1.1菱形的性質(zhì)與判定（1）導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解菱形的概念，會(huì)應(yīng)用菱形的性質(zhì)定理解決問題．【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及其應(yīng)用．【導(dǎo)學(xué)過程】一.知識(shí)回顧：平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定方法．二.探究新知:【知識(shí)點(diǎn)1】菱形的概念:下面幾幅圖片中都含有一些平行四邊形，觀察這些平行四邊形，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么樣的共同特征？【歸納】：定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．【思考】：菱形具有平行四邊形的性質(zhì)嗎？你能列舉嗎？例：__對(duì)邊平行且相等__?！局R(shí)點(diǎn)2】菱形的性質(zhì)（1）設(shè)計(jì)折紙活動(dòng)探究：用菱形紙片折一折，回答下列問題：①菱形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它有幾條對(duì)稱軸？對(duì)稱軸之間有什么位置關(guān)系？答：菱形是軸對(duì)稱圖形；它有兩條對(duì)稱軸，兩條對(duì)稱軸互相垂直平分.②菱形中有哪些相等的線段？答：四條邊相等；對(duì)角線互相平分構(gòu)成兩對(duì)相等線段.（2）已知：如圖1，在菱形ABCD中，AB=AD，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．求證：①AB=BC=CD=AD；②AC⊥BD．證明：①∵菱形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC，∵AB=AD，∴CD=BC，∴AB=BC=CD=AD.②∵AB=AD,DO=BO,AO=AO∴?AOB≌?AOD∴∠AOD=∠AOB=90°∴AC⊥BD.【歸納】：菱形的性質(zhì)：性質(zhì)1：菱形具有平行四邊形所有的性質(zhì)；性質(zhì)2：菱形的四條邊相等．性質(zhì)3：菱形的對(duì)角線互相垂直，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．性質(zhì)4：菱形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有2條；菱形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)．三.典例與練習(xí):例1．如圖2，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的邊長(zhǎng)AB和對(duì)角線AC的長(zhǎng)．解：∵菱形ABCD,∠BAD=60°∴?ABD是等邊三角形，練習(xí)：1.如圖3，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC=8，BD=6，則菱形的邊長(zhǎng)AB=5_，菱形ABCD的面積為_12_．ADBCADBCOADBCO例2：如圖5，在菱形ABCD中，∠B=30°，點(diǎn)E在CD邊上，若AE=AC,DE=6，求AC的長(zhǎng).圖5解：如圖，過點(diǎn)E作EF⊥圖5∵四邊形ABCD是菱形，∠B＝30°，∴∠D＝30°，AB＝AD，∴∠BAC＝∠ACB＝75°＝∠ACD，∵AE＝AC，圖6O∴∠AEC＝∠ACE＝75°，∵∠AEC＝∠D＋∠DAE，∴∠DAE＝45圖6O∵EF⊥AD，∠D＝30°，DE＝6，∴EF＝3，∴AE＝EF＝3，∴AC=3.練習(xí)：3.如圖6，在菱形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，且DE⊥AB，AB=8.求：（1）∠ABC的度數(shù)；（2）對(duì)角線AC的長(zhǎng)；（3）菱形ABCD的面積解：（1）連接BD，∵E是AB的中點(diǎn)，且DE⊥AB，∴AD=BD又AD=AB，∴?ABD是等邊三角形，∴∠ABD=60?，∠ABC=120?（2）設(shè)AC與BD相交于O∴OB=4∴BC=AB=8（3）菱形ABCD的面積=8×8×=32.四.課堂小結(jié)：1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．圖8圖72.性質(zhì)：性質(zhì)1：菱形具有平行四邊形所有的性質(zhì)；性質(zhì)2：菱形的四條邊都相等；性質(zhì)3：菱形的對(duì)角線互相垂直，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角;性質(zhì)4：菱形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有2條；菱形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為對(duì)角線的交點(diǎn)圖8圖73.重要結(jié)論：菱形的面積等于兩對(duì)角線乘積的一半。五.分層過關(guān)：1.已知菱形兩個(gè)鄰角的度數(shù)比是1︰5，一邊上的高是8cmA.16cmB.32cmC.64cm2.如圖7，菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，若BC=5，AC=6，則EF的長(zhǎng)為(A)3.如圖8，菱形ABCD的周長(zhǎng)是20，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.若BO=3，則菱形ABCD的面積為_24_.4.如圖9，BD是菱形ABCD的對(duì)角線，∠CBD＝75°，圖9（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，作AB的垂直平分線EF，垂足為E，交AD于F；（不要圖9求寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）條件下，連接BF，求∠DBF的度數(shù)．解：（1）如圖所示，直線EF即為所求；∵四邊形ABCD是菱形，∴CD=CB,∴∠CDB＝∠CBD＝75°，∠C=30°．∴∠A=∠C=30°∵EF垂直平分線段AB，∴AF＝FB，∴∠A＝∠FBA＝30°，∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝75°30°=45°．5.如圖10，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，點(diǎn)E,F將對(duì)角線AC三等分，且AC=6，連接DE,DF,BE,BF.圖10（1）求證：四邊形DEBF為菱形（2）求菱形DEBF圖10解（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠DAE=∠BAE，∴△AED≌△AEB（SAS）同理可證：△AEB≌△CFD≌△CFB，∴DE=BE=DF=BF,∴四邊形DEBF為菱形.(2)連接DB，交AC于O，∵四邊形ABCD是菱形，(3)不妨假設(shè)點(diǎn)P在線段AD上，作點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接FE′交AD于點(diǎn)P，此時(shí)PE＋PF的值最?。字狿E＋PF的最小值＝2當(dāng)點(diǎn)P由A運(yùn)動(dòng)到D時(shí)，PE＋PF的值由最大值6減小到2再增加到4，∵PE＋PE＝，2＜＜4，∴線段AD上存在兩個(gè)點(diǎn)P，滿足PE＋PF＝∴根據(jù)對(duì)稱性可知：菱形ABCD的邊上的存在8個(gè)點(diǎn)P滿足條件．圖12圖11思考題：1.如圖11，邊形ABCD為菱形，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F圖12圖11(1)如圖11，求證：∠AFD=∠EBC；(2)如圖12，若DE=EC，且BE⊥AF，求∠DAB的度數(shù).證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BCE=∠DCE，∵BC＝CD，CE＝CE∴△BCE≌△DCE，∴∠CDE=∠CBE∵AB∥CD，∴∠AFD=∠CDE，∴∠AFD=∠CBE．(2)∵DE=CE；∴∠EDC=∠ECD由（1）知∠EDC=∠EBC，∠CAD=∠CAB，設(shè)∠EDC=∠ECD=∠CBE=x；∴∠DCB=∠CBF=2x，∵BE⊥AF，∴∠EBF=x+2x=3x=90°，則x=30°；∴∠DAB=60°.圖132.如圖13，已知菱形OABC的邊OA在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8，4)，P是對(duì)角線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D(0，1)在y軸上，當(dāng)PC＋PD最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為__（，）______．圖13解：如圖連接AC，AD，分別交OB于G、P，作BK⊥OA于K．在Rt△OBK中，OB=4，∵AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=2，