第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《特殊平行四邊形中規(guī)律探索問題》專項(xiàng)檢測卷(含答案)學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．在初中物理中我們學(xué)過凸透鏡的成像規(guī)律．如圖1，為一凸透鏡，是凸透鏡的焦點(diǎn)．在凸透鏡左邊的主光軸上垂直放置一小蠟燭，透過透鏡后呈的像為．光路圖如圖所示：平行于主光軸的光線，通過透鏡折射后經(jīng)過焦點(diǎn)，并與經(jīng)過凸透鏡光心的光線匯聚于點(diǎn)．(1)若像距，物距，小蠟燭的高度，則蠟燭的像_____；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(3)如圖2，在凸透鏡左邊的主光軸上垂直放置一小蠟燭，透過透鏡后呈的像為，作正方形、正方形、矩形、矩形．①在線段上作出凸透鏡的焦點(diǎn)的位置；（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；②若矩形的面積為12，求的面積．2．綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)研究小組以“最短距離”為主題開展數(shù)學(xué)活動．發(fā)現(xiàn)問題，如圖1，在中，，D為邊上的一個(gè)動點(diǎn)，連接，數(shù)學(xué)研究小組的開元同學(xué)發(fā)現(xiàn)：線段的長度是一個(gè)變量，隨著點(diǎn)D位置變化而變化，影響線段長度的因素有多個(gè)．(1)提出問題，當(dāng)，則長度的最小值為；(2)探究規(guī)律，如圖2，在矩形中，順次連接邊上的點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，得到四邊形，再連接F、H，若，則四邊形的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；(3)某農(nóng)科所基地規(guī)劃一塊小麥試驗(yàn)田，并將小麥試驗(yàn)田劃分為四個(gè)區(qū)域．如圖3，按照設(shè)計(jì)圖的思路，小麥試驗(yàn)田的平面示意圖為四邊形，點(diǎn)O在四邊形的對角線上，且滿足．計(jì)劃在小麥試驗(yàn)田區(qū)域試種新品種“豫麥23號”，由于小麥試驗(yàn)田占地有限，探究的面積是否存在最小值．若存在，直接寫出面積的最小值；若不存在，請說明理由．3．如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知面積為10的正方形的頂點(diǎn)A在x軸上，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．分別過點(diǎn)B、點(diǎn)D作x軸的垂線和，垂足分別為M、N．(1)利用可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為，用類似的方法可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為；(2)如果正方形繞著頂點(diǎn)順時(shí)針方向在x軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)．翻轉(zhuǎn)1次(即以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，沿著x軸的正方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)正方形)，點(diǎn)B落在x軸上(記作那么點(diǎn)的坐標(biāo)為．繼續(xù)沿著x軸的正方向翻轉(zhuǎn)正方形，它在x軸上的落點(diǎn)分別是按此規(guī)律翻轉(zhuǎn)下去，當(dāng)2024次翻轉(zhuǎn)后，在x軸上落點(diǎn)的坐標(biāo)為．4．綜合與實(shí)踐：數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長BE交于點(diǎn)D．則與的數(shù)量關(guān)系：，．(2)類比探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點(diǎn)B，E，F(xiàn)在一條直線上，過點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)M．請猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)實(shí)踐應(yīng)用：如圖3，正方形中，，M點(diǎn)為線段中點(diǎn)．將正方形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，形成正方形．連接、，直線交直線于點(diǎn)P，則線段最大值為．5．如圖，在正方形中，點(diǎn)、是正方形內(nèi)兩點(diǎn)，，，為探索研究這個(gè)圖形的特殊性質(zhì)，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組經(jīng)歷了如下過程：初步體驗(yàn)如圖1，連接，且，求證：與互相平分．規(guī)律探究（1）如圖1中，．（2）如圖2，若，其他條件不變，（1）中的數(shù)量關(guān)系是否會發(fā)生變化？如果不會，請證明你的結(jié)論；如果會發(fā)生變化，請說明理由．拓展應(yīng)用如圖3，若，，求的長．6．問題情境：小紅同學(xué)在學(xué)習(xí)了正方形的知識后，進(jìn)一步進(jìn)行以下探究活動：在正方形的邊上任意取一點(diǎn)G，以為邊長向外作正方形，將正方形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．【特例感知】（1）當(dāng)在邊上時(shí)，連接相交于點(diǎn)P，小紅發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P恰為的中點(diǎn)，如圖①．（2）小紅繼續(xù)連接，并延長與相交，（1）中的結(jié)論是否成立？如圖②．（i）若成立請說明理由．（ii）根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請判斷的形狀，并說明理由．【規(guī)律探究】（3）如圖③，將正方形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，連接，點(diǎn)P是中點(diǎn)，連接的形狀是否發(fā)生改變？請說明理由．7．如圖，正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC上兩點(diǎn)，且.將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，停止旋轉(zhuǎn).已知，BC=6，設(shè)BE=x，EF=y.小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.下面是小明的探究過程，請補(bǔ)充完整：(1)按照下表中自變量x的值進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測量，得到了y與x的幾組對應(yīng)值；x00.511.522.53y32.772.502.552.65(說明：補(bǔ)全表格時(shí)相關(guān)數(shù)值保留一位小數(shù))(2)建立平面直角坐標(biāo)系，描出補(bǔ)全后的表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象；(3)結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)EF=2BE時(shí)，BE的長度約為______.8．已知：如圖，∠MON＝90°，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，將△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B放在射線OM和ON上移動，作CD⊥ON于點(diǎn)D，記OA＝x(當(dāng)點(diǎn)O與A重合時(shí)，x的值為0)，CD＝y(tǒng)．小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．下面是小明的探究過程，請補(bǔ)充完整．(1)通過取點(diǎn)、畫圖、計(jì)算、測量等方法，得到了x與y的幾組值，如下表(補(bǔ)全表格)x/cm012344.55y/cm2.43.03.53.94.03.9(說明：補(bǔ)全表格時(shí)相關(guān)數(shù)值保留一位小數(shù))(2)建立平面直角坐標(biāo)系，描出以補(bǔ)全后的表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象．(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題；當(dāng)x的值為時(shí)，線段OC長度取得最大值為cm．9．已知，以為邊在外作等腰，其中.（1）如圖①，若，，求的度數(shù).（2）如圖②，，，，.①若，，的長為______.②若改變的大小，但，的面積是否變化？若不變，求出其值；若變化，說明變化的規(guī)律.10．?dāng)?shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．(1)發(fā)現(xiàn)問題：已知，正方形和正方形，連接，．當(dāng)正方形繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如圖1，猜想與的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；(2)類比探究：如圖2，若四邊形與四邊形都為矩形，且，，猜想與的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；(3)實(shí)踐應(yīng)用：在（2）的條件下，連接（點(diǎn)E在上方），若，且，，求線段的長．11．如圖所示，第一個(gè)菱形的邊長為2，，且點(diǎn)D落在y軸上，延長交x軸于A，以為邊作第二個(gè)菱形；延長交x軸于點(diǎn)，以為邊作第三個(gè)菱形…，按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，若點(diǎn)D、C、、…都在一條直線上．【探究】(1)______；(2)____________；(3)則第個(gè)菱形的面積為______．12．問題情境：小紅同學(xué)在學(xué)習(xí)了正方形的知識后，進(jìn)一步進(jìn)行以下探究活動：在正方形的邊上任意取一點(diǎn)G，以為邊長向外作正方形，將正方形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．

【特例感知】（1）當(dāng)在邊上時(shí)，連接，相交于點(diǎn)P，小紅發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P恰為的中點(diǎn)，如圖①．針對小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請給出證明．（2）小紅繼續(xù)連接，并延長與相交，發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)恰好也是中點(diǎn)P，如圖②．（i）請說明理由．（ii）根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請判斷的形狀，并說明理由．【規(guī)律探究】（3）如圖③，將正方形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，點(diǎn)P是中點(diǎn)，連接，，，的形狀是否發(fā)生改變？請說明理由．13．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們開展以“圖形的旋轉(zhuǎn)”為主題的探究活動，已知為等腰直角三角形，過點(diǎn)A的直線，射線繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作，交直線于點(diǎn)N，探究線段和有怎樣的數(shù)量關(guān)系？(1)特例初探：如圖1，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，猜想線段和間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)規(guī)律探究：如圖2所示，當(dāng)與不垂直時(shí)，（1）的結(jié)論是否仍然成立？請猜想并證明你的結(jié)論；

(3)拓展應(yīng)用：已知：中，，過點(diǎn)O，E分別作，，垂足分別為O，E，與交于點(diǎn)F，連接，若，．求：的面積．

14．小亮同學(xué)喜歡研究數(shù)學(xué)問題．他在一本資料中看到一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念“對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形”，并對垂等四邊形進(jìn)行了研究．具體內(nèi)容如下：【理解應(yīng)用】（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形是垂等四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；【規(guī)律初探】（2）如圖2，正方形的邊長為，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，若四邊形滿足，請直接寫出四邊形面積S的取值范圍；【綜合探究】（3）如圖3，已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，、兩點(diǎn)在該拋物線上．若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是垂等四邊形且．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且，求m的值．15．綜合與實(shí)踐某數(shù)學(xué)興趣小組在探索正方形的中心與等腰直角三角形有關(guān)問題時(shí)，經(jīng)歷了如下過程：如圖，O是正方形的中心，等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)E在的延長線上，與交于點(diǎn)G．規(guī)律探究（1）如圖1，若，求的值．（2如圖2，若，求的值．拓展延伸（3）如圖3，設(shè)正方形的面積為，以O(shè)，E，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的四邊形面積為，若，求的值．

參考答案1．(1)2(2)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為(3)①作圖見解析；②的面積為6【分析】（1）利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（2）利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得，利用線段的和差求得，代入化簡即可得出結(jié)論；（3）①過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，連接，交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為出凸透鏡的焦點(diǎn)E的位置；②利用矩與正方形的性質(zhì)，設(shè)，則，利用（2）的結(jié)論得到，利用三角形的面積公式求得的面積，再利用矩形的面積求得的值，則結(jié)論可求【詳解】（1）解：（1）由題意得：，∴，∴，∴，∴．故答案為：2；（2）解：∵，∴，∴，∴．由題意得：四邊形為矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為；（3）解：①過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，連接，交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為出凸透鏡的焦點(diǎn)E的位置，如圖：②∵正方形、正方形、矩形、矩形，∴，，設(shè)，則，∵，∴，∴，由（2）知，∴，∴，∴的面積．∵矩形的面積為12，∴，∴的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形的面積，矩形的面積，基本作圖，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．(1)(2)是，24(3)【分析】（1）根據(jù)勾股定理可得的長，再由垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，最小，然后根據(jù)，即可求解；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)可得，，再由四邊形的面積為，即可求解；（3）連接，延長交于點(diǎn)P，根據(jù)，可得，從而得到，進(jìn)而得到，繼而得到當(dāng)最小時(shí)，最小，過點(diǎn)D作，連接，此時(shí)點(diǎn)D到的距離最小，在中，可得，從而得到，即的最小值為，此時(shí)點(diǎn)D，O，Q三點(diǎn)共線，，然后在中，可得，從而得到當(dāng)最小，最小時(shí)，即可求解．【詳解】（1）解：在中，，，∴，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，∴，解得：，即長度的最小值為；故答案為：（2）解：四邊形的面積為定值，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，，∴，∴四邊形的面積為，為定值；（3）解：如圖，連接，延長交于點(diǎn)P，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)最小時(shí)，最小，如圖，過點(diǎn)D作，連接，此時(shí)點(diǎn)D到的距離最小，∵，，∴，在中，，∴，∴，即的最小值為，此時(shí)點(diǎn)D，O，Q三點(diǎn)共線，∴，在中，，∴，∴當(dāng)最小，最小時(shí)，最小值為，∴面積的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，垂線段最短，三角形的面積，矩形的性質(zhì)，30度所對的邊是斜邊的一半，正弦的定義，靈活運(yùn)用垂線段最短，作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．(1)，(2)【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形、正方行的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)和圖形的翻轉(zhuǎn)，（1）通過正方形和直角三角形的性質(zhì)證明兩個(gè)角和一條邊相等即可證明三角形全等；（2）先求出正方行的邊長，再根據(jù)翻轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到每次翻轉(zhuǎn)后橫坐標(biāo)的增加量，找出落在x軸上的點(diǎn)的變化規(guī)律，即可得到答案．【詳解】（1）解：∵四邊形是正方形，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為如下圖所示，過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為F，過點(diǎn)D作y軸的垂線，垂足為E，兩條垂線交于點(diǎn)P，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴四邊形正方形，∴∴，,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，故答案為：，（2）解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到,∵正方形的面積為10，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵每次翻轉(zhuǎn)后，點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加量為正方形的邊長，即，∴第二次翻轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為，即∴第三次翻轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為，即，∴第四次翻轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為，∴第五次翻轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為，∴落在x軸上的點(diǎn)以A、B、C、D周期變化，∵，∴第2024次翻轉(zhuǎn)后的點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：，．4．(1)；(2)(3)【分析】（1）根據(jù)得到得到，證明即可得證；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形解答．（3）先證明點(diǎn)P，C，D，B四點(diǎn)共圓，得到，連接，確定點(diǎn)P在以為直徑的圓上，設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)O，連接，計(jì)算，，結(jié)合，得到點(diǎn)M，O，P三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，計(jì)算最大值為．【詳解】（1）∵，，，∴，∴，∵，∴，

∴，，∵，∴，故答案為：；．（2）線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是，理由如下：如圖，設(shè)、的交點(diǎn)為N，

∵和都是等腰直角三角形，，∴，∴，∵，∴，∴，∵是等腰直角三角形，，為中邊上的高，∴，∴，∵，∴，∴．（3）∵正方形，且正方形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，形成正方形．∴∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，

∴，連接，∴點(diǎn)P在以為直徑的圓上，設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)O，連接，∵，M點(diǎn)為線段中點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴點(diǎn)M，O，P三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，且最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，三角形中位線定理，正方形的性質(zhì)，三角形不等式等知識，熟練掌握全等三角形的判定，勾股定理，中位線定理是解題的關(guān)鍵．5．初步體驗(yàn)：詳見解析；規(guī)律探究：（1）2；（2）仍然成立，理由詳見解析；拓展應(yīng)用：【分析】初步體驗(yàn)：連接，證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明；規(guī)律探究：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理證明；（2）過D作交的延長線于M，連接，證明四邊形是矩形，得到，根據(jù)勾股定理計(jì)算；拓展應(yīng)用：過P作，過B作于E，根據(jù)（1）的結(jié)論求出，結(jié)合圖形解答．【詳解】初步體驗(yàn)：證明：連接，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴互相平分；規(guī)律探究：（1）解：設(shè)交于點(diǎn)O，則，．∵，∴．在中，．∴．在正方形中，．∴；（2）解：當(dāng)時(shí)，仍然成立，理由如下：如圖2，過D作交的延長線于M，連接．∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，在中，，∴．即；拓展應(yīng)用：解：如圖3，過P作，過B作于E，則由上述結(jié)論知，．∵，∴，∴，∴．∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，即，∵，∴，解得，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，正確作出輔助性、掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（1）（2）（i）成立；理由見解析，（ii）等腰直角三角形；理由見解析（3）的形狀不發(fā)生改變，理由見解析【分析】（1）延長，交于，可推出，，從而，進(jìn)而得出，進(jìn)一步得出結(jié)論；（2）（i）延長，交的延長線于點(diǎn)，設(shè)和交于點(diǎn)，同理（1）可證得，從而，從而得出點(diǎn)和點(diǎn)重合，進(jìn)一步得出結(jié)論；（ii）由（i）可知，然后可得，進(jìn)而問題可求解；（3）延長至，是，連接，延長和，交于點(diǎn)，易得，從而，，所以，可推出，進(jìn)而推出，則有，，進(jìn)而推出，進(jìn)一步得出結(jié)論．【詳解】（1）點(diǎn)P恰為的中點(diǎn)，證明：延長，交于，

四邊形和四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，即，，，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)；故答案為：（2）（i）成立；點(diǎn)P為的中點(diǎn)，理由如下：延長，交的延長線于點(diǎn)，設(shè)和交于點(diǎn)，

四邊形和四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，，，點(diǎn)和點(diǎn)重合，即：點(diǎn)P為的中點(diǎn)，（ii）是等腰直角三角形，理由如下：，，，∵，∴，∵，∴，是等腰直角三角形；（3）的形狀不變，仍然是等腰直角三角形，理由如下：延長至，是，連接，延長和，交于點(diǎn)，

∵點(diǎn)P為的中點(diǎn)，∴，∵，，，，∴，，四邊形和四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是“倍長中線”．7．(1)2.6，3；(2)見解析；(3)1.26.【分析】（1）在AB上截取BM=FC=6－x－y，連接ME，OM，由“SAS”可證△BMO≌△CFO，△EOF≌△EOM，可得ME=EF，由勾股定理可得，可得y=（0≤x≤6），將x=1，x=3代入可求解.（2）利用描點(diǎn)法畫出圖形即可解決問題.（3）由題意可得y=2x，代入y與x的關(guān)系式可求BE的值．【詳解】（1）如圖，在AB上截取BM=FC=6－x－y，連接ME，OM，∵四邊形ABCD是正方形，∴BO=CO=AO=DO，∠ABD=∠ACB=45°，且BM=CF，∴△BMO≌△CFO（SAS），∴OM=OF，∠BOM=∠COF，∵∠EOF=45°，∴∠BOE+∠COF=45°，∴∠BOM+∠BOE=45°=∠MOE，∴∠MOE=∠EOF，且OF=OM，OE=OE，∴△EOF≌△EOM（SAS）∴ME=EF∵BM2+BE2=ME2=EF2，∴x2+（6-x-y）2=y2，∴y=（0≤x≤6）∴當(dāng)x=1，y=2.6，當(dāng)x=3，y=3；故答案為2.6，3.（2）(3)∵EF=2BE，∴y=2x，∴2x=，∴x=≈1.26；故答案為1.26【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，函數(shù)圖象性質(zhì)等知識，正確列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．8．（1）見解析；（2）見解析；（3）當(dāng)x=4時(shí)，OC長度的最大值為5【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AB的長，可知x=5時(shí)B點(diǎn)與O點(diǎn)重合，過C作CE⊥OA于E，利用直角三角形的性質(zhì)可求出CE的長，利用勾股定理求出CD的長即可；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)描點(diǎn)畫圖即可；（3）取AB中點(diǎn)E，連接OE、CE，在直角三角形AOB和直角三角形ABC中，OE=AB，CE=AB，利用OE+CE≥OC，所以O(shè)C的最大值為OE+CE，即OC的最大值=AB=5．由AB=OC，AE=BE，CE=OE，∠ACB=90°可知四邊形ACBO為矩形，可知D點(diǎn)與B重合，即y=4，由表中數(shù)據(jù)可知y=4時(shí)，x=4即可得答案.【詳解】（1）通過取點(diǎn)、畫圖、計(jì)算、測量等方法，得到了x與y的幾組值，如下表：如圖：∵AC=3cm，BC=4cm，∴AB==5cm，∴x=5時(shí)，B與O重合，即OA=5，過C作CE⊥OA于E，∴CEOA=ACBC，解得：CE=2.4，∴y=CD===3.2cm，x/cm012344.55y/cm2.43.03.53.94.03.93.2故表中答案為：3.2（2）如下圖（3）取AB中點(diǎn)E，連接OE、CE，在直角三角形AOB和直角三角形ACB中，OE=AB=2.5，CE=AB=2.5，∵OE+CE≥OC，∴當(dāng)E點(diǎn)在OC上時(shí)OC有最大值為OE+CE，即OC的最大值=AB=5．∵AB=OC，AE=BE，CE=OE，∠ACB=90°，∴四邊形ACBO是矩形，∴D與B重合，即BC=CD=y=4，由表中數(shù)據(jù)可知y=4時(shí)x=4，∴x=4時(shí)，OC長度的最大值為5.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)和幾何的應(yīng)用、三角形的三邊關(guān)系及直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.9．（1）120°；（2）①2；②2【詳解】試題分析：（1）根據(jù)SAS，可首先證明△AEC≌△ABD，再利用全等三角形的性質(zhì)，可得對應(yīng)角相等，根據(jù)三角形的外角的定理，可求出∠BFC的度數(shù)；（2）①如圖2，在△ABC外作等邊△BAE，連接CE，利用旋轉(zhuǎn)法證明△EAC≌△BAD，可證∠EBC=90°，EC=BD=6，因?yàn)锽C=4，在Rt△BCE中，由勾股定理求BE即可；②過點(diǎn)B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，連接EA，EC．并取BE的中點(diǎn)K，連接AK，仿照（2）利用旋轉(zhuǎn)法證明△EAC≌△BAD，求得EC=DB，利用勾股定理即可得出結(jié)論．試題解析：解：（1）∵AE=AB，AD=AC，∵∠EAB=∠DAC=60°，∴∠EAC=∠EAB+∠BAC，∠DAB=∠DAC+∠BAC，∴∠EAC=∠DAB，在△AEC和△ABD中∴△AEC≌△ABD（SAS），∴∠AEC=∠ABD，∵∠BFC=∠BEF+∠EBF=∠AEB+∠ABE，∴∠BFC=∠AEB+∠ABE=120°，故答案為120°；（2）①如圖2，以AB為邊在△ABC外作正三角形ABE，連接CE．由（1）可知△EAC≌△BAD．∴EC=BD．∴EC=BD=6，∵∠BAE=60°，∠ABC=30°，∴∠EBC=90°．在RT△EBC中，EC=6，BC=4，∴EB===2∴AB=BE=2．②若改變α，β的大小，但α+β=90°，△ABC的面積不變化，以下證明：如圖2，作AH⊥BC交BC于H，過點(diǎn)B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，連接EA，EC．并取BE的中點(diǎn)K，連接AK．∵AH⊥BC于H，∴∠AHC=90°．∵BE∥AH，∴∠EBC=90°．∵∠EBC=90°，BE=2AH，∴EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2．∵K為BE的中點(diǎn)，BE=2AH，∴BK=AH．∵BK∥AH，∴四邊形AKBH為平行四邊形．又∵∠EBC=90°，∴四邊形AKBH為矩形．∠ABE=∠ACD，∴∠AKB=90°．∴AK是BE的垂直平分線．∴AB=AE．∵AB=AE，AC=AD，∠ABE=∠ACD，∴∠EAB=∠DAC，∴∠EAB+∠EAD=∠DAC+∠EAD，即∠EAC=∠BAD，在△EAC與△BAD中∴△EAC≌△BAD．∴EC=BD=6．在RT△BCE中，BE==2，∴AH=BE=，∴S△ABC=BC?AH=2考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)10．(1)，，證明見解析(2)，，證明見解析(3)【分析】（1）證明，則；延長交于Q，交于H，由三角形全等可知，證明，即可得到結(jié)論；（2）證明，則，，則，再證明，即可得到；（3）與的交點(diǎn)記作M，先證明點(diǎn)B，E，F(xiàn)在同一條直線上，則，根據(jù)勾股定理得，；由得到，即可得到答案．【詳解】（1）解：，理由如下：∵四邊形和四邊形是正方形，∴，∴，在和中，，∴，∴；如圖，延長交于Q，交于H，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，（2），，理由如下：如圖，延長交于I，交于H，∵四邊形與四邊形都為矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，即：，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（3）如圖3，與的交點(diǎn)記作M，∵，∴，在中，，∴，根據(jù)勾股定理得，，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴點(diǎn)B，E，F(xiàn)在同一條直線上，如圖4，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，由（2）知，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形和矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．11．(1)(2)，(3)【分析】（1）由第一個(gè)菱形的邊長為2，，得出為含30度直角三角形，由此得出，即可得到答案；（2）同理（1）可得，，由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律：即可解題；（3）根據(jù)（2）的規(guī)律求出第個(gè)菱形的邊的高即可求解．【詳解】（1）解：，，菱形的邊長為2，∴，，∴，，∴同理可得∴故答案為（2）由（1）可知，即：由此規(guī)律可知：，∴故答案為：，．（3）由（2）可知，第個(gè)菱形的菱長為，的高，第個(gè)菱形的面積為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，含度直角三角形性質(zhì)、勾股定理，圖形的規(guī)律，解本題的關(guān)鍵是求出前幾個(gè)菱形的邊長，找出規(guī)律．12．（1）證明見詳解；（2）（i）理由見詳解；（ii）是等腰直角三角形，理由見詳解；（3）的形狀不發(fā)生改變，理由見詳解【分析】（1）延長，交于，可推出，，從而，進(jìn)而得出，進(jìn)一步得出結(jié)論；（2）（i）延長，交的延長線于點(diǎn)，設(shè)和交于點(diǎn)，同理（1）可證得，從而，從而得出點(diǎn)和點(diǎn)重合，進(jìn)一步得出結(jié)論；（ii）由（i）可知，然后可得，進(jìn)而問題可求解；（3）延長至，是，連接，延長和，交于點(diǎn)，易得，從而，，所以，可推出，進(jìn)而推出，則有，，進(jìn)而推出，進(jìn)一步得出結(jié)論．【詳解】（1）解：延長，交于，

四邊形和四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，即，，，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)；（2）（i）點(diǎn)P為的中點(diǎn)，理由如下：延長，交的延長線于點(diǎn)，設(shè)和交于點(diǎn)，

四邊形和四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，，，點(diǎn)和點(diǎn)重合，即：點(diǎn)P為的中點(diǎn)，（ii）是等腰直角三角形，理由如下：，，，∵，∴，∵，∴，是等腰直角三角形；（3）仍然是等腰直角三角形，理由如下：延長至，是，連接，延長和，交于點(diǎn)，

∵點(diǎn)P為的中點(diǎn)，∴，∵，，，，∴，，四邊形和四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是“倍長中線”．13．(1)(2)仍然成立，理由見解析(3)5【分析】（1）根據(jù)，點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，結(jié)合，得到，由為等腰直角三角形，得到，即可證明結(jié)論；（2）過點(diǎn)M作，垂足為，根據(jù)等腰直角三角形及平行線的性質(zhì)，證明四邊形是正方形，得到，再證明，即可得出結(jié)論；（3）分別過點(diǎn)作交直線與點(diǎn)，證明，是等腰直角三角形，設(shè)，則，利用勾股定理得