第六章數列

一、考試要求

1.會根據數列前〃項寫出一個通項公式，會運用通項討論其性質（如單調性），能用函數觀點認識數列。

2.了解遞推公式的意義，會根據遞推公式寫出數列的前幾項，會求形如=〃/+，型數列的通項公式。

3.理解等差數列的概念，會用其概念導出通項公式，了解等差中項的概念，能通過公式研究它的單調性。

4.會用倒序相加法推導前，項和公式，掌握并能運用公式解決一些問題.

5.理解等比數列的概念并能運用它導出其通項公式，了解等比中項的概念，會通過通項公式研究它的單調性。

6.會用錯位相減法推導等比數列前〃項和公式（分清q=i和gwi的情形），并運用公式解決一些問題。

7.理解和運用公式法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法等求數列的前〃項和。

二、重難點擊

本章重點：數列的概念，等差數列，等比數列的定義，通項公式和前〃項和公式及運用，等差數列、等比數

列的有關性質。注重提煉一些重要的思想和方法，如：觀察法、累加法、累乘法、待定系數法、倒序相加求

和法、錯位相減求和法、裂項相消求和法、函數與方程思想、分類與討論思想、化歸與轉化思想等。

本章難點：對數列概念的理解，對公式理解和掌握對性質的運用，求和方法的運用，求通項的方法的運用，

以及思想方法的運用，是本章的難點。

三、命題展望

數列任然會以客觀題考察等差數列與等比數列的通項公式和前〃項和公式及性質，在解答題中，會保持以前

的風格，理科注重數列與其它分支的綜合能力的考察，文科則注重數列內部綜合能力考察，在高考中，數列

常考常新，其主要原因是它作為一個特殊函數。使它可以與函數、不等式、解析幾何、三角等綜合起來，這

更體現了知識交叉命題原則得以貫徹；另一方面，因為數列研究的一些特殊方法（歸納一探索一驗證）和數

學思想（函數與方程，分類與整合），會命判開放性、探索性強的問題，又因為數列與生產、生活的聯系，使

數列應用題也倍受歡迎。

知識網絡

第一課時數列

知識要點

一、數列的概念

1.數列是按一定順序排列的一列數,記作《，生，生…見，…，簡記｛〃”｝.

2.數列｛〃〃｝的第〃項明與項數〃的關系若用一個公式?！?/（〃）給出，則這個公式叫做這個數列的通項公應

3.數列可以看做定義域為N'（或其子集）的函數，當自變量由小到大依次取值時對應的一列函數值，它的圖

像是一群孤立的點。

二、數列的表示方法

數列的表示方法有：列舉法、圖示法、解析法（用通項公式表示）和遞推法（用遞推關系表示）。

三、數列的分類

1.按照數列的項數分：有窮數列、無窮數列。

2.按照任何一項的絕對值是否不超過某一正數分：有界數列、無界數列。

3.從函數角度考慮分：遞增數列、遞減數列、常數列、擺動數列。

四、數列通項明與前〃項和S“的關系

1.S〃=a]+%+%+…+4”

f=l

S,n=1

2.a=《

E—S“T心2

課前熱身

1.數列1,3,6,10,…的一個通項公式為（C）

n(n-1)

an=-------

2

2.在數列1,1,2,358,尤21,34,55,…中，工的值為（D）

A.10B.11C.12D.13

3.數列｛〃”｝的通項公式為勺=3〃2—28〃，則數列各項中最小項是（B)

A.第4項B.第5項C.第6項D.第7項

4.己知數列｛%｝是遞增數列，其通項公式為=/J+，則實數丸的取值范圍是（一3,+8）

5.數列1“｝的前〃項和S”二〃2-4〃+1,,則a'=1一？

2〃-5n>2

典例精析

題型一歸納、猜想法求數列通項

【例1】根據下列數列的前幾項，分別寫出它們的一個通項公式

（1）7,77,777,7777,…

2

，.八2468

⑵一,----,—,----，…

3153563

⑶1,3,3,5,5,7,7,9,9-

解析:⑴將數列變形為一7X(10-1),7一(IO?-1),7一(1()3-1),…，7一(I。"-1)

9999

⑵分開觀察，正負號由(一1嚴確定，分子是偶數2〃，分母是1x3,3x5,5x7,…，(2〃—l)x(2〃+l),

故數列的通項公式可寫成?！岸?-1)向--------------

”(2〃-1)(2〃+1)

⑶將已知數列變?yōu)?+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…。可得數列的通項公式為

3二〃十---

點撥：聯想與轉換是由已知認識未知的兩種有效的思維方法，觀察歸納是由特殊到一般的有效手段，本例的求

解關鍵是通過分析、比較、聯想、歸納、轉換獲得項與項數的一般規(guī)律，從而求得通項。

題型二應用%=<°.求數列通項

E—Sz(H>2)

例2.已知數列｛”“｝的前〃項和S,,分別求其通項公式.

⑴S”=3"-2

⑵S”=:⑷+3”>。)

O

解析：⑴當〃=1時,q=S|=3】-2二1,

z

當H>2時,%=Sn-Sn_}=(3"-2)-(3--2)

=2.3〃T

1(〃二1)

乂%=1不適合上式，故?！?<

2-3"T(n>2)

當心2時⑼

⑵當”=1時,〃?=,\=L(G+2戶,解得=2

8二:(〃〃+2)2-5(%+2/

OO

所以(勺-2)2—(/_]+2)2=0

所以(4〃+)(?“一??,1-4)=0

乂%>0,所以=4,可知｛〃“｝為等差數列，公差為4

所以％=,+(n—\)d=2+(w-1)-d=An—2

3

ax-2也適合上式，故an=4??-2

3(〃=1)

點撥：本例的關鍵是應用〃”=求數列的通項，特別要注意驗證外的值是否滿足

S「S〃T(〃>2)

“〃之2”的i般性通項公式c

三、利用遞推關系求數列的通項

【例3】根據下列各個數列｛〃〃｝的首項和遞推關系，求其通項公式

1

⑴4=-“向=4+4/7

2

⑵q=1,4>°，5+一〃42+q?4用=0

%="+1

⑶%=1,

解圻：⑴因為4向二?！?「一，所以

*'"4〃2-1

Ki12〃1+1

〃“+1-a”~~~~7)

4n~

…1/1、

所以。2—q

1A1、

Q-Q=—(-----)

32235

1J1、

以上(，一1)個式相加得

I

a?-a,=—(1)

〃i2'2/2-1

14?-3

4〃一24〃-2

⑵由(〃+1)4+；+%.a.*—〃.a；二。

有[(〃+1)4川一〃4](々向+?！?=0

,??a”>0,/.a,川+an>0

」.(〃+1)知+|-nan=。即：—=

%〃+1

a“a〃-ia，

an=------——?q

**4

4

n-\〃一2

nn-\

1

ft------

n

⑶方法一、設4用+m=—(an+m)

111

帆，

又alJ+]=-??+l

令一〃?=i,m=-2,于是。"i=-??+1

22

可化為

-2=；(々〃-2)

?！币?二(%-2)?(；)〃"

尸4+（二）"々+4+,

Y嚴

=（；嚴二（心一25

2

=2-(1/-1=21

2’2"一|

1,1,

方法三：二子+Lr+2萬4+1+1

兩式相減，an+2-a/l+l=^（an+l-an）

?,?〃向一?！ǘㄆ咭唬ィ?§）"'二（》"

即：CI-)-6Z1=-,%-〃2

1冊.1

71-1

5

點覆：在遞推關系中若知+|=a”+/(〃),求。〃用累加法，若馬曰二/(〃),求?！坝美鄢朔?，若。用二

P*+q，

求常用待定系數法或迭代法。

數學門診

己和S”是數列｛%｝的前〃項和，且滿足S『=3〃2/+S,I2,其中/工0,〃=2,3,4…，又42,求數

列｛%｝的通項公式。

錯解：當〃之2時，由已知得=3/q

又明=3-5〃一戶0,所以5”+5,一二3〃2

于是S”q+SN=3(〃+4兩式相減得，

Sn+l-5n,,=6n+3,即an+l+aZJ=6n+3

于是?！?2+?！?1=6〃+9所以兩式相減得an+2-an=6

所以6,…成等差數列，公差為6,。2，。4，。6，.一，也成等差數列，公差為6,從而

。［，/，%，%，%，％，…成等差數列，公差為6,

所以，cin=24-(/?-1)-6=6/2-4

正解：當〃22時，由已知得S『一5“_：=3〃2%又％=S“-S“THO,

所以S”+S”7=3/

于是5n+1+5?=3(〃+，兩式相減得：S?+1-S,i=6〃+3,即an+l+an=6〃+3

于是a=6〃+9,所以％+2-%=6，y,S2+Si=12,所以外=8

6

又知+生二於，所以。3=7

則〃=2攵時

an-a2k=%+（左-1）,6=6攵+2

=6』+2=3〃+2

2

〃=2Z+1時，an=a2k+}=%十（%一D?6

=6Z:+1=6—+1

2

=3/z-2

2（n=1）

an=<3〃+2（〃為偶數）

3〃-2（〃為大于1的奇數）

總結提高

1.給出數列的前幾項求通項時，常用特征分析法與化歸法，所求通項不唯一

2.由S〃求冊時，要分〃=1和2兩種情況

3.數列是?種特殊函數，因此通過研究數列的函數性質（單調性）來解決數列中的“最大項”與“和最

小”等問題十分有效。

4.給出S“與明的遞推關系,要求明,常用思路是：一是利用S“-S,i（〃22）轉化為明的

遞推關系，再求其通項公式：二是轉化為S”的遞推關系，先求出S“與〃之間的關系，再求

課堂演練

3

1.若數列｛%｝的前〃項的S”二5勺-3,那么這個數列的通項公式為（D）

A.cin=2x3“-B.%=3x2"C.an=3〃+3D.cin=2x3"

3

解：〃=1時，=S]=—t7]-3?|=6

33

“〃之2”時，a-,-=（*-3）

cin=q-3"“=2X3”

2.已知數列滿足q=0,a,^=a"~（nwN“）,則。,0=（B）

J3a〃+1

7

D.也

A.（）B.一百C,6

2

解：?,=（）,%=%"=-6

V30+1

L=6,

V3-（-V3）+l

牝"黯二一6'…'所以

〃+3=Qn

白2。=43x6+2=a2=-V3

3.定義一種運算“*”，對于〃eN*滿足以下運算性質：1*1=1,+=則，〃*1用含〃

的代數式表示為：3,,,

4.設卬，的，…，生。從一L（）J這三個整數中取值的數列，若囚+。2+?一+%。=9且

（。1+I）2+（%+1）2+…+（。50+1）2=107則%,。2,…，°50中有。的個數為豆

解：設有〃個0則由（q+1-+（々+1）2+…+（%（）+1-=1。7有

（?！?+…+%。**）+2（4+a、+,,,+牝0+50=107,

二.+/2+-"+^502=39.

所以在…，〃50中有39個1或T，

所以在…，〃50有11個0。

5.已知數列｛〃/滿足q=1,

G=3”T+〃“…（〃>2）.

⑴求〃2和火

3〃-1

⑵證明：atl=---------

2

解：（1）;q=1,''?3=3+。］=44=3?+?=13.

⑵證明；由已知％%=3"T有

8

”=(a“-a”])十(a”1—a,,+…,,,73“-1

〃"〃T"T-2=3?-'+3?-2+...+3+1=：——

+(&-q)+q2

6.己知數列｛a,J中，+試問〃取何值時，％取最大值？并求此最大值.

Q

(n+3)-(—)H+,

解：因為也=--------與一2〃+3

%(?+2)-(—)M10n+2

10

當且僅當〃=7時，—=1,即4=%

an

所以當〃<7時巴出"Al,

即

區(qū)m>%即的>4>%>...>/

當九之8時，巴"<1%>%+]

3

即4>〃9>。10>

故當〃=7或8時，%最大,

98

（凡）maxio7

課外練習

一、選擇題

1.數列3,-5,7,-9,11,…的一個通項公式是（D）

A.%=(T)".(2〃+1)

B.%=(-1嚴.(2〃-1)

C.

D.?！岸?一1嚴?(2〃+1)

2.己知數列｛%｝中q=2,

冊+i=3a“+L(〃wN*)則出的值為(A)

A.67B.22C.202D.201

11

3設a”=----+-----+…4—,（〃eN*）,則。向與%的大小關系是（C）

〃+1n+22/?+1

A.an+l>anB.a用

9

C.?！?[<aHD.不能確定

解：因為

----------------------<0

2〃+3In+2

所以見+i<勺，選C.

1.若數列｛〃/滿足：a,*=<

，（"〃<D

2?！耙?

4=與，則。20的值為（E）

2%，（0W%<!）

2

解：?n+i=i

2%T，（萬W）

9?5「1）

Cl、=267.-1=-G-,1

6

7

5

7

由此猜想：ali+3=an

所以。20=々3x6+2=々2=]，選B

二、填空題

2-2,（n=1）

b.已知數列｛an｝的前n項和Sn=n-4n+1,則an=

2〃一5,（〃>2）

6.已知數列｛%｝中，q=2,=3,?！?2=3%+[-2見，的=西

解：

10

%+2-勺川=2(磯一%)

生一〃1=1

/.a3-a2=2(%-％)=2

出-a3=2(%-a2)=4

as-aA-2(aA-a3)-8

4-%=2(%—%)=16

%-a6=2(6f6-?5)=32

ci-j~^\=1+2+4+8+16+32

/.a-j=65

7.已知數列｛4｝的通項"一熠（〃eN*）,則數列｛〃.｝的前30項中最大項和最小項分別是a。

〃一J99——

解：構造函數），二V'98-[+、，99、;98

x-V99X-V99

由函數性質可知，函數在（7）,回）上遞減，且yvl

函數在（、函，+8）上遞增且），＞1

又廊G（9,10）

??,6。＞《2'…，。前＞1＞%＞。2＞一?三、解答題

＞為

?二％。最大，小最小

8.已知｛〃,,｝中，4=；，前〃項和s“與?！钡年P系是S”=〃（2〃-1）?！保?/p>

解:由S“=〃(2〃-1)冊得

S"+i二(〃+1)(2〃+1)%+]

???4川=S〃+i-S”

M+I=5+1)(2〃+1)-—〃(2〃-\)an

2

/.(2n+3n)an+l=〃(2〃一l)a”

.J=2〃一]

an2〃+3

%an-2。2

a?=---------------—

《Ia,.2%-34

2/7-32n-52n-753_[

2〃+12n-\In-39753

1

(2n+l)(2/7-l)

1

一1

11

a1I

9.在數列｛〃”｝中，%=；，n~（〃￡N"）S”為前〃項和.⑴求證：｛%｝是以3為周期

的周期函數

⑵求S2010

%+3=1--—

。”+2

7__1

1--L

外出1

a,

=1-------

（4-I）-。”

1-

%-1

=1+%T=%

4=-?a2=T，/=2

S230=(《+。2+。3)+(。4+。5+〃6)

■,(“2005+々2006+々2007J

+(〃2008+^2009+。2010)

=67(Xq+a2+%)=1005

C

10.設數列｛4｝的前〃項和為S”，點（〃，翌）,

n

（〃wN*）均在函數），=3工一2的圖像上，⑴求數列｛〃“｝的通項公式

⑵設a=-----,7”是數列｛a｝的前前〃項和，求使得，對所有?都成立的最小正整數〃z。

64+120

解：⑴依題意得:

V

」t=3〃—2,即S“=3〃2—2〃

n

當，＞2時.an=-Sn,

=(3/-2〃)一[3(〃-1)2-2(/?-l)J

二6〃-5

當〃=1時，a1=5|=1=6x1—5

故。”二6〃-5,(neN")

⑵由⑴得：

12

3

(6〃一5)(6〃+D

26〃-56〃+1

T.=>

m

I=I\/—成4立一,

11120

=-(1--)+???+()

276H-56〃+1

當且僅當

220

故滿足要求的

6.2等差數列

知識要點等差數列的充要條件。

1.等差數列的概念3.等差中項：

如果一個數列從第一項起,每一項與它的前一項的差

若〃成等差數列，則匕稱。與c的等差中項,

都等于同一個常數,這個數列就叫等差數列，這個常

數叫等差數列的公差，用”表示。n+c

且力=——：成等差數列是勸=a+c的充

2.遞推關系與通項公式2

要條件。

遞推關系：an+]-an=d

4.前〃項和公式

通項公式：an=+(n-\)d

推廣：an=am+(n-ni)d

變式：q=%-Sn=-------------；Sn=]7

??-1變式：

dd

■+/_sn_q+%+,.?+〉”

n-m

2nn

由此聯想到點5,4“)所在直線的斜率。=q+(〃-1)弓=4”+(/2-l)(-^);

特征：atl=dn+(4-d),

即：an-f(n)=kn-^-m,(Z,m為常數)

an=kn-^m,(左,/〃為常數)是數列｛%｝成

13

特征：S"=+（q-號〃，〃4十〃6十十十。12=12（）,

則為-;%的值為（C）

即S“=/（〃）=A"2+Bn

S=An2+Bn（AB為常數）

tlA.14B.15C.16D.17

是數列｛〃〃｝成等差數列的充要條件。

解的%-+2d)

5.等差數列｛%｝的基本性質（其中〃p,qeN.）22212()

=-(a9-J)=-a8=-.—=16

（1）若〃？+〃=〃+4，貝1J。,”+=cip+aq反

3.等差數列｛an｝的前〃項和為S.，當“，d變化時,

之，不成立。

（2）a?-am=（n-m）d若。2+。8+。”是一個定值，那么下列各數中也

是定值的是（A）

⑶2a〃=喂+J

A.SR1JB.S]I5J

（4）S〃，S,〃一S.‘S?”一S,”仍成等差數列。

B.520C.58

G.判斷或證明?個數列足等差數列的方法：解：

①定義法：

a2+/+a”=3（q+6c/）

/用一?！?〃（常數）是等33

="-2^73⑷+《3）

差數列

②中項法：

為定值，，6+《3為定值，

2am=%+%+2（〃￡、*）=｛〃〃｝是等差數

列

132

③通項公式法：

4.計算機執(zhí)行以下程序：

an=kn+b（Z/為常數）=>｛%｝是等差數

⑴初始值x=3,5=0

列（2）x=x+2

④前〃項和公式法：⑶S=S+x

2（4）5>2010,則進行⑸，否則從⑵魅續(xù)進行

5n=AH+Bn（A,8為常數）=>｛4｝是等

⑸打印x

差數列⑹停止

課前熱身：那么，語句⑸打印出的數值為空

1.等差數列｛〃”｝中，《+4+47=39,解：由趣意知，程序每執(zhí)行一次所得x的值形成一個

數列｛3｝是等差數列，且首項為5,公差為2,相

B

a2+a5+心=33,則%+4+。9=（）

應S的值S.恰為該數列的前〃項和，根據題意得：

A.30B.27C.24D.21

2.等差數列｛〃”｝中，S=5〃+〃S-1）?222010解得〃243

2

所以X43=5+(43-1)X2=89

14

5.設S”,7；分別為等差數列a｝與也“｝的前〃項n<5時，an<0,

n>6時，an>0

4〃+2則&,=112

和幺二.?.當時，Tn=-Sn=9n-n

2/?-5加5當〃>6時，

解:,二同+|。2|+.一+|。5|+院|+.-+田

(q+《9)19=-a2-----%+/+%+…+〃“

-19_2_4+、19=S“-2s5

彳9(4+:)194+九=n2-9?-2x(-20)

2

=n2-9〃+40

2qo_?10_4x10+2_14

-2^7一口―2x10-5-T,T_f9〃_〃2(n<5)

n2-9n+40(n>6)

典到精析

一、等差數列的判定與基本運算(2)：①證明：當〃22時，

2211

例1:⑴已知數列｛〃,｝前n項和St=n-9〃、「5”⑸寸⑸/口⑸二)

①求證：｛〃”｝為等差數列：②記數列｛〃”｝的前〃項所以s〃S=「；(s“T-s〃)

和為，，求7”的表達式。即^———=2

S“S〃T

⑵數列｛〃”｝中，S”是前〃項和，當〃22時,

所以是以'-二1為首項,2為公差的等差數列。

211IsJ$

s“二a”（S〃一］）①求證：是等差數列,

②：由①得

C-^―=-J-+(〃-1)?4=1+(〃-1)2

②設力=-j求也）的前〃項和7；

2〃+1S”S]

=2/t-l

解：⑴：①證明：n=1R寸，q=S1=-8,

所以S“=—^—

當時，"2n-l

所以

an=S”-5,1

=7?2-9/?-[(?-1)2-9(7?-1)].S”]

“-2〃+1-(2〃-1)(2〃+1)

二2〃-1()

=-(-.............—)

也適合該式，,an=2n-10(〃￡N")22n—\2n+1

②r”的表達式為：T”=年+〃2+??,+"

ir,iiizii/

2|_3352〃-12〃+1

1.1.n

=-(z1----------)=--------

22/7+12/z+l

點撥：根據定義法判斷數列為等差數列，靈活運用求

和公式。

15

二、公式的應用

S"，且滿足：生。3=45,%+4=14,

例2：設等差數列｛an｝的首項％及公差d都為整數,

①求數列的通項公式：

前〃項和為S”C

②設“二—2-，一個新數列｛"｝,若也」也

n+c

①若。"=0,S|4=98,求數列｛%｝的通項公式

是等差數列，求非零常數c；

③求f()=——％—的最大

②若q>6,>0,S14<77,求所有可能的n(HG/V*)

(〃+25也出

數列｛〃”｝的通項公式

值

解：①

解：｛%｝為等差數列，「?％+4=%+。3=14

由S14=98,得2q+13d=14

又q1=q+10d=0乂。2,%=45,由d>0,a2<a3

解得d=—2,q=20

。2=5,。3=9,.=d=4,a、=1

所以數列｛a”｝的通項公式是：

%=1+(n-1)4=4〃-3

an=22-2H(nwN*)

???數列｛%｝的通項公式為an=4A?-3

②

②由①知:

SI44772%+13d011

由《a”>0有，％+10d>0妁上空=2〃2一〃

S.二小1+

2

.%26626

q2〃*-n

26/,+13J<11①所以a=3

n+cn+c

即一2q-20d<0②

所以4二一--,b,=6,by=—

-la.<-12③

1+c-2+c3+c

由①+②得一7d<1,即d>——d<——因為團｝為等差數列，所以如打,打成等差數

713

列，所以

--<d<--—,又dGZ,

713

2b2=b]+〃3

10<q<12,GZ「口”12115

所以7—=：—+-

4+c1+c3+c

所以4]=11或=12所以"小…(舍去)

故所有可能的數｛an｝的通項公式是:

故所求非零常數c=-g,且a=2〃

=12-〃和a”=13-n(〃wN")

hn

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