經(jīng)典題庫(kù)-加法原理的應(yīng)用

知識(shí)框架圖

計(jì)數(shù)原理加法原理I分類討論中加法原理的應(yīng)用

2樹形圖法、標(biāo)數(shù)法及簡(jiǎn)單的遞推7樹形圖法

-2標(biāo)數(shù)法

-3簡(jiǎn)單遞推：斐波那契數(shù)列的應(yīng)用

教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生掌握加法原理的基本內(nèi)容：

2.掌握加法原理的利用以及與乘法原理的區(qū)分；

3.培養(yǎng)學(xué)生分類討論問題的能力，了解分類的重要措施和遵照的重要標(biāo)準(zhǔn).

加法原理的數(shù)學(xué)思想主意在于分類討論問題，教授本講的目標(biāo)也是為了培養(yǎng)學(xué)生分類討論問題的習(xí)慣，俄

煉思維的周全細(xì)致.

知識(shí)要點(diǎn)

一、加法原理概念引入

生活中常有這么的情況，就是在做一件事時(shí)，有幾類不一樣的措施，而每一類措施中，又有幾個(gè)也許的

做法.那么，考慮完成這件事所有也許的做法，就要用加法原理來處理.

例如：王老師從北京到天津，他能夠乘火車也能夠乘長(zhǎng)途汽車，目前懂得天天有五次火車從北京到天津，

有4趟長(zhǎng)途汽車從北京到天津.那么他在一天中去天津能有多少種不一樣的走法？

分析這個(gè)問題發(fā)覺，王老師去天津要么乘火車，要么乘長(zhǎng)途汽車，有這兩大類走法，假如乘火車，有5

種走法，假如乘長(zhǎng)途汽車，有4舛走法.上面的每一個(gè)走法都能夠從北京到天津，故共有5+4=9種不一樣的

走法.

在上面的問題中，完成一件事有兩大類不一樣的措施.在詳細(xì)做的時(shí)候，只要采取一類中的一個(gè)措施就

能夠完成.并且兩大類措施是互無影響的，那么完成這件事的所有做法數(shù)就是用第一類的措施數(shù)加上第二類

的措施數(shù).

二、加法原理的定義

一般地，假如完成一件事有k類措施，第一類措施中有肛種不一樣做法，第二類措施中有種不一樣做

法，…，第k類措施中有種不一樣做法，則完成這件事共有N=肛+/4++/種不一樣措施，這就

是加法原理.

加法原理利用的范圍：完成一件事的措施提成幾類，每一類中的任何一個(gè)措施都能完成住務(wù)，這么的問

題能夠使用加法原理處理.我們能夠簡(jiǎn)記為：“加法分類，類類獨(dú)立”.

分類時(shí)，首先要依照問題的特點(diǎn)確定一個(gè)適合于它的分類株準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類；其次，分

類討要注意滿足兩條基本標(biāo)準(zhǔn)：

①完成這件事的任何一個(gè)措施必須屬于某一類；

（2）分別屬于不一樣兩類的兩種措施是不一樣的措施.

只有滿足這兩條基本標(biāo)準(zhǔn)，才能夠確保分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算正確.

利用加法原了解題時(shí)，核心是確定分類的標(biāo)準(zhǔn).然后再針對(duì)各類逐一計(jì)數(shù).通俗地說，就是“替體等干

局部之和”.

三、加法原了解題三部曲

1、完成一件事分N類；

2、室類找種數(shù)（手類的一個(gè)情況必須是能完成該件事）；

3、類類相加

枚舉法：枚舉法又叫窮舉法，就是把所有符合條件的對(duì)象一一列舉出來進(jìn)行計(jì)數(shù).

分類討論的時(shí)候常常會(huì)需要把每一類的情況所有列舉出來，這葉的措施就是枚舉法.枚舉的時(shí)候要注意次序，

這么才能做到不重不漏.

例題精講

1、分類討論中加法原理的應(yīng)用

【例1］（難度等級(jí)派）小寶去給小貝買生日禮品，商店里賣的東西中，有不一樣的玩具3種，不一樣的

課外書20本，不一樣的紀(jì)念品10種，那么，小寶買一個(gè)禮品能夠有多少種不一樣的選法？

【解析】小寶買一個(gè)禮品有三類清施：第一類，買玩具，有8種措施；第二類，買課外書，有20種措施；第

三種，買紀(jì)念品，有10種措施.依照加法原理，小寶買一個(gè)禮品有8+20+10=38種措施.

【鞏固】（難度等級(jí)派）有不一樣的語(yǔ)文書6本，數(shù)學(xué)書4本，英語(yǔ)書3本，科學(xué)書2本，從中任取一本,

共有多少種取法？

【解析】依照加法原理，共有6+4+3+2=15種取法.

【鞏固】（難度等級(jí)派）陽(yáng)光小學(xué)四年級(jí)有3個(gè)班，各班分別有男生18人、20人、16人.從中任意選一

人當(dāng)升旗手，有多少種選法？

【解析】處理這個(gè)問題有3類措施：從一班、二班、三班男生中任選1人，從一班18名男生中任選1人有

18種選法：同理，從二班20名男生中任選1人有20種選法；從三班16名男生中任意選1人有16

種選法；依照加法原理，從四年級(jí)3個(gè)班中任選一名男生當(dāng)升旗手的措施有：18+20+16=54種.

【例2］（難度等級(jí)※※）從1?1（）中每次取兩個(gè)不一樣的數(shù)相加，和不小于10的共有多少種取法?

【解析】依照第一個(gè)數(shù)的大小，將和不小于10的取法分為9類:

第一個(gè)數(shù)第二個(gè)數(shù)有幾個(gè)

第1類1101選擇適宜的分類方式是1、

第2類210、92

用加法原理的核心.好的分

第3類310、9、83

類方式往往達(dá)成事半功倍

第4類410、9、8、74

的效果.

第5類510、9、8、7、65Z

注意：本題中“7+8”與

第6類610、9、8、74

《'8+7”只能算一個(gè)取法:/

第7類710、9、83

第8類810、92

第9類9101

因此，依照加法原理，共有：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25種取法使和不小于10.

【鞏固】（難度等級(jí)※X）從1?8中每次取兩個(gè)不一樣的數(shù)相加，和不小于10的共有多少種取法?

【解析】?jī)蓚€(gè)數(shù)和為II的一共有3種取法；兩個(gè)數(shù)和為12的一共有2種取法；

兩個(gè)數(shù)和為13的一共有2種取法；兩個(gè)數(shù)和為14的一共有1種取法；

兩個(gè)數(shù)和為15的一共有1種取法；一共有3+2+2+1+1=9種取法.

【例3］（難度等級(jí)派※）甲、乙、丙三個(gè)工廠共訂300份報(bào)紙，每個(gè)工廠最少訂了99份，至多101份,

問：一共有多少種不一樣的訂法？

【解析】甲廠能夠訂99、100、101份報(bào)紙三種措施.

假如甲廠訂99份，乙廠有訂100份和101份兩種措施，丙廠隨之而定.

假如甲廠訂100份，乙廠有訂99份、100份和101份三種措施，丙廠隨之而定.

假如甲廠訂101份，乙廠有訂99份和100份兩種措施，丙廠隨之而定.

依照加法原理，一共有2+3+2=7種訂報(bào)措施.

【鞏固】（難度等級(jí)派※）大林和小林共有小人書不超出9本，他們各自有小人書的數(shù)目有多少種也許的

情況?

【解析】大林和小林共有9本的活，有1（）種也許；共有8本的話，有9種也許，……，共有（）本的話，有1

種也許，因此依照加法原理，一共有10+9+.......+3+2+1=55種也許.

【例4］（難度等級(jí)※※）四個(gè)學(xué)生每人做了一張賀年片，放在桌子上，然后每人去拿一張，但不能拿自

己做的一張.問：一共有多少種不一樣的措施？

【解析】設(shè)四個(gè)學(xué)生分別是A,B,C,D,他們做的賀年片分別是a,b,c,d.

先考慮A拿B做的賀年片b的情況（如下表），一共有3種措施.

ABCD

badc

bada

bdac

同樣，A拿C或D做的賀年片也有3種措施.

一共有3+3+3=9（種）不一樣的措施.

［例5］（第六屆走美試題）一次，齊王與大將田忌賽馬.每人有四匹馬，分為四等.田忌懂得齊王這次比

賽馬的出場(chǎng)次序依次為一等，二等，三等，四等，并且還懂得這八匹馬跑的最快的是齊王的一等

馬，接著依次為自己的一等，齊王的二等，自己的二等，齊王的三等，自己的三等，齊王的四等,

自己的四等.田忌有種措施安排自己的馬的出場(chǎng)次序，確保自己最少能贏兩場(chǎng)比賽.

【解析】第一場(chǎng)無論怎么樣田忌都必輸，田忌只也許在接下來的三場(chǎng)里贏得比賽，

若三場(chǎng)全勝，則只有一個(gè)出場(chǎng)措施：

若勝兩場(chǎng)，則又分為三種情況：

二，三兩場(chǎng)勝，此時(shí)只能是田忌的一等馬贏得齊王的二等馬，田忌的二等馬贏齊王的三等馬，只有

這一個(gè)情況：

二，四兩場(chǎng)勝，此時(shí)有三種情況；

三，四兩場(chǎng)勝，此時(shí)有七種情況;

因此一共有1+1+3+7=12種措施.

【例6］（難度等級(jí)派※）把一元錢換成角幣，有多少種換法？人民幣角幣的面值有五角、二角、一角三

種.

【解析】把一元錢換成角幣，有三類分法：①第一類：有五角幣2張，只有1種換法：

②第二類：有五角幣|張，則此時(shí)二角幣能夠有0,I,2張，對(duì)應(yīng)的，一角幣有5,3,1張，有3

種換法；

③第三類：有五角幣0張，則此時(shí)二角幣能夠有0,1,2,3,4,5張，對(duì)應(yīng)的，一角幣有10,8,6,

4,2,0張，有6種換法.

因此，依照加法原理，總共的換法有1+3+6=10種.

【鞏固】（難度等級(jí)派※）一把硬幣全是2分和5分的，這把硬幣一共有1元，問這里也許有多少種不一

樣的情況？

【解析】按5分硬幣的個(gè)數(shù)對(duì)硬幣情況進(jìn)行分類：

假如5分硬幣有奇數(shù)個(gè)，那么無論2分硬幣有多少個(gè)都不能湊成100分.如表當(dāng)5分硬幣的個(gè)數(shù)為

0?20的偶數(shù)時(shí)，都有時(shí)應(yīng)個(gè)數(shù)的2分硬幣.因此一共有11種不一樣的情況.

類別1234567891011

5分02468101214161820

2分50454035302520151050

【例7］（難度等級(jí)派※※，用100元錢購(gòu)置2元、4元或8元飯票若干張，沒有剩錢，共有多少不一樣

的買法？

【解析】假如買。張8元飯票，還剩100元，能夠購(gòu)置4元飯票的張數(shù)為0?25張，其他的錢所有購(gòu)置2元

飯票，共有26種買法；

假如買I張8元飯票，還剩92元，可購(gòu)4元飯票。?23張，其他的錢所有購(gòu)置2元飯票，共有24

種不一樣措施；

假如買2張8元飯票，還剩84元，可購(gòu)4元飯票0?21張，其他的錢所有購(gòu)置2元飯票，共有22

種不一樣措施；

假如買12張8元飯票，還剩4元飯票，可購(gòu)4元飯票0?1張，其他的錢所有購(gòu)置2元飯票，共有2

種措施.

總結(jié)規(guī)律，發(fā)覺各類情況的措施數(shù)組成了一個(gè)公差為2,項(xiàng)數(shù)是13的等差數(shù)列.利用分類計(jì)數(shù)原理

及等差數(shù)列求和公式求出所有措施：

26+24+22+…+2=（26+2）X13：2=182（種）.共有182種不一樣的買法.

【鞏固】（難度等級(jí)派※）一個(gè)文具店橡皮每塊5角、圓珠筆每支1元、鋼筆每支2元5角.小明要在該

店花5元5角購(gòu)置兩種文具，他有多少種不一樣的選擇.

【解析】一共三種文具，要買兩種文具.那么就能夠分三類了.

第一類：橡皮和圓珠笠5元5角二55角二”塊橡皮（要買兩種，因此這個(gè)不考慮）

二9塊橡皮+1只圓珠筆.

二7塊橡皮+2只圓珠筆

=5塊橡皮+3只圓珠筆

二3塊橡皮+4只圓珠筆

=1塊橡皮+5只圓珠筆第一類共5種

第二類：橡皮和鋼筆55角=11塊橡皮（不做考慮）

=6塊橡皮+1只鋼筆

=1塊橡皮+2只鋼筆第二類共2種

第三類：圓珠筆和鋼筆55角二11塊橡皮（不做考慮）

=1只鋼筆+3只圓珠筆第三類共1種

【例8］（難度等級(jí)派※※）袋中有3個(gè)紅球，4個(gè)黃球和5個(gè)白球，小明從中任意拿出6個(gè)球，他拿出

球的情況共有種也許.（北京“數(shù)學(xué)解題能力展示”讀者評(píng)選活動(dòng)）

【解析】按最少的紅球來分類：3紅時(shí)，黃+白=3,黃可取0,1,2,3共4種.

2紅時(shí)，黃+白=4,黃可取0,1,2,3,4共5種.

1紅時(shí)，黃+白=5,黃可取0,1,2,3,4共5種.

0紅時(shí)，黃+白=6,黃可取0,1,2,3共4種.

共有：4+5+5+4=18（種）.

【例9］（難度等級(jí)派※）1、2、3、4四個(gè)數(shù)字，從小到大排成一行，在這四個(gè)數(shù)中間，任意插入乘號(hào)（最

少插一個(gè)乘號(hào)），能夠得到多少個(gè)不一樣的乘積？

【解析】按插入乘號(hào)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類：

（1）若插入一個(gè)乘號(hào)，4個(gè)數(shù)字之間有3個(gè)空當(dāng)，選3個(gè)空當(dāng)中的任一空當(dāng)放乘號(hào)，因此有3種不一

樣的插法，能夠得到3個(gè)不一樣的乘積，枚舉如下：

1x234,12x34,123x4.

（2）若插入兩個(gè)乘號(hào)，因?yàn)楸赜幸粋€(gè)空當(dāng)不放乘號(hào)，因此從3個(gè)空檔中選2個(gè)空當(dāng)插入乘號(hào)有3種不

一樣的插法，能夠得到3個(gè)不一樣的乘積，枚舉如下：

1x2x34,1x23x4,12x3x4.

⑶若插入三個(gè)乘號(hào)，則只有1個(gè)插法，能夠得到I個(gè)不一樣的乘積，枚舉如下:

Ix2x3x4.

因此，依照加法原理共有3+3+1=7種不一樣的乘積.

【例10］（難度等級(jí)派※※）1995的數(shù)字和是1+9+9+5=24,問：小于的四位數(shù)中數(shù)字和等于26的數(shù)共

有多少個(gè)？

【解析】小于的四位數(shù)千位數(shù)字是I,要它數(shù)字和為26,只需其他三位數(shù)字和是25.因?yàn)槭?、個(gè)位數(shù)字和

最多為9+9=18,因此，百位數(shù)字最少是7.于是

百位為7時(shí)，只有1799,一個(gè)；

百位為8時(shí)，只有1889,1898,二個(gè)；

百位為9時(shí)，只有1979,1997,1988,三個(gè)；

總計(jì)共1+2+3=6個(gè).

【鞏固】（難度等級(jí)派※※）1995的數(shù)字和是1+9+9+5=24,問：小于的四位數(shù)中數(shù)字和等于24的數(shù)共

有多少個(gè)?

【解析】小于的四位數(shù)千位數(shù)字是1,要它數(shù)字和為24,只需其他三位數(shù)字和是23.因?yàn)槭弧€(gè)位數(shù)字和

最多為9+9=18,因此，百位數(shù)字最少是5.于是

百位為5時(shí),只有1599一個(gè);

百位為6時(shí),只有1689,1698兩個(gè);

百位為7時(shí),只有1779,1788,1797三個(gè);

百位為8時(shí),只有1869,1878,1887,1896四個(gè);

百位為9時(shí),只有1959,1968,1977,1986,1995五個(gè);

依照加法原理，總計(jì)共1+2+3+4+5=15個(gè).

【鞏固】(難度等級(jí)派※※)的數(shù)字和是2+0+0+7=9,問：不小于小于3000的四位數(shù)中數(shù)字和等于9的數(shù)

共有多少個(gè)？

【解析】不小于小于3000的四位數(shù)千位數(shù)字是2,要它數(shù)字和為9,只需其他三位數(shù)字和是7.因此，百位

數(shù)字至多是7.于是依照百位數(shù)進(jìn)行分類:

第一類，百位為7時(shí)，只有2700一個(gè);

第二類，百位為6時(shí)，只有2610,2601兩個(gè);

第三類，百位為5時(shí)，只有2520,2511,2502三個(gè);

第四類，百位為4時(shí)，只有2430,2421,2412,2403四個(gè);

第五類，百位為3時(shí)，只有2340,23312322,2313,2304五個(gè);

第六類百位為2時(shí)，只有2250,2241,2232,2223,2214、2205六個(gè):

第七類,百位為1時(shí)，只有2160,2151,2142,2133.2124、2115、2106七個(gè);

第八類，百位為。時(shí)，只有207(),2061,2052,2043,2034、2025、、八個(gè);

依照加法原理，總計(jì)共1+2+3+4+5+6+7+8=36個(gè).

【鞏固】(難度等級(jí)派※※※)在四位數(shù)中，各位數(shù)字之和是4的四位數(shù)有多少？

【解析】以個(gè)位數(shù)的值為分類標(biāo)準(zhǔn)，能夠提成如下幾類情況來考慮：

第I類——個(gè)位數(shù)字是0,滿足條件的數(shù)共有10個(gè).其中：

⑴十位數(shù)字為0,有4000、3100、2200、1300,共4個(gè)；

(2)十住數(shù)字為1,有3010、2110、1210,共3個(gè)；

⑶十位數(shù)字為2,有、1120,共2個(gè)：

⑷十位數(shù)字為3,有1030,共1個(gè).

第2類一個(gè)位數(shù)字是1,滿足條件的數(shù)共有6個(gè).其中：

⑴十位數(shù)字為0,有3001、2101、1201,共3個(gè);

⑵十位數(shù)字為1,有、1111,共2個(gè)；

(3)十位數(shù)字為2,有1021,滿足條件的數(shù)共有1個(gè).

第3類——個(gè)位數(shù)字是2,滿足條件的數(shù)共有3個(gè).其中：

⑴十位數(shù)字為0,有、1102,共2個(gè)；

(2)十位數(shù)字為1,有1012,共1個(gè).

第4類——個(gè)位數(shù)字是3,滿足條件的數(shù)共有1個(gè).其中：十位數(shù)字是0,有1003,共1個(gè).

依照上面分析，由加法原理可求出滿足條件的數(shù)共有10+6+3+1=20個(gè).

【例11】有一類自然數(shù)，從第三個(gè)數(shù)字開始，每個(gè)數(shù)字都恰好是它前面兩個(gè)數(shù)字之和，直至不能再寫為止,

如257,1459等等，此類數(shù)共有個(gè).

【解析】按自然數(shù)的最高位數(shù)分類：

(1)最高位為1的有

10112358,112358,12358,1347,1459,156,167,178,189共9個(gè)

(2)最高位為2的有

202246,21347,224€,2358,246,257,268,279共8個(gè)

(3)最高位為3的有

303369,31459,3257,3369,347,358,369共7個(gè)

(9)最高位為9的有

9099共1個(gè)

因此此類數(shù)共有9+8+T+6++2+1=45個(gè)

【例12］假如一個(gè)不小于9的整數(shù)，其每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都比他右邊數(shù)位上的數(shù)字小，那么我們稱它為迎

春數(shù).那么，小于的迎春數(shù)一共有多少個(gè)？

L解析】(法1)兩位數(shù)中迎春數(shù)的個(gè)數(shù).

⑴十位數(shù)字為1的：12,13,……,19.8個(gè)

⑵十位數(shù)字為2的：23,24,……29.7個(gè)

(3)十位數(shù)字為3的：34,35,........39.6個(gè)

(4)十位數(shù)字為4的:45,46,……49.5個(gè)

⑸十位數(shù)字為5的：56,57,……59.4個(gè)

⑹十位數(shù)字為6的：67,68,69.3個(gè)

⑺十位數(shù)字為7的：78,79.2個(gè)

⑻十位數(shù)字為8的：89.1個(gè)

兩位數(shù)共8+7++1=36個(gè)

三位數(shù)中迎春數(shù)的個(gè)數(shù)

⑴百位數(shù)字是1的：123?129,134?139……189.共28個(gè).

⑵百位數(shù)字是2的：234?239,……289.共21個(gè).

⑶百位數(shù)字是3的：345?349,……389.共15個(gè).

⑷百位數(shù)字是4的：456?458,.......489.共10個(gè).

(5)百位數(shù)字是5的:567?569,……589.共6個(gè).

⑹百位數(shù)字是6的：678,679,689.共3個(gè).

⑺百七數(shù)字是7的：789.1個(gè)

1000?1999中迎春數(shù)的個(gè)數(shù)

⑴前兩位是12的：1234?1239,........,1289.共21個(gè).

⑵前兩位是13的：1345?1349,……,1389.共15個(gè).

⑶前兩位是14的：1456?1459,……，1489.共10個(gè).

⑷前兩位是15的：1567?1569,……，1589.共6個(gè).

(5)前兩位是16的：1678,1679,1689.3個(gè).

(6)前兩位是17的：1789.I個(gè)

共56個(gè).

因此小于的迎春數(shù)共36+84+56=176個(gè).

(法2)小于的迎春數(shù)只也許是兩位數(shù)，三位數(shù)和1000多的數(shù).兩位數(shù)的取法有9x8+2=36個(gè).三

位數(shù)的取法有9x8x7+(3x2xl)=84個(gè).1000多的迎春數(shù)的取法有8x7x6+(3x2xl)=56個(gè).

因此共36+84+56=176個(gè).

【例13】有些五位數(shù)的各位數(shù)字均取自1,2,3,4,5,并且任意相鄰兩位數(shù)字(大減小)的差都是1.問這

么的五位數(shù)共有多少個(gè)？

L解析】⑴首位取1時(shí)，千位只能是2,百位能夠是1和3.

百位是1,十位只能是2,個(gè)位能夠是1和3.2種.

百位是3,十位能夠是2和4；十位是2,個(gè)位能夠是1和3,十位是4,個(gè)位能夠是3和5.4種.

因此，首位取1時(shí)，共有2+4=6種.

(2)首位取2時(shí)，千位能夠是1和3.

千位是1,百位只能是2,十位能夠是I和3.有3種.

千位是3,百位能夠是2和4.百位是2,十位可是是I和3,有3種.百位是4,十往能夠是3和5,

有3種.千位是3時(shí)有3+3=6種.

因此首位取2時(shí)，共有3+6=9種.

⑶尚位取3時(shí)，千位能修取2和4.

千位是2,百位能夠取1和3.百位是1,十位只能是2,個(gè)位能夠是1和3;2種.5位是3時(shí)，十

位能夠是2和4.十位是2個(gè)位能夠是1和3:十位是4,個(gè)位能夠是3和5:4種.

千位是4,百位能夠取3和5.

百位是5,十位只能是4,個(gè)位能夠是3和5;2種.百位是3,十位也許是2和4.十位是2個(gè)位能

夠是I和3;十位是4個(gè)位能夠是3和5;4種.

因此，首位取3時(shí)，共有2+4+2+4=12種.

（4）首位取4時(shí)，千位能夠取3和5.

千位是5,百位只能是4,十位能夠是3和5.十位是3個(gè)位能夠是2和4;十位是5個(gè)位只能是4.有

3種.

千位是3,百位能夠是2和4.百位是2,十位能夠是1和3.十位是1個(gè)位只能是2;十位是3個(gè)

位能夠是2和4.有3種.百位是4,十位能夠是3和5.十位是5個(gè)位只能是4；十位是3,個(gè)位

能夠是2和4.有3種.千位是3共有3+3=6種.

因此，首位取4時(shí)，共有3+6=9種.

（5）首位取5時(shí)，千位只能是4,百位能夠是3和5.百位是5,十位只能是4,有2種：百位是3,

十位能夠是2和4,有4種.因此，首位取5時(shí)共有2+4=6種.

總共有：6+9+12+9+6=42^

也能夠依照首位數(shù)字分別是1、2、3、4、5,畫5個(gè)樹狀圖，然后相加總共有：6+9+12+9+6=42

個(gè)

2、樹形圖法、標(biāo)數(shù)法及簡(jiǎn)單的遞推

一、樹形圖法

“樹形圖法”實(shí)際上是枚舉的一個(gè)，不過它借助于圖形，能夠使枚舉過程不但形象直觀，并且有條理又不重

復(fù)遺漏，使人一目了然.

【例14］（難度等級(jí)派※※）A、B、C三個(gè)小朋友相互傳球，先從A開始發(fā)球（作為第一次傳球），這么通

過了5次傳球后，球恰巧又回到A手中，那么不一樣的傳球方式共多少種？（《小數(shù)報(bào)》數(shù)學(xué)邀請(qǐng)

賽）

【解析】如圖，A第一次傳給5,到第五次傳回A有5種不一徉方式.

同理，4第一次傳給C,也有5種不一樣方式.

因此，依照加法原理，不一樣的傳球方式共有5+5=10種.

【鞏固】（難度等級(jí)派※※）一只青蛙在A,B,C三點(diǎn)之間跳動(dòng)，若青蛙從A點(diǎn)跳起，跳4次仍回到A點(diǎn),

則這只青蛙一共有多少種不一樣的跳法?

【解析】6種，如圖，第1步跳到3,4步回到A有3種措施；同樣第1步到C的也有3種措施.依照加法原

理,共有3+3=6種措施.

【例15］（難度等級(jí)派※※）甲、乙二人打乒乓球，誰(shuí)先連勝兩局誰(shuí)贏，若沒有人連勝頭兩局，則誰(shuí)先勝

三局誰(shuí)贏，打到?jīng)Q出輸贏為止.問：一共有多少種也許的情況？

【解析】如下圖，我們先考慮甲勝第一局的情況:

圖中打J的為勝者，一共有7種也許的情況.同理，乙勝第一局也有7種也許的情況.一共有7+

7=14（種）也許的情況.

二、標(biāo)數(shù)法

適合用于最短路線問題，需要一步一步標(biāo)出所有有關(guān)點(diǎn)的線路數(shù)量，最后得到抵達(dá)終點(diǎn)的措施總數(shù).標(biāo)數(shù)法

是加法原理與遞推思想的結(jié)合.

【例16］（難度等級(jí)派※）如圖所示，沿線段從A到B有多少條最短路線?

13610

rB

E(R

I234

F

Q

111

A

AG

【解析】圖中8在A的右上方，因此從A出發(fā)，只能向上或者句右才能使路線最短，那么反過來想，假如抵

達(dá)了某一個(gè)點(diǎn)，也只有兩種也許：要么是從這個(gè)點(diǎn)左邊的點(diǎn)來的，要么是從這個(gè)點(diǎn)下邊的點(diǎn)來的.那

么，假如最后抵達(dá)了B,只有兩種也許：或者通過C夫到B點(diǎn)，或者經(jīng)D來到B點(diǎn)，因此，抵達(dá)B

的走法數(shù)目就應(yīng)當(dāng)是抵達(dá)C點(diǎn)的走法數(shù)和抵達(dá)D點(diǎn)的走法數(shù)之和，而對(duì)于抵達(dá)C的走法，又等于抵

達(dá)￡和抵達(dá)產(chǎn)的走法之和，抵達(dá)。的走法也等于抵達(dá)〃和抵達(dá)G的走法之和，這么我們就歸納出：

抵達(dá)任何一點(diǎn)的走法都等于到它左側(cè)點(diǎn)走法數(shù)與到它下側(cè)點(diǎn)走法數(shù)之和，依照加法原理，我們能夠

從A點(diǎn)開始，向右向上逐漸求出抵達(dá)各點(diǎn)的走法數(shù).如圖所示，使用標(biāo)號(hào)措施得到從A到區(qū)共有10

種不一樣的走法.

【鞏固】（難度等級(jí)派※）如圖，從A點(diǎn)到8點(diǎn)的最近路線有多少條?

【解析】使用標(biāo)號(hào)法得出到“點(diǎn)的最近路線有20條.

【例17］（難度等級(jí)派※）如圖，某城市的街道由5條東西向公路和7條南北向公路組成，目前要從西南

角的A處沿最短的路線走到東北角8出，因?yàn)樾蘼?，十字路口。不能通過，那么共有種

不一樣走法.

515355581120

41020202639

3610C613

234567

【解析】本題是最短路線問題.要找出共有多少種不一樣走法，核心是確保不重也不漏，一般采取標(biāo)數(shù)法.如

上圖所示，共有120種.

另解：本題也可采取排除法.因?yàn)椴荒芡ㄟ^C,能夠先計(jì)算出從4到A的最短路線有多少條，再去

掉其中那些通過C的路淺數(shù)，即得到所求的成果.

對(duì)于從A到8的每一條最短路線，需要向右6次，向上4次，共有10次向右或向上：而對(duì)于每一條

最短路線，假如確定了其中的某6次是向右的，那么則余的4次只能是向上的，從而該路線也就確

定了.這就闡明從A到〃的最短路線的條數(shù)等于從10次向右或向上里面選擇6次向右的種數(shù)，為C2.

一般地，對(duì)于〃ZK〃的方格網(wǎng)，相正確兩個(gè)頂點(diǎn)之間的最短路線有種.

本題中，從A到8的最短路線共有或,種：從A到C的最短路線共有C：種，從。到B的最短路線共

有C：種，依照乘法原理，從A到3且必須通過C的最短路線有C：xC：種，因此，從A到3且不通

過。的最短路線有黨-C；xC：=210-90=120種.

【解析】1、方格圖里兩點(diǎn)的最短途徑，從位置低的點(diǎn)向位置高的點(diǎn)出發(fā)的話，每到一點(diǎn)（如C、D點(diǎn)）只能

向前或者向上.

2、題問的是通過C點(diǎn)，或者D點(diǎn)；那么A到B點(diǎn)就能夠提成兩條途徑了A—C-—B；A-D--B,那

么也就能夠提成兩類.不過需要考慮一個(gè)問題——A到B點(diǎn)的最短途徑會(huì)同時(shí)通過C京D點(diǎn)嗎？最短

途徑只能往上往前，通過觀測(cè)發(fā)覺C、D不會(huì)同時(shí)出目前最短途徑上了.

3、A--C--B,那么C就是必經(jīng)之點(diǎn)了，就需要用到乘法原理了.A--C,最短途徑用標(biāo)數(shù)法標(biāo)出，

同樣C--B點(diǎn)用標(biāo)數(shù)法標(biāo)注，然后相乘

A--D--B,同樣道理.最后成果是735+420=1155條.

【例19］如圖1為一幅街道圖，從人出發(fā)通過十字路口但不通過C走到。的不一樣的最短路線有一條.

【解析】到各點(diǎn)的走法數(shù)如圖2所示.

圖2

因此最短途徑有18條.

【例20］小王在一年中去少年宮學(xué)習(xí)56次，如圖所示，小王家在夕點(diǎn)，他去少年宮都是走最近的路，且每

次去時(shí)所走的路線恰好互不相同，那么少年宮在點(diǎn)處.

【解析】本題屬最矩路線問題.利用標(biāo)孰法分別計(jì)算出從小王家夕點(diǎn)到4、R、C.D.E點(diǎn)的不一樣路線

有多少條，其中，路線條數(shù)與小王學(xué)習(xí)次數(shù)56相等的點(diǎn)即為少年宮.

因?yàn)?，從小王家尸點(diǎn)到A點(diǎn)共有不一樣線路84條；到8點(diǎn)共有不一樣線路56條；到C點(diǎn)共有不一

樣線路71條；到。點(diǎn)共有不一樣線路15條；到E點(diǎn)共有不一樣線路36條.因此，少年宮在8點(diǎn)處.

【例21］（難度等級(jí)冬※※）在下圖的街道示意圖中，有幾處街區(qū)有積水不能通行，那么從A到B的最短

路線有多少種？

【解析】因?yàn)椤霸贏的右下方，由標(biāo)號(hào)法可知，從A到A的最短途符匕抵達(dá)仟何一點(diǎn)的走法數(shù)都等于到它

左側(cè)點(diǎn)的走法數(shù)與到它上側(cè)點(diǎn)的走法數(shù)之和.有積水的街道不也許有路線通過，能夠以為積水點(diǎn)的

走法數(shù)是0.接下來，能夠從左上角開始，按照加法原理，依次向下向右填上到各點(diǎn)的走法數(shù).如

右上圖，從A到B的最短路線有22條.

［例22］（難度等級(jí)※※※）在下圖的街道示意圖中，C處因施工不能通行，從A到B的最短路線有多少

條？

【解析】因?yàn)?在A的右上方，由標(biāo)號(hào)法可知，從A到8的最短途徑上，抵達(dá)任何一點(diǎn)的走法數(shù)都等于到它

左側(cè)點(diǎn)的走法數(shù)與到它下側(cè)點(diǎn)的走法數(shù)之和.而C是一個(gè)特殊的點(diǎn)，因?yàn)椴荒芡ㄐ校虼瞬灰苍S有

路線通過C,能夠以為抵達(dá)。點(diǎn)的走法數(shù)是0.按下來，能夠從左下角開始，按照加法原理，依次

向上向右填上到各點(diǎn)的走法數(shù).如圖，從A到B的最短路線有6條.

【鞏固】（難度等級(jí)※※※;）在下圖的街道示意圖中,C處因施工不能通行，從A到B的最短路線有多少種?

A

【解析】因?yàn)锽在A在右下方，由標(biāo)號(hào)法可知，從A到B的最短途徑上，抵達(dá)任何一點(diǎn)的走法數(shù)都等于到它

左側(cè)點(diǎn)的走法數(shù)與到它上側(cè)點(diǎn)的走法數(shù)之和.而C是一個(gè)特殊的點(diǎn)，因?yàn)椴荒芡ㄐ?，因此不也許有路

線通過C,能夠以為抵達(dá)C點(diǎn)的走法數(shù)是0.接下來，能夠從左上角開始，按照加法原理，依次向下

向右填上到各點(diǎn)的走法數(shù).如圖，從A到B的最短路線有6條.

［例23］（難度等級(jí)派※※）如下表，請(qǐng)讀出“我們學(xué)習(xí)好玩的數(shù)學(xué)”這9個(gè)字，要求你選擇的9個(gè)字里

能連續(xù)（即相鄰的字在表中也是左右相鄰或上下相鄰）J這里共有多4＞種完整的“我們學(xué)習(xí)好玩的

23

數(shù)學(xué)”的讀法.361015

102035

我們學(xué)習(xí)好

5153570

們學(xué)習(xí)好玩

學(xué)習(xí)好玩的

習(xí)好玩的數(shù)

好玩的數(shù)學(xué)

【解析】措施一：標(biāo)數(shù)法.第一個(gè)字只能選位于左上角的“我〃，以后每一個(gè)字都只能選擇前面那個(gè)字的下方

或右方的字，因此本題也能夠使用標(biāo)號(hào)法來解：（如右上圖，在格子里標(biāo)數(shù)）共70種不一樣的讀法.

措施二：組合法.仔細(xì)觀測(cè)我們能夠發(fā)覺，按“我們學(xué)習(xí)好玩的數(shù)學(xué)〃走的路線就是向右走四步，向

下走四步的路筏，而向下和向右一個(gè)排列次月則代表了一個(gè)路線.因此總共有C：=70種不

一樣的讀法.

【例24］（難度等級(jí)※※※）如圖，沿著“北京歡迎你”的次序走（要求只能沿著水平或豎直方向走）,

一共有多少種不一樣的走法？

北1

北京北131

北京歡京北12721

歡迎歡2112

你II

【解析】沿著“北京歡迎你”的次序沿水平或豎直方向走，北以后的每一個(gè)字都只能選擇上面的或左右兩邊

的字，按加法原理，用標(biāo)號(hào)法可得右上圖.因此一共有11種走法.

【鞏固】（難度等級(jí)派※※）如下表，請(qǐng)讀出“我們學(xué)習(xí)好玩的數(shù)學(xué)”這9個(gè)字，要求你選擇的9個(gè)字里

能連續(xù)（即相鄰的字在表中也是左右相鄰或上下相鄰）,我們學(xué)習(xí)好玩的數(shù)

學(xué)”的讀法.

我們學(xué)習(xí)好

們學(xué)習(xí)好玩

學(xué)習(xí)好玩的

習(xí)好玩的數(shù)

好玩的數(shù)學(xué)

【解析】第一個(gè)字只能選位于左上角的“我”，以后每一個(gè)字都只能選擇前面那個(gè)字的下方或右方的字，因此

本題也能夠使用標(biāo)號(hào)法來解：（在格子里標(biāo)數(shù)）共70種不一樣的讀法.

【例25］（難度等級(jí)派※※）在下圖中，用水平或者垂直的線段連接相鄰的字母，當(dāng)沿著這些線段行走是,

恰好拼出“APPLE”的路線共有多少條？

【解析】要想拼出英語(yǔ)"APPLE”的單詞，必須按照“ATPTPTLTE”的次序拼寫,在圖中的每一個(gè)拼寫方

式都對(duì)應(yīng)著一條最短途涇.如下圖所示，利用標(biāo)號(hào)法原理標(biāo)號(hào)得出共有31種不一樣的途徑.

【鞏固】如圖1,用水平線或豎直線連結(jié)相鄰中文，沿著這些線讀下去，恰好能夠讀成“祖國(guó)明天更美妙”,

那么可讀成“祖國(guó)明天更美妙”的路線有條.

【解析】如圖2所示，利用加法原理，將讀到各個(gè)字的路線數(shù)寫在每個(gè)字下方，共有不一樣的路線

27-1=127（條）.

祖

祖國(guó)祖

祖國(guó)明國(guó)祖

祖