———圓的最值專練題型一、點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑1．如圖，在等腰中，，點(diǎn)在以斜邊為直徑的半圓上，為的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)沿半圓從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長是（

）A． B． C． D．2（第1題）（第2題）2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B坐標(biāo)為，的半徑為4（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)C是上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線的垂線，P為垂足，點(diǎn)C在上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長等于（

）A． B． C． D．題型二、將軍飲馬3．如圖，已知的直徑的度數(shù)為，它的另一邊交于點(diǎn)，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，點(diǎn)為直徑上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．（第3題）（第4題）4.如圖，點(diǎn)是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，點(diǎn)是直徑上一動(dòng)點(diǎn)，的半徑為1，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．無法計(jì)算5.如圖，的半徑是8，是的直徑，M為上一動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為（）．（第5題）（第6題）6.如圖，在中，直徑，位于點(diǎn)兩側(cè)且垂直于直徑的兩條弦長分別為，，若點(diǎn)為直徑上任意一點(diǎn)，則的最小值為．題型三、兩動(dòng)一定7.如圖，矩形中，，，以為圓心，2為半徑畫圓，是上一動(dòng)點(diǎn)，是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．4B．6 C．8D．（第7題）（第8題）8.如圖，點(diǎn)E是邊長為6的正方形的邊上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是以為直徑的半圓上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值是（

）.題型四、直角圓9.如圖，在中，，D是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則線段長的最小值為（

）A．2B．1 C． D．（第9題）（第10題）題型五、定角定長10．如圖，是邊長為1的正方形內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．題型六、切線與勾股定理11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，，的半徑為2（為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的一條切線，為切點(diǎn)，則切線長的最小值為（）A． B．3 C． D．（第11題）（第12題）12.如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)為，的半徑為，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，切于點(diǎn)，則最小值是．13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，點(diǎn)P在經(jīng)過點(diǎn)，的直線上，與相切于點(diǎn)Q，則切線長的最小值為．（第13題）（第14題）題型七、中位線與瓜豆原理14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，半徑為5，P為上任意一點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．題型八、相切最大15.如圖，直線與以線段為直徑的圓相切于點(diǎn)，，，點(diǎn)是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)?shù)亩葦?shù)最大時(shí)，線段的長度為（

）A． B． C． D．參考答案題型一、點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑1．如圖，在等腰中，，點(diǎn)在以斜邊為直徑的半圓上，為的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)沿半圓從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長是（

）A． B． C． D．2【詳解】解：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，如圖：則，且，，，∴四邊形為平行四邊形，∵，，∴四邊形為正方形，∴，，由勾股定理得：，∵在等腰中，，∴，∴，，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)，∴點(diǎn)的路徑為以為直徑的半圓，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長．2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B坐標(biāo)為，的半徑為4（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)C是上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線的垂線，P為垂足，點(diǎn)C在上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長等于（

）A． B． C． D．【詳解】解：∵點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B坐標(biāo)為，∴，，連接，∵，∴，∴點(diǎn)在以為直徑的上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為以與相切時(shí)，與的兩個(gè)交點(diǎn)所夾的，如圖：當(dāng)與相切時(shí)，，∴，∴，∴，∴的度數(shù)為，∴的長度為：．題型二、將軍飲馬3．如圖，已知的直徑的度數(shù)為，它的另一邊交于點(diǎn)，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，點(diǎn)為直徑上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于直徑的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，∴，，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)的值最小，∵點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，∴，∴，∴，由勾股定理得，．4.如圖，點(diǎn)是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，點(diǎn)是直徑上一動(dòng)點(diǎn)，的半徑為1，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．無法計(jì)算【詳解】解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)C，連接交于點(diǎn)D，連接，則，；∵點(diǎn)是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，∴，，∴；∵，∴當(dāng)點(diǎn)P與D重合時(shí)，最小，最小值為線段的長；在中，，由勾股定理得：，即的最小值為．5.如圖，的半徑是8，是的直徑，M為上一動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)，此時(shí)，點(diǎn)為的最小值時(shí)的位置，由垂徑定理，，∴，∵，為直徑，∴為直徑．則．6.如圖，在中，直徑，位于點(diǎn)兩側(cè)且垂直于直徑的兩條弦長分別為，，若點(diǎn)為直徑上任意一點(diǎn)，則的最小值為．【詳解】解：連接，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，，是直徑，垂直平分弦，，的最小值，弦心距，弦心距，，，．題型三、兩動(dòng)一定7.如圖，矩形中，，，以為圓心，2為半徑畫圓，是上一動(dòng)點(diǎn)，是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．4 B．6 C．8 D．【詳解】解：作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交圓于一點(diǎn)即為最小距離和的點(diǎn)，如圖所示，∵矩形中，，，∴，，，∴，∴的最小值是：．8.如圖，點(diǎn)E是邊長為6的正方形的邊上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是以為直徑的半圓上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值是.【詳解】解：延長到點(diǎn)G，使得，設(shè)半圓的圓心為點(diǎn)O，連接交于點(diǎn)M，交半圓于點(diǎn)N，∵E是邊長為6的正方形的邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是以為直徑的半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴，，過點(diǎn)O作于H，∵邊長為6的正方形，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)N重合，點(diǎn)E與點(diǎn)M重合時(shí)，最小，最小值是，且．題型四、直角圓9.如圖，在中，，D是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則線段長的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，取的中點(diǎn)，連接，，則：∵，∴，∴，∴，∴的最小值為2．題型五、定角定長10．如圖，是邊長為1的正方形內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【詳解】解：連接、，∵四邊形是正方形，∴，，∴，，又∵，∴，∴，以點(diǎn)A為圓心，為半徑作圓，延長交圓于點(diǎn)Q，連接，則，∴，∴點(diǎn)P在上，，∴．題型六、切線與勾股定理11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，，的半徑為2（為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的一條切線，為切點(diǎn)，則切線長的最小值為（）

A． B．3 C． D．【詳解】如答圖，連結(jié)、OQ．是的切線，，，當(dāng)時(shí)，，線段最短，即線段最短．，，，，，，．12.如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)為，的半徑為，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，切于點(diǎn)，則最小值是．【詳解】解：如圖，連接，，根據(jù)切線的性質(zhì)定理，得．要使最小，只需最小，則根據(jù)垂線段最短，當(dāng)軸于時(shí)，取最小值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是，，在RtABP中，，∴，則最小值是．13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，點(diǎn)P在經(jīng)過點(diǎn)，的直線上，與相切于點(diǎn)Q，則切線長的最小值為．【詳解】解：連接，如圖所示：∵與相切于點(diǎn)Q，∴，∵，∴，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，且，要使的值為最小，則需滿足為最小值即可，根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短可知當(dāng)時(shí)為最小值，∴，∴，∴的最小值為．題型七、中位線與瓜豆原理14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，半徑為5，P為上任意一點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．【詳解】解：如圖，連接，，取的中點(diǎn)H，連接，．∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)H是的中點(diǎn)，，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以H為圓心半徑為2.