第三章圓錐曲線的方程全章綜合測(cè)試卷-提高篇參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2020·湖南·高二期末）雙曲線x2-my2A．y=±13x B．y=±3x【解題思路】首先將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，再根據(jù)c=2求出m【解答過(guò)程】解：雙曲線x2-my2所以1+1m=22則雙曲線的漸近線為y=±故選：C.2．（5分）（2022·四川成都·高三開學(xué)考試（文））我們把離心率為22的橢圓稱為“最美橢圓”．已知橢圓C為“最美橢圓”，且以橢圓C上一點(diǎn)P和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為4，則橢圓C的方程為（

A．x22+C．x26+【解題思路】先由e=22得到c=22a與b=22a，再由【解答過(guò)程】解：由已知e=ca=2∵S△PF∴22a×22所以橢圓C的方程為x2故選：D．3．（5分）（2022·河北·高三階段練習(xí)）阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過(guò)FA．362π B．182π C．【解題思路】利用作差法構(gòu)建斜率、中點(diǎn)坐標(biāo)相關(guān)方程y1-y2x1-x2【解答過(guò)程】設(shè)Ax1,y1，B即k=弦AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)，則k=-又∵k=0-(-1)3-2=1，∴1=-又∵c=a2-b2=3故橢圓的面積為abπ故選：C.4．（5分）（2022·陜西·高三階段練習(xí)（文））已知F1,F2是橢圓C:x2a2+y215A．x221+C．x236+【解題思路】利用橢圓定義結(jié)合余弦定理得到c2a2=【解答過(guò)程】在橢圓C:x2a2+y215=1(a>15)中，由橢圓的定義可得PF1+PF2=2a，因?yàn)镻F故選：C．5．（5分）（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)F1,F2是橢圓C1:x2a12+yA．1,2 B．1,3 C．3,+【解題思路】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義求出MF1,【解答過(guò)程】由題意可得，MF1+MF2=2a1，MF1-MF2故選：A．6．（5分）（2023·廣東茂名·高三階段練習(xí)）已知拋物線C：y2=8x的準(zhǔn)線為l，l與x軸交于點(diǎn)P，直線x=1與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，則A．42 B．62 C．82【解題思路】聯(lián)立直線與拋物線的方程，即可得到A,B【解答過(guò)程】由題意知l：x=-2，點(diǎn)P-2,0，由y所以△PAB的面積為1故選:B.7．（5分）（2022·陜西·研究室一模（文））已知過(guò)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，Q為AB的中點(diǎn)，P為CA．83 B．53 C．8 D【解題思路】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，再借助拋物線的定義求解作答.【解答過(guò)程】拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線由y=3(x-1)y則x1+x2=103過(guò)點(diǎn)Q作準(zhǔn)線x=-1的垂線，垂足為D，交拋物線C于點(diǎn)P，連PF于是|PF|+|PQ|=|PD|+|PQ|=|QD|=83，在拋物線則有|P'F|+|P所以|PF|+|PQ故選：A.8．（5分）（2022·四川省高二期末（理））已知雙曲線C:x2-y2b2=1(b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1,F2①C的離心率e=2②兩漸近線夾角為30°③PA?PB為定值④AB的最小值為32則所有正確結(jié)論為（

）A．①② B．①③ C．③④ D．①③④【解題思路】根據(jù)圓與漸近線相切可求出b=3，c=2根據(jù)漸近線方程可得傾斜角，從而可得兩漸近線的夾角，可判斷②不正確；設(shè)P(x0,y0)(設(shè)P(x0,y0)(x【解答過(guò)程】因?yàn)閳A(x-1)所以圓心(1,0)到漸近線bx-y=0即bb2+1所以c=a2+b因?yàn)镃的漸近線為y=±3x，所以兩漸近線的傾斜角為60°和120°設(shè)P(x0|PA|?|PB|=|3x0依題意設(shè)PA:y聯(lián)立{y-y0=-聯(lián)立{y-y0=所以|=34y因?yàn)閤0≥1，所以|AB|=3x02-9故選：D.二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2021·江蘇省高二階段練習(xí)）已知方程x24-t+yA．當(dāng)1<t<4時(shí)，曲線B．當(dāng)t>4或t<1時(shí)，曲線C．若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則1<D．若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則t【解題思路】根據(jù)x24-t+y2t-1=1表示橢圓可求得1<t<5【解答過(guò)程】當(dāng)曲線C是橢圓時(shí)，4-t>0t-1>04-t當(dāng)曲線C是雙曲線時(shí)，4-tt-1<0，解得t若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則4-t>0t-1>0若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則4-t>0t-1>0故選:BC．10．（5分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l：3x-y-3=0過(guò)拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A．拋物線的方程為y2=4x B．線段C．∠MFN=90° D．線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)【解題思路】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得p=2，即可判斷A;聯(lián)立方程求出A,B坐標(biāo)，可得AB，判斷B；確定M,N坐標(biāo)，可計(jì)算kNF?kMF，判斷【解答過(guò)程】由題意不妨設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B上方，直線l：3x-y-3又l經(jīng)過(guò)y2=2px的焦點(diǎn)，故F即拋物線方程為C：y2=4x由3x-y-3=0y可得A3,23，B13,-由以上分析可知，M-1,23，N可得kNF則MF⊥NF，即∠MFN因?yàn)锳3,23，B13,-則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為53，D故選：BD．11．（5分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,A．PB．直線PA1，PC．使得△PF1D．若PA1【解題思路】由雙曲線的定義，可判定A錯(cuò)誤；由kPA1?kPA2=y0x0【解答過(guò)程】由題意，點(diǎn)P是雙曲線上異于A1,A對(duì)于A中，由雙曲線的定義知，PA1-對(duì)于B中，由A1(-a,0)，又由x02a2-y0對(duì)于C中，若P在第一象限，則當(dāng)PF1=2c時(shí)，PF2=2c-2a，△PF1F2為等腰三角形；當(dāng)PF2=2c時(shí)，對(duì)于D中，由PA1?從而PF1?故選：BD．12．（5分）（2022·浙江·高二期末）已知F1，F(xiàn)2同時(shí)為橢圓C1：x2a12+y2b12=1（a1>b1>0）與雙曲線C2:x2a2A．a(chǎn)B．若∠F1C．若F1FD．若F1F2=3【解題思路】設(shè)F1F2=2c對(duì)于A：計(jì)算出a12-b12=a22+b22對(duì)于C：先判斷出△F1MF2為直角三角形.利用勾股定理得到4c2=2令t=a1a2，則e1【解答過(guò)程】因?yàn)镕1，F(xiàn)2同時(shí)為橢圓C1：x2a12+y2b12=1（a1對(duì)于A：因?yàn)閏2=a12-b1對(duì)于B：由橢圓的定義可知：MF1+聯(lián)立解得：MF1=由余弦定理可得：F1因?yàn)椤螰1M整理化簡(jiǎn)得：4c因?yàn)閏2=a12因?yàn)閏2=a代入4b12=3a12-對(duì)于C：因?yàn)镕1F2由等腰三角形的性質(zhì)可得：∠F2MO因?yàn)椤螼所以∠F1MF所以F1F22=所以1e12+對(duì)于D：因?yàn)镕1F2e1令t=a1因?yàn)閍1>a又MF1+由MF1-所以t=由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得：y=t+1t所以e1故D正確.故選：BCD.三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,【解題思路】依題意可得ba=34，c=5，即可求出【解答過(guò)程】解：雙曲線C:x2可得ba=34，其右焦點(diǎn)為(5,0)，可得解得a=4，b則雙曲線C的方程為：x2故答案為：x214．（5分）（2022·重慶高二階段練習(xí)）根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)該拋物線反射后與對(duì)稱軸平行，一條平行于對(duì)稱軸的光線經(jīng)該拋物線反射后會(huì)經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn).如圖所示，從A5,m1沿直線y=m1發(fā)出的光線經(jīng)拋物線【解題思路】求出p2，利用拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離可得答案【解答過(guò)程】由y2=4x設(shè)Bx1,由拋物線性質(zhì)，BC與x軸的交點(diǎn)即為拋物線的焦點(diǎn)，AB=5-x1，BC所以AB+BC所以該光線經(jīng)過(guò)的路程為12.故答案為：12.15．（5分）（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2，斜率為12的直線【解題思路】設(shè)A(x1,y1),B(【解答過(guò)程】如圖示，由橢圓定義可得|A則△ABF2的周長(zhǎng)為4a,設(shè)△ABF2內(nèi)切圓半徑為r，△故2π=2πr由題意得12×4得y1-y2=所以由AB=1+1故答案為：8516．（5分）（2021·安徽·高二階段練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1,F2，且橢圓C與雙曲線C'：2x2【解題思路】由橢圓和雙曲線的定義可得MF1+MF2=2aMF1-MF2=2a，解得MF1=2+22a【解答過(guò)程】由題意，將雙曲線C'：C':2不妨設(shè)點(diǎn)M在雙曲線的右支上，則由橢圓和雙曲線的定義，可得MF1+因?yàn)镸F1?MF2=2，代入可得2+2所以MF1=2+顯然有MF1|所以ΔMF1F故答案為：1.四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2021·甘肅·高二階段練習(xí)（文））設(shè)命題p：方程x21-2m+y2m+2=1表示雙曲線；命題(1)若命題q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若p∨q為真命題，p∧q【解題思路】（1）由題意可得m2（2）先求出命題p為真命題時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍，由題意可得p,q一真一假，再分別討論p真q假，p假q真時(shí)m【解答過(guò)程】(1)若q為真，則m2>2m+82(2)若p為真命題，則1-2mm+2<0，可得因?yàn)閜∨q為真命題，p∧若p真q假，則：m<-2或m>1若p假q真，則：-2≤綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為：m≤-4或118．（12分）（2021·江蘇省高二階段練習(xí)）已知雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸上，焦距為10，且它的一條漸近線方程為y(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)C的右頂點(diǎn)，斜率為2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，求|【解題思路】(1)由條件設(shè)雙曲線的方程為x2a2-y2【解答過(guò)程】（1）因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，故設(shè)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x∵雙曲線的焦距為10，∴c∵C的一條漸近線為y=4又a2+b2=故所求方程為x（2）由(1)C的右頂點(diǎn)為(3,0)，又直線l的斜率為2，所以直線l的方程為y聯(lián)立x29-y2解得x=3或則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(3,0)，(故|19．（12分）（2022·江蘇·高二階段練習(xí)）已知橢圓x2a2+y2b(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，與x，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且MA=NB,MN【解題思路】（1）依題意，求出a,c，再求出b（2）運(yùn)用橢圓的中點(diǎn)弦公式和點(diǎn)差法即可求解.【解答過(guò)程】（1）由題意，e=22,2c橢圓方程為：x26（2）令A(yù)B的中點(diǎn)為E，因?yàn)閨MA|=|NB設(shè)Ax1,所以x12所以y1+y設(shè)直線AB:y令x=0得y=m，令y=0得x=-mkAB即kAB×m2-m2k又|MN|=23，即|MN|=所以直線AB:y=-綜上，橢圓的方程為：x26+y220．（12分）（2022·重慶高三階段練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)與圓O相切的直線l與橢圓相交于M,N兩點(diǎn)，Q為弦MN的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).求|【解題思路】（1）由離心率得出a,b,c關(guān)系，再由原點(diǎn)O到直線（2）先確定直線MN斜率為0或斜率不存在時(shí)的結(jié)論，然后在斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)方程為x=my+t（m≠0），代入橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理y1+y2【解答過(guò)程】（1）由e=ca原點(diǎn)O到直線AB的距離為d=aba故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）kMN=0時(shí)：Q0,1,M直線MN斜率不存在時(shí)，Q(1,0),M(1,1),N(1,-1)直線MN斜率存在且不為0時(shí)：設(shè)直線l的方程為x=my+由直線l與圓x2+y2=1聯(lián)立x23+設(shè)M(由韋達(dá)定理：y1+y2=-所以MN中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為2t故OQMN=2故|OQ|?|MNm2+4m22<2綜上：OQ?MN的取值范圍是21．（12分）（2022·重慶高二階段練習(xí)）已知拋物線Γ:y2=2px((1)求p的值；(2)如圖，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（三象限）且不過(guò)原點(diǎn)的直線l與拋物線Γ相交于S,T兩點(diǎn)，且直線FS,FT的斜率分別為k1,k2.問(wèn)：是否存在定點(diǎn)P【解題思路】（1）設(shè)出過(guò)點(diǎn)F的直線方程，與拋物線聯(lián)立，表示出弦長(zhǎng)即可根據(jù)最小值求出；（2）設(shè)出直線l的方程，與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示k1?【解答過(guò)程】(1)設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線方程為x=ty+將直線代入拋物線可得y2-2pty-所以|AB當(dāng)t=0時(shí)，AB取得最小值為2p=4(2)假設(shè)存在定點(diǎn)Px0,y0，設(shè)直線l將直線方程代入拋物線得y2-4所以k1?k2=因?yàn)辄c(diǎn)Px0,y0為定點(diǎn)，所以y因?yàn)橹本€l不過(guò)原點(diǎn)，所以n≠0所以k=-=-4因?yàn)閗1?k2為定值，所以因?yàn)镻在第三象限，所以存在定點(diǎn)P，其坐標(biāo)為-1,-222．（12分）（2022·上?！じ呷A段練習(xí)）如圖，F(xiàn)是拋物線Γ：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線交拋物線Γ于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F的右側(cè)．記△AFG，△CQG的面積分別為(1)求拋物線Γ的方程；(2)設(shè)A點(diǎn)縱坐標(biāo)為2t，試用t表示點(diǎn)G(3)在（2）的條件下，求S1S2【解題思路】（1）將點(diǎn)1,2的坐標(biāo)代入y2=2px（2）先求出直線AB的方程為y=