高中競賽數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間[0,2]上連續(xù)的函數(shù)是（）

A.y=x2

B.y=|x|

C.y=√x

D.y=1/x

2.若一個三角形的三邊長分別為3,4,5，則這個三角形是（）

A.直角三角形

B.銳角三角形

C.鈍角三角形

D.等腰三角形

3.在平面直角坐標(biāo)系中，點A（2，3）關(guān)于x軸的對稱點是（）

A.B（2，-3）

B.C（-2，3）

C.D（-2，-3）

D.E（2，-3）

4.若a、b是實數(shù)，且a2+b2=1，則下列等式中正確的是（）

A.(a+b)2=1

B.(a-b)2=1

C.(a+b)2=2

D.(a-b)2=2

5.若等差數(shù)列的前三項分別為2,5,8，則該等差數(shù)列的公差是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

6.已知函數(shù)f(x)=3x2-2x+1，求f(-1)的值是（）

A.2

B.4

C.6

D.8

7.在等比數(shù)列{an}中，若a?=2，公比q=3，則該數(shù)列的第5項a?是（）

A.2

B.6

C.18

D.54

8.在平面直角坐標(biāo)系中，若直線y=2x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，則AB的長是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

9.已知三角形ABC的三邊長分別為a,b,c，若a2+b2=c2，則三角形ABC是（）

A.直角三角形

B.銳角三角形

C.鈍角三角形

D.等腰三角形

10.若等差數(shù)列的前n項和為Sn，公差為d，首項為a?，則Sn的表達(dá)式是（）

A.Sn=na?+n(n-1)d/2

B.Sn=na?+n2d/2

C.Sn=na?-n(n-1)d/2

D.Sn=na?-n2d/2

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列命題中，正確的有（）

A.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)在(a,b)內(nèi)必定連續(xù)。

B.若函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則f(x)在x=a處必定連續(xù)。

C.若函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)，則f(x)在x=a處必定可導(dǎo)。

D.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，則f(x)在該區(qū)間內(nèi)必定有最大值和最小值。

2.下列數(shù)列中，屬于等差數(shù)列的有（）

A.1,4,7,10,...

B.2,6,18,54,...

C.3,7,11,15,...

D.5,10,20,40,...

3.下列幾何圖形中，屬于旋轉(zhuǎn)對稱圖形的有（）

A.正方形

B.等邊三角形

C.梯形

D.圓

4.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）

A.y=x2

B.y=2x+3

C.y=√x

D.y=e^x

5.下列命題中，正確的有（）

A.若兩個事件A和B互斥，則它們的并集A∪B的概率等于P(A)+P(B)。

B.若兩個事件A和B相互獨立，則它們的交集A∩B的概率等于P(A)×P(B)。

C.若事件A的概率為P(A)，則事件A的補(bǔ)集的概率為1-P(A)。

D.若事件A的概率為P(A)，則事件A的補(bǔ)集的概率為P(A)+1。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知等差數(shù)列的首項為2，公差為3，則第10項的值是_________。

2.在直角坐標(biāo)系中，點P(3,4)關(guān)于原點O的對稱點是_________。

3.函數(shù)y=log?(x-1)的定義域是_________。

4.三角形ABC的邊長分別為5,12,13，則三角形ABC的面積是_________。

5.設(shè)等比數(shù)列{an}的第一項a?=1，公比q=-2，則第5項a?的值是_________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算定積分∫(0toπ)sin2(x)dx。

2.解下列方程組：

\[

\begin{cases}

2x+3y=8\\

4x-y=2

\end{cases}

\]

3.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-6x2+9x+1，求f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)。

4.求函數(shù)y=e^(3x)在x=0處的切線方程。

5.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=3n2+2n，求第10項a??的值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下：

一、選擇題答案及知識點詳解：

1.A（連續(xù)函數(shù)的定義）

2.A（勾股定理）

3.A（點關(guān)于x軸對稱）

4.B（平方差公式）

5.B（等差數(shù)列的定義）

6.A（代入法求函數(shù)值）

7.C（等比數(shù)列的通項公式）

8.C（點到直線的距離公式）

9.A（勾股定理）

10.A（等差數(shù)列的前n項和公式）

二、多項選擇題答案及知識點詳解：

1.B（可導(dǎo)必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)）

2.A,B,D（等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義）

3.A,B,D（旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義）

4.B,D（單調(diào)遞增函數(shù)的定義）

5.A,B,C（概率論的基本定理）

三、填空題答案及知識點詳解：

1.31（等差數(shù)列的通項公式）

2.(-3,-4)（點關(guān)于原點對稱）

3.(1,+∞)（對數(shù)函數(shù)的定義域）

4.30（三角形的面積公式）

5.-32（等比數(shù)列的通項公式）

四、計算題答案及知識點詳解：

1.解：利用三角恒等變換，sin2(x)=(1-cos(2x))/2，得到

\[

\int_0^\pi\sin^2(x)dx=\int_0^\pi\frac{1-\cos(2x)}{2}dx=\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin(2x)}{4}\right]_0^\pi=\frac{\pi}{2}

\]

知識點：三角恒等變換，積分計算。

2.解：通過加減消元法解方程組，得到

\[

\begin{cases}

2x+3y=8\\

4x-y=2

\end{cases}

\]

解得x=2，y=2。

知識點：線性方程組的解法。

3.解：對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得到

\[

f'(x)=3x^2-12x+9

\]

知識點：函數(shù)的求導(dǎo)法則。

4.解：函數(shù)y=e^(3x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)為3e^(3x)，因此切線斜率為3，切點為(0,1)，切線方程為

\[

y-1=3(x-0)\Rightarrowy=3x+1

\]

知識點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求解。

5.解：由等差數(shù)列的前n項和公式，得到

\[

S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=3n^2+2n

\]

當(dāng)n=10時，S??=3(10)^2+2(10)=320，因此a??=S??-S?=320-3(9)^2-2(9)=320-243-18=59。

知識點：等差數(shù)列的前n項和公式，等差數(shù)列的通項公式。

知識點總結(jié)：

本試卷涵蓋了高中數(shù)學(xué)競賽的多個知識點，包括：

-函數(shù)與極限

-數(shù)列

-三角函數(shù)與三角恒等式

-解析幾何

-線性方程組與不等式

-概率論與數(shù)理統(tǒng)計

-導(dǎo)數(shù)與微分

-高等數(shù)學(xué)初步

各題型所考察的學(xué)生知識點詳解及示例：

-選擇題：考察學(xué)生對基本概