€(gè)數(shù)為7個(gè)，圖③中的個(gè)數(shù)為11

個(gè)，圖④中的個(gè)數(shù)為17個(gè)，…，假設(shè)圖O,〃）中有245個(gè)，那么〃

=（）

第6題圖

A.10B.12C.14D.16

7.（2023重慶外國(guó)語(yǔ)學(xué)校二診）以下圖案均是用長(zhǎng)度相同的小木棒按一定的規(guī)律

拼搭而成，拼搭第（1）個(gè)圖案需4根小木棒，拼搭第（2）個(gè)圖案需10根小木棒，…，

依此規(guī)律，拼搭第（6）個(gè)圖案需小木棒的根數(shù)是（）

第7題圖

A.53B.54C.55D.56

8.（2023重慶江津中學(xué)初三下半期考試）用同樣大小的黑色五角星按如下圖的方

式擺圖案，按照這樣的規(guī)律擺下去，第?圖案需要的黑色五角星的個(gè)數(shù)是

（）

第8題圖

A.18B.19C.21D.22

9.（2023重慶十一中一診）以下圖形是將正三角形按一定規(guī)律排列，那么第④個(gè)

圖形中所有正三角形的個(gè)數(shù)有（）

第9題圖

A.160B.161C.162D.163

10.（2023重慶巴蜀一診汝I圖，每個(gè)圖形都由同樣大小的矩形按照一定的規(guī)律組

成，其中第①個(gè)圖形的面積為6cm2,第②個(gè)圖形的面積為18cm2,第③個(gè)圖形

的面積為36cm2,…，那么第⑥個(gè)圖形的面積為（）

第10題圖

A.84cm2B.90cm2C.126cm2D.168cm2

11.（2023重慶西大附中第九次月考）以下圖形都是用同樣大小的▼按一定規(guī)律組

成的，那么第⑻個(gè)圖形中▼共有（）

第11題圖

A.80個(gè)B.73個(gè)C.64個(gè)D.72個(gè)

12.（2023.重慶一中三模）如下圖,圖①中含“O〃的矩形有1個(gè)，圖②的

矩形有7個(gè)，圖③中含“O〃的矩形有17個(gè)，按此規(guī)律，圖⑥中含的矩

形個(gè)數(shù)為（）

A.70B.71C.72D.73

13.（2023大渡口區(qū)診斷性檢測(cè)）如圖是用棋子擺成的圖案，擺第1個(gè)圖案需要7

枚棋子，擺第2個(gè)圖案需要19枚棋子，擺第3個(gè)圖案需要37枚棋子，按照這

樣的方式擺下去，那么擺第6個(gè)圖案需要棋子的枚數(shù)為（）

第13題圖

A.115B.122C.127D.139

14.（2023重慶一中二模）以下圖形都是由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律所組成

的，其中第①個(gè)圖形中一共有1個(gè)空心小圓圈，第②個(gè)圖形中一共有6個(gè)空心

小圓圈，第③個(gè)圖形中一共有13個(gè)空心小圓圈，…，按此規(guī)律排列，那么第⑦

個(gè)圖形中空心小圓圈的個(gè)數(shù)為（）

第14題圖

A.61B.63C.76D.78

15.（2023重慶巴蜀中學(xué)保送生考試）如圖，各圖都由同樣大小.的圖形①按一定規(guī)

律組成，其中第①個(gè)圖形中共有一個(gè)完整菱形，第②個(gè)圖形中共有5個(gè)完整菱

形，第③個(gè)圖形中共有13個(gè)完整菱形，…，那么第⑥個(gè)圖形中完整菱形的個(gè)數(shù)

為（）

.第15題圖

A.60B.61C.62D.63

16/2023重慶一中第一次定時(shí)作業(yè)）四邊形A8CQ對(duì)角線相交于點(diǎn)O,假設(shè)在線

段上任意取一點(diǎn)（不與點(diǎn)8、。、。重合），并與A、C連接，如圖①，那么

三角形個(gè)數(shù)為15個(gè)；假設(shè)在線段3。上任意取兩點(diǎn)（不與點(diǎn)3、O、。重合），如

圖②，那么三角形個(gè)數(shù)為24個(gè)；假設(shè)在線段上任意取三點(diǎn)（不與點(diǎn)8、。、

。重合），如圖③，那么三角形個(gè)數(shù)為35個(gè)；…；以此規(guī)律，那么圖⑤中三角

形的個(gè)數(shù)為（）

第16題圖

A.48B.56C.61D.63

17.（2023徐州）如圖，每個(gè)圖案都由大小相同的正方形組成.按照此規(guī)律，第〃

個(gè)圖案中這樣的正方形的總個(gè)數(shù)可用含〃的代數(shù)式表示為.

第17題圖

18.（2023安順改編）觀察以下砌鋼管的橫截面圖：

第12題圖

那么第5個(gè)圖形中鋼管數(shù)為個(gè).

19.如圖，是由相同的花盆按一定的規(guī)律組成的形如正多邊形的圖案，其中第1

個(gè)圖案中花盆的個(gè)數(shù)為6個(gè)，第2個(gè)圖案中花盆的個(gè)數(shù)為12個(gè)，第3個(gè)圖案中

花盆的個(gè)數(shù)為20個(gè)，…，那么第8個(gè)圖窠中花盆的個(gè)數(shù)為.

第19題圖

20.(2023龍巖改編)用棱長(zhǎng)為1的小正方體按照如下圖的擺放規(guī)律，逐個(gè)排成假

設(shè)干個(gè)無(wú)縫隙的幾何體，圖①幾何體外表積為6,圖②幾何體外表積為18,那

么圖④中所示幾何體的外表積為.

第20題圖

答案

類型一探索圖形累加規(guī)律

1.B【解析】每個(gè)圖形中白色紙片的個(gè)數(shù)依次是4,7,10,13,….那么，第〃

個(gè)圖形中白色紙片的個(gè)數(shù)為3〃+1,???第12個(gè)圖形中白色紙片的個(gè)數(shù)為3X12

+1=37.

2.A【解析】,??圖①用了5根火柴，即5=54-4X0；圖②用了9根火柴，即9

=5+4X1；圖③用了13根火柴，即13=5+4X2；…；以此規(guī)律，第⑥個(gè)圖

形中，火柴的根數(shù)為5+4(〃-1),故第⑧個(gè)圖案用火柴棒的根數(shù)為5+4X(S—

1)=33.

3.B【解析】圖①有2+3X0=2個(gè)黑色正方形；圖②有2+3X1=5個(gè)黑色正方

形：圖③有2+3X2=8個(gè)黑色正方形：圖④有2+3X3=11個(gè)黑色正方形，…，

按照這個(gè)規(guī)律，圖G)有2+3(n—l)個(gè)黑色正方形，故圖⑩一共有2+3X9=29

個(gè)黑色正方形.

4.C【解析】第一個(gè)圖形中有2個(gè)三角形：6X1—4=2；第二個(gè)圖形中有8個(gè)三

角形：6X2—4=8；第三個(gè)圖形中有14個(gè)三角形：6X3—4=14；…；第〃個(gè)

圖形中三角形的個(gè)數(shù)為：6/7-4,故第五個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)為：6X5—4=

26.

5.C【解析】第①個(gè)圖形的周長(zhǎng)為64-0X2=6,第②個(gè)圖形的周長(zhǎng)為6+1X2

=8,第③個(gè)圖形的周長(zhǎng)為6+2X2=10,第④個(gè)圖形的周長(zhǎng)為6+3X2=⑵…，

依此規(guī)律，可知第⑥個(gè)圖形的周長(zhǎng)為6+(n—1)X2,所以第⑧個(gè)圖形的周長(zhǎng)為

6+7X2=20.

6?D【解析】圖①中有1X(1-1)+5=5個(gè)"O〃，圖②中有2X(2-1)+5=7

個(gè)“O”,圖③中有3義(3—1)+5=11個(gè)"O”,圖④中有4X(4-1)+5=17

個(gè)“O〃，據(jù)此得出：圖⑥中有〃(〃-1)+5個(gè)，那么可得方程〃(〃

—1)+5=245,解得〃=16,〃2=—15(不合題意，舍去).

7.B【解析】觀察圖形可知，每個(gè)圖案都是由橫排小木棒和縱排小木棒搭建而成，

且橫排和縱排數(shù)相同，其中第(1)個(gè)圖案有2橫排，每排有1個(gè)小木棒；第(2)

個(gè)圖案有3橫排，每排的小木棒個(gè)數(shù)分別為2,2,1；第(3)個(gè)圖案有4橫持，

每排的小木棒個(gè)數(shù)分別為3,3,2,1；第(4)個(gè)圖案有5橫排，每排的小木棒個(gè)

數(shù)分別為4,4,3,2,1,…；由此可推測(cè)第(〃)個(gè)圖案共有〃+1橫排，每排木

棒個(gè)數(shù)分別為%小〃一1,〃一2,…，2,1,故第(6)個(gè)圖案共有7橫排，每排

的小木棒個(gè)數(shù)分別為6,6,5,4,3,2,1,共有27根，那么對(duì)應(yīng)的縱排也有

27根小木棒，那么搭建第(6)個(gè)圖案共需要小木棒54根.

8.C【解析】觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)圖①中黑色五角星的個(gè)數(shù)為1+2=3,圖②中黑

色五角星個(gè)數(shù)為1+2+1=4,圖③中黑色五角星個(gè)數(shù)為1+2+1+2=6,圖④

中黑色五角星個(gè)數(shù)為1+2+1+24-1=7,圖⑤中黑色五角星個(gè)數(shù)為1+2+1+2

+1+2=9,…，那么圖G)中，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，黑色五角星個(gè)數(shù)為迎上當(dāng)

2

〃為偶數(shù)時(shí)，黑色五角星個(gè)數(shù)為曰+1,???第?個(gè)圖案需要的黑色五角星的個(gè)數(shù)

為3X*+口=21人

9.B【解析】第①個(gè)圖形中正三角形的個(gè)數(shù)為：1+4,第②個(gè)圖形中正三角形的

個(gè)數(shù)為：1+4+3X4,第③個(gè)圖形中正三角形的個(gè)數(shù)為：1+4+3X4+9X4,…，

第⑥個(gè)圖形中正三角形的個(gè)數(shù)為：1+4+3X4+9X4+…+3〃一》4,???第④

個(gè)圖形中正三角形的個(gè)數(shù)為1+4+3X4+9X4+31X4=1+4+12+36+108

=161.

10.C【解析】???所有的小矩形都是大小相同的，第①個(gè)圖形是由2個(gè)小矩形組

成，面積為6,?,?每個(gè)小矩形的面積是3,???第①個(gè)圖形中有2個(gè)小矩形，第②

個(gè)圖形中有6個(gè)小矩形，第③個(gè)圖形中有12個(gè)小矩形，12=2+4+6=2X(l+

2+3),第④個(gè)圖形中有2()個(gè)小矩形，2()=2+4+6+8=2X(l+2+3+4),那

么第G)個(gè)圖形中有2X(l+2+…+〃)個(gè)小矩形，故第⑥個(gè)圖形中小,矩形的個(gè)數(shù)

為2X(l+2+3+4+5+6)=42個(gè)，那么其面積為42X3=126cm?.

11.A【解析】第(1)個(gè)圖形中▼的個(gè)數(shù)為3=22—1；第(2)個(gè)圖形中▼的個(gè)數(shù)為8=

32-1；第(3)個(gè)圖形中▼的個(gè)數(shù)為15=42—1；第(4)個(gè)圖形中▼的個(gè)數(shù)為24=52

-1;…，于是，第(〃)個(gè)圖形中▼的個(gè)數(shù)為(〃+1)2—1,所以第(8)個(gè)圖形中▼的個(gè)

數(shù)為92-1=80(個(gè)),應(yīng)選A.

12.B【解析】圖①中含??！ǖ木匦斡?=2X12—1個(gè)，圖②中含“?！ǖ木?/p>

形有7=2X2?—1個(gè)，圖③中含“?！ǖ木匦斡?7=2X32—1個(gè)，…，按此規(guī)

律，那么圖G中含“0〃的矩形個(gè)數(shù)為2/—1,所以圖⑥中含的矩形有

2X62—1=71個(gè)，應(yīng)選B.

13.C【解析】由題意可知，擺第1個(gè)圖案需要7=1+6枚棋子，擺第2個(gè)圖案

需要19=1+6+6X2枚棋子，擺第3個(gè)圖案需要37=1+6+6X2+6X3枚棋

子，…，那么擺第n個(gè)圖案需要1+6+6X2+6X3+…+6〃=3〃(〃+1)+1枚

棋子，所以擺第6個(gè)圖案需要：3X6X(6+1)+1=127枚棋子，應(yīng)選C.

14.A【解析】???第①個(gè)圖形中空心小圓圈個(gè)數(shù)為：4X1-3+1XO=1個(gè)；第②

個(gè)圖形中空心小圓圈個(gè)數(shù)為：4X2—4+2Xl=6個(gè)；第③個(gè)圖形中空心小圓圈

個(gè)數(shù)為：4X3-5+3X2=13個(gè)；…，依此規(guī)律，第⑥個(gè)圖形中空心小圓圈個(gè)

數(shù)為：4〃一(〃+2)+〃(〃-1),???第,⑦個(gè)圖形中空心小圓圈個(gè)數(shù)為：4X7—9+7X6

=61個(gè).

15.B【解析】??,第①個(gè)圖形中菱形個(gè)數(shù)為。2+12=1個(gè)；第②個(gè)圖形中菱形個(gè)數(shù)

為12+22=5個(gè)；第③個(gè)圖形中菱形個(gè)數(shù)為22+32=13個(gè)；第④個(gè)圖形中菱形

個(gè)數(shù)為32+42=25個(gè)，…，依此規(guī)律第⑥個(gè)圖形中菱形個(gè)數(shù)為5—1)2+〃2個(gè),

???第⑥個(gè)圖形中菱形個(gè)數(shù)為52+62=61個(gè).

16.D【解析】在圖①中，線段8。上共有4個(gè)點(diǎn)，所得三角形的個(gè)數(shù)共15個(gè)，

15=16—1=42—1：圖②中，線段3D上共5個(gè)點(diǎn)，所得三角形的個(gè)數(shù)共24個(gè),

24=25—1=52—1；圖③中，線段8。上共6個(gè)點(diǎn)，所得三角形的個(gè)數(shù)共35個(gè),

35=36-1=62-1,由此可猜測(cè)，圖⑥中，線段上共有n+3個(gè)點(diǎn)，

所得三角形的個(gè)數(shù)為(〃+3)2—1,???圖⑤中三角形的個(gè)數(shù)為(5+3)2—1=63.

17.〃(〃+1)【解析】由題圖知，第1、2、3個(gè)圖案對(duì)應(yīng)的小正方形的個(gè)數(shù)分

別為2=1義2、6=2X3、12=3X4,…，，第〃個(gè)圖案所對(duì)應(yīng)的小正方形的個(gè)

數(shù)為〃(〃+1).

18.45【解析】根據(jù)題意，可得

序號(hào)1234

鋼管數(shù)39IX3()

3X6=3X(l+23X10=3X(14-2

找規(guī)律3X13X3=3X(l+2)

+3)+3+4)

綜上可知，第5個(gè)圖形中鋼管數(shù)為3X(l+2+3+4+5)=3X15=45個(gè).

19.90【解析】觀察可得，第1個(gè)圖案：正三角形每條邊上有3個(gè)花盆，共計(jì)

32—3個(gè)花盆；第2個(gè)圖案：正四邊形每條邊上有4個(gè)花盆，共計(jì).42—4個(gè)花盆;

第3個(gè)圖案：正五邊形每條邊上有5個(gè)花盆，共計(jì)52—5個(gè)花盆；…；由此可

知第〃個(gè)圖案：正(〃+2)邊形每條邊上有5+2)個(gè)花盆，共計(jì)(〃+2)2-(〃

+2)個(gè)花盆，那么第8個(gè)圖案中花盆的個(gè)數(shù)為(8+2)2—(8+2)=90.

20.60【解析】圖①幾何體的外表積為：6=6X1；圖②幾何體的外表積為：

18=6X(14-2)；圖③幾何體的外表積為:6X(l+2+3)=36.由此規(guī)律得,圖④

幾何體的外表積為：6X(l+2+3+4)=60.

類型二探索圖形循環(huán)規(guī)律

針對(duì)演練

1.如下圖，兩個(gè)全等的等邊三角形的邊長(zhǎng)為1m,一個(gè)微型機(jī)器人由A點(diǎn)開(kāi)始

按AfBfJDfBfEfA的順序沿等邊三角形的邊循環(huán)運(yùn)動(dòng)，行走2017m停

下，那么這個(gè)微型機(jī)器人停在()

第1題圖

A.A點(diǎn)、B.B點(diǎn)C.C點(diǎn)、D.E點(diǎn)

2.(2023重慶八中強(qiáng)化訓(xùn)練一)將正六邊形ABCDEF的各邊按如下圖延長(zhǎng)，從射

線M開(kāi)始，分別在各射線上標(biāo)記點(diǎn)Ol,。2,。3,…，按此規(guī)律，那么點(diǎn)O2023

所在射線是()

第2題圖

A.ABB.DEC.BCD.EF

3.以下一串梅花圖案是按一定規(guī)律排列的，請(qǐng)你仔細(xì)觀察，在前2023個(gè)梅花

圖案中，共有個(gè)佟圖案.

第3題圖

4.有一個(gè)正六面體骰子，放在桌面上，將骰子沿如下圖的順時(shí)針?lè)较驖L動(dòng)，每

滾動(dòng)90。算一次，那么滾動(dòng)第2023次后，骰子朝下一面的點(diǎn)數(shù)是_______.

第4題圖

5.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,1),B(-1,1),C(-1,-2),D(1,-2),

把一根長(zhǎng)為2023個(gè)單位長(zhǎng)度且沒(méi)有彈性的細(xì)線(線的粗細(xì)忽略不計(jì))的一端固

定在A處，并按從一8->CfOfA…的規(guī)律緊繞在矩形ABCD的邊上，那么細(xì)

線的另一端落在線段上

第5題圖

套u(yù)案木

類型二探索圖形循環(huán)規(guī)律

1.B【解析】???兩個(gè)全等的等邊三角形的邊長(zhǎng)為1m,???機(jī)器人由A點(diǎn)開(kāi)始按

A-B-C-。-B-E-A的順序沿等邊三角形的邊循環(huán)運(yùn)動(dòng)一圈，即為6m,???

20234-6=336.......1,即正好行走了336圈多1米，到第二個(gè)點(diǎn)，，行走2017m

停下，那么這個(gè)微型機(jī)器人停在8點(diǎn).

2.C【解析】觀察圖形可知12個(gè)點(diǎn)依次排列在射線布、CD、AB.DE、BC、

EF、CD、FA.DE、AB、EF、BC上，依此規(guī)律循環(huán)，又因2023X2=168,那

么點(diǎn)S023在第12條射線3c上，應(yīng)選C.

3.505【解析】觀察題圖可知，“吊〃圖案方向依次向上、向右、向下、向左，

每四個(gè)圖案為一個(gè)循環(huán)周期????2023彳4=504……1,???前2023個(gè)梅花圖案中，

共有505個(gè)圖案.

4.3【解析】觀察可知，點(diǎn)數(shù)3與點(diǎn)數(shù)4相對(duì)，點(diǎn)數(shù)2與點(diǎn)數(shù)5相對(duì)，且循環(huán)

周期為4.???202394=503……2,???滾動(dòng)2023次后與第二次相同，.??骰子朝下

一面的點(diǎn)數(shù)為3.

5.CQ【解析】???矩形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：4(1,1),B(-l,1),C(-l,-

2),D(l,-2),：.AB=CD=2,BC=AD=3,J矩形的周長(zhǎng)為2+3+2+3=

10,那么循環(huán)一周所需的單位長(zhǎng)度是10,???2023+10=201……6,???細(xì)線的另

一端落在繞矩形第202圈的第6個(gè)單位長(zhǎng)度的位置,即是點(diǎn)C與點(diǎn)D的中間位

置，即在線段CD上.

拓展類型數(shù)式規(guī)律

針對(duì)演練

1.（2023張家界）觀察以下等式：71=7,72=42+92=97,73=343,74=2401,

75=16807,76=117649,那么：7572+73+…+7次3的末位數(shù)字是（）

A.9B.7C.6D.0

2.（2023丹東）觀察以下數(shù)據(jù)：一2,一學(xué)，?一學(xué)，…，它們是按一定規(guī)

律排列的，依照此規(guī)律，第11個(gè)數(shù)據(jù)是________.

3.（2023貴港）tn=7"彳，^=~~—,。3=丁^—,…，a”+i=7^—（〃為正整數(shù)，