§2.4流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析

流體微團(tuán):由大量流體質(zhì)點(diǎn)組成的形狀可任意選取，尺寸足夠小的流體微元。

一、流體微團(tuán)的線變形速率、角變形速率與旋轉(zhuǎn)角速度

流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的速度分解:

根據(jù)高等數(shù)學(xué)可知，若已知一點(diǎn)的流速，則其它相鄰點(diǎn)的流速均可用其一階泰勒級(jí)數(shù)展

開表示。為了簡(jiǎn)明起見，我們選擇一個(gè)正方形流體微團(tuán)的一個(gè)面進(jìn)行分析，并通過分析引出

幾個(gè)中用的的積分概念與定義，并將其擴(kuò)展到三維情況。

如圖所示，二維流體微團(tuán)abed,設(shè)a點(diǎn)的流速為u,y,則根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開表達(dá)式，流

體微團(tuán)其它任何點(diǎn)上的速度均可表示為：

yA

..duidu.

x方向：u+——axay

dxdy

dv,dv.

y方向：v+—ax+—dy

dxdy

（?；b點(diǎn)：dy=O?c點(diǎn)：dx=O,d點(diǎn)：

dx,dy#O）

所以在a,b,c,d各點(diǎn)上，流速分布分別~~

為：

a點(diǎn)：x方向u

y方向v

L上du.

b點(diǎn)：x方I可〃+—dx

dx

y方向v-\--dx

dx

,,du.

c點(diǎn)：x方向"H------dy

dv.

y方向v+—dy

..du,du.

d點(diǎn):x方向u-\---ax+—ay

dxdy

y方向U+@公+

dxdy

經(jīng)過dt時(shí)間流體微團(tuán)將會(huì)移動(dòng)到新的位置，而且因?yàn)樗俣确诛@的不同，會(huì)發(fā)生平動(dòng)、

轉(zhuǎn)動(dòng)和變形的復(fù)合運(yùn)動(dòng)，一般將會(huì)成為一個(gè)對(duì)角線發(fā)生了偏轉(zhuǎn)的菱形流體微團(tuán)。

根據(jù)速度可分解的性質(zhì)，上圖所示速度分布可分解成下面三種情況：

單純的平行移動(dòng):如圖所示，因?yàn)楦鼽c(diǎn)具有相同的速度分量，故出時(shí)間后，流速僅發(fā)生單

純的平行移動(dòng)。

單純的線變形：如圖所示，因a點(diǎn)速度為0,出時(shí)段后不變，而b,d點(diǎn)均有相同的x方向

分量一dx，故祖時(shí)段后在x方向拉伸（或壓縮）—dxdi,在c,d點(diǎn)均

dxdx

有相同的y方向速度分量故出時(shí)段后在y方向拉伸了。因

dydy

流體微團(tuán)的各個(gè)方向的沒有變，故這是一種單純的線變形運(yùn)動(dòng)。

x方向,點(diǎn)一dy

（3）8

尸方向,b.d熬二七

因?yàn)榱黧w流動(dòng)是連續(xù)的，因此?個(gè)方向拉伸，另?個(gè)方向必然縮短。故由后流體微團(tuán)

在新的位置為為拉長(zhǎng)后的矩形微團(tuán)。

流體微團(tuán)線變形速率的定義（或相對(duì)直線變形速度）:流體微團(tuán)I：?jiǎn)挝粫r(shí)間，單位長(zhǎng)度上的

線變形稱之為流體微團(tuán)的線變形率。簡(jiǎn)稱先變形率，并用帶雙

下標(biāo)的e表示：

x方向：=-dxdt/dxdt=-

dxdx

y方向：石y=-dydl/dydt=一

?Vdydy

j，，c）vv..,..du

z方I可：=——dzdtIdzdt=——

dzdz

對(duì)于不可壓縮流體，一個(gè)方向拉伸，另外方向就一定會(huì)壓縮，因此三個(gè)方向的線變形率之和

dudvdw八

=—十—十一=0

一定為零，即:￡xx4-￡yy4-￡22

dxdydz

如果用場(chǎng)量的表示方法即速度的散度為零▽?D=0,從上面我們可以看出，速度的散度所

表達(dá)的物理意義應(yīng)是流體微團(tuán)的體積膨脹。對(duì)于不可壓縮流體體積膨脹率應(yīng)為0o

單純的角變形：

如圖所示的流速分布，若在假定理dx和"dy大小相等，均為正值（或均為負(fù)值）,

dxdy

則dt時(shí)段后，流體微團(tuán)ab邊和ac邊就會(huì)在相反的方向。（逆時(shí)或順時(shí)）轉(zhuǎn)過同樣的角度,

d點(diǎn)也會(huì)沿對(duì)角線方向作相應(yīng)的移動(dòng)。

ab邊的轉(zhuǎn)角ai應(yīng)近似為：a[=^-=—dxdtldx=—dt

鄰dxdx

ac邊的轉(zhuǎn)角a2應(yīng)近似為：=—dydtldy=—dt

鄰dydy

且：%=。2。因此dt時(shí)刻后就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)a點(diǎn)位置不變，對(duì)角線方法不變單純的角

變形運(yùn)動(dòng)。如圖所示。

單純的轉(zhuǎn)動(dòng):

如圖所示的速度分布，再假定文小?和生外大

dxdy'

小相等，但正負(fù)相反（一正一負(fù)），則dt時(shí)刻后，

ab邊及ac點(diǎn)就會(huì)產(chǎn)生同一方向（同為逆時(shí)或同為

順時(shí)）轉(zhuǎn)角相同的轉(zhuǎn)動(dòng)，d點(diǎn)也會(huì)作相應(yīng)的移動(dòng)，

此時(shí)dt時(shí)刻正方形的流沐微團(tuán)仍然保持其形狀不

變，只是整個(gè)上發(fā)生了單純的轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖所示。

如果規(guī)定轉(zhuǎn)角逆時(shí)針為正，則有

'dvdv

a.=—dxdt/dx=—dt

dxdx

，du....du.

出=—aydt/dy=----dt

dydy

ff

a.=a2(圖示的要＜0)

一般情況下，生心和包dy大小不一定相等，方向也不一定相等。如上面的規(guī)定，因此一

dxcy

股情況下%。。2，%，實(shí)際的流動(dòng)不是圖（4）與圖（5）所示的單純的角變形或

單純的轉(zhuǎn)動(dòng)，而是如圖（3）所示的對(duì)角線方位有變化的菱形，是角變形與轉(zhuǎn)動(dòng)的復(fù)合。為

了描述流體微團(tuán)的角變形的大小和旋轉(zhuǎn)角的大小，特別引出如下概念與定義。

流體微團(tuán)的平均角變形：

1..1,dudv

-(a1+a2)=-(-+-Wr

流體微團(tuán)的平均轉(zhuǎn)動(dòng)角:

1，\1dudv

+%）=刁（石-率）力

角變形速率的定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間流體微團(tuán)的平均角變形。用帶雙下標(biāo)的￡表示。

在xoy平面上，根據(jù)上面的分析可知：

同理在XOZ和zoy平面上其定義應(yīng)為：

1.du挑"、

=￡-丫=—(H------)

工"2dzdx

1。叭

=￡zv=T(丁+T-)

，-2dydz

雙下標(biāo)表示角變形所在的平面。

流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度的定義:單位時(shí)間流體微團(tuán)的平均轉(zhuǎn)動(dòng)角。用單下標(biāo)3表示。

根據(jù)上面分析，在xoy平面上有：

。，二!(￡-￡)，下標(biāo)z表示流體微團(tuán)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的方向。

2dxoy

同理，在其它平面上有：

上面三個(gè)正交平面的旋轉(zhuǎn)角速度可以寫成向量的形式：

6)=◎、/+①yj+①永=(0(X,FZ")

上失即為流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度矢量，其為(x,y,z,t)的函數(shù)。可以將上面關(guān)系用場(chǎng)量的

表達(dá)方法表示成：

7J%

1—1-1

色gC

6y=-VxV=-Q=-

222dxdydz

UVw

▽x丘為速度的旋度，也正好是渦矢量的定義。

線變形率、角變形率的張量表示：，,

另外線變形率￡“，￡、、,￡然與角變形率%丫，J,工，￡、，，J%,，均為流體的

變形率，因此可以將其構(gòu)建成一個(gè)用三個(gè)矢量表示的二階對(duì)稱變形率張量：

￡xx￡xySX2

[S]=￡j+￡yj+￡：k=￡yx￡yy8yz

其中令=*/+%、.，+砥-2

工y=%/+￡、,]+區(qū),仄注意雙下標(biāo)表示的含義。

了人??-J4

￡z=￡zxi^￡z>J+￡zzk

向量有三個(gè)標(biāo)量組成，也稱為一階張量，二階張量有三個(gè)矢量構(gòu)成，若對(duì)角線上兩側(cè)的

量相等，則為二階對(duì)稱張量。

二、海姆赫茲速度分解定理（Holmholy）

卜面從純數(shù)學(xué)分析的角度來看流體微團(tuán)的速度分解。如圖所示流體微團(tuán)，若假定A點(diǎn)

的速度為歹二石+。+）贏，則根據(jù)一階臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開，同一時(shí)刻，流體微團(tuán)任意一點(diǎn)的速

度均可表示為：

--dVdv,dv

dxdydz

將可代入并進(jìn)行整理后可得：

,du.du人du.-

V=(u+—Ax+—Ay+——Az)/

dxdy'dz

/dvdvdv-

+(v+——Ax+——Ay+——Az)j

dxdydz

/6vvAdw▲dwA-

+(VVH-----M+——AyH----Az)k

dxdydz

給上面三個(gè)括號(hào)中分別配項(xiàng)7括號(hào)中土,型Ay,±1—Az,J括號(hào)中士工絲Ax,

2dx2ox2dy

±-—Az,［括號(hào)中±1文±-—Ax,然后進(jìn)行整理,并代入前面的流體微團(tuán)線

2dy2dz2dz

變形率、角變形率及旋轉(zhuǎn)角速度的定義，在進(jìn)行整理后可得。

V=(u+Az—4"Ay+￡心八(++^v.Az)/

+(v4-69.Ar-fwvAz4-￡戶.AX+￡?△)'+^V-Az)j※式

+(卬+刃、Ay-<yvAz+^.vAx+￡=、Ay+&二Az)工

*/(o=(oi+CDvi-￥CD.k

r-Arz+Ayj+Mk

6yxAr=-co、coCD.=（叫Az二Ay）i+（69,Ar-69vAz）/+（刃加-%Av）Z

2xx

XAyAz

Ar[s]=A%+Ayj+AzZ

=(^.Ax+2△)'+J+Ar++￡=Az)]

rvn￡x:^z)i+(￡、>&+￡?△)'+￡廣&)(￡么￡:>Ay

故代入※式后可得：

V=VZ,+6t>xAr+A/*?[s]

平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)變形

上式就是著名的海姆赫茲速度分解定理的表達(dá)式，上式表明流體微團(tuán)任?點(diǎn)的流速均可

分解成三個(gè)部分：

1、與參考點(diǎn)相同的平移運(yùn)動(dòng)速度匕

2、繞參考點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)引起的旋轉(zhuǎn)速度右x△:

3、線變形和角變形引起的變形速度△：?[5]

三、流體微團(tuán)線變形率、角變形率及旋轉(zhuǎn)角速度

在正角曲線坐標(biāo)系中的表達(dá)形式

線變形率/方向:%=94登+/(?)

i=i%%oq,dq】A,

%方向：空+呆電

/-)%%cq,dq2h2

=e匕-曲―+e，匕、

%刀1可：￡332LT7^~(丁)

%。彳平面:%=;白三(子)+}?(2)]=%

2/?(為]〃3。％h]

旋轉(zhuǎn)角速度：彷為軸：例=」H3（匕九）-3（匕①）1

3

2帥3dq2的

1d,一…

%為軸：CO?r

2/?也6%

%為軸：的=力導(dǎo)匕砧-d

(V也)]