2025年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試高考模擬調(diào)研卷數(shù)學(xué)（二）數(shù)學(xué)測試卷共4頁，滿分150分.考試時間120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，若，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得，然后分與討論，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由可得，當(dāng)時，，不滿足；當(dāng)時，由，由可得，解得.綜上所述，的取值范圍是.故選：B2.“”“”A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】通過反例可知充分條件不成立；當(dāng)時，可得的范圍，與所給條件不符，必要條件不成立，從而得到結(jié)論.【詳解】當(dāng)時，，可知充分條件不成立當(dāng)時，，，可知必要條件不成立“”是“”的既不充分也不必要條件本題正確選項：【點睛】本題考查充分條件與必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.3.設(shè)向量，若，則（）A.B.C.D.0【答案】B【解析】【分析】將可得，然后由數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得.【詳解】因為，所以，即，整理得又，所以，解得.故選：B4已知，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較和的大小，再根據(jù)作商法比較的大小可得答案.【詳解】因為，，，所以，又，所以，所以.故選：B5.隨機(jī)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，該骰子六個面分別刻有兩個1，兩個2，兩個3共六個數(shù)字，若擲出的數(shù)字為，則再從數(shù)字中隨機(jī)選取一個數(shù)字，則選出的數(shù)字為2的概率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用全概率公式求解可得.【詳解】記擲出的數(shù)字為的事件為，選出數(shù)字為2為事件，易知，，由全概率公式得.故選：C6.若，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為，然后由二倍角公式可得.【詳解】因為，所以.故選：A7.已知等差數(shù)列和的前項和分別為，若，則（）A.B.149C.28D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)來計算求得正確答案.【詳解】依題意，和是等差數(shù)列，而，故可設(shè)，其中，所以，，.故選：D8.已知直線與圓相切，則的最大值為（）A.1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑的的關(guān)系，消元后利用基本不等式求解可得.【詳解】圓的圓心為O0,0，半徑為，由題知，，整理得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以的最大值為13.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.9.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（）A.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限B.的虛部為C.D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出，然后根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義、虛部概念、復(fù)數(shù)模的公式和共軛復(fù)數(shù)概念逐一判斷即可.【詳解】由得，對于A，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第一象限，A正確；對于B，的虛部為，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：AD10.已知圓錐曲線的離心率為方程的根，則實數(shù)的值可能是（）A.32B.C.6D.【答案】ABD【解析】【分析】先解出方程的根得到離心率，然后分情況討論是橢圓還是雙曲線，根據(jù)公式即可求得結(jié)果.【詳解】對于方程，可求得根為，當(dāng)圓錐曲線為橢圓時，即且，離心率，若，則，此時離心率，當(dāng)時，，兩邊平方可得，解得；若，則，此時離心率，當(dāng)時，，兩邊平方可得，解得；當(dāng)圓錐曲線為雙曲線時，即，離心率，此時，此時離心率，當(dāng)時，，兩邊平方可得，解得；綜上實數(shù)的值可能是或或，故選：ABD.11.在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則下列說法正確的是（）A.B.的取值范圍為C.的最小值為D.的取值范圍是【答案】AB【解析】【分析】利用正弦定理角化邊得，結(jié)合余弦定理和二倍角公式可得，可判斷A；根據(jù)三個角為銳角列不等式組求解可判斷B；利用商數(shù)關(guān)系和和差公式，結(jié)合化簡，運(yùn)用基本不等式可判斷C；邊化角，利用二倍角和三倍角公式化簡，結(jié)合角范圍可判斷D.【詳解】對A，由正弦定理角化邊得，由余弦定理有，，因為銳角三角形，所以，，所以，所以，所以，A正確；對B，由上知，，因為為銳角三角形，，解得，所以，B正確；對C，，當(dāng)時，得，因為，，所以等號不成立，C錯誤；對D，，因為，所以，所以，所以，即，D錯誤.故選：AB【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)在于利用正弦定理角化邊，代入余弦定理表示出，結(jié)合二倍角公式求得.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的各項系數(shù)和為243，則該展開式中的系數(shù)為______.【答案】【解析】【分析】令求出，然后求出展開式中的常數(shù)項和含的項，分別與因式中的項相乘可得.【詳解】令可得，解得，的展開式中通項，，分別令，得，所以展開式中的常數(shù)項和含的項分別為，所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：13.已知是上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.若，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)和奇偶性判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用對勾函數(shù)單調(diào)性即可得解.【詳解】當(dāng)時，，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，又是上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，所以等價于：，即在上恒成立，由對勾函數(shù)可知，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，所以的取值范圍為.故答案為：14.如圖所示，平面五邊形由一個直角梯形和一個以為頂角的等腰組成，其中.將沿著AD翻折，在翻折過程中，當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時，三棱錐的外接球的體積為，則CD的長度為______.【答案】【解析】【分析】找到球心位置，分析出錐體體積最大時的狀態(tài)，設(shè)，構(gòu)造出關(guān)于體積的函數(shù)表達(dá)式，通過三角換元求出其最值.【詳解】記中點為中點為，外接球球心為，為了區(qū)別點，則下圖中隱去平面五邊形中點，保留翻折后的點，因為，則，，且直角三角形外心為，其球心位于過點作底面的垂線，如圖所示位置，設(shè)外接球半徑為，則，解得，則有，記，則有，由題意知四邊形的面積固定，則若要四棱錐體積最大，則需高最大，即點到底面的距離最大，顯然當(dāng)平面平面時，點到底面的距離最大，因為，且為中點，則，又因為平面平面，且平面平面，平面，則平面，則為四棱錐的高，過點作的平行線，交所在直線于點，易知四邊形為矩形，則，，所以則四棱錐體積，令，，則，令，因為，則，則，則，對稱軸為，則在上單調(diào)遞增，則，，此時，，.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是作出球心位置，利用外接球模型，設(shè)，構(gòu)造有關(guān)體積的函數(shù)表達(dá)式，再利用三角換元求出最值即可.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，點為平面外一點，面，底面矩形面積為12，外接圓周長為，且.點分別為線段的中點，連接.（1）證明：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見詳解；（2）.【解析】【分析】（1）記的中點為，連接，利用三角形中位線定理證明為平行四邊形，然后由線面平行判定定理可證；（2）先利用圓的周長公式和矩形面積公式列方程求出，然后建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面法向量和直線方向向量，由向量夾角公式可得.【小問1詳解】記的中點為，連接，因為為的中點，所以，且，又為的中點，為矩形，所以，且，所以且，四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以直線平面.【小問2詳解】易知，矩形的外接圓半徑為，由題知，，解得，因為平面，平面，且為矩形，所以兩兩垂直，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，得，記平面的法向量為，則，令得，設(shè)直線與平面所成角為，則.16.已知數(shù)列的前項和為Sn，且分別滿足：，.（1）求通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）利用的關(guān)系先求得的遞推公式，根據(jù)構(gòu)造法求出，再由的關(guān)系求，然后可得；（2）利用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】令得，當(dāng)時，由得：，兩式相減得：，整理得，即，所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，得，當(dāng)時，，時，上式也成立，所以，所以，即.【小問2詳解】記，其前項和為，則，，兩式相減得所以17.近年來某地在經(jīng)濟(jì)工作中堅持穩(wěn)中求進(jìn)工作總基調(diào)，在淘汰落后產(chǎn)能的同時大力發(fā)展新質(zhì)生產(chǎn)力，下圖是該地近幾年來新型規(guī)模以上工業(yè)企業(yè)生產(chǎn)總值（）的柱狀圖（單位：億元），記2017年，2018年，當(dāng)?shù)哪昃幪枺ǎ┮来螢?（1）求2017至2022年新型規(guī)模以上工業(yè)企業(yè)生產(chǎn)總值的平均數(shù)；（2）在與中選擇合適的模型計算關(guān)于的回歸方程；（3）若上級領(lǐng)導(dǎo)將在2022，2023，2024，2025，2026這五年中任意抽取3年來研究該地新質(zhì)生產(chǎn)力發(fā)展情況，記為抽到的工業(yè)企業(yè)的生產(chǎn)總值超過12000億元的年份數(shù)目，并用（2）中回歸方程估計，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：846101981270517.5209503.85其中，附：經(jīng)驗回歸方程中和的最小二乘估計公式為.【答案】（1）5150億元（2）解析間詳解（3）分布列見詳解，.【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的概念進(jìn)行計算即可.（2）先根據(jù)散點圖判斷，用作為模型更合適.設(shè)，結(jié)合給出的數(shù)據(jù)和公式求回歸方程.（3）明確的取值，求出每個值對應(yīng)的概率，可得的分布列，再結(jié)合期望的計算公式求的期望.【小問1詳解】易知：所以2017至2022年新型規(guī)模以上工業(yè)企業(yè)生產(chǎn)總值的平均數(shù)（億元）.【小問2詳解】由散點圖可知，用模型擬合效果更好.設(shè)，則，因為.所以，.所以.即為所求回歸方程.【小問3詳解】因為.且2022年的生產(chǎn)總值為9000億元，所以估計2023年的生產(chǎn)總值為：億元；2024年的生產(chǎn)總值為：億元；2025年的生產(chǎn)總值為：億元；2026年的生產(chǎn)總值為：億元；其中生產(chǎn)總值超過12000億元的年份數(shù)為3.所以的值可能為：1,2,3且，，.所以的分布列為：123所以.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)性；（2）若恒成立，求的取值范圍；（3）若有三個極值點，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）（3）且【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后構(gòu)造函數(shù)，再次求導(dǎo)分析單調(diào)性，得到，然后再分析的單調(diào)性即可；（2）分和時討論，當(dāng)時分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性即可；（3）求導(dǎo)后將問題轉(zhuǎn)化為有三個變號零點，當(dāng)時分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性和極值即可；【小問1詳解】當(dāng)時，，，令，則，令，所以當(dāng)時，，為減函數(shù)；當(dāng)時，，為增函數(shù)，所以，即，所以當(dāng)時，，為減函數(shù)；當(dāng)x∈0,+∞時，，為增函數(shù)；綜上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】因為gx>0，即當(dāng)時，顯然成立；當(dāng)時，分離參數(shù)，即恒成立，令，則，令，可得，所以當(dāng)時，，為增函數(shù)；時，，為減函數(shù)；當(dāng)x∈2,+∞時，，為增函數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，畫出其大致圖像所以.【小問3詳解】，，因為有三個極值點，所以有三個變號零點，即有三個變號零點，容易得到是方程的一個根，不是方程的根，當(dāng)時，分離變量，，令，則，令，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)x∈0,1時，，單調(diào)遞減；當(dāng)x∈1,+∞時，，單調(diào)遞增；畫出其大致圖像為極小值，因為已經(jīng)是方程的一個根，所以要使與有兩個交點，即且.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二小問的關(guān)鍵是能夠分離參數(shù)后求導(dǎo)分析單調(diào)性，利用數(shù)形結(jié)合求解；第三小問的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為有三個變號零點，再當(dāng)時，分離變量構(gòu)造函數(shù)分析單調(diào)性和極值，再數(shù)形結(jié)合求解.19.已知雙曲線，第一象限中橫坐標(biāo)為2的點在上，直線的斜率為.當(dāng)時，過點作的平行線交雙曲線左支于點，過點作軸的垂線交雙曲線右支異于點的點.（1）當(dāng)k=1時，求點的坐標(biāo)；（2）設(shè)表示點的縱坐標(biāo)，求的取值范圍；（3）設(shè)Sn表示的面積，證明：數(shù)列為常數(shù)列.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)點在第一象限且橫坐標(biāo)為2，先確定點，然后得到直線，與雙曲線方程聯(lián)立，求出的坐標(biāo)，再根據(jù)對稱性，可得點坐標(biāo).（2）可設(shè)點，，則，借助，表示直線的斜率，進(jìn)而用表示，結(jié)合的取值范圍，可求的取值范圍.（3）設(shè)的中點為，由（2