高等代數(shù)試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則必有（）A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(|A|=0\)或\(|B|=0\)C.\(|A|+|B|=0\)D.\(A+B=0\)2.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)的充要條件是（）A.向量組中至少有一個(gè)零向量B.向量組中至少有兩個(gè)向量成比例C.向量組中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示D.向量組中任意一個(gè)向量可由其余向量線性表示3.設(shè)\(A\)為\(n\)階可逆矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個(gè)特征值，則\(A^{-1}\)的一個(gè)特征值是（）A.\(\lambda\)B.\(\frac{1}{\lambda}\)C.\(|\lambda|\)D.\(\lambda^2\)4.若矩陣\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)合同B.\(|A|=|B|\)C.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量D.\(A\)與\(B\)有相同的初等因子5.設(shè)\(f(x)=x^2+3x+2\)，\(A\)為\(n\)階方陣，則\(f(A)\)等于（）A.\(A^2+3A+2I\)B.\(A^2+3A+2\)C.\(A^2+3A\)D.\(A^2+2\)6.一個(gè)\(n\)維向量空間\(V\)的子空間\(W\)的維數(shù)\(d\)滿足（）A.\(d\gtn\)B.\(d\ltn\)C.\(0\leqd\leqn\)D.\(d=n\)7.設(shè)\(A\)為\(n\)階對稱矩陣，則\(A\)（）A.一定可以相似對角化B.一定不可以相似對角化C.不一定能相似對角化D.一定合同于單位矩陣8.設(shè)\(\alpha\)，\(\beta\)是\(n\)維向量，且\((\alpha,\beta)=0\)，則（）A.\(\alpha\)，\(\beta\)線性相關(guān)B.\(\alpha\)，\(\beta\)線性無關(guān)C.\(\alpha=0\)或\(\beta=0\)D.\(|\alpha+\beta|^2=|\alpha|^2+|\beta|^2\)9.多項(xiàng)式\(f(x)\)在數(shù)域\(P\)上不可約，若\(f(x)\)有重根，則數(shù)域\(P\)的特征為（）A.\(0\)B.\(1\)C.大于\(1\)的素?cái)?shù)D.任意正整數(shù)10.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(r(A)=r\)，則（）A.\(r\leq\min(m,n)\)B.\(r\lt\min(m,n)\)C.\(r\gt\min(m,n)\)D.\(r=\min(m,n)\)答案：1.B2.C3.B4.B5.A6.C7.A8.D9.C10.A多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于矩陣運(yùn)算正確的有（）A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)（當(dāng)\(AB=BA\)時(shí)）C.\(A(BC)=(AB)C\)D.\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)（\(k\)為常數(shù)）2.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關(guān)，則（）A.\(\alpha_1+\alpha_2\)，\(\alpha_2+\alpha_3\)，\(\alpha_3+\alpha_1\)線性無關(guān)B.\(\alpha_1-\alpha_2\)，\(\alpha_2-\alpha_3\)，\(\alpha_3-\alpha_1\)線性無關(guān)C.\(\alpha_1\)，\(\alpha_1+\alpha_2\)，\(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)線性無關(guān)D.\(2\alpha_1\)，\(\alpha_2\)，\(\alpha_3\)線性無關(guān)3.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，以下哪些條件等價(jià)于\(A\)可逆（）A.\(|A|\neq0\)B.\(r(A)=n\)C.\(A\)的列向量組線性無關(guān)D.\(A\)可表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積4.關(guān)于實(shí)對稱矩陣\(A\)，正確的是（）A.\(A\)的特征值都是實(shí)數(shù)B.\(A\)一定有\(zhòng)(n\)個(gè)線性無關(guān)的特征向量C.不同特征值對應(yīng)的特征向量相互正交D.\(A\)合同于對角矩陣5.以下哪些是歐氏空間中的性質(zhì)（）A.\((\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)\)B.\((k\alpha,\beta)=k(\alpha,\beta)\)C.\((\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma)\)D.\((\alpha,\alpha)\geq0\)，且\((\alpha,\alpha)=0\)當(dāng)且僅當(dāng)\(\alpha=0\)6.設(shè)\(f(x)\)，\(g(x)\)是數(shù)域\(P\)上的多項(xiàng)式，則（）A.\((f(x),g(x))=(g(x),f(x))\)B.若\(d(x)=(f(x),g(x))\)，則存在\(u(x)\)，\(v(x)\)使得\(d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)\)C.若\(f(x)\midg(x)h(x)\)，則\(f(x)\midg(x)\)或\(f(x)\midh(x)\)D.若\(f(x)\)與\(g(x)\)互素，\(f(x)\midg(x)h(x)\)，則\(f(x)\midh(x)\)7.已知線性方程組\(Ax=b\)，其中\(zhòng)(A\)是\(m\timesn\)矩陣，以下說法正確的是（）A.若\(r(A)=r(A|b)\)，則方程組有解B.若\(r(A)\ltr(A|b)\)，則方程組無解C.若\(r(A)=n\)，則方程組有唯一解D.若\(r(A)\ltn\)，則方程組有無窮多解8.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征多項(xiàng)式B.\(A\)與\(B\)有相同的跡（主對角線元素之和）C.\(A\)與\(B\)有相同的秩D.\(A\)與\(B\)有相同的行列式9.對于\(n\)維向量空間\(V\)的子空間\(W_1\)和\(W_2\)，以下正確的是（）A.\(\dim(W_1+W_2)=\dimW_1+\dimW_2-\dim(W_1\capW_2)\)B.\(W_1\capW_2\)也是\(V\)的子空間C.\(W_1+W_2\)是包含\(W_1\)與\(W_2\)的最小子空間D.若\(W_1\capW_2=\{0\}\)，則\(W_1+W_2\)是直和10.以下哪些是二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^TAX\)（\(A\)為實(shí)對稱矩陣）正定的充要條件（）A.\(A\)的順序主子式全大于\(0\)B.\(A\)的特征值全大于\(0\)C.對于任意非零向量\(X\)，\(f(X)\gt0\)D.\(A\)合同于單位矩陣答案：1.ACD2.ACD3.ABCD4.ABCD5.ABCD6.ABD7.AB8.ABCD9.ABCD10.ABCD判斷題（每題2分，共10題）1.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=BA\)，則\(A\)，\(B\)一定同時(shí)相似對角化。（）2.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中任意\(r\)個(gè)向量線性無關(guān)，則整個(gè)向量組的秩為\(r\)。（）3.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(|A|=0\)，則\(A\)的列向量組一定線性相關(guān)。（）4.一個(gè)多項(xiàng)式在不同數(shù)域上的因式分解是一樣的。（）5.歐氏空間中兩個(gè)非零向量正交當(dāng)且僅當(dāng)它們的夾角為\(\frac{\pi}{2}\)。（）6.若\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\alpha\)是對應(yīng)的特征向量，則\(k\alpha\)（\(k\neq0\)）也是\(A\)對應(yīng)于\(\lambda\)的特征向量。（）7.線性方程組\(Ax=b\)的解向量的全體構(gòu)成一個(gè)向量空間。（）8.兩個(gè)\(n\)階矩陣\(A\)和\(B\)，若\(A\)合同于\(B\)，則\(A\)相似于\(B\)。（）9.多項(xiàng)式\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\)的次數(shù)一定比\(f(x)\)的次數(shù)低\(1\)。（）10.設(shè)\(W\)是向量空間\(V\)的子空間，若\(\alpha\inV\)，\(\beta\inW\)，則\(\alpha+\beta\inW\)。（）答案：1.×2.×3.√4.×5.√6.√7.×8.×9.√10.×簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣可逆的判定方法。答案：矩陣\(A\)可逆的判定方法有：\(|A|\neq0\)；\(r(A)=n\)（\(A\)為\(n\)階方陣）；\(A\)的列（行）向量組線性無關(guān)；\(A\)可經(jīng)初等變換化為單位矩陣；\(A\)可表示為若干初等矩陣的乘積等。2.說明向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義。答案：對于向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)，若存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)，則稱向量組線性相關(guān)；若只有當(dāng)\(k_1=k_2=\cdots=k_s=0\)時(shí)，才有\(zhòng)(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)，則稱向量組線性無關(guān)。3.什么是實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化？答案：實(shí)對稱矩陣\(A\)一定可以找到一個(gè)正交矩陣\(Q\)，使得\(Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda\)，其中\(zhòng)(\Lambda\)是對角矩陣，其對角線上元素為\(A\)的特征值。這個(gè)過程就是實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化。4.簡述二次型正定的判定方法。答案：二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^TAX\)（\(A\)實(shí)對稱）正定的判定方法：\(A\)的順序主子式全大于\(0\)；\(A\)的特征值全大于\(0\)；對任意非零向量\(X\)，\(f(X)\gt0\)；\(A\)合同于單位矩陣。討論題（每題5分，共4題）1.討論線性方程組解的結(jié)構(gòu)與向量空間的關(guān)系。答案：線性方程組\(Ax=b\)的解空間是向量空間的子空間。齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系是解空間的一個(gè)基，其通解由基礎(chǔ)解系線性表示。非齊次線性方程組\(Ax=b\)的通解是其一個(gè)特解加上對應(yīng)的齊次方程組的通解，這體現(xiàn)了向量空間中元素的構(gòu)成關(guān)系。2.探討矩陣相似與合同的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：實(shí)對稱矩陣相似必合同，合同不一定相似。區(qū)別：相似是\(P^{-1}AP=B\)，關(guān)注特征值；合同是\(C^TAC=B\)，側(cè)重矩陣的正定性等。相似變換保持特征