二〇二五年綏化市初中考試

數(shù)學(xué)試題

考生注意：

1．考試時間120分鐘

2．本試題共三道大題，28個小題，總分120分

3．所有答案都必須寫在答題卡上所對應(yīng)的題號后的指定區(qū)域內(nèi)

一、單項選擇題（本題共12個小題，每小題3分，共36分）

請在答題卡上用2B鉛筆將你的選項所對應(yīng)的方框涂黑

1.下列數(shù)學(xué)符號是軸對稱圖形的是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了軸對稱圖形的定義，熟知軸對稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵；

根據(jù)軸對稱圖形的定義：如果將一個圖形沿著某條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖

形就叫做軸對稱圖形，即可解答.

【詳解】解：選項中的數(shù)學(xué)符號是軸對稱圖形的是，其它的都不是；

故選：D.

2.據(jù)統(tǒng)計，2025年端午期間，我國民航客運累計發(fā)送旅客560.1萬人次，把560.1萬用科學(xué)記數(shù)法表示為

（）

A.56.01104B.5.601105C.5.601106D.0.5601107

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，將數(shù)據(jù)表示成形式為a10n的形式，其中1a10，n為整數(shù)，正

確確定a、n的值是解題的關(guān)鍵．

將560.1萬寫成a10n其中1a10，n為整數(shù)的形式即可．

【詳解】解：560.1萬56010005.601106．

故選C．

3.某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體是（）

A.圓柱B.長方體C.圓錐D.四棱柱

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了由幾何體的三視圖還原幾何體，熟知常見幾何體的三視圖是解題的關(guān)鍵；

由題目給出的三視圖可知，這個幾何體是圓柱，即得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：這個幾何體是圓柱；

故選：A.

4.如圖，AD是EAC的平分線，AD∥BC，B38，則C的度數(shù)是（）

A.16B.30C.38D.76

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識點，靈活運用平行線的性質(zhì)成為解題的關(guān)

鍵．

由平行線的性質(zhì)可得DAEB38,DACC，再根據(jù)角平分線的定義可得

DACDAE38，最后根據(jù)等量代換即可解答．

【詳解】解：∵AD∥BC，B38，

∴DAEB38,DACC，

∵AD是EAC的平分線，

∴DACDAE38，

∴CDAC38．

故選C．

5.下列計算中，結(jié)果正確的是（）

22

A.a3a4a12B.2m34m6C.33D.x3x3x23

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查整式乘法運算、算術(shù)平方根等知識點，熟練掌握相關(guān)運算法則成為解題的關(guān)鍵．

根據(jù)整式乘法運算、算術(shù)平方根逐項判斷即可．

【詳解】解：A．a(chǎn)3a4a34a7，故該選項錯誤，不符合題意；

2

B．2m34m6，故該選項正確，符合題意；

2

C．393，故該選項錯誤，不符合題意；

2

D．x3x3x9，故該選項錯誤，不符合題意．

故選B．

6.兩個相似三角形的最長邊分別是10cm和6cm，并且它們的周長之和為48cm，那么較小三角形的周長

是（）

A.14cmB.18cmC.30cmD.34cm

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)最長邊分別為10cm和6cm確定相似比，相似三角形的周長比

等于相似比，再根據(jù)周長之和為48cm即可求解．

【詳解】解：兩個相似三角形的最長邊分別為10cm和6cm，

相似比為10:65:3，

較大三角形與較小三角形的周長比為：5:3，

它們的周長之和為48cm，

3

較小三角形的周長為：4818cm，

53

故選：B．

7.小新同學(xué)參加某次詩朗誦比賽，七位評委的打分是：7.0,7.0,8.8,9.0,9.3,9.4,10，工作人員根據(jù)

評委所打的分數(shù)對平均數(shù)、方差、眾數(shù)、中位數(shù)進行了統(tǒng)計，如果去掉一個最高分和一個最低分，那么下

列統(tǒng)計量中一定不發(fā)生變化的是（）

A.平均數(shù)B.方差C.眾數(shù)D.中位數(shù)

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了統(tǒng)計量的選擇，解題的關(guān)鍵是了解中位數(shù)的定義，難度不大．根據(jù)中位數(shù)的定義（位

于中間位置或中間兩數(shù)的平均數(shù)可以得到去掉一個最高分和一個最低分不影響中位數(shù)）解答即可．

本題考查數(shù)據(jù)統(tǒng)計量的變化情況，需逐一分析平均數(shù)、方差、眾數(shù)和中位數(shù)在去掉極端值后的變化．

【詳解】解：原數(shù)據(jù)去掉最高分10和最低分7.0（其中一個）后，剩余數(shù)據(jù)為7.0,8.8,9.0,9.3,9.4．

60.5121

原平均數(shù)總和為7.07.08.89.09.39.41060.5，平均數(shù)為．

714

去掉后總和為60.57.01043.5，平均數(shù)為43.558.7，則平均數(shù)變化，故A選項不符合題意．

方差與每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差值有關(guān)．因平均數(shù)改變，所有數(shù)據(jù)的離差平方和必然變化，方差隨之改變，

故B選項不符合題意．

原眾數(shù)為7.0（出現(xiàn)2次）．去掉一個7.0后，剩余數(shù)據(jù)中所有數(shù)均出現(xiàn)1次，眾數(shù)消失或變?yōu)闊o眾數(shù)，故

眾數(shù)變化，故C選項不符合題意．

原數(shù)據(jù)中位數(shù)為第4個數(shù)即9.0．去掉一個最高分和一個最低分，剩余5個數(shù)的中位數(shù)為第3個數(shù)（仍為9.0），

故中位數(shù)不變．

故選：D．

8.一個矩形的一條對角線長為10，兩條對角線的一個交角為60，則這個矩形的面積是（）

A.25B.253C.255D.503

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，正確畫出圖形并靈

活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．

如圖：根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等求出OAOB5，然后判斷出VAOB是等邊三角形，根據(jù)等邊

三角形的性質(zhì)求出AB，再利用勾股定理列式求出BC，然后根據(jù)矩形的面積公式求解即可．

【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，

1

∴OAOB105，

2

∵AOB60，

∴VAOB是等邊三角形，

∴ABOA5，

由勾股定理得，BCAC2AB21025253，

∴矩形的面積BCAB535253．

故選：B．

9.在O中，如果75的圓心角所對的弧長是2.5πcm，那么O的半徑是（）

A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查弧長公式，根據(jù)圓心角對應(yīng)的弧長公式，代入已知條件求解半徑即可．

n

【詳解】解：根據(jù)弧長公式：L2r，其中n75，L2.5

360

75

代入得：2.52r

360

解得：r6cm

故選：A．

10.用A，B兩種貨車運輸化工原料，A貨車比B貨車每小時多運輸15噸，A貨車運輸450噸所用時間與B

貨車運輸300噸所用時間相等．若設(shè)B貨車每小時運輸化工原料x噸，則可列方程為（）

300450300450450300450300

A.B.C.D.

15xx15xx15xx15xx

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用．熟練掌握工作量與工作效率和工作時間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．

設(shè)B貨車每小時運輸x噸，則A貨車每小時運輸x15噸．根據(jù)A運輸450噸的時間等于B運輸300噸

450300

的時間，列方程．

x15x

【詳解】解：設(shè)B貨車每小時運輸x噸，則A貨車每小時運輸x15噸．

450300

∵A貨車運輸450噸的時間為，B貨車運輸300噸的時間為，

x15x

450300

∴，

x15x

450300

即．

15xx

故選：C．

k

11.如圖，反比例函數(shù)y經(jīng)過A、C兩點，過點A作ABy軸于點B，過點C作CDx軸于點D，

x

連接OA、OC、AC．若S△ACO4，CD:OB1:3，則k的值是（）

A.12B.9C.6D.3

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握k值幾何意義是關(guān)鍵．延長

kk

DC,BA交于點E，設(shè)CDaa0，則OB3a，求出OD，AB，進而得到

a3a

k2k2k

SS，證明四邊形OBED是矩形，再求出AE,CE2a，得到S，根

DOCAOB23aAEC3

據(jù)S矩形OBEDSDOCSAOBSAECSACO，建立方程求解即可．

【詳解】解：延長DC,BA交于點E，

設(shè)CDaa0，

∵CD:OB1:3，

∴OB3a，

∵ABy軸，CDx軸，

∴點A的縱坐標(biāo)為3a，點C的縱坐標(biāo)為a，

kk

∴a,3a，

xCxA

kk

∴x,x，

CaA3a

kk

∴OD，AB，

a3a

k

∵反比例函數(shù)y經(jīng)過A、C兩點，

x

k

∴SS，

DOCAOB2

∵EDODOBEBO90，

∴四邊形OBED是矩形，

k

∴BEOD,DEOB3a，

a

2k

∴AEBEAB,CEDECD2a，

3a

12k

∴SAE·CE，

AEC23

k

∴S矩形OD·OB3a3k，

OBEDa

∵S△ACO4，

kk2k

∴S矩形OBEDSDOCSAOBSAECSACO，即3k4，

223

∴k3，

故選：D．

12.如圖，二次函數(shù)yax2bxc與x軸交于點A3,0、B1,0，與y軸交于點C0,m，其中

4m3．則下列結(jié)論：

8abc

①ac0；②方程ax2bxc50沒有實數(shù)根；③b2；④0．

3ba

其中錯誤的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象開口，對稱軸直線，最值的計算方法是關(guān)鍵．

b31

根據(jù)題意得到圖象開口向上，對稱軸直線為1，a0，則b2a，當(dāng)x1時，代入計

2a2

3

算可判定①；根據(jù)二次函數(shù)與直線y5的位置關(guān)系可判定②；根據(jù)題意得到cb，可判定③；根據(jù)函

2

數(shù)最小值的大小可判定④；由此即可求解．

【詳解】解：二次函數(shù)yax2bxc與x軸交于點A3,0、B1,0，圖象開口向上，

b31

∴對稱軸直線為1，a0，

2a2

∴b2a，

當(dāng)x1時，yabc0，

∴a2ac0，即3ac0，

∴c3a，

∴aca3a4a0，故①正確；

圖象開口向上，對稱軸直線為x1，

∴當(dāng)x1時，函數(shù)有最小值，最小值x軸的下方，

∴拋物線yax2bxc與直線y5兩個不同的交點，

∴方程ax2bxc50有兩個不相等的實數(shù)根，故②錯誤；

∵二次函數(shù)yax2bxc與y軸交于點C0,m，其中4m3，

∴當(dāng)x0，ycm，

∴4c3，

∵c3a,b2a，

3

∴cb，

2

3

∴4b3，

2

8

解得，b2，故③正確；

3

當(dāng)x1時，函數(shù)有最小值，最小值為yabc0，b2a，

∴ba2aa3a0，

abc

∴0，故④正確；

ba

綜上所述，正確的有①③④，錯誤的有②，

∴錯誤的有1個，

故選：A．

二、填空題（本題共10個小題，每小題3分，共30分）

請在答題卡上把你的答案寫在所對應(yīng)的題號后的指定區(qū)域內(nèi)

0

20251

13.計算：1________．

2025

【答案】0

【解析】

【分析】此題考查了乘方和零指數(shù)冪，根據(jù)乘方和零指數(shù)冪計算后再計算加法即可．

0

20251

【詳解】解：1110

2025

故答案為：0

1

14.若式子有意義，則x的取值范圍是________．

x1

【答案】x1

【解析】

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于等于零．分式有意義的條件：分母不為零．根

據(jù)二次根式以及分式有意義，得出關(guān)于x的不等式，解出即可得出x的取值范圍．

1

【詳解】解：要使式子有意義，

x1

x10

即，

x10

∴x1．

故答案為：x1．

15.分解因式：2mx24mxy2my2________．

2

【答案】2mxy

【解析】

【分析】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握這兩種因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．先

提公因式，再根據(jù)完全平方公式分解因式即可．

2

【詳解】解：2mx24mxy2my22mx22xyy22mxy．

2

故答案為：2mxy．

16.已知m，n是關(guān)于x的一元二次方程x22025x10的兩個根，則m1n1________．

【答案】2027

【解析】

【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及代數(shù)式求值，先求出根與系數(shù)的關(guān)系，將代數(shù)式變形

后代入計算即可．

【詳解】解：m，n是關(guān)于x的一元二次方程x22025x10的兩個根，

20251

mn2025,mn1，

11

m1n1mnmn12025112027，

故答案為：2027．

17.在平面直角坐標(biāo)系中，把VABC以原點O為位似中心放大，得到ABC．若點A和它的對應(yīng)點A的

坐標(biāo)分別為3,7，9,21，則VABC與ABC的相似比為________．

1

【答案】1:3##

3

【解析】

【分析】本題考查的是位似變換，熟知在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比

為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或k是解答此題的關(guān)鍵．

根據(jù)坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)進行解答即可．

【詳解】解：把VABC以原點為位似中心縮小得到ABC，點A和它的對應(yīng)點A的坐標(biāo)分別為3,7，

9,21，

371

則VABC與ABC的相似比為，

9213

故答案為：1:3．

xyx2y2

18.計算：1________．

x2yx24xy4y2

y

【答案】

xy

【解析】

【分析】本題考查分式混合運算，熟練掌握運算法則是解決問題的關(guān)鍵．先將分式的分子分母因式分解，

再由分式混合運算法則求解即可得到答案．

xyx2y2

【詳解】解：1

x2yx24xy4y2

xyxyxy

12

x2yx2y

2

xyx2y

1

x2yxyxy

x2y

1

xy

xyx2y

xyxy

xyx2y

xy

y

xy

y

故答案為：．

xy

19.如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的斜面坡度i1:2（斜面坡度是指坡面的鉛直高度BC與水平寬

度AC的比），堤壩高BC15m，則迎水坡面AB的長度是________．

【答案】153m##153米

【解析】

【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，掌握坡度的概念，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)坡度的概念求出AC，根據(jù)勾股定理計算即可．

【詳解】解：∵坡AB的斜坡坡度i1:2，

BC1

∴，而BC15m，

AC2

151

即，

AC2

解得，AC152，經(jīng)檢驗符合題意，

2

由勾股定理得，ABAC2BC2152152153（米），

故答案為：153m．

20.如圖，在菱形ABCD中，AB4，對角線BD43，點P是邊CD的中點，點M是對角線BD上

的一個動點，連接PM、CM．則PMCM的最小值是________．

【答案】23

【解析】

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，

連接AC，根據(jù)兩點之間線段最短可知PMCM的最小值為CP，再結(jié)合菱形的性質(zhì)得

11

ADABCD4，ACBD,DOBD23，AOAC，然后根據(jù)勾股定理得AO，可得

22

1

ACADCD4，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得CPAD，APAD2，接下來根據(jù)勾股定理得CP，

2

此題可解．

【詳解】解：如圖，連接AC，

作點P關(guān)于直線BD的對稱點P，則PMPM，點P是AD的中點，

∴PMCMPMCMCP．

根據(jù)兩點之間線段最短，可知PMCM的最小值為CP，

∵四邊形ABCD是菱形，

11

∴ADABCD4，ACBD,DOBD23，AOAC，

22

根據(jù)勾股定理，得AOAD2DO22，

∴ACADCD4．

∵點P是AD的中點，

1

∴CPAD，APAD2．

2

在RtACP中，CP2AC2AP223．

所以PMCM的最小值為23．

故答案為：23．

21.觀察下圖，圖（1）有2個三角形，記作a12；圖（2）有3個三角形，記作a23；圖（3）有6個

三角形，記作a36；圖（4）有11個三角形，記作a411；按此方法繼續(xù)下去，則an________（結(jié)果

用含n的代數(shù)式表示）．

【答案】n22n3

【解析】

【分析】本題考查了圖形的變化類問題，解決此類探究性問題，關(guān)鍵在觀察、分析已知數(shù)據(jù)，尋找它們之

間的共同規(guī)律以及與第一個圖形的相互聯(lián)系，探尋其規(guī)律．仔細觀察圖形變化，找到圖形的變化規(guī)律，利

用規(guī)律解題即可．

2

【詳解】解：第一個圖形中有2112個三角形；

2

第二個圖形中有3212個三角形；

2

第三個圖形中有6312個三角形；

2

第四個圖形中有11412個三角形；

L；

2

第n個圖形中有n12n22n3個三角形．

故答案為：n22n3

22.在邊長為7的等邊三角形ABC中，點D在AB上，BD2．點M是直線BC上的一個動點，連接MD，

以MD為邊在MD的左側(cè)作等邊三角形MND，連接BN，當(dāng)BND為直角三角形時，則CM的長是

________．

【答案】6或8或9

【解析】

【分析】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，含30角的直角三角形，正確作出

輔助線是解題的關(guān)鍵．

過點D作DE∥BC交BC于點E，分類討論，逐個分析，即可解答．

【詳解】解：過點D作DE∥BC交BC于點E，

①當(dāng)DBN90時，如圖（1），

∵BAC,DMN是等邊三角形，DBN90，

∴ABCDEBMDNBDE60，DMDN，即DBE是等邊三角形，

∴BDDEBE2,

NBEDBNDBE30，EDNNDBNDBMDB60

∴EDNBDM，

∴DEN≌DBM，

∴DENDBM18060120，BMNE，

∴BENDENDEB60，

∴BNE90，

1

∴NEBE1，即BM1，

2

∴MCBCBM718．

②當(dāng)BDN90時，如圖（2）

同理可得DEN≌DBM，NDEBDNBDE906030，

∴NEDMBD60，即DMBDNE90，

1

∴BMBDcos6021，

2

∴CMBCBM6．

③當(dāng)BND90時，如圖（3）

同理可證DBN≌DEM，DEBD2,DEM60

∴DMEDNB90,

1

∴MEDEcos6021．

2

∴CMBCBM6．

④當(dāng)BDN90時，如圖（4）

同理可證DBN≌DME,DEBDBE2,DEM60，

∴MDENDB90,BEBCBE5，

DE2

ME4

∴cos601，

2

∴CMMEBE9．

綜上所述，CM的長是6或8或9．

故答案為：6或8或9．

三、解答題（本題共6個小題，共64分）

請在答題卡上把你的答案寫在所對應(yīng)的題號后的指定區(qū)域內(nèi)

23.尺規(guī)作圖（溫馨提示：以下作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）

[初步嘗試]

如圖（1）用無刻度的直尺和圓規(guī)作一條經(jīng)過圓心的直線OP，使扇形OMN的面積被直線OP平分．

[拓展探究]

如圖（2），若扇形OMN的圓心角為30，請你用無刻度的直尺和圓規(guī)作一條以點O為圓心的弧CD，交OM

于點C，交ON于點D，使扇形OCD的面積與扇形OMN的面積比為1:4．

【答案】[初步嘗試]見解析；[拓展探究]見解析

【解析】

【分析】本題主要考查了扇形的面積，基本作圖，熟練掌握扇形的面積公式和尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．

[初步嘗試]經(jīng)過圓心的直線平分扇形OMN的面積，作圓心角的角平分線或作扇形弧對應(yīng)弦的垂直平分線；

[拓展探究]根據(jù)扇形面積公式，扇形面積之比等于扇形半徑的平方之比，從而得到扇形OCD的面積與扇

形OMN半徑之比為1:2，只要畫出OM或ON的中點即可．方法一：作扇形OMN半徑ON的垂直平分線

找到中點D，然后以O(shè)D為半徑作弧交半徑OM于點C．方法二：扇形OMN的圓心角為30，根據(jù)含30

的直角三角形是斜邊的一半，過M點作出ON的垂線，構(gòu)造直角三角形，取垂線段的長度為半徑，以O(shè)為

圓心畫弧即可．

【詳解】解：[初步嘗試]

作法一：如圖所示

1

①連接MN，分別以點M和點N為圓心，大于MN的長為半徑作弧，

2

兩弧交于點P，標(biāo)注出點P

②畫直線OP

③直線OP即為所求

作法二：如圖所示

①以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OM于點E，交ON于點F，

1

②分別以E、F為圓心，大于EF的長為半徑作弧，兩弧交于點P，標(biāo)注出點P.

2

③畫直線OP，直線OP即為所求

[拓展探究]

扇形OCD的面積與扇形OMN的面積比為1:4，設(shè)扇形OCD的半徑為r，扇形OMN的半徑為R

扇形OCD的面積∶扇形OMN的面積r2:R21:4

R2r

只要畫出OM或ON的中點即可

作法一：

①作ON的垂直平分線交ON于點D，標(biāo)注出點D

②以O(shè)為圓心OD長為半徑畫弧，交OM于點C，標(biāo)注出點C

③弧CD即為所求．（同理作OM的垂直平分線也可得分）

作法二：

過M點作出ON的垂線或者過N點作OM的垂線，取垂線段的長度為半徑，以O(shè)為圓心畫弧即可．（依據(jù)：

含30的直角三角形是斜邊的一半）

24.2025年1月，哈爾濱亞冬會舉辦前，亞冬會組委會為使參與服務(wù)的志愿者隊伍整齊一致，隨機抽取部分

志愿者，對其身高情況進行了調(diào)查，將身高x（單位：cm）數(shù)據(jù)分為A、B、C、D、E五組，并制成

了如下不完整的統(tǒng)計圖表．

組人

身高分組

別數(shù)

A155x1605

B160x1654

C165x170m

D170x17512

E175x1809

根據(jù)以上信息回答：

（1）這次抽查的志愿者共有________人，扇形統(tǒng)計圖中A的圓心角度數(shù)是________，請補全條形統(tǒng)計圖．

（2）若B組的4人中，男女志愿者各有2人，從中隨機抽取2人擔(dān)任組長，請用列表法或畫樹狀圖法，求

出剛好抽中兩名女志愿者擔(dān)任組長的概率．

【答案】（1）40，45，見解析

1

（2）見解析，

6

【解析】

【分析】此題考查了扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖的信息關(guān)聯(lián)，樹狀圖或列表法求概率，準(zhǔn)確理解題意是解題

的關(guān)鍵．

（1）先根據(jù)D組的人數(shù)和百分比求出抽查的總?cè)藬?shù)，再利用360乘以A組的的百分比即可求出扇形統(tǒng)計

圖中A的圓心角度數(shù)，再求出C組的人數(shù)并補全統(tǒng)計圖即可；

（2）畫出樹狀圖或列表法得到所有等可能情況，用概率公式求出答案即可．

【小問1詳解】

解：這次抽查的志愿者共有：1230%40（人），

5

扇形統(tǒng)計圖中A的圓心角度數(shù)是360100%45，

40

C組的人數(shù)為405412910（人），

補全條形統(tǒng)計圖如下：

故答案為：40，45

【小問2詳解】

男男女女

解：設(shè)2名男志愿者分別記作1、2，2名女志愿者分別記作1、2

根據(jù)題意可以畫出如下的樹狀圖

列表法如下圖

男男女女

1212

男男男女男女男

12,11,12,1

男男男女男女男

21,21,22,2

女男女男女女女

11,12,12,1

女男女男女女女

21,22,21,2

由樹狀圖法或列表法可以看出共有12種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，選中的2名女志愿者擔(dān)任組長的是

女女女女

1,2和2,1的情況有兩種.

21

P剛好抽中2名女志愿者擔(dān)任組長

126

25.自主研發(fā)和創(chuàng)新讓我國的科技快速發(fā)展，“中國智造”正引領(lǐng)世界潮流．某科技公司計劃投入一筆資金

用來購買A、B兩種型號的芯片．已知購買1顆A型芯片和2顆B型芯片共需要750元，購買2顆A型芯片

和3顆B型芯片共得要1300元．

（1）求購買1顆A型芯片和1顆B型芯片各需要多少元．

（2）若該公司計劃購買A、B兩種型號的芯片共8000頻，其中購買A型芯片的數(shù)量不少于B型芯片數(shù)量

的3倍．當(dāng)購買A型芯片多少顆時，所需資金最少，最少資金是多少元．

（3）該公司用甲、乙兩輛芯片運輸車，先后從M地出發(fā)，沿著同一條公路勻速行駛，前往目的地N，兩

車到達N地后均停止行駛．如圖，y甲km、y乙km分別是甲、乙兩車離M地的距離與甲車行駛的時

間xh之間的函數(shù)關(guān)系．請根據(jù)圖象信息解答下列問題：

①甲車的速度是________km/h．

②當(dāng)甲、乙兩車相距30km時，直接寫出x的值________．

【答案】（1）購買1顆A型芯片和1顆B型芯片分別需要350元和200元

（2）當(dāng)該公司購買A型芯片6000顆，所需資金最少，最少資金是2500000元

（3）①80；②1.5或4.5或6.5

【解析】

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一次函數(shù)最優(yōu)化問題：

（1）根據(jù)題意列方程組求解即可；

（2）結(jié)合不等式約束條件，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值即可；

（3）①求出解析式代入計算即可；②求出甲乙兩車的函數(shù)解析式，分類討論即可．

【小問1詳解】

設(shè)：購買1顆A型芯片和1顆B型芯片分別需要a元和b元

a2b750

由題意得

2a3b1300

a350

解得

b200

答：購買1顆A型芯片和1顆B型芯片分別需要350元和200元

【小問2詳解】

設(shè)購買B型芯片m顆，則購買A型芯片8000m顆，所需資金為w元

由題意得：w3508000m200m150m2800000

k1500

w隨m的增大而減小

購買A型芯片的數(shù)量不少于B型芯片數(shù)量的3倍，

8000m3m解得m2000

m取正整數(shù)

當(dāng)m2000時，w取最小值，w最少150200028000002500000（元）

此時8000m6000

答：當(dāng)該公司購買A型芯片6000顆，所需資金最少，最少資金是2500000元

【小問3詳解】

①設(shè)y乙的解析式為y乙k2xb

將點0,60，7,480代入y乙k2xb

b60

得

7k2b480

k60

解得2

b60

所以，y乙的解析式為y乙60x60，

當(dāng)x3時，y乙60x6060360240

所以，甲車的速度為240380km/h

②y甲的解析式為y甲k1x

將點3,240代入y甲k1x

得2403k1，解得k180

所以y甲的解析式為y甲80x

當(dāng)函數(shù)y乙的圖象在函數(shù)y甲上方時

可列方程60x6080x30

解得x1.5

當(dāng)函數(shù)y乙的圖象在函數(shù)y甲下方時

可列方程80x60x6030

解得x4.5

當(dāng)甲車到達N地，乙離目的地30km時，

可列方程60x6048030

解得x6.5

綜上所述，x的值為：1.5或4.5或6.5．

26.如圖．APOBPO，PA與O相切于點M、連接OM，OP與O相交于點C，過點C作

CDOM，垂足為E，交O于點D，連接PD交OM于點F．

（1）求證：PB是O的切線．

5

（2）當(dāng)PC6，PMCD時，求線段MF的長．

4

12

【答案】（1）見解析（2）MF

7

【解析】

【分析】（1）方法一：過點O作ONPB于點N，證明PMO≌PNOAAS，則ONOM，由OM

為O的半徑得到ON為O的半徑，由ONPB即可證明PB是O的切線；由角平分線的性質(zhì)定理得

到ONOM，由OM為O的半徑得到ON為O的半徑，由ONPB即可證明PB是O的切線；

CEOC

（2）證明△OMP∽△OEC，則，求出OC4，則OCOM4，在RtMOP中，求出

PMOP

4218MFMP

PM221，得到CEDE，OE，證明△MFP∽△EFD，則，設(shè)MFx，

55EFED

812

則EF4xx，即可求出答案．

55

【小問1詳解】

方法一：

證明：過點O作ONPB于點N，

ONPB，

PNO90，

PA與O相切于點M，

OMPA，

PMOPNO90，

APOBPO，POPO，

PMO≌PNOAAS，

ONOM，

QOM為O的半徑，

ON為O的半徑，

ONPB，

PB是O的切線；

方法二：

證明：過點O作ONPB于點N，

PA與O相切于點M，

OMPA，

APOBPO，

PO是APB的平分線，

ONOM，

QOM為O的半徑，

ON為O的半徑，

ONPB，

PB是O的切線；

【小問2詳解】

CDOM，OM為半徑，

1

CEDECD，

2

5

PMCD，

4

CD4

，

PM5

CE2

，

PM5

OMP90，OEC90，

CDPM，

△OMP∽△OEC，

CEOC

，

PMOP

PC6，

2OC

，

5OC6

OC4，

OCOM4，

2

在RtMOP中，PMOP2OM26442221，

2

421，2224218，

CEDEOEOCCE4

555

FMPFED，MFPEFD，

△MFP∽△EFD，

MFMP

，

EFED

812

設(shè)MFx，則EF4xx，

55

x221

12，

x421

55

12

解得x，

7

12

MF．

7

【點睛】此題考查了切線的判定和性質(zhì)、垂徑定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、角平分線性質(zhì)

定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵．

27.綜合與實踐

如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，作射線BD，點E是射線BD上的一個動點，連接AE，以AE為

邊作正方形AEFG，連接CG交射線BD于點M，連接DG．（提示：依題意補全圖形，并解答）

【用數(shù)學(xué)的眼光觀察】

（1）請判斷BD與DG的位置關(guān)系，并利用圖（1）說明你的理由．

【用數(shù)學(xué)的思維思考】

（2）若DGa，請你用含a的代數(shù)式直接寫出CMB的正切值________．

【用數(shù)學(xué)的語言表達】

（3）設(shè)DEx，正方形AEFG的面積為S．請求出S與x的函數(shù)解析式．（不要求寫出自變量x的取值范

圍）

【答案】（1）BDDG，理由見解析；

2a8

（2）；

8

x282x64

（3）S與x的函數(shù)解析式為S．

2

x82x64

【解析】

【分析】（1）由正方形的性質(zhì)，得出線段之間的數(shù)量關(guān)系和角之間的數(shù)量關(guān)系，綜合應(yīng)用全等三角形的判

定和性質(zhì)即可確定BD與DG的位置關(guān)系；

（2）由正方形的性質(zhì)，可得線段之間的位置關(guān)系，綜合應(yīng)用相似三角形的判定和性質(zhì)，可得邊之間的比例

關(guān)系，化簡整理即可；

（3）根據(jù)點E的位置變化，進行分類討論，應(yīng)用勾股定理即可得出每種情況下正方形的面積，對各種情況

所得結(jié)果進行整理即可．

【詳解】（1）解：BDDG

理由：

∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，

∴ADAB，AGAE，DABEAG90，ADBABD45，

∵DABDAEEAB，EAGDAEGAD，

∴EABGAD，

在ADG和ABE中，

AGAE

GADEAB，

ADAB

∴ADG≌ABE，

∴ADGABE45，

∴GDBADGADB90，

∴BDDG．

（2）解：連接AC交BD于點O，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴ACBD，

∵BDDG，

∴DGAC，

∴DMG∽OMC，

DGDM

∴，

OCOM

∵正方形的邊長AB8，

∴ACBD82，

∴ODOC42，

設(shè)MDt，則OM42t，

∵DGa，

at

∴，

4242t

42a

∴t，

a42

DGa

∵tanCMBtanDMG，

MDt

2a8

∴tanCMB，

8

故答案為：2a8．

8

（3）解：當(dāng)點E在對角線BD上時，如圖31，過點E作ENAD于點N，

∵DEx，ADB45，

22

∴DNENx，AN8x，

22

22

∴在中，222222，

RtANEAEENANx8xx82x64

22

∴SAE2x282x64，

當(dāng)點E在BD上，點F在CD上時，如圖32，過點E作ENAD于點N，

∵DEx，ADB45，

22

∴DNENx，AN8x，

22

22

∴在中，222222，

RtANEAEENANx8xx82x64

22

∴SAE2x282x64，

當(dāng)點E在對角線BD的延長線上時，如圖33，過點E作ENAD交AD的延長線于點N，

∵DEx，ADB45，

22

∴DNENx，AN8x，

22

22

∴在中，2