1【課標要求】1.通過史實,了解萬有引力定律的發(fā)現過程。知道萬有引力定律。認識發(fā)現萬有引力定律的重要意義。認識科學定律對人類探索未知世界的作用。2.會計算人造地球衛(wèi)星的環(huán)繞速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度?！究记榉治觥咳f有引力定律及其應用2024·新課標卷·T16、2024·山東卷·T5、2024·湖南卷·T7、2023山東卷·T3、2023·新課標卷·T17人造衛(wèi)星宇宙速度2024·福建卷·T5、2024·河北卷·T8、2023·廣東卷·T7、2023·江蘇卷·T4、2023·湖南卷·T4第1講行星的運動萬有引力與相對論中國科技網2024年9月26日消息顯示,天文學家發(fā)現地球即將迎來一個新的“迷你月亮”。這顆新發(fā)現的小行星被命名為2024PT5,直徑可能在5至42米之間,它將于9月29日至11月25日期間,在距地球約420萬千米遠的地方繞地球運行。之后它將返回日心軌道。請思考:(1)不同的小行星繞地球運動的軌道以及速度周期等有何特點?(2)萬有引力定律的內容、公式及適用條件是什么?(3)地球表面不同緯度的物體所受萬有引力和重力有何關系?用什么方法可以計算出地球質量?**1.(2025·內蒙古高考適應性考試)紫金山—阿特拉斯彗星由紫金山天文臺首次發(fā)現,其繞太陽運行周期約為6萬年。該彗星軌道的半長軸與日地平均距離的比值約為()[A]1.5×103[B]1.5×104[C]1.5×106[D]1.5×1072【答案】橢圓焦點面積半長軸公轉周期正比反比G6.67×10-11質點兩球心光速Δτr1-()2【答案】A2.利用引力常量G和下列某一組數據,不能計算出地球質量的是()[A]地球的半徑及重力加速度(不考慮地球自轉)[B]月球繞地球做圓周運動的周期及月球與地球間的距離[C]地球繞太陽做圓周運動的周期及地球與太陽間的距離[D]人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運動的速度及周期【答案】C3低速考點一開普勒行星運動定律(1)已知同一行星在軌道的兩個位置的速度:近日點速度大小為v1,遠日點速度大小為v2,近日點與太陽距離為r1,遠日點與太陽距離為r2。試推導v1、v2與r1、r2間有什么關系。提示:由開普勒第二定律可得Δl1r1Δl2r2,v1Δt·r1v2Δt·r2,解得。(2)把行星繞太陽的運動看作勻速圓周運動,試推導開普勒第三定律=k中的k值與中心天體質量的定量關系。提示:由萬有引力提供向心力有Gm行=m行r,解得,故橢圓軌道時有。對開普勒定律的三點理解(1)開普勒定律除了適用于行星繞太陽的運動,同樣適用于月球(人造衛(wèi)星)繞地球的運動等天體系統(tǒng)。,即行星在兩個位置的速度之比與到太陽的距離成反比,在近日點速度最大,在遠日點速度最小。(3)開普勒第三定律中,k值只與中心天體的質量有關,不同的中心天體k值不同,且該定律只適用于環(huán)繞同一中心天體的運動天體。4[例1]【對開普勒定律的理解】(2024·廣東一模)如圖所示為太陽系主要天體的分布示意圖,下列關于太陽系行星運動規(guī)律的描述正確的是()[A]所有行星均以太陽為中心做勻速圓周運動[B]地球與太陽的連線、火星與太陽的連線在單位時間內掃過的面積相等[C]所有行星運行軌道半長軸的二次方與其公轉周期的三次方之比都相等[D]地球和火星圍繞太陽運行的軌道都是橢圓,且這兩個橢圓必定有公共的焦點【答案】D【解析】八大行星均在橢圓軌道上運動,太陽處于橢圓其中一個焦點上,故A錯誤;同一行星與太陽的連線在單位時間內掃過的面積相等,故B錯誤;開普勒第三定律的內容為為常量),故C錯誤;D項表達了開普勒第一定律(軌道定律)的內容,故D正確。[例2]【開普勒定律的應用】(2025·安徽合肥階段練習)(多選)如圖所示,“天問一號”探測器在M點制動后,成功進入近火點為N的橢圓軌道,探測器在橢圓軌道上環(huán)繞數圈后,在N點再次制動后順利進入近火圓軌道。已知探測器在近火圓軌道上的周期為T,橢圓軌道的長軸為火星半徑的3倍,忽略火星的自轉,則()[A]探測器在橢圓軌道上M、N兩點的加速度大小之比為1∶2[B]探測器在橢圓軌道上M、N兩點的速度大小之比為1∶2[C]探測器在橢圓軌道上的周期為[D]探測器在橢圓軌道上的周期為T【答案】BC5【解析】設火星半徑為R,則rM=2R,rN=R,由牛頓第二定律有得則aM∶aN=1∶4,故A錯誤;由開普勒第二定律知則vM∶vN=1∶2,故B正確;橢圓的半長軸為a=1.5R,由開普勒第三定律有則T橢故C正確,D錯誤。開普勒定律的適用范圍(1)開普勒第二定律及其引出的推論,不僅適用于繞太陽運轉的所有行星,也適用于以行星為中心的衛(wèi)星,還適用于單顆行星或衛(wèi)星沿橢圓軌道運行的情況。但需要注意的是,不同行星的運行不能套用開普勒第二定律。(2)開普勒第三定律不僅適用于太陽系,它對具有中心天體的引力系統(tǒng)(如行星-衛(wèi)星系統(tǒng))和雙星系統(tǒng)為雙星中心的距離]都成立?？键c二萬有引力定律1.萬有引力與重力的關系地球對物體的萬有引力F表現為兩個效果:一是重力mg,二是提供物體隨地球自轉的向心力F向,如圖所示。(1)在赤道上(2)在兩極上2.地球表面上的重力加速度(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉),由得。(2)在地球上空距離地心r=R+h處的重力加速度g′,由得所以3.萬有引力的兩個推論6推論1:在勻質球殼空腔內的任意位置處,質點受到球殼的萬有引力的合力為零,即引=0。推論2:在勻質球體內部距離球心r處的質點(m)受到的萬有引力等于球體內半徑為r的同心球體(M′)對其的萬有引力,即[例3]【重力與萬有引力的關系】(多選)萬有引力定律能夠很好地將天體運行規(guī)律與地球上物體運動規(guī)律具有的內在一致性統(tǒng)一起來。用彈簧測力計稱量一個相對于地球靜止的小物體的重力,隨稱量位置的變化可能會有不同的結果。已知地球質量為M,引力常量為G,將地球視為半徑為R、質量分布均勻的球體。下列說法正確的是()[A]在北極地面稱量時,彈簧測力計讀數為[B]在赤道地面稱量時,彈簧測力計讀數為[C]在北極上空高出地面h處稱量時,彈簧測力計讀數為[D]在赤道上空高出地面h處稱量時,彈簧測力計讀數為【答案】AC【解析】在北極地面稱量時,物體不隨地球自轉,萬有引力等于重力,則有故A正確;在赤道地面稱量時,萬有引力等于重力加上物體隨地球一起自轉所需要的向心力,則有故B錯誤;在北極上空高出地面h處稱量時,萬有引力等于重力,則有故C正確;在赤道上空高出地面h處稱量時,萬有引力大于重力,則彈簧測力計讀數故D錯誤。[例4]【“挖補法”求解萬有引力】(2025·江蘇南通開學考)如圖所示為一半徑為R、質量為M均勻分布的球體,從中挖去直徑為R的球體,虛線過兩球的球心,一質點分別位于圖中的1、2、3點時,受到的萬有引力分別為F1、F2、F3,則有()[A]F1<F2=F3[B]F1<F2<F3[C]F1=F2=F3[D]F1=F2<F37【答案】D【解析】設球體的密度為ρ,挖去小球體前的質量為,被挖去的小球體質量為根據萬有引力定律可得采用填補法,可知剩余部分在位置“2”的萬有引力大小等于挖掉的部分在位置“2”的萬有引力大小,即則有F1=F2<F3。[例5]【星體上空及星體內部重力加速度的求解】如圖是某農家院內打出的一口深度為d的水井,如果質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零,地球可以看作是質量分布均勻的球體,地球半徑為R,則水井底部和離地面高度為d處的重力加速度大小之比為()[A][B]【答案】B【解析】根據萬有引力定律得,地球表面上的重力加速度為,設離地面高度為d處的重力加速度為g′,由萬有引力定律有兩式聯(lián)立得對于在地面上質量為m的物體,根據萬有引力定律有從而得根據題意,球殼對其內部物體的引力為零,則水井底部的物體只受到其以下球體對它的引力,同理有考點三天體的質量和密度的估算1.利用天體表面重力加速度已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R。由得天體質量(2)天體密度2.利用運行天體已知衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動的半徑r和周期T。8由得(2)若已知天體的半徑R,則天體的密度(3)若衛(wèi)星繞天體表面運行,可認為軌道半徑r等于天體半徑R,則天體密度故只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期T,就可估算出中心天體的密度。[例6]【“重力加速度法”計算天體質量和密度】航天員在月球表面將一片羽毛和一個鐵錘從同一高度由靜止同時釋放,二者幾乎同時落地。若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落,經時間t落到月球表面。已知引力常量為G,月球的半徑為R(不考慮月球自轉的影響)。求:(1)月球表面的自由落體加速度大小g月;(2)月球的質量M;(3)月球的密度ρ?！敬鸢浮俊窘馕觥?1)月球表面附近的物體做自由落體運動,有月t2,月球表面的自由落體加速度大小g月(2)不考慮月球自轉的影響,有月,得月球的質量(3)月球的密度[例7]【“環(huán)繞法”計算天體質量和密度】(2025·福建漳州一模)“嫦娥七號”探測器將于2026年前后發(fā)射,準備在月球南極登陸,登陸月球前假設探測器繞月球做周期為T1的勻速圓周運動,軌道半徑可認為等于月球半徑。月球繞地球做周期為T2的勻速圓周運動,其軌道半徑為月球半徑的k倍。引力常量為G,則()[A]根據題中所給信息可求出地球的質量[B]根據題中所給信息可求出月球的質量[C]周期T1和T2滿足[D]地球質量與月球質量之比【答案】D9【解析】月球繞地球近似做圓周運動,有月月,解得m地由于不知道月球的半徑,故不能求出地球的質量,故A錯誤;探測器繞月球表面運動時有 月,解得m月同樣不能求出月球的質量,但可知故B錯誤,D正確;開普勒第三定律是相對于同一個中心天體的,不同的中心天體該表達式不適用,故C錯誤。[變式]根據[例7]中的信息能否求出地球和月球密度?【答案】見解析【解析】由上知m地地則由于月未知,故不能求地球密度。地m月月月3,則ρ月故能求出月球密度。計算中心天體的質量、密度時的兩點區(qū)別(1)天體半徑和衛(wèi)星的軌道半徑的區(qū)別。通常把天體看成一個球體,天體的半徑指的是球體的半徑。衛(wèi)星的軌道半徑指的是衛(wèi)星圍繞天體做圓周運動的軌道圓的半徑。衛(wèi)星的軌道半徑大于或等于天體的半徑。(2)自轉周期和公轉周期的區(qū)別。自轉周期是指天體繞自身某軸線運動一周所用的時間,公轉周期是指衛(wèi)星繞中心天體運動一周所用的時間。自轉周期與公轉周期一般不相等。(滿分:60分)對點1.開普勒行星運動定律1.(4分)(2025·江蘇南通階段檢測)2024年3月20日,鵲橋二號中繼星成功發(fā)射升空,并順利進入月球附近的橢圓形捕獲軌道,沿順時針方向運行。如圖所示,捕獲軌道的近月點為A,遠月點為C,短軸的一個端點為B,設鵲橋二號由A第一次運動到B和由B第一次運動到C的時間分別為t1、t2,對應的兩個階段鵲橋二號與月球連線掃過的面積分別為S1、S2,在A、B兩點的速度大小分別為vA、vB,加速度大小分別為aA、aB。則()[A]t1>t2[B]S1<S2[C]vA<vB[D]aA<aB【答案】B【解析】由開普勒第二定律可知,鵲橋二號在近月點A速度最大,在遠月點C速度最小,可知vA>vB>vC,故C錯誤;由A到B再到C的過程中,速度逐漸減小,弧長AB等于弧長BC,因此t1<t2,又鵲橋二號與月球連線在相等的時間內掃過的面積相等,有S1<S2,故A錯誤,B正確;由牛頓第二定律有可得又rA<rB,則aA>aB,故D錯誤。2.(6分)(多選)與地球公轉軌道“外切”的小行星甲和“內切”的小行星乙的公轉軌道如圖所示,假設這些小行星與地球的公轉軌道都在同一平面內,地球的公轉半徑為R,小行星甲的遠日點到太陽的距離為R1,小行星乙的近日點到太陽的距離為R2,則()[A]小行星甲在遠日點的速度小于近日點的速度[B]小行星乙在遠日點的加速度小于地球公轉加速度[C]小行星甲與乙的運行周期之比[D]甲、乙兩行星從遠日點到近日點的時間之比【答案】AD【解析】根據開普勒第二定律,小行星甲在遠日點的速度小于近日點的速度,故A正確;根據知,小行星乙在遠日點的加速度等于地球公轉加速度,故B錯誤;根據開普勒第三定律,小行星甲與乙的運行周期之比=,故C錯誤;甲、乙兩行星從遠日點到近日點的時間之比即為周期之比,,故D正確。3.(4分)(2024·山東卷,5)“鵲橋二號”中繼星環(huán)繞月球運行,其24小時橢圓軌道的半長軸為a。已知地球同步衛(wèi)星的軌道半徑為r,則月球與地球質量之比可表示為()[A][B][C][D]【答案】D【解析】“鵲橋二號”中繼星在24小時橢圓軌道運行時,根據開普勒第三定律有,同理,對地球的同步衛(wèi)星有對于地球同步衛(wèi)星,有Gm,解得G4,故可得開普勒常量與中心天體的質量成正比,所以聯(lián)立可得對點2.萬有引力定律4.(4分)(2025·廣西南寧階段檢測)中國空間站軌道高度約為400km,地球半徑約為6400km。當航天員出艙在空間站艙外作業(yè)時,其所受地球的引力大約是他在地面所受地球引力的()[A][B][C][D]【答案】D【解析】在地球表面時F1,在空間站時F2,可得)2)2≈,故選D。5.(4分)(2024·山東淄博期中)如圖所示,有一質量為M、半徑為R、密度均勻的球體,在距球心2R處有一質量為m的質點。若以球心O為中心挖去一個半徑為的球體,則剩下部分對質點的萬有引力為()[A][B][C][D]【答案】C【解析】剩下部分對質點的萬有引力等于完整球體對質點的引力減去被挖去的小球體對質點的引力,即被挖去的小球體的質量為M小而大球體的質量為解得6.(4分)中國科學院沈陽自動化研究所主持研制的“海斗一號”在無纜自主模式下刷新了中國下潛深度紀錄,最大下潛深度超過了10000m。若把地球看成質量分布均勻的球體,且球殼對球內任一質點的萬有引力為零,忽略地球的自轉,則下列關于“海斗一號”下潛所在處的重力加速度g和下潛深度h的關系圖像可能正確的是()[A][B][C][D]【答案】D【解析】設地球的質量為M,地球的半徑為R,“海斗一號”下潛h深度后,以地心為球心、以R-h為半徑的地球的質量為M′,根據密度相等有由于球殼對球內任一質點的萬有引力為零,根據萬有引力定律有解得-h),故D正確,A、B、C錯誤。對點3.天體的質量和密度的估算7.(4分)(2024·新課標卷,16)天文學家發(fā)現,在太陽系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運行,其中行星GJ1002c的軌道近似為圓,軌道半徑約為日地距離的0.07倍,周期約為0.06年,則這顆紅矮星的質量約為太陽質量的()[A]0.001倍[B]0.1倍[C]10倍[D]1000倍【答案】B【解析】設紅矮星質量為M1,行星質量為m1,軌道半徑為r1,周期為T1,太陽質量為M2,地球質量為m2,日地距離為r2,周期為T2,根據萬有引力定律有聯(lián)立可得代入數據,得正確。8.(6分)(2024·廣東佛山二模)(多選)磷是構成DNA的重要元素,2023年科學家在土衛(wèi)二的海洋中檢測到磷。此發(fā)現意味著土衛(wèi)二有可能存在生命。目前探測器已經測出了土衛(wèi)二的密度為ρ,現發(fā)射一顆貼近土衛(wèi)二表面的人造衛(wèi)星對土衛(wèi)二進一步觀測,已知引力常量為G,則根據題中所給數據不能計算出()[A]人造衛(wèi)星的周期[B]土衛(wèi)二的質量[C]人造衛(wèi)星的向心加速度大小[D]人造衛(wèi)星與土衛(wèi)二之間的萬有引力大小【答案】BCD【解析】對貼近土衛(wèi)二表面的人造衛(wèi)星有又解得即人造衛(wèi)星的周期可以計算出,但土衛(wèi)二的質量無法求得,人造衛(wèi)星的向心加速度大小無法求得,人造衛(wèi)星與土衛(wèi)二之間的萬有引力大小也無法求得。9.(8分)如圖所示,某星球水平地面上,固定放置一個直角三角形斜面AB,斜面的傾角θ=30°,頂點A高h=10m。將小球從A點以速度v0=10m/s水平拋出,恰好落在B點,已知該星球半徑R=3000km,引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2,求:(1)小球的飛行時間;(2)該星球表面的重力加速度;(3)該星球的平均密度?！敬鸢浮?1)3s(2)m/s2(3)8×103kg/m3【解析】(1)水平方向有解得(2)豎直方向有解得。(3)根據萬有引力定律可得星球密度解得ρ≈8×103kg/m3。10.(4分)(2025·貴州貴陽二模)為順利完成月球背面的“嫦娥六號”探測器與地球間的通信,我國新研制的“鵲橋二號”中繼通信衛(wèi)星在2024年上半年發(fā)射,假設定位在地月拉格朗日L2點,位于拉格朗日點上的衛(wèi)星可以在幾乎不消耗燃料的情況下與月球同步繞地球做勻速圓周運動。已知地、月中心間的距離約為L2點與月球中心距離的6倍,如圖所示。地球與月球質量的比值約為(