四川省綿陽(yáng)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期6月自主測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．的值等于（

）A． B．0 C． D．3．已知，是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，下列命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則4．已知向量且，求（

）A． B． C． D．5．將函數(shù)的圖象向右平移，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍，得到的圖象，則的解析式為（

）A． B．C． D．6．《易經(jīng)》是中華民族智慧的結(jié)晶，易有太極，太極生二儀，二儀生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解釋了自然、社會(huì)現(xiàn)象．如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形如圖2中的正八邊形．其中為正八邊形的中心，若，點(diǎn)為正八邊形邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最大值為1 B．C． D．7．向量與在上的投影向量均為，，當(dāng)最大時(shí)，則（

）A． B．6 C．12 D．168．如圖所示，將一副三角板拼成平面四邊形，將等腰直角沿向上翻折，得到，設(shè)，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．在翻折過(guò)程中，存在某個(gè)位置使得B．若，則與平面所成角的正切值為C．三棱錐體積的最大值為D．當(dāng)時(shí)，的最小值為二、多選題9．函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，圖象與y軸交于M點(diǎn)，與x軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)N在圖象上，點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)在單調(diào)遞減C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．函數(shù)的圖象向右平移后，得到函數(shù)的圖象，則為奇函數(shù)10．如圖，已知正三棱柱的所有頂點(diǎn)均在球O的球面上，，D，E，F(xiàn)，M分別為BC，AC，，的中點(diǎn)，且，則（

）A．平面DEF B．C．球O的表面積為 D．點(diǎn)F到平面DEM的距離為11．如圖，在中，BD與EC交于點(diǎn)G，E是AB的靠近B的三等分點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)，且有，，，過(guò)G作直線MN分別交線段AB，AC于點(diǎn)M，N，設(shè)，（，），則（

）A． B．C． D．的最小值為2.三、填空題12．在復(fù)平面內(nèi)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則.13．已知，則.14．折扇（圖1）是具有獨(dú)特風(fēng)格的中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣.圖2中的扇形為一把折扇展開(kāi)后的平面圖，其中，，點(diǎn)在弧上（包括端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，其中，分別是，的中點(diǎn)，則的范圍為.四、解答題15．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》在“商功”一章中，將“底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐”稱為“陽(yáng)馬”．現(xiàn)有如圖所示一個(gè)“陽(yáng)馬”形狀的幾何體，底面是正方形，底面，，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求證：直線平面；(2)求二面角的大?。?6．函數(shù)，其中向量，.(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)若，，，，求的值.17．某棒球場(chǎng)要舉辦大型活動(dòng)，該活動(dòng)要一塊矩形場(chǎng)地，現(xiàn)對(duì)棒球場(chǎng)的扇形空地AOB進(jìn)行改造．如圖所示，矩形CDEF區(qū)域?yàn)榛顒?dòng)區(qū)域，已知扇形AOB的半徑為100米，圓心角為，現(xiàn)要探究在該扇形內(nèi)截取一個(gè)矩形，應(yīng)該如何截取，可以使得截取的矩形面積最大．一種方案是將矩形的一邊CD放在OA上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在弧AB和OB上，其中（如圖2所示）；(1)若按方案一來(lái)進(jìn)行修建，求活動(dòng)場(chǎng)地面積的最大值：(2)改造活動(dòng)場(chǎng)地的另一種方案是，將矩形一邊的兩個(gè)頂點(diǎn)D，E在弧AB上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)C，F(xiàn)分別在OA和OB上，有（如圖3所示）．比較兩種方案，哪種方案更優(yōu)？18．如圖，在正方體中，，是的中點(diǎn).(1)求三棱錐的體積；(2)求異面直線與的夾角的余弦值；(3)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面平面，若存在，指出點(diǎn)位置，若不存在，說(shuō)明理由.19．三角形的布洛卡點(diǎn)是法國(guó)數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育學(xué)家克洛爾于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時(shí)的人們所注意．1875年，布洛卡點(diǎn)被一個(gè)數(shù)學(xué)愛(ài)好者布洛卡重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名．當(dāng)內(nèi)一點(diǎn)P滿足條件時(shí)，則稱點(diǎn)P為的布洛卡點(diǎn)，角為布洛卡角．如圖，在中，角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，點(diǎn)P為的布洛卡點(diǎn)，其布洛卡角為．(1)求證：；(2)若，是否存在常數(shù)，使得，若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)若，試判斷的形狀．

參考答案1．D【詳解】由復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，因?yàn)?，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.2．C【詳解】因?yàn)椋蔬x：C．3．D【詳解】對(duì)于A，若，，則，或，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，若，，則，或與相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則與相交，或，或，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，若，，則，故D正確.故選：D.4．C【詳解】因?yàn)?，所以，，由得，，則有，解得或，因?yàn)?，所以，?故選：C5．B【詳解】函數(shù)的圖象向右平移，得，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍，得，故選：B6．A【詳解】在正八邊形中，線段被點(diǎn)平分，，，在中，，對(duì)于A，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，在上的投影向量的模最大，而，因此的最大值為，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在中，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，因此，D錯(cuò)誤.故選：A7．C【詳解】設(shè)，，所以，因?yàn)椋?，所以可設(shè)，，與的夾角為，若，，則知，，即，，，則當(dāng)最大時(shí)，最大，即最小，即此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.故選：C8．D【詳解】對(duì)于A，當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，，平面與平面的交線為，平面,平面，又平面，，，故A正確；對(duì)于B，連接，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面，所以平面，則即為與平面所成角的平面角，在中，，則，，所以，即與平面所成角的正切值為，故B正確；對(duì)于C，三棱錐的體積（為點(diǎn)到平面的距離）..當(dāng)平面平面時(shí)，最大，的最大值為，此時(shí)，所以三棱錐體積的最大值為，選項(xiàng)C正確.對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，則，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以，所以，如圖將沿旋轉(zhuǎn)，使其與在同一平面內(nèi)，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即的最小值為，在中，，則，所以，所以的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選：D.9．BD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)辄c(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，所以，即，可得，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，得，所以，由得，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，故B正確；對(duì)于C，由，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)的圖象向右平移后，得到函數(shù)，因?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以為奇函數(shù)，故D正確.故選：BD.10．AB【詳解】如圖，因?yàn)镈，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，所以，又，所以，因?yàn)槠矫鍰EF，平面DEF，所以平面DEF，A正確；取AB的中點(diǎn)N，連接MN，則，連接CN，則，又，CN，平面MNCF，所以平面MNCF，因?yàn)槠矫鍹NCF，所以，又，所以，B正確；設(shè)，則，，，因?yàn)椋?，即，解得，所以，易得△ABC外接圓的半徑為，設(shè)正三棱柱外接球的半徑為R，則，所以其外接球的表面積為，C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，，DE，平面DEF，所以平面DEF，由上可得，，，，，所以，，設(shè)點(diǎn)F到平面DEM的距離為h，由，得，所以，即點(diǎn)F到平面DEM的距離為，D錯(cuò)誤.故選：AB.11．ACD【詳解】對(duì)于A，B，C，因，依題意，代入，得，因?yàn)槿c(diǎn)共線，且三點(diǎn)共線，所以，得，所以A對(duì)，B錯(cuò)；由可得，故，故C正確；對(duì)于D，，，，則，因?yàn)镸、G、N三點(diǎn)共線，則，即，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)．所以D正確．故選：ACD．12．【詳解】由題意可設(shè)對(duì)應(yīng)的向量為對(duì)應(yīng)的向量為，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得和模相等，且它們對(duì)應(yīng)的向量垂直，則解得.故答案為：13．3【詳解】∵，∴，，∴，∴，．故答案為：3．14．【詳解】以為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，，因此，而，則，，所以的范圍為.故答案為：15．(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，又因?yàn)榈酌?，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)椋珽為線段的中點(diǎn)，所以，又平面，所以平面．（2）由正方形得，，因?yàn)榈酌?，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又平面，平面，平面平面，所以二面角的平面角為，在中，，所以?6．(1)最大值1，最小值.(2)【詳解】（1），，，，所以在區(qū)間上的最大值1，最小值.（2），，，，，由17．(1)平方米(2)方案一更優(yōu)，理由見(jiàn)解析.【詳解】（1）由題可得，，，則，則此時(shí)活動(dòng)區(qū)域面積為：，又注意到.則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，活動(dòng)區(qū)域面積最大為平方米；（2）如圖，取ED中點(diǎn)為I，F(xiàn)C中點(diǎn)為J，連接OI，延長(zhǎng)OI與弧BA交于點(diǎn)G，則由對(duì)稱性及垂徑定理，可得O，J，I，G四點(diǎn)共線，平分，可得，設(shè)，則，，，則，則此時(shí)活動(dòng)區(qū)域面積為：，又注意到.則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，活動(dòng)區(qū)域面積最大為；注意到，則，，則選擇方案1更好.18．(1)(2)(3)存在，為中點(diǎn)【詳解】（1），，三棱錐的體積為；（2）取的中點(diǎn)為，連接，是的中點(diǎn).，且又是正方形，，是平行四邊形，，（或其補(bǔ)角）就是異面直線與的夾角.在中，，，異面直線與的夾角的余弦值為；（3）假設(shè)在棱上存在點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，是正方體，，是平行四邊形，同理可證也是平行四邊形，，，平面，平面，平面.又，是平行四邊形，，又平面，平面，平面.又平面，平面平面，假設(shè)成立，在棱上存在中點(diǎn)，使得平面平面.1