復(fù)合函數(shù)'抽象函數(shù)

目錄

1.復(fù)合函數(shù)概念.................................................................1

2.理解更合函數(shù)的定義：........................................................2

3.復(fù)合函數(shù)定義域...............................................................3

4.求函數(shù)的定義域主要應(yīng)考慮以下幾點(diǎn)...........................................4

5.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性...............................................................4

6.復(fù)合函數(shù)的奇偶性與周期性....................................................5

7.求與復(fù)合函數(shù)相關(guān)的函數(shù)解析式................................................6

8.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法.............................................................6

9.題目..........................................................................7

10.抽象函數(shù)定義域..............................................................7

11.抽象函數(shù)求解析式............................................................8

12.本節(jié)課回顧：................................................................9

復(fù)合函數(shù)：兩個(gè)或多個(gè)基本函數(shù)進(jìn)行

式的復(fù)合，或進(jìn)行加減等四則運(yùn)算。

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：(同增異減)

外)，鼠X)增，增增，減減，減

加⑸]增減增

.A*)+#(x)增不能確定減

斤)一嶺)不能確定增不能確定

復(fù)合函數(shù)奇偶性：(一偶則偶，同奇為奇)

#X)，g(x)奇，奇奇，偶偶，偶

加(刈奇偶偶

/(.v)-g(x)or

奇偶

加次(x)

y(x)±#(x)不能確定非奇非偶不能確定

1.復(fù)合函數(shù)概念

一般地，對于兩個(gè)函數(shù)y=f(u)和u=g(x),如果通過變量u,y可以表示成x

的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù),記做y=ffg(x)),簡

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而言之，所謂復(fù)合函數(shù)就是由一些初等函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù).

我們現(xiàn)在所學(xué)的初等函數(shù)包括：一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，毒函

數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)

以下均為復(fù)合函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是由“主體函數(shù)”和“次級函數(shù)”構(gòu)成，具

體見下面舉例：

l.f(x)=23x+5,這個(gè)復(fù)合函數(shù)的主體函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，次級函數(shù)是一次函數(shù),

所以是由f(t)=2t和t=3x+5復(fù)合而成的

2.f(x)=ln(x2-2x-3),這個(gè)復(fù)合的主體函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，次級函數(shù)是二次函數(shù),

所以是由f(t)=lnt和t=x2-2x-3復(fù)合而成的

3.f(x)=(lnx)2,這個(gè)復(fù)合函數(shù)的主體函數(shù)是幕函數(shù)，次級函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，

所以是由f(t)=t2和t=lnx復(fù)合而成的

備注:

1.復(fù)合函數(shù)通常是由兩個(gè)基本初等函數(shù)復(fù)合而成，相當(dāng)于將其中一個(gè)初等

函數(shù)(次級函數(shù))鑲嵌在另外一個(gè)初等函數(shù)(主體函數(shù))中

2.兩個(gè)初等函數(shù)進(jìn)行“加、減、乘、除”之后，組成的函數(shù)不是復(fù)合函數(shù)。

例如f(x)=x2-Inx,這個(gè)函數(shù)是事函數(shù)跟對數(shù)函數(shù)相乘，所以這不是復(fù)合函數(shù)

3.無論遇到何種函數(shù)，首先要確定函數(shù)的定義域，這是學(xué)習(xí)函數(shù)最基本的

原則。

4,次級函數(shù)的值域t的范圍與主體函數(shù)的定義域f(t)的范圍是一致的

2.理解復(fù)合函數(shù)的定義：

假如披薩是外函數(shù)，菠蘿是內(nèi)函數(shù)，那么披薩(菠蘿)就是菠蘿餡料的披

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薩；

假如菠蘿是外函數(shù)，披薩是內(nèi)函數(shù)，那么菠蘿(披薩)就是菠蘿上面擺放

幾塊小披薩。

3.復(fù)合函數(shù)定義域

(1)復(fù)合函數(shù)的定義域，就是復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))中x的取值范圍。

(2)在外函數(shù)y=f(u),內(nèi)函數(shù)u=g(x),復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))中，

x稱為直接變量，u稱為中間變量，u的取值范圍即為g(x)的值域。

(3)f(g(x))與8(f(x))表示不同意義的復(fù)合函數(shù)。

(4)若函數(shù)y=f(u)的定義域是B,u=g(x)的定義域是A,則復(fù)合函數(shù)

y=f(g(x))的定義域是D={X|XEA,且g(x)￡B}綜合考慮各部分的x的

取值范圍，取他們的交集。

①己知f(X)的定義域?yàn)?a,b),求f(g(x))的定義域的方法：

已知f(x)的定義域?yàn)?a,b),求f(g(x))的定義域。實(shí)際上是已知

中間變量的u的取值范圍，即u￡(a,b),g(x)仁(a,b)。通過解不等

式a〈g(x)<b求得x的范圍，即為f(g(x)的定義域。

②已知f(g(x))的定義域?yàn)?a,b),求f(x)的定義域的方法：

若己知f(g(x))的定義域?yàn)?a,b),求f(x)的定義域。實(shí)際上是己

知直接變量X的取值范圍，即x￡(a,b)o先利用avxvb求得g(x)的范圍，

則g(x)的范圍即是f(x)的定義域。

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4.求函數(shù)的定義域主要應(yīng)考慮以下幾點(diǎn)

（1）當(dāng)為整式或奇次根式時(shí)，R為值域；

（2）當(dāng)為偶次根武時(shí)，被開方數(shù)不小于0（即20）;

（3）當(dāng)為分式時(shí)，分母不為0;當(dāng)分母是偶次根式時(shí)，被開方數(shù)大于0;

（4）當(dāng)為指數(shù)式時(shí)，對零指數(shù)幕或負(fù)整數(shù)指數(shù)累，底不為0。

（5）當(dāng)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的，它的定義域應(yīng)是使各

部分都有意義的自變量的值組成的集合，即求各部分定義域集合的交集。

（6）分段函數(shù)的定義域是各段上自變量的取值集合的并集。

（7）由實(shí)際問題建立的函數(shù)，除了要考慮使解析式有意義外，還要考慮實(shí)

際意義對自變量的要求。

（8）對于含參數(shù)字母的函數(shù)，求定義域時(shí)一般要對字母的取值情況進(jìn)行分

類討論，并要注意函數(shù)的定義域?yàn)榉强占稀?/p>

（9）對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零，底數(shù)大于零且不等于1。

（10）三角函數(shù)中的切割函數(shù)要注意對角變量的限制。

5.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性

由y=f（u）,u=g（x）的單調(diào)性來決定。即“增+增=增;減+減=增;增+減二

減;減+增=減”，可以簡化為“同增異減”。

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“同增異減”的含義就是：如果f(U)與g(X)同為增函數(shù)或同為減函數(shù)，

則f(g(x))在其定義域上為增函數(shù)；如果如果f(u)與g(X)中一個(gè)是增函

數(shù)另一個(gè)是減函數(shù)，則f(g(x))在其定義域上為減函數(shù)。

(1)求復(fù)合函數(shù)的定義域；

(2)將復(fù)合函數(shù)分解為若干個(gè)常見函數(shù)(一次、二次、嘉、指、對函數(shù))；

(3)判斷每個(gè)常見函數(shù)的單調(diào)性；

(4)將中間變量的取值范圍轉(zhuǎn)化為自變量的取值范圍；

(5)求出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。

6.復(fù)合函數(shù)的奇偶性與周期性

奇偶性由f(g(x))的定義域，以及y=f(u),u=g(x)的奇偶性來決

定。

即”一偶則偶，同奇則奇”。

”一偶則偶，同奇則奇”的含義就是：

(1)如果f(g(x))的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則f(g(x))才可能是奇

函數(shù)或偶函數(shù)。否則就是非奇非偶函數(shù)。注意這一點(diǎn)是判斷奇偶性的前提。

(2)如果f(u)與g(x)中至少有一個(gè)是偶函數(shù)，則f(g(x))為偶函

數(shù)；如果如果f(U)與g(x)都是奇函數(shù)，則f(g(x))是奇函數(shù)。

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復(fù)合函數(shù)的周期性口訣:設(shè)y=f(u)的最小正周期為Tl,u=g(x)的最小

正周期為T2,則f(g(x)的最小正周期為T1*T2,任一周期可表示為k*Tl*T2(k

屬于R+)o

7.求與復(fù)合函數(shù)相關(guān)的函數(shù)解析式

①已知f(X)求復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，直接把f(X))中的X換

成g(X)即可。

②已知f(g(x))求f(x)的常用方法有：配湊法和換元法。

配湊法：就是在f(g(x))中把關(guān)于變量X的表達(dá)式先湊成g(X)整體的

表達(dá)式，再直接把g(X)換成X而得f(x)O

換元法：就是先設(shè)g(x)=t,從中解出X(即用t表示X),再把X(關(guān)于

t的式子)直接代入f(g(x))中消去X得到f(t),最后把f(t)中的t直

接換成X即得f(X)。

8.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式：若y二f(g(x)),則y'=[f(g(x))]'=f'(g(x))?g'

(X)0

例如：y=(2x+3)A2可以看做是y=M2與u=2x+3的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合

函數(shù)求導(dǎo)公式得：

V,=[f(g(x))]'=f(g(x))?g'(x)=(uA2),?(2x+3)'

=2u?2=4u=8x+12o

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9.題目

【例1】

求函數(shù)），=log尸*2）的單調(diào)減區(qū)間。

【例2】

已知函數(shù)/（x）=log/+ttr+3）

⑴當(dāng)兀T）定義域?yàn)镽時(shí)，求。的取值范圍;

⑵當(dāng)兒0值域?yàn)镽時(shí)，求。的取值范圍。

抽象函數(shù)：

一般會給出定義域和值域，但不給解析式

復(fù)習(xí)：

已知函數(shù)/M定義域?yàn)榉睬覞M足

，）=/（*）+/（『）,其中，＜幻不恒為0,試判

斷兒。的奇偶性。

10.抽象函數(shù)定義域

。雙，）定義域?yàn)閇-2.3],求次2M）的定義域；

（2雙2t—1）定義域?yàn)閇-2.3],求兀丫）的定義域；

⑶f（2x-l）定義域?yàn)閇-2.3],求43工+4）的定義域。

抽象函數(shù)定義域解法:

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1.定義域是X的取值范圍

2.用括號過渡后，同一個(gè)括號內(nèi)范圍相同

抽象函數(shù)求解析式

二、抽象函數(shù)求解析式

凡丫）+/0'）=＜工+＞）—正比例函數(shù)y=ax

7W:/ly）=./a+y）—指數(shù)函數(shù)：少=優(yōu)

〃）+