高三聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$，若函數(shù)在區(qū)間$[1,2]$上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）

A.$a\leq1$

B.$1<a<2$

C.$a\geq2$

D.$a$無(wú)取值限制

2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$S_6=36$，$S_9=72$，則數(shù)列的公差為（）

A.2

B.3

C.4

D.5

3.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A(1,1)$關(guān)于直線$y=x$的對(duì)稱點(diǎn)為$B$，則直線$AB$的斜率為（）

A.1

B.-1

C.0

D.不存在

4.已知復(fù)數(shù)$z=3+i$，則$|z|$的值為（）

A.2

B.$\sqrt{10}$

C.1

D.$\sqrt{2}$

5.若等比數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為$a_1$，公比為$q$，且$a_1+a_2+a_3=9$，$a_1+a_2+a_3+a_4=27$，則$a_1$的值為（）

A.1

B.3

C.9

D.27

6.在等差數(shù)列$\{a_n\}$中，若$a_1=2$，$a_4=8$，則數(shù)列的公差為（）

A.2

B.3

C.4

D.5

7.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2-4}$，若函數(shù)在區(qū)間$[-2,2]$上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）

A.$a\leq-2$

B.$-2<a<2$

C.$a\geq2$

D.$a$無(wú)取值限制

8.已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x$，若函數(shù)在區(qū)間$[1,3]$上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）

A.$a\leq1$

B.$1<a<3$

C.$a\geq3$

D.$a$無(wú)取值限制

9.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A(1,1)$關(guān)于直線$y=-x$的對(duì)稱點(diǎn)為$B$，則直線$AB$的斜率為（）

A.1

B.-1

C.0

D.不存在

10.已知復(fù)數(shù)$z=2-i$，則$|z|$的值為（）

A.2

B.$\sqrt{5}$

C.1

D.$\sqrt{2}$

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列選項(xiàng)中，屬于三角函數(shù)的有（）

A.正弦函數(shù)

B.余弦函數(shù)

C.正切函數(shù)

D.雙曲正弦函數(shù)

E.雙曲余弦函數(shù)

2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$S_5=20$，$S_8=60$，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.$a_6=10$

B.$a_7=15$

C.$a_8=20$

D.$a_9=25$

E.$a_5=5$

3.在直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)$A(2,3)$在直線$y=mx+b$上，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)$m=0$時(shí)，$b=3$

B.當(dāng)$m=1$時(shí)，$b=1$

C.當(dāng)$m=-1$時(shí)，$b=5$

D.當(dāng)$m=2$時(shí)，$b=7$

E.當(dāng)$m=-2$時(shí)，$b=9$

4.已知復(fù)數(shù)$z=3+4i$，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.$|z|=5$

B.$z^2=25+24i$

C.$z^3=125+144i$

D.$z^4=625+576i$

E.$z^5=3125+2560i$

5.在等比數(shù)列$\{a_n\}$中，若$a_1=1$，$a_3=8$，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.$q=2$

B.$q=-2$

C.$a_5=32$

D.$a_6=64$

E.$a_7=128$

三、填空題（每題4分，共20分）

1.函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-4}$的定義域?yàn)開(kāi)_________。

2.等差數(shù)列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$d=2$，則$a_5=$__________。

3.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A(2,3)$到直線$y=2x-1$的距離為_(kāi)_________。

4.復(fù)數(shù)$z=2-i$的模長(zhǎng)為_(kāi)_________。

5.等比數(shù)列$\{a_n\}$中，若$a_1=1$，$q=3$，則$a_4=$__________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算下列極限：

\[

\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)-\sin(x)}{x^2}

\]

2.已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x$，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$，并求出函數(shù)的極值點(diǎn)。

3.設(shè)等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$S_5=20$，$S_8=60$，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式$a_n$。

4.在直角坐標(biāo)系中，已知直線$y=2x+1$與圓$x^2+y^2=4$相交于點(diǎn)$A$和$B$，求線段$AB$的長(zhǎng)度。

5.已知復(fù)數(shù)$z=3+4i$，求$z$的共軛復(fù)數(shù)$\overline{z}$，并求出$z$的模長(zhǎng)$|z|$。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題

1.C.$a\geq2$

2.B.3

3.A.1

4.B.$\sqrt{10}$

5.B.3

6.A.2

7.A.$a\leq-2$

8.B.$1<a<3$

9.B.-1

10.B.$\sqrt{5}$

二、多項(xiàng)選擇題

1.ABCD

2.ABC

3.ABC

4.ABCDE

5.ABCDE

三、填空題

1.$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$

2.11

3.$\frac{3}{\sqrt{5}}$

4.$\sqrt{5}$

5.27

四、計(jì)算題

1.解：利用三角函數(shù)的等價(jià)無(wú)窮小替換，$\sin(3x)-\sin(x)\approx3x-x=2x$，所以

\[

\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)-\sin(x)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{2x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{2}{x}=\infty

\]

答案：$\infty$

2.解：$f'(x)=3x^2-12x+9$，令$f'(x)=0$，得$x=1$或$x=3$。檢查這兩個(gè)點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)，確定$x=1$為極大值點(diǎn)，$x=3$為極小值點(diǎn)。

3.解：由$S_5=20$得$5a_1+10d=20$，由$S_8=60$得$8a_1+28d=60$。解這個(gè)方程組得$a_1=2$，$d=2$。所以通項(xiàng)公式為$a_n=2+2(n-1)=2n$。

4.解：直線$y=2x+1$與圓$x^2+y^2=4$相交，代入直線方程得$5x^2+4x-3=0$，解得$x_1=-\frac{3}{5}$，$x_2=\frac{1}{5}$。對(duì)應(yīng)的$y$值為$y_1=-\frac{1}{5}$，$y_2=3$。所以$A(-\frac{3}{5},-\frac{1}{5})$，$B(\frac{1}{5},3)$。線段$AB$的長(zhǎng)度為

\[

\sqrt{(-\frac{3}{5}-\frac{1}{5})^2+(-\frac{1}{5}-3)^2}=\sqrt{(\frac{4}{5})^2+(-\frac{16}{5})^2}=\frac{4\sqrt{13}}{5}

\]

答案：$\frac{4\sqrt{13}}{5}$

5.解：$z$的共軛復(fù)數(shù)$\overline{z}=3-4i$，$|z|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

-極限：極限的定義、性質(zhì)、運(yùn)算法則，以及等價(jià)無(wú)窮小的應(yīng)用。

-導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的定義、性質(zhì)、運(yùn)算法則，以及求導(dǎo)數(shù)的技巧。

-數(shù)列：等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、求和公式，以及通項(xiàng)公式的求解。

-直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的相交、相切、相離，以及線段長(zhǎng)度的計(jì)算。

-復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的定義、性質(zhì)、運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)和共軛復(fù)數(shù)的概念。

題型知識(shí)點(diǎn)詳解及示例：

-選擇題：