在高中數(shù)學教學中，數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不僅關(guān)注知識的掌握，還強調(diào)學生思維能力的形成，其中數(shù)學建模、邏輯推理和數(shù)學抽象能力的提升尤為重要。教師通過科學、合理的情境創(chuàng)設(shè)，引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，并借助已掌握的知識工具進行分析和求解，有助于深化其對數(shù)學本質(zhì)的理解。本文以“探究旋轉(zhuǎn)拋物體的體積”為案例，研究如何通過科學的情境創(chuàng)設(shè)，使學生經(jīng)歷從實際問題出發(fā)，運用坐標法、祖晅原理、積分思想等方法建構(gòu)數(shù)學模型，并在此基礎(chǔ)上優(yōu)化求解策略，從而有效培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)。一、內(nèi)容分析本節(jié)課的核心問題是如何計算旋轉(zhuǎn)拋物體的體積。該問題的解決方案可以借助祖晅原理：“冪勢既同，則積不容異。\"即若兩個被平行平面所截的幾何體在任一平行截面上的面積恒等，則它們的體積相等。祖恒原理的思想與微積分的基本概念相吻合，即先對幾何體進行分割（微分），再求整體（積分），顯示出我國古代數(shù)學思想與現(xiàn)代數(shù)學的內(nèi)在聯(lián)系。教學過程中，教師基于3D打印模型設(shè)計實際問題，通過類比球體體積的推導過程，運用圓錐曲線方程與祖晅原理，構(gòu)建旋轉(zhuǎn)拋物體的體積求解模型，并引導學生解決實際問題。這一設(shè)計能夠讓學生從現(xiàn)實情境出發(fā)，理解數(shù)學建模的過程，并體會數(shù)學的應(yīng)用價值。二、學情分析學生已經(jīng)學習了祖恒原理，并經(jīng)歷了利用該原理推導半球體體積的學習過程，也掌握了圓錐曲線的基本性質(zhì)，以及解析幾何的解決問題方法，并體會到了數(shù)形結(jié)合的思想。因此，本節(jié)課內(nèi)容在學生已有知識的基礎(chǔ)上展開，使其能夠順利銜接新知識。從生活經(jīng)驗來看，學生能夠觀察到許多與圓錐曲線相關(guān)的事物，但對于如何應(yīng)用圓錐曲線知識解決實際問題仍然較為陌生。因此，教師通過身邊實例的發(fā)現(xiàn)與提煉，引導學生在現(xiàn)實問題中發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，并通過數(shù)學建模進行解決，從而加深對數(shù)學與生活聯(lián)系的理解。學生在學習過程中可能遇到的主要難點有：1.如何構(gòu)造旋轉(zhuǎn)拋物體的數(shù)學模型一一即如何利用拋物線的方程構(gòu)造一個繞對稱軸旋轉(zhuǎn)后能滿足祖恒原理的幾何體。2.如何計算旋轉(zhuǎn)拋物體的體積一一如何利用積分思想或祖晅原理推導其體積公式。為了幫助學生克服這些障礙，教師可在課前布置任務(wù)單，要求學生回顧半球體積公式的推導，為本節(jié)課的學習提供認知鋪墊，使其能夠順利理解旋轉(zhuǎn)拋物體的體積推導過程，三、教學過程（一）積極創(chuàng)設(shè)生活情境，引導學生發(fā)現(xiàn)問題并解決問題教師展示3D打印杯子并提出問題：“同學們，假如你要設(shè)計一個茶杯，杯體高5.5cm，底座高0.5cm想讓它的容量大約為125mL，如何設(shè)計杯子的內(nèi)壁形狀呢？這個問題涉及哪些數(shù)學知識？”學生1：這個杯子是旋轉(zhuǎn)體，它的體積計算應(yīng)該與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)。學生2：已知杯子的體積和高，我們可以求它的曲線方程。學生3：杯子的內(nèi)壁可能是拋物線旋轉(zhuǎn)形成的，也可能是橢圓的一部分。學生4：假設(shè)它是半球體，是否合理？教師總結(jié)學生提到的知識點，然后繼續(xù)提問，如：已知旋轉(zhuǎn)體的體積和高，如何求曲線方程？已知旋轉(zhuǎn)體的體積和高，如何求上口直徑？假設(shè)這個旋轉(zhuǎn)體是半球體，是否合理？杯子的內(nèi)壁橫截面是怎樣的曲線？“你們提到了旋轉(zhuǎn)體的體積計算，那我們需要知道杯子的內(nèi)壁是由什么曲線旋轉(zhuǎn)形成的。你們覺得可以用哪種曲線呢？”學生1：它的軸截面看起來像拋物線。學生2：也可能是橢圓的一部分。教師帶領(lǐng)學生建立數(shù)學模型，嘗試解決問題。方案一：假設(shè)內(nèi)壁是旋轉(zhuǎn)拋物面通過拋物線圍繞對稱軸旋轉(zhuǎn)形成旋轉(zhuǎn)體，學生研究該模型如何滿足已知條件，如杯子的高度和容量。并探討如何利用拋物線的方程建立數(shù)學模型，計算旋轉(zhuǎn)體的體積。⑨方案二：旋轉(zhuǎn)橢圓體模型學生嘗試采用橢圓的一部分作為內(nèi)壁，繞對稱軸旋轉(zhuǎn)形成幾何體，研究橢圓的形狀如何影響體積計算，并對比其與旋轉(zhuǎn)拋物面的區(qū)別，最后通過邊界條件確定數(shù)學模型，并計算其體積是否滿足要求。在建立了數(shù)學模型之后，教師引導學生利用已有知識求解，并對比兩種模型的合理性。學生分別計算旋轉(zhuǎn)拋物體和旋轉(zhuǎn)橢圓體的體積，分析哪種模型更符合茶杯的設(shè)計要求。此過程中，教師強調(diào)數(shù)學建模的思維方式，如基于現(xiàn)實問題構(gòu)建數(shù)學模型，要從杯子的設(shè)計要求出發(fā)，抽象出旋轉(zhuǎn)體的數(shù)學問題（二）提取數(shù)學問題，引導學生觀察與思考在課堂教學中，由于時間有限，且解決旋轉(zhuǎn)體體積的方法具有類比性，因此本節(jié)課聚焦于方案一，即已知旋轉(zhuǎn)拋物體的高度為5cm，體積為125mL，求軸截面所在拋物線的方程。為了幫助學生順利解決這個問題，教師逐步引導，使學生經(jīng)歷從問題分析到數(shù)學建模的完整過程。教師：解決這個問題的關(guān)鍵是什么？學生在討論后，提出了關(guān)鍵問題：如何計算旋轉(zhuǎn)拋物體的體積？教師：如果我們想計算體積，你們能想到哪些方法？在學生自由討論后，教師對他們的回答進行歸納整理：（1）如果是柱、錐、臺、球等常見幾何體，可以直接使用體積公式進行計算。（2）除了公式計算外，我們在高一時學過祖恒原理，它是一種重要的數(shù)學方法，可以用于求解不規(guī)則旋轉(zhuǎn)體的體積。為了幫助學生進一步理解祖恒原理的應(yīng)用，教師繼續(xù)創(chuàng)設(shè)數(shù)學情境：“我們學習過祖恒原理，并用它推導過半球體的體積。請大家回憶，我們當時是如何進行計算的？”學生：求旋轉(zhuǎn)拋物體的體積，關(guān)鍵在于構(gòu)造一個等體積的幾何體。教師：能否具體說說，我們應(yīng)該如何操作？基于學生的回答，教師總結(jié)并歸納出求解旋轉(zhuǎn)拋物體體積的關(guān)鍵步驟：1.構(gòu)造等體積的幾何體。選擇一個已知體積計算公式的幾何體（如圓柱、半球、圓錐等），使這個幾何體的體積與旋轉(zhuǎn)拋物體相等，這樣就可以用祖恒原理進行計算。2.構(gòu)造等高的幾何體，并利用截面面積相等的原理。讓構(gòu)造的幾何體與旋轉(zhuǎn)拋物體放置在同一水平面，確保兩者的高度相等。用平行于水平面的截面切割旋轉(zhuǎn)拋物體和已構(gòu)造的幾何體，確保每個截面的面積恒相等。在完成對體積計算方法的分析后，教師引導學生進行總結(jié)：1.數(shù)學建模的關(guān)鍵在于找到適合的數(shù)學工具，選擇合適的計算方法。2.對比不同計算方法，能夠更清晰地理解旋轉(zhuǎn)體的體積計算原理。3.祖晅原理的應(yīng)用不僅限于已學過的半球體，還可以拓展到更復(fù)雜的旋轉(zhuǎn)體問題，如本節(jié)課中的旋轉(zhuǎn)拋物體。針對學生的知識掌握情況，教師繼續(xù)設(shè)計問題讓學生拓展思維：1.如果改變旋轉(zhuǎn)拋物體的高度，如何調(diào)整體積計算？2.如果換成其他曲線（如橢圓、雙曲線），體積計算方法是否相同？3.在現(xiàn)實生活中，哪些物品的形狀可以用類似的方法建模？本部分教學內(nèi)容的設(shè)計，主要是引導學生觀察問題，從現(xiàn)實情境出發(fā)，抽象出數(shù)學問題。教師結(jié)合已有知識進行回顧，使學生能夠利用已學過的數(shù)學工具（如祖恒原理）解決新問題。而教師通過類比推導增強數(shù)學理解，讓學生體驗數(shù)學建模的全過程，提高邏輯思維能力。最后教師通過問題引導，使學生能夠主動思考、總結(jié)，并建立完整的知識體系。（三）鼓勵學生建模，嘗試解決具體問題在實際教學過程中，數(shù)學建模能力的培養(yǎng)是提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要途徑。然而，在建模過程中，部分學生往往難以順利地將現(xiàn)實問題抽象為數(shù)學模型，特別是在涉及空間幾何體時缺乏對坐標法的直觀理解。因此，在本節(jié)課中，教師通過旋轉(zhuǎn)拋物體體積的求解，引導學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題一構(gòu)建模型一求解驗證的完整數(shù)學建模過程，建模過程如圖1所示。圖1建模過程教學之前，教師首先明確學生的學習困難：（1）坐標點的選?。簩W生無法清晰地理解如何利用坐標法在軸截面的曲線上選取點，并利用這些點的坐標表示相應(yīng)的截面面積。（2）截面面積的表達：學生對平行于水平面的截面如何用坐標表示不夠直觀，難以將其與旋轉(zhuǎn)體的體積計算聯(lián)系起來。為了讓學生更清晰地理解旋轉(zhuǎn)拋物體的結(jié)構(gòu)和體積計算的邏輯，本節(jié)課采用小組合作探究的形式，讓每個小組選擇不同的視角建立數(shù)學模型，并由一名學生展示小組的成果。以下是其中一個小組的建模過程：該小組首先假設(shè)拋物線的標準方程為x2=2py，pgt;0，幾何體的高設(shè)為h，這樣一來，每層截面對應(yīng)的高為y則截面的面積為，這個公式可以看成是長2πp，寬為y的矩形的面積公式，進一步聯(lián)想到一個長為2πp、寬為h.高為h的長方體，截面面積會一直是2πpy?？梢姡孛娴拈L度和寬度都會保持不變，沿著一個正方形面的對角線將長方體截去一半后，此時與旋轉(zhuǎn)拋物體得到的截面處處相等。因此可以得到公式：。接下來，教師引導各小組成員在已有模型的基礎(chǔ)上進一步完善建模方法，以便優(yōu)化計算過程并提升數(shù)學表達的嚴謹性。由于在備課過程中，教師對模型的建立進行了預(yù)設(shè)，因此此處用幾何畫板再次展示動態(tài)下的建模過程。在建模探究過程中，某小組提出了一種類比半球體積推導的方法，試圖利用圓柱體挖去特定幾何體的方式來計算旋轉(zhuǎn)拋物體的體積。該小組成員思考：如果在圓柱體中去除一個合適的幾何部分，能否得到所需的旋轉(zhuǎn)拋物體？在這一思路的引導下，他們將旋轉(zhuǎn)拋物體的軸截面視作拋物線的部分區(qū)域，并結(jié)合軸截面拋物線上的坐標特性，構(gòu)造出一個倒扣的旋轉(zhuǎn)拋物體，而非簡單的圓錐體。由此，他們提出了一種新的計算模型：將旋轉(zhuǎn)拋物體看作從圓柱體中去除一個對稱的旋轉(zhuǎn)拋物體部分，并推導出相應(yīng)的體積公式：。針對計算結(jié)果，教師提出問題：該公式的特點和幾何解釋？學生通過觀察發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)拋物體的體積恰好等于等高圓柱體體積的一半。這一結(jié)論不僅直觀地展現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)拋物體的幾何對稱性，同時與學生此前學習的幾何體體積計算公式保持一致。教師進一步補充，指出這一公式與生活中的物體設(shè)計密切相關(guān)，例如傳統(tǒng)茶杯的上口直徑（即圓口的直徑2r）也是一個重要的參數(shù)，這一設(shè)計既滿足功能需求，又蘊含著深刻的數(shù)學原理。由于課堂時間有限，在展示過程中學生未能對模型的推導進行系統(tǒng)的整理與完善。因此，教師鼓勵學生進一步思考，并引導他們通過繪圖深化理解公式的結(jié)構(gòu)特點。這種方式不僅為后續(xù)討論留下空間，也激發(fā)了學生的數(shù)學探索興趣，使其對旋轉(zhuǎn)拋物體的體積計算有了更深層次的認識。在此基礎(chǔ)上，部分學生進一步思考：除了祖怛原理之外，是否可以利用其他數(shù)學方法來求解？學生提出：可以借助微積分思想來推導旋轉(zhuǎn)拋物體的體積，并嘗試用分割求和的方式重新構(gòu)建計算過程。教師在課堂上對學生的創(chuàng)新思維給予高度評價，指出微積分的思想在旋轉(zhuǎn)體體積計算中具有廣泛應(yīng)用。事實上，求解曲邊梯形面積和旋轉(zhuǎn)體體積的方法，在高等數(shù)學中常借助微積分實現(xiàn)，而祖恒原理本質(zhì)上已體現(xiàn)了微積分的核心思想，即通過微元分割和求和來計算復(fù)雜幾何體的體積。這一補充不僅幫助學生理解了旋轉(zhuǎn)拋物體體積的推導邏輯，也為他們未來在更高階數(shù)學學習中的應(yīng)用奠定了認知基礎(chǔ)。（四）明確具體參數(shù)，求解模型在建模過程中，進一步明確旋轉(zhuǎn)拋物體的具體參數(shù)至關(guān)重要。為此，學生需要根據(jù)已知條件，求出滿足設(shè)計要求的茶杯內(nèi)壁拋物線方程。教師提問：現(xiàn)在能否求出滿足條件的茶杯內(nèi)壁的拋物線方程？學生思考：為求得拋物線方程，需要利用體積公式和已知條件進行計算。通過兩種不同的計算方式，可以得到相應(yīng)的拋物線方程參數(shù)。方法一：直接利用體積公式求解焦距已知茶杯容積。茶杯有效高度h=5.5-0.5=5cm（去除底座部分）。代入旋轉(zhuǎn)拋物體體積公式，計算得到焦距p=1.59。由此可得拋物線方程0方法二：利用體積公式反推茶杯口徑仍采用相同的體積和高度條件進行計算。計算得到底部半徑r=4.0cm，則茶杯口徑為8.0cm。數(shù)學建模不僅是用數(shù)學語言表達現(xiàn)實問題的過程，還是數(shù)學思維的體現(xiàn)。本環(huán)節(jié)通過模型參數(shù)的求解，進一步培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力和邏輯推理能力。通過計算，學生不僅能夠理解體積公式中各參數(shù)之間的關(guān)系，還能體會到如何通過已知信息推導未知參數(shù)，并據(jù)此構(gòu)建符合實際情況的數(shù)學模型。（五）通過檢驗最終結(jié)果，持續(xù)改進模型在模型構(gòu)建完成后，教師引導學生將求得的拋物線方程輸入計算機，以生成茶杯內(nèi)壁的截面圖，并進一步完成3D打印建模。計算機在建模過程中會將三維模型分區(qū)并轉(zhuǎn)換為層切格式，隨后指令打印機逐層打印，最終形成實物模型。在打印完成后，學生對3D打印茶杯的容量進行實際測量，并與理論計算結(jié)果進行比對。測量結(jié)果顯示，打印茶杯的容量與實際茶杯容量相近，驗證了數(shù)學建模的準確性。為進一步優(yōu)化數(shù)學模型，教師結(jié)合作業(yè)設(shè)計安排模型改進任務(wù)，并鼓勵學生探討不同的建模假設(shè)。例如：設(shè)內(nèi)壁呈橢圓面，已知部分旋轉(zhuǎn)橢圓體的高度為5cm，體積為125mL，要求推導截面所在橢圓的方程。該任務(wù)要求學生重新分析幾何特性，探索新的建模方法，并思考如何利用已知體積和高度求解橢圓參數(shù)。此外，學生還需進一步探討不同旋轉(zhuǎn)曲面對建模結(jié)果的影響，例如：若內(nèi)壁并非理想拋物線形狀，而是更接近某種變形的曲面，該如何調(diào)整模型？若茶杯底部非