第34講空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系鏈教材夯基固本激活思維1.(人A必二P128T2)下列說法正確的是()A.三點(diǎn)確定一個平面B.一條直線和一個點(diǎn)確定一個平面C.梯形可確定一個平面D.圓心和圓上兩點(diǎn)確定一個平面2.(人A必二P131T1(2))設(shè)直線a，b分別是長方體相鄰兩個面的對角線所在的直線，則a與b()A.平行B.相交C.是異面直線D.可能相交，也可能是異面直線3.(人A必二P131練習(xí)T4改)已知平面α∥平面β，直線a∥平面α，直線b∥平面β，則a與b的位置關(guān)系可能是()A.平行或相交 B.相交或異面C.平行或異面 D.平行、相交或異面4.(人A必二P131T3改)下列說法正確的是()A.若直線l上有無數(shù)個點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥αB.若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行C.如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行D.若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn)5.如圖，已知長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB＝2eq\r(3)，AD＝2eq\r(3)，AA′＝2，則BC和A′C′所成角的大小是_________________，AA′和BC′所成角的大小是________________.(第5題)聚焦知識1.平面的基本性質(zhì)基本事實(shí)1：過不在一條直線上的三個點(diǎn)，有且只有一個平面．基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)．基本事實(shí)3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．2.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號語言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語言符號語言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l獨(dú)有關(guān)系圖形語言符號語言a，b是異面直線a?α3.平行直線(1)基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行．(2)定理：如果空間中一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩個角相等．4.異面直線(1)判定：與一個平面相交的直線和這個平面內(nèi)_________________的直線是異面直線，如圖所示．(2)異面直線所成的角：設(shè)a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a，b所成的角或夾角，其取值范圍為_________________．5.常用結(jié)論(唯一性定理)(1)過直線外一點(diǎn)_________________直線與已知直線平行；(2)過直線外一點(diǎn)_________________平面與已知直線垂直；(3)過平面外一點(diǎn)_________________平面與已知平面平行；(4)過平面外一點(diǎn)________________直線與已知平面垂直．研題型素養(yǎng)養(yǎng)成舉題固法平面的基本事實(shí)及應(yīng)用例1如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，對角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O，AC，BD交于點(diǎn)M，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)．(例1)(1)求證：C1，O，M三點(diǎn)共線；(2)求證：E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(3)求證：CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．共面、共線、共點(diǎn)問題的證明(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個平面內(nèi)．(2)證明共線的方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上．(3)證明共點(diǎn)的方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)．變式1如圖，在四面體ABCD中作截面PQR，若PQ與CB的延長線交于點(diǎn)M，RQ與DB的延長線交于點(diǎn)N，RP與DC的延長線交于點(diǎn)K.(變式1)(1)求證：直線MN?平面PQR；(2)求證：點(diǎn)K在直線MN上．空間兩直線的位置關(guān)系例2(多選)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，下列說法正確的是()(例2)A.直線AM與CC1是相交直線B.直線AM與BN是平行直線C.直線BN與MB1是異面直線D.直線AM與DD1是異面直線變式2在底面半徑為1的圓柱OO1中，過旋轉(zhuǎn)軸OO1作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB＝2，E是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，則()A.AE＝CF，AC與EF是共面直線B.AE≠CF，AC與EF是共面直線C.AE＝CF，AC與EF是異面直線D.AE≠CF，AC與EF是異面直線異面直線所成角的計算例3如圖，已知O是圓柱下底面圓的圓心，AA1為圓柱的一條母線，B為圓柱下底面圓周上一點(diǎn)，OA＝1，∠AOB＝eq\f(2π,3)，△AA1B為等腰直角三角形，則異面直線A1O與AB所成角的余弦值為________________．(例3)異面直線所成角的求法1.平移使相交：通過平移一條(或2條)，使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，然后在三角形中利用余弦定理求角；2.向量法：已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點(diǎn)，a，b所成的角為θ，則cosθ＝|cos〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))·\o(BD,\s\up6(→))|,|\o(AC,\s\up6(→))||\o(BD,\s\up6(→))|).變式3(1)(2021·全國乙卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)(2)(2024·南平三檢)在正四面體ABCD中，P為棱AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A的平面α與平面PBC平行，平面α∩平面ABD＝m，平面α∩平面ACD＝n，則m，n所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(\r(3),3)隨堂內(nèi)化1.已知平面α與平面β，γ都相交，則這三個平面可能的交線有()A.1條或2條B.2條或3條C.1條或3條D.1條或2條或3條2.設(shè)P1，P2，P3，P4為空間中的四個不同點(diǎn)，則“P1，P2，P3，P4中有三點(diǎn)在同一條直線上”是“P1，P2，P3，P4在同一個平面內(nèi)”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件3.(2024·日照一模)已知l，m是兩條不同的直線，α為平面，m?α，下列說法中正確的是()A.若l與α不平行，則l與m一定是異面直線B.若l∥α，則l與m可能垂直C.若l∩α＝A，且A?m，則l與m可能平行D.若l∩α＝A，且l與α不垂直，則l與m一定不垂直4.(2024·保定二模)如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝4AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()(第4題)A.eq\f(7,17) B.eq\f(14,17)C.eq\f(16,17) D.eq\f(8,17)配套精練A組夯基精練一、單項(xiàng)選擇題1.已知互不重合的三個平面α，β，γ，其中α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a∩b＝P，則下列結(jié)論一定成立的是()A.b與c是異面直線B.a與c沒有公共點(diǎn)C.b∥cD.b∩c＝P2.(2024·岳陽三模)下列命題正確的是()A.若直線l上有無數(shù)個點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥αB.若直線a不平行于平面α且a?α，則平面α內(nèi)不存在與a平行的直線C.已知直線a，b，平面α，β，且a?α，b?β，α∥β，則直線a，b平行D.已知兩條相交直線a，b，且a∥平面α，則b與α相交3.(2024·威海二模)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱BC，B1C1的中點(diǎn)，若平面DBB1與平面AEF的交線為l，則l與直線AD1所成角的大小為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,2)4.(2024·南昌二模)在三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，AB＝eq\r(3)，BC＝BD＝CD＝2，E，F(xiàn)分別為AC，CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A.AF，BE是異面直線，AF⊥BEB.AF，BE是相交直線，AF⊥BEC.AF，BE是異面直線，AF與BE不垂直D.AF，BE是相交直線，AF與BE不垂直二、多項(xiàng)選擇題5.(2025·南通海安期初)在空間中，設(shè)a，b，c是三條不同的直線，α，β，γ是三個不重合的平面，則下列能推出a∥b的是()A.a⊥c，b⊥cB.a∥α，a?β，α∩β＝bC.α⊥γ，β⊥γ，α∩γ＝a，β∩γ＝bD.α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，a∥c6.(2024·新鄉(xiāng)三模)已知m，n，l為空間中三條不同的直線，α，β，γ為空間中三個不重合的平面，則下列說法正確的是()A.若α∩β＝m，m⊥γ，則α⊥γ，β⊥γB.若m?α，n?α，則m與n為異面直線C.若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，且l∩m＝P，則P∈nD.若m⊥α，m⊥β，α∥γ，則β∥γ7.如圖，在正方體ABCDeq\a\vs4\al(-)A1B1C1D1中，P，Q分別是棱AA1，CC1的中點(diǎn)，平面DPQ∩平面A1B1C1D1＝l，則下列結(jié)論正確的有()(第7題)A.l過點(diǎn)B1B.l不一定過點(diǎn)B1C.DP的延長線與D1A1的延長線的交點(diǎn)不在l上D.DQ的延長線與D1C1的延長線的交點(diǎn)在l上三、填空題8.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為_________________．9.在三棱錐P-ABC中，AC＝1，PB＝2，M，N分別是PA，BC的中點(diǎn)，若MN＝eq\f(\r(2),2)，則異面直線AC，PB所成角的余弦值為________________．四、解答題10.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：(第10題)(1)D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；(2)若A1C交平面DBFE于點(diǎn)R，則P，Q，R三點(diǎn)共線；(3)DE，BF，CC1三線交于一點(diǎn)．11.如圖，等腰直角三角形ABC的直角邊AC＝BC＝2，沿其中位線DE將三角形ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱錐A-BCDE，設(shè)CD，BE，AE，AD的中點(diǎn)分別為M，N，P，Q.(第11題)(1)求證：M，N，P，Q四點(diǎn)共面；(2)求異面直線BE與MQ所成的角．B組能力提升練12.若平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A