高代期末考試題型及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)矩陣\(A\)為\(n\)階方陣，若\(\vertA\vert=0\)，則（）A.\(A\)可逆B.\(A\)的秩為\(n\)C.\(A\)的行向量組線性相關(guān)D.\(A\)的列向量組線性無關(guān)答案：C2.向量組\(\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(0,0,1),\alpha_4=(1,1,1)\)的極大線性無關(guān)組所含向量個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4答案：C3.若\(n\)階方陣\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)B.\(A=B\)C.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量D.\(A\)與\(B\)有相同的伴隨矩陣答案：A4.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(Ax=0\)只有零解的充要條件是（）A.\(m>n\)B.\(m=n\)C.\(A\)的列向量組線性無關(guān)D.\(A\)的行向量組線性無關(guān)答案：C5.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+4x_2x_3\)的矩陣是（）A.\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&2\\1&2&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&2&1\\2&2&2\\1&2&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&2\\2&2&3\end{pmatrix}\)答案：A6.設(shè)\(\lambda\)是\(n\)階方陣\(A\)的特征值，則\(A^2\)的特征值為（）A.\(\lambda\)B.\(\lambda^2\)C.\(2\lambda\)D.\(\lambda+2\)答案：B7.設(shè)\(A,B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=E\)，則（）A.\(A=B^{-1}\)B.\(B=A^{-1}\)C.\(A=B\)D.\(A^2=B^2\)答案：B8.若\(A\)為\(3\times3\)矩陣，\(r(A)=2\)，則\(Ax=b\)（）A.無解B.有唯一解C.有無窮多解D.以上都不對答案：C9.設(shè)\(V=\{(x_1,x_2)\vertx_1,x_2\inR\}\)，定義\((x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,x_2+y_2)\)，\(k(x_1,x_2)=(kx_1,0)\)，\(V\)（）A.是向量空間B.不是向量空間C.是實(shí)數(shù)域上的線性空間D.是復(fù)數(shù)域上的線性空間答案：B10.設(shè)\(A\)是\(n\)階正交矩陣，則\(\vertA\vert\)的值為（）A.1B.-1C.\(\pm1\)D.0答案：C二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列矩陣中，是對稱矩陣的有（）A.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}0&1&2\\1&0&3\\2&3&0\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&2&0\\3&4&0\\0&0&5\end{pmatrix}\)答案：ABC2.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(k\)是非零常數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.\(\vertkA\vert=k\vertA\vert\)B.\(\vertkA\vert=k^n\vertA\vert\)C.\(r(kA)=r(A)\)D.若\(A\)可逆，則\((kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}\)答案：BD3.設(shè)向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性相關(guān)，則（）A.其中至少有一個向量可由其余向量線性表示B.存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,k_3\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0\)C.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)的秩小于\(3\)D.任意一個向量可由其余向量線性表示答案：ABC4.對于二次型\(f(x)=x^TAx\)（\(A\)為實(shí)對稱矩陣），下列說法正確的是（）A.若\(A\)正定，則\(f(x)>0\)對任意\(x\neq0\)成立B.若\(A\)負(fù)定，則\(f(x)<0\)對任意\(x\neq0\)成立C.若\(A\)半正定，則\(f(x)\geqslant0\)對任意\(x\)成立D.若\(A\)半負(fù)定，則\(f(x)\leqslant0\)對任意\(x\)成立答案：ABCD5.設(shè)\(A,B\)為\(n\)階方陣，則（）A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^T=A^T+B^T\)C.若\(A,B\)可逆，則\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)D.若\(A,B\)正交，則\(AB\)正交答案：ABCD6.設(shè)\(\lambda\)是\(n\)階方陣\(A\)的特征值，\(x\)是對應(yīng)的特征向量，則（）A.\(\lambda^2\)是\(A^2\)的特征值B.\(\lambda+1\)是\(A+I\)的特征值C.對任意常數(shù)\(k\)，\(k\lambda\)是\(kA\)的特征值D.\(\lambda\)是\(A^T\)的特征值答案：ABC7.設(shè)\(A\)為\(m\timesn\)矩陣，\(m>n\)，則（）A.\(Ax=0\)必有非零解B.\(A^TAx=0\)必有非零解C.\(AA^Tx=0\)必有非零解D.\(Ax=b\)可能無解答案：ABD8.設(shè)\(V\)是實(shí)數(shù)域\(R\)上的線性空間，\(\alpha,\beta\inV\)，\(k\inR\)，下列運(yùn)算規(guī)則正確的是（）A.\(\alpha+\beta=\beta+\alpha\)B.\((\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)\)C.\(k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta\)D.\((k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha\)答案：ABCD9.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(r(A)=r\)，則（）A.\(A\)的行向量組的極大線性無關(guān)組所含向量個數(shù)為\(r\)B.\(A\)的列向量組的極大線性無關(guān)組所含向量個數(shù)為\(r\)C.\(n-r\)是\(Ax=0\)的解空間的維數(shù)D.\(A\)中至少有一個\(r\)階子式不為零答案：ABCD10.設(shè)\(A,B\)是\(n\)階方陣，若\(A\simB\)，則（）A.\(r(A)=r(B)\)B.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)C.\(A\)與\(B\)有相同的特征多項(xiàng)式D.\(A\)與\(B\)有相同的特征值答案：ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(n\)階方陣\(A\)的秩為\(n\)，則\(A\)可逆。（）答案：對2.向量組\(\alpha_1=(1,1,1),\alpha_2=(1,2,3),\alpha_3=(1,3,6)\)線性相關(guān)。（）答案：錯3.若\(A,B\)為\(n\)階方陣，則\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)。（）答案：錯4.實(shí)對稱矩陣的特征值一定是實(shí)數(shù)。（）答案：對5.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(Ax=0\)有非零解，則\(A\)的列向量組線性相關(guān)。（）答案：對6.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2\)是正定二次型。（）答案：對7.若\(A\)是正交矩陣，則\(A^2\)也是正交矩陣。（）答案：對8.設(shè)\(A\)為\(m\timesn\)矩陣，\(B\)為\(n\timesm\)矩陣，當(dāng)\(m>n\)時，\(\vertAB\vert=0\)。（）答案：對9.向量空間\(V\)的子空間\(W\)一定包含零向量。（）答案：對10.設(shè)\(\lambda_1,\lambda_2\)是\(n\)階方陣\(A\)的兩個不同特征值，\(\alpha_1,\alpha_2\)是對應(yīng)的特征向量，則\(\alpha_1+\alpha_2\)是\(A\)的特征向量。（）答案：錯四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述\(n\)階方陣\(A\)可逆的充要條件。答案：\(n\)階方陣\(A\)可逆的充要條件有：\(\vertA\vert\neq0\)；\(A\)的秩為\(n\)；\(A\)的行（列）向量組線性無關(guān)；\(A\)可表示為有限個初等矩陣的乘積等。2.什么是向量組的極大線性無關(guān)組？答案：向量組的極大線性無關(guān)組是向量組中的一個部分組，它滿足線性無關(guān)，且再添加向量組中的任何一個向量就線性相關(guān)。3.簡述正定二次型的定義。答案：對于二次型\(f(x)=x^TAx\)（\(A\)為實(shí)對稱矩陣），如果對任意非零向量\(x\)，都有\(zhòng)(f(x)>0\)，則稱\(f(x)\)為正定二次型。4.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(x\)是對應(yīng)的特征向量，簡述特征值與特征向量的定義。答案：若存在數(shù)\(\lambda\)和非零向量\(x\)，使得\(Ax=\lambdax\)，則\(\lambda\)稱為\(A\)的特征值，\(x\)稱為\(A\)對應(yīng)于特征值\(\lambda\)的特征向量。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論當(dāng)\(a\)取何值時，二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2ax_1x_2+2x_2^2+x_3^2\)是正定二次型。答案：二次型矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&a&0\\a&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)，\(A\)正定則\(\vertA\vert=2-a^2>0\)，解得\(-\sqrt{2}<a<\sqrt{2}\)。2.設(shè)向量組\(\alpha_1=(1,1,1),\alpha_2=(1,2,3),\alpha_3=(1,3,t)\)，討論\(t\)取何值時向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)。答案：設(shè)\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0\)，得到方程組\(\begin{cases}k_1+k_2+k_3=0\\k_1+2k_2+3k_3=0\\k_1+3k_2+tk_3=0\end{cases}\)，系數(shù)行列式\(\vert\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&2&3\