/2023-2024學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已如復(fù)數(shù)，則的實部是（

）A． B．2 C．3 D．52．有一組數(shù)據(jù)按從小到大排序如下：70，71，73，75，76，則這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)，70%分位數(shù)分別是（

）A．71，74 B．71，75 C．72，74 D．72，753．從這個正整數(shù)中隨機選擇一個數(shù)，則這個數(shù)既不能被整除也不能被整除的概率為（

）A． B． C． D．4．已知是一條直線，、是兩個不同的平而，則下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則5．在正方體中，為的中點，則（

）A． B． C．平面 D．平面6．如圖，是海面上位于東西方向相距海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于A點北偏東、B點北偏西的D點有一艘船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西且與B點相距海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，則該救援船到達(dá)D點最快所需時間為（

）A．0.2小時 B．0.3小時 C．0.5小時 D．1小時7．已知圓錐的頂點為S，O為底面圓心，母線與互相垂直，的面積為2，與圓錐底面所成的角為，則（

）A．圓錐的高為 B．圓錐的側(cè)面積為C．二面角的大小為 D．圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為8．已知為的外接圓圓心，，則的最大值為（

）A．2 B．4 C． D．9．設(shè)A，B易兩個隨機事件，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若A，B是互斥事件，則B．若，則C．若A，B是相互獨立事件，則D．若，則A，B是相互獨立事件10．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為，其中O為原點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則11．已知圓臺上、下底面的半徑分別為2和4，母線長為4．正四棱臺上底面的四個頂點在圓臺上底面圓周上，下底面的四個頂點在圓臺下底面圓周上，則（

）A．B．二面角的大小為C．正四棱臺的外接球的表面積為D．設(shè)圓臺的體積為，正四棱臺的體積為，則三、填空題12．從某小區(qū)抽取100戶層民用戶進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的月用電量都在之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左用右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，在被調(diào)查的用戶中，月用電量落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)為．13．如圖，一條河兩岸平行，河的寬度為，一艘船從河岸邊的A地出發(fā)，向河對岸航行．已知船的速度大小為，水流速度的大小為，當(dāng)航程最短時，這艘船行駛完全程共需要時間．14．已知正四棱錐的所有棱長都為，點在側(cè)棱上，過點且垂直于的平面截該棱錐，得到截面多邊形，則的邊數(shù)至多為，的面積的最大值為．15．已知總體劃分為2層，通過分層隨機抽樣，第層抽取的樣本量、樣本均值和樣本方差分別為．記總樣本數(shù)據(jù)的均值為，總樣本數(shù)據(jù)的方差為．(1)寫出與的計算公式（直接寫出結(jié)果，不需證明）；(2)某學(xué)校有高中學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人．現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法抽取樣本，并觀測樣本的指標(biāo)值（單位：），計算得男生樣本的均值為172.5，方差為16，女生樣本的均值為162.5，方差為30．（i）如果已知男、女樣本量按比例分配，試計算出總樣本的均值與方差；（ii）如果已知男、女的樣本量都是50，試計算出總樣本的均值與方差，此時將它們分別作為總體的均值與方差的估計合適嗎？請說明理由．16．甲、乙、丙三名同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，每局比賽兩人對戰(zhàn)，另一人輪空，沒有平局，每局勝者與此局輪空者進(jìn)行下一局的比賽．約定先贏兩局者獲勝，比賽隨即結(jié)束，各局比賽結(jié)果互不影響，已知每局比賽甲勝乙的概率為，乙勝丙的概率為，甲勝丙的概率為．(1)若第一局由乙丙對戰(zhàn)，求甲獲勝的概率；(2)若第一局由甲乙對戰(zhàn)，求甲獲勝的概率．17．如圖，是半球O的直徑，P是半球底面圓周上一點，Q是半球面上一點，且．(1)求證：；(2)若,求直線與平面所成角的正弦值．18．如圖，在中，．(1)求的長；(2)已知點D在平面內(nèi)，且，求四邊形的周長的最大值．19．如圖1，在平行四邊形中，，E為的中點．將沿折起，連接與，如圖2．(1)當(dāng)為何值時，平面平面?(2)設(shè)，當(dāng)時，是否存在實數(shù)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．(3)當(dāng)三棱錐的體積最大時，求三棱錐的內(nèi)切球的半徑．答案1．答案：A解：因為，所以的實部是.故選：A2．答案：D解：數(shù)據(jù)從小到大排序：70，71，73，75，76，是整數(shù)，這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)是；不是整數(shù)，這組數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)是.故選：D.3．答案：B解：從這個正整數(shù)中隨機選擇一個數(shù)共有種選法，其中這個數(shù)既不能被整除也不能被整除的有、、、、、、、、、共個，所以這個數(shù)既不能被整除也不能被整除的概率.故選：B4．答案：D解：對于A：若，，則或與相交，故A錯誤；對于B：若，，則或或與相交，故B錯誤；對于C：若，，則或，故C錯誤；對于D：若，，則，故D正確.故選：D5．答案：C解：對于A：由正方體的性質(zhì)可知，顯然，與不平行，所以與不平行，故A錯誤；對于B：由正方體的性質(zhì)可知，，所以，由A可知與不平行，且、平面，所以與不垂直，則與不垂直，故B錯誤；對于C：設(shè)，則為的中點，連接，又為的中點，所以，又平面，平面，所以平面，故C正確；對于D：若平面，平面，則，又，所以，又四邊形為矩形，所以四邊形為正方形，所以，又為正方體，所以，顯然不滿足，故假設(shè)不成立，所以與平面不垂直，故D錯誤.故選：C6．答案：A解：由題意，在中，，，，所以，由正弦定理可得，，則；又在中，，，由余弦定理可得，，所以，因此救援船到達(dá)點需要的時間為小時.故選：A.7．答案：C解：對于A選項，因為與底面垂直，為底面圓的一條半徑，則，所以與圓錐底面所成的角為，又，所以的面積為，解得，即母線長，所以該圓錐的高為，故A錯誤；對于B選項，該圓錐的底面半徑為，母線長，故該圓錐的側(cè)面積為，故B錯誤；對于C選項，取的中點，連接，因為，為的中點，則，由垂徑定理可得，所以二面角的平面角為，因為平面，平面，則，因為，，則為等腰直角三角形，則，所以，所以，，因為，故，即二面角的大小為，故C正確.對于D選項，設(shè)該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為，底面圓周長為，則，故D錯誤.故選：C.8．答案：B解：如圖所示：

因為為的外接圓圓心，，所以，且，所以，故當(dāng)共線反向時，取到最大值.故選：B.9．答案：CD解：A項，若是互斥事件，不可能同時發(fā)生，，故A錯誤；B項，若，則，則，故B錯誤；C項，若相互獨立，則，所以，故C正確；D項，由，且事件互斥，則,若，則，又，，故相互獨立，故D正確.故選：CD.10．答案：BD解：，，A項，若，則，故A錯誤；B項，由A知，，則，故B正確；C項，若，則，故C錯誤；D項，由C知，，則，，則，，故，故D正確.故選：BD.11．答案：ACD解：根據(jù)題意，如圖，設(shè)圓臺上、下底面圓心分別為連接過作，作截面的平面圖，則為等腰梯形，且為中點，則，故，即圓臺的高，又，即四棱臺的上下底面邊長分別為和；對A，由題意平面，平面，則，，，平面，平面，故平面，平面，所以，故A正確；對B：過作，垂足為，連接；由面，//，則面，又面，故，又，面，故面，又面，故，則即為二面角的平面角；，又，故，而在中，，則，結(jié)合在單調(diào)遞增可知，，故B錯誤；對C：設(shè)外接球半徑為，球心到下底距離為，在的平面圖中，為球心，則，故，解得；故表面積，故C正確；對D：；，，故D正確.故選：ACD.12．答案：解：由頻率分布直方圖可得，解得，所以月用電量落在區(qū)間的頻率為，所以在被調(diào)查的用戶中，月用電量落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)為.故答案為：13．答案：解：當(dāng)實際速度垂直于河岸，船的航程最短．設(shè)實際速度、船速、水流速度分別為、、，如圖，，已知，則，河寬，所以，船的航行時間．所以，當(dāng)航程最短時，這艘船行駛完全程需要．故答案為：.14．答案：解：取中點，連接，，依題意可得，又，平面，可知平面，當(dāng)點在之間時，作分別交于點，作分別交于點，連接，則平面與平面平行，得到的截面為五邊形，根據(jù)平面的基本性質(zhì)，作平面與平面平行，如圖至多為五邊形.要使截面多邊形的面積最大，則當(dāng)點在之間時，令，則，可得，則，可得，所以，又因為與的夾角為與夾角，而與垂直，則，可得，可知：當(dāng)時，取最大值.當(dāng)點在點時，此時截面即為，又，當(dāng)點在點，之間時，截面為與相似的三角形，且截面面積小于，綜上可得截面的面積的最大值為.故答案為：；.15．答案：(1)答案見解析(2)（i）均值為（），方差為；（ii）均值為（），方差為，不合適，理由見解析解：（1）依題意可得，.（2）（i）男、女的樣本量按比例分配，則總樣本的均值為（），總樣本的方差為；（ii）男、女的樣本量都是，總樣本的均值為（），總樣本的方差為，不能作為總體均值和方差的估計，因為分層抽樣中未按比例抽樣，總體中每個個體被抽到的可能性不完全相同，因而樣本的代表性差.16．答案：(1)(2)解：（1）第一局由乙丙對戰(zhàn)，甲獲勝有兩種情況：①乙丙對戰(zhàn)乙勝，乙甲對戰(zhàn)甲勝，甲丙對戰(zhàn)甲勝，則概率為；②乙丙對戰(zhàn)丙勝，丙甲對戰(zhàn)甲勝，甲乙對戰(zhàn)甲勝，則概率為；綜上，甲獲勝的概率為.（2）若第一局甲乙對戰(zhàn)，則甲獲勝有三種情況：①甲乙對戰(zhàn)甲勝，甲丙對戰(zhàn)甲勝，概率為，②甲乙對戰(zhàn)甲勝，甲丙對戰(zhàn)丙勝，丙乙對戰(zhàn)乙勝，乙甲對戰(zhàn)甲勝的概率為，③甲乙對戰(zhàn)乙勝，乙丙對戰(zhàn)丙勝，丙甲對戰(zhàn)甲勝，乙甲對戰(zhàn)甲勝的概率為，所以最終甲獲勝的概率為.17．答案：(1)證明見解析；(2).解：（1）因為為半球的直徑，為半球底面圓周上一點,所以,因為、平面,所以平面，又因為平面,所以,又因為為半球面上一點,所以,又因為平面所以平面,又平面,所以;（2）因為三角形為直角三角形,所以,又因為平面,所以，又因為三角形也是直角三角形，所以,所以，設(shè)點到平面的距離為,則有，即,所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則.18．答案：(1)(2)解：（1）在中，，由余弦定理得，，即，化簡得，解得（舍），或，故的長為；（2）已知點D在平面內(nèi)，且，則四點共圓，，則，在中，由余弦定理得，，則，，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.即的最大值為，又，故四邊形周長的最大值為.19．答案：(1)(2)存在，(3)解：（1）連接，由題意得，，則為等邊三角形，，在中，，由余弦定理得，所以，由，則，故.若平面平面，由平面平面，平面，，則平面，平面，則，所以.下面證明當(dāng)時，平面平面.證明：由，則，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故當(dāng)時，平面平面；（2）由（1）知，，則平面平面.在平面內(nèi)過作，由平面平面，平面，則平面，平面，則.如圖，以點為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為軸，過垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，由，，因