歷年考研試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\ln(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\((-\infty,-1)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((-\infty,0)\)2.設(shè)\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)等于（）A.\(f(x_0)\)B.\(f^\prime(x_0)\)C.\(f^\prime(\Deltax)\)D.\(f(x_0+\Deltax)\)3.若\(\intf(x)dx=F(x)+C\)，則\(\intf(ax+b)dx\)（\(a\neq0\)）等于（）A.\(F(ax+b)+C\)B.\(\frac{1}{a}F(ax+b)+C\)C.\(aF(ax+b)+C\)D.\(\frac{1}{a}F(x)+C\)4.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的行列式\(\vertA\vert\)的值為（）A.-2B.2C.10D.-105.已知向量\(\vec{a}=(1,-2)\)，\(\vec=(3,k)\)，若\(\vec{a}\perp\vec\)，則\(k\)的值為（）A.\(\frac{3}{2}\)B.\(-\frac{3}{2}\)C.6D.-66.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)是（）A.發(fā)散的B.條件收斂的C.絕對收斂的D.無法判斷斂散性7.設(shè)\(z=x^2y\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)等于（）A.\(2xy\)B.\(x^2\)C.\(y\)D.\(2x\)8.方程\(x^2+y^2-2x+4y+1=0\)表示的圖形是（）A.點(diǎn)B.圓C.橢圓D.雙曲線9.設(shè)\(A\)，\(B\)為隨機(jī)事件，\(P(A)=0.5\)，\(P(B)=0.4\)，\(P(AB)=0.2\)，則\(P(A\cupB)\)等于（）A.0.7B.0.6C.0.5D.0.810.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則樣本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)服從（）A.\(N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)B.\(N(\mu,\sigma^2)\)C.\(N(0,1)\)D.\(N(n\mu,n\sigma^2)\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=2^x\)C.\(y=\lnx\)（\(x>0\)）D.\(y=\sinx\)2.下列等式成立的有（）A.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)B.\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)C.\(\inte^xdx=e^x+C\)D.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln\vertx\vert+C\)3.以下關(guān)于矩陣的運(yùn)算正確的是（）A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)（當(dāng)\(AB=BA\)時(shí)）C.\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)（\(k\)為常數(shù)）D.\(A^0=I\)（\(A\)可逆時(shí)，\(I\)為單位矩陣）4.向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)與下列哪些向量垂直（）A.\(\vec=(-2,1,0)\)B.\(\vec{c}=(3,-3,1)\)C.\(\vecc6gc4kq=(-6,3,0)\)D.\(\vec{e}=(0,0,0)\)5.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)6.設(shè)\(z=f(x,y)\)可微，則全微分\(dz\)等于（）A.\(\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy\)B.\(f_x^\prime(x,y)dx+f_y^\prime(x,y)dy\)C.\(\frac{\partialz}{\partialx}\Deltax+\frac{\partialz}{\partialy}\Deltay\)D.\(f(x+\Deltax,y+\Deltay)-f(x,y)\)7.二次曲線\(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\)，當(dāng)（）時(shí)表示橢圓。A.\(B^2-4AC<0\)且\(A\neqC\)B.\(B^2-4AC<0\)且\(A=C\)C.\(B^2-4AC=0\)D.\(B^2-4AC>0\)8.設(shè)\(A\)，\(B\)為隨機(jī)事件，下列說法正確的是（）A.\(P(A\capB)\leqP(A)\)B.\(P(A\cupB)\geqP(A)\)C.\(P(A-B)=P(A)-P(B)\)（當(dāng)\(B\subseteqA\)時(shí)）D.\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)（當(dāng)\(A\)，\(B\)互斥時(shí)）9.對于正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，以下說法正確的是（）A.當(dāng)\(\mu\)固定時(shí)，\(\sigma\)越大，曲線越“矮胖”B.當(dāng)\(\mu\)固定時(shí)，\(\sigma\)越小，曲線越“瘦高”C.曲線關(guān)于\(x=\mu\)對稱D.\(P(X\leq\mu)=0.5\)10.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，樣本方差\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)，則（）A.\(E(S^2)=\sigma^2\)（總體方差）B.\(D(S^2)=\frac{2\sigma^4}{n-1}\)C.\(S^2\)是\(\sigma^2\)的無偏估計(jì)量D.\(S^2\)是\(\sigma^2\)的有效估計(jì)量三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。（）2.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處的導(dǎo)數(shù)為\(0\)，則\(x_0\)一定是\(f(x)\)的極值點(diǎn)。（）3.\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)（\(f(x)\)為奇函數(shù)）。（）4.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則\(A=0\)或\(B=0\)。（）5.向量\(\vec{a}\)與\(\vec\)平行，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角為\(0\)。（）6.冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂半徑\(R\)一定存在。（）7.若\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處的偏導(dǎo)數(shù)存在，則\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處一定可微。（）8.方程\(x^2+y^2=-1\)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)表示空集。（）9.設(shè)\(A\)，\(B\)為互斥事件，則\(P(A\capB)=0\)。（）10.樣本均值\(\overline{X}\)是總體均值\(\mu\)的無偏估計(jì)量。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的單調(diào)區(qū)間和極值。-答案：對\(y=x^3-3x^2+1\)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當(dāng)\(x<0\)或\(x>2\)時(shí)，\(y^\prime>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)\(0<x<2\)時(shí)，\(y^\prime<0\)，函數(shù)單調(diào)遞減。極大值為\(y(0)=1\)，極小值為\(y(2)=-3\)。2.計(jì)算定積分\(\int_{0}^{1}xe^xdx\)。-答案：用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^x\)。根據(jù)分部積分公式\(\int_{a}^udv=uv\vert_{a}^-\int_{a}^vdu\)，可得\(\int_{0}^{1}xe^xdx=[xe^x]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}e^xdx=e-[e^x]_{0}^{1}=e-(e-1)=1\)。3.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求其逆矩陣\(A^{-1}\)。-答案：先求行列式\(\vertA\vert=1\times4-2\times3=-2\)。伴隨矩陣\(adj(A)=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)，則逆矩陣\(A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}adj(A)=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。4.簡述正態(tài)分布的性質(zhì)。-答案：正態(tài)分布曲線關(guān)于\(x=\mu\)對稱；\(x=\mu\)時(shí)取得最大值；\(\sigma\)決定曲線的“胖瘦”，\(\sigma\)越大越“矮胖”，越小越“瘦高”；概率密度函數(shù)在\((-\infty,+\infty)\)上積分值為\(1\)；\(P(X\leq\mu)=0.5\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)極限存在的條件，并舉例說明。-答案：函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處極限存在的充要條件是左右極限都存在且相等，即\(\lim\limits_{x\tox_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\tox_0^+}f(x)\)。例如\(f(x)=\begin{cases}x+1,x<0\\1,x=0\\x-1,x>0\end{cases}\)，\(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=1\)，\(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-1\)，左右極限不相等，\(\lim\limits_{x\to0}f(x)\)不存在。2.討論矩陣的秩與線性方程組解的關(guān)系。-答案：對于線性方程組\(Ax=b\)（\(A\)為系數(shù)矩陣），設(shè)\(r(A)\)為\(A\)的秩，\(r(A,b)\)為增廣矩陣的秩。若\(r(A)=r(A,b)=n\)（\(n\)為未知數(shù)個(gè)數(shù)），方程組有唯一解；若\(r(A)=r(A,b)<n\)，有無窮多解；若\(r(A)\neqr(A,b)\)，方程組無解。3.討論隨機(jī)變量獨(dú)立性的意義及判斷方法。-答案：隨機(jī)變量獨(dú)立性意味著一個(gè)變量的取值不影響另一個(gè)變量的取值概率。判斷方法：對于離散型隨機(jī)變量，