高考1977數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.下列函數(shù)中，哪個(gè)函數(shù)的圖像是一個(gè)圓？

A.\(y=x^2+4x+4\)

B.\(y=x^2+4y+4\)

C.\(x^2+y^2=4\)

D.\(y=\sqrt{4-x^2}\)

2.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3,-2)，點(diǎn)Q在y軸上，且PQ垂直于x軸，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是：

A.(3,0)

B.(-3,0)

C.(0,2)

D.(0,-2)

3.解下列方程：\(2x^2-4x+2=0\)

A.\(x=1\pm\sqrt{2}\)

B.\(x=1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\)

C.\(x=1\pm2\)

D.\(x=1\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\)

4.下列數(shù)列中，哪個(gè)是等差數(shù)列？

A.2,5,8,11,14

B.3,7,11,15,19

C.4,7,10,13,16

D.1,3,6,10,15

5.一個(gè)長方體的長、寬、高分別為5cm、3cm和2cm，那么它的對角線長度是多少？

A.7cm

B.8cm

C.9cm

D.10cm

6.若\(a\)和\(b\)是實(shí)數(shù)，且\(a+b=5\)和\(ab=6\)，那么\(a^2+b^2\)的值是多少？

A.25

B.26

C.27

D.28

7.解下列不等式：\(3x-5>2x+1\)

A.\(x>6\)

B.\(x<6\)

C.\(x\leq6\)

D.\(x\geq6\)

8.在等腰三角形ABC中，\(\angleA=40^\circ\)，那么\(\angleB\)的度數(shù)是：

A.40^\circ

B.50^\circ

C.60^\circ

D.70^\circ

9.若\(x^2+y^2=25\)，那么\((x-2)^2+(y-3)^2\)的值最小是多少？

A.4

B.9

C.16

D.25

10.解下列方程組：

\[\begin{cases}2x+3y=8\\3x-2y=6\end{cases}\]

A.\(x=2,y=1\)

B.\(x=1,y=2\)

C.\(x=3,y=1\)

D.\(x=1,y=3\)

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列哪些是二次函數(shù)的圖像特征？

A.圖像是一個(gè)開口向上或向下的拋物線

B.圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是函數(shù)的極值點(diǎn)

C.圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

D.圖像與y軸有一個(gè)交點(diǎn)

2.下列哪些是解一元二次方程的方法？

A.因式分解法

B.配方法

C.公式法

D.換元法

3.在直角坐標(biāo)系中，下列哪些點(diǎn)在直線\(y=2x+1\)上？

A.(0,1)

B.(1,3)

C.(2,5)

D.(3,7)

4.下列哪些是等差數(shù)列的性質(zhì)？

A.相鄰兩項(xiàng)之差是常數(shù)

B.中項(xiàng)等于首項(xiàng)和末項(xiàng)的平均值

C.項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，中項(xiàng)是項(xiàng)數(shù)的一半

D.項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，中項(xiàng)是中間的項(xiàng)

5.下列哪些是解不等式組的方法？

A.圖像法

B.代入法

C.消元法

D.換元法

三、填空題（每題4分，共20分）

1.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,3)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,-4)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為______。

2.若\(x^2-4x+4=0\)，則方程的解為______。

3.等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為1,3,5，則該數(shù)列的公差為______。

4.圓的方程為\(x^2+y^2=16\)，則該圓的半徑為______。

5.若\(3x+4y=12\)和\(2x-y=6\)是平面直角坐標(biāo)系中的兩條直線，則它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算下列函數(shù)的極值：

\[f(x)=x^3-6x^2+9x+1\]

2.解下列一元二次方程組：

\[\begin{cases}2x^2-5x+2=0\\3y^2-4y-3=0\end{cases}\]

3.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且\(a_1=3\)，\(a_2=9\)，求該數(shù)列的前10項(xiàng)和。

4.已知圓的方程為\((x-1)^2+(y+2)^2=25\)，求圓心到直線\(2x+3y-6=0\)的距離。

5.設(shè)\(a\)，\(b\)，\(c\)是等差數(shù)列的三項(xiàng)，且\(a+b+c=12\)，\(ab+bc+ca=36\)，求\(abc\)的值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案：

1.C

2.B

3.A

4.A

5.C

6.B

7.B

8.B

9.B

10.B

二、多項(xiàng)選擇題答案：

1.ABCD

2.ABC

3.ABC

4.ABCD

5.ABCD

三、填空題答案：

1.(0.5,-0.5)

2.x=2

3.2

4.4

5.(2,1)

四、計(jì)算題答案及解題過程：

1.計(jì)算下列函數(shù)的極值：

\[f(x)=x^3-6x^2+9x+1\]

解題過程：

首先求導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=3x^2-12x+9\)，令\(f'(x)=0\)得到\(x^2-4x+3=0\)，因式分解得\((x-1)(x-3)=0\)，所以\(x=1\)或\(x=3\)。通過二次導(dǎo)數(shù)檢驗(yàn)，\(f''(x)=6x-12\)，當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(f''(1)=-6\)，說明\(x=1\)是極大值點(diǎn)；當(dāng)\(x=3\)時(shí)，\(f''(3)=6\)，說明\(x=3\)是極小值點(diǎn)。計(jì)算得到極大值為\(f(1)=1\)，極小值為\(f(3)=1\)。

2.解下列一元二次方程組：

\[\begin{cases}2x^2-5x+2=0\\3y^2-4y-3=0\end{cases}\]

解題過程：

首先解第一個(gè)方程，因式分解得\((2x-1)(x-2)=0\)，所以\(x=\frac{1}{2}\)或\(x=2\)。然后代入第二個(gè)方程，當(dāng)\(x=\frac{1}{2}\)時(shí)，\(3y^2-4y-3=0\)，因式分解得\((3y+1)(y-3)=0\)，所以\(y=-\frac{1}{3}\)或\(y=3\)；當(dāng)\(x=2\)時(shí)，\(3y^2-4y-3=0\)，因式分解得\((3y+1)(y-3)=0\)，所以\(y=-\frac{1}{3}\)或\(y=3\)。因此，方程組的解為\((\frac{1}{2},-\frac{1}{3})\)和\((2,3)\)。

3.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且\(a_1=3\)，\(a_2=9\)，求該數(shù)列的前10項(xiàng)和。

解題過程：

由等比數(shù)列的性質(zhì)，\(a_2=a_1\cdotr\)，其中\(zhòng)(r\)是公比。所以\(r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{9}{3}=3\)。等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為\(S_n=a_1\cdot\frac{1-r^n}{1-r}\)，代入\(a_1=3\)，\(r=3\)，\(n=10\)得到\(S_{10}=3\cdot\frac{1-3^{10}}{1-3}=\frac{3(1-59049)}{-2}=\frac{3\cdot59048}{2}=88544\)。

4.已知圓的方程為\((x-1)^2+(y+2)^2=25\)，求圓心到直線\(2x+3y-6=0\)的距離。

解題過程：

圓心的坐標(biāo)為(1,-2)。點(diǎn)到直線的距離公式為\(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)，其中\(zhòng)((x_0,y_0)\)是點(diǎn)的坐標(biāo)，\(Ax+By+C=0\)是直線的方程。代入得到\(d=\frac{|2\cdot1+3\cdot(-2)-6|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{|2-6-6|}{\sqrt{13}}=\frac{|-10|}{\sqrt{13}}=\frac{10}{\sqrt{13}}\)。

5.設(shè)\(a\)，\(b\)，\(c\)是等差數(shù)列的三項(xiàng)，且\(a+b+c=12\)，\(ab+bc+ca=36\)，求\(abc\)的值。

解題過程：

由等差數(shù)列的性質(zhì)，\(b=\frac{a+c}{2}\)。代入\(a+b+c=12\)得到\(a+\frac{a+c}{2}+c=12\)，化簡得\(3a+3c=24\)，即\(a+c=8\)。再代入\(ab+bc+ca=36\)得到\(ab+b(a+c)+ca=36\)，化簡得\(ab+8b+ca=36\)。由于\(a+c=8\)，可以將\(a\)或\(c\)表示為\(8-b\)，代入上式得到\(b^2+8b+36=36\)，化簡得\(b^2+8b=0\)，解得\(b=0\)或\(b=-8\)。由于\(b\)是等差數(shù)列的中項(xiàng)，\(b\)不能為0，所以\(b=-8\)。因此，\(a=8-b=16\)，\(c=8-a=-8\)。所以\(abc=16\cdot(-8)\cdot(-8)=1024\)。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

1.選擇題考察了學(xué)生對基本數(shù)學(xué)概念的理解和判斷能力，如函數(shù)圖像、坐標(biāo)系中的點(diǎn)、數(shù)列、圓的性質(zhì)等。

2.多項(xiàng)選擇題考察了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用能力，如解一元二次方程、數(shù)列的性質(zhì)、不等式組的解法等。

3.填空題考察了學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的記憶和應(yīng)用能力，如坐標(biāo)系中的點(diǎn)、一元二次方程的解、數(shù)列的前n項(xiàng)和等。

4.計(jì)算題考察了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的深入理解和計(jì)算能力，如函數(shù)