§9.3一元線(xiàn)性回歸模型及其應(yīng)用

【考試要求】L了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.2.了解最小二乘法原理，掌握一元線(xiàn)性回歸模

型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法.3.針對(duì)實(shí)際問(wèn)題，會(huì)用一元線(xiàn)性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè).

■落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳埋】

1.變量的相關(guān)關(guān)系

(1)相關(guān)關(guān)系：兩個(gè)變量,但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一

個(gè)的程度，這種關(guān)系稱(chēng)為相關(guān)關(guān)系.

(2)相關(guān)關(guān)系的分類(lèi)：和.

⑶線(xiàn)性相關(guān)：一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在

附近，我們就稱(chēng)這兩個(gè)變量線(xiàn)性相關(guān).

2.樣本相關(guān)系數(shù)

(2)當(dāng)時(shí)，稱(chēng)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)：當(dāng)*0時(shí)，稱(chēng)成對(duì)樣本數(shù)據(jù).

(3)|r|Wl；當(dāng))越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)程度越_______；當(dāng)5越接近0

時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)程度越.

3.一元線(xiàn)性回歸模型

⑴我們將尸&稱(chēng)為關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,

/年一xy>-y

b=---------=—

其中，3L/

、a=y—bx.

(2)殘差：觀(guān)測(cè)值減去稱(chēng)為殘差.

【常用結(jié)論】

1.經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(x,y).

—〃xy

??7=1

2.求洞，常用公式匕=------------.

Z總一〃x2

/-!

3.回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)都是基于成對(duì)樣本觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)或推斷，得出的結(jié)論都可能

犯錯(cuò)誤.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

（1）相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.（）

（2）散點(diǎn)圖是判斷兩個(gè)變量相關(guān)關(guān)系的一種重要方法和手段.（）

⑶經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)至少經(jīng)過(guò)點(diǎn)（小，，），（必，乂），…，（無(wú)，％）中的一個(gè)點(diǎn).（）

（4）樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1,成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)程度越強(qiáng).（）

【教材改編題】

1.在對(duì)兩個(gè)變量筋y進(jìn)行回歸分析時(shí)有下列步驟：

①對(duì)所求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程作出解釋?zhuān)孩谑占瘮?shù)據(jù)（%,%），＞=1,2,…，〃：③求經(jīng)險(xiǎn)回歸

方程：④根據(jù)所收集的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖.

則下列操作順序正確的是（）

A.①②??B.③②④①

C.②③??D.②④③①

2.對(duì)「X,y兩變量，有四組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，分別算山它們的樣本相關(guān)系數(shù)「如下，則線(xiàn)性

相關(guān)性最強(qiáng)的是（）

A.-0.82B.0.78C.-0.69D.0.87

3.某單位為了了解辦公樓用電量y（度）與氣溫x（C）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了四個(gè)工作日的

用電量與當(dāng)天平均氣溫，并制作了對(duì)照表：

氣溫（C）181310-1

用電量（度）24343864

由表中數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=-2x+a,當(dāng)氣溫為一4℃時(shí)，預(yù)測(cè)用電量約為（）

A.68度B.52度C.12度D.28度

■探究核心題型

題型一成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性

例1（1）（2023?保定模擬）已知兩個(gè)變量x和y之間有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，經(jīng)調(diào)查得到如下樣本

數(shù)據(jù):

X34567

y3.52.41.1-0.2—1.3

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=bx+a,則下列說(shuō)法中正確的是()

A.a〉0,b>0B.a>0,伙0

C.XO,力0D.a<0,僅0

(2)對(duì)兩個(gè)變量尤y進(jìn)行線(xiàn)性相關(guān)分析，得到樣本相關(guān)系數(shù)八=0.8995,對(duì)兩個(gè)變量u,r

進(jìn)行線(xiàn)性相關(guān)分析，得到樣本相關(guān)系數(shù)及=-0.9568,則下列判斷正確的是()

A,變量x與p正相關(guān)，變量〃與『負(fù)相關(guān)，變量x與y的線(xiàn)性相關(guān)性較強(qiáng)

B.變量x與y負(fù)相關(guān)，變量〃與。正相關(guān)，變量x與y的線(xiàn)性相關(guān)性較強(qiáng)

C.變量x與y正相關(guān)，變量〃與『負(fù)相關(guān)，變量〃與y的線(xiàn)性相關(guān)性較強(qiáng)

D.變量x與j，負(fù)相關(guān)，變量u與p正相關(guān)，變量u與，，的線(xiàn)性相關(guān)性較強(qiáng)

聽(tīng)課記錄：_________________________________________________________________

思維升華判定兩個(gè)變量相關(guān)性的方法

(1)畫(huà)散點(diǎn)圖：若點(diǎn)的分布從左下角到右上角，則兩個(gè)變最正相關(guān)；若點(diǎn)的分布從左上角到

右下角，則兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).

(2)樣本相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r>C時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)K0時(shí)，負(fù)相關(guān)；廳|越接近1,相關(guān)性越強(qiáng).

(3)經(jīng)驗(yàn)回歸方程：當(dāng)入0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)叢0時(shí)，負(fù)相關(guān).

跟蹤訓(xùn)練1(1)某公司2017?2022年的年利潤(rùn)x(單位：百萬(wàn)元)與年廣告支出y(單位：百

萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)資料如表所示：

年份201720182019202020212022

利潤(rùn)X12.214.6161820.422.3

支出y0.620.740.810.8911.11

根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，則利潤(rùn)中位數(shù)()

A.是16,才與夕有正相關(guān)關(guān)系

B.是17,x與y有正相關(guān)關(guān)系

C.是17,x與y有負(fù)相關(guān)關(guān)系

D.是18,x與y有負(fù)相關(guān)關(guān)系

(2)已知相關(guān)變量x和y的散點(diǎn)圖如圖所示，若用y=b\,ln(4x)與y=%v+A擬合時(shí)的樣

本相關(guān)系數(shù)分別為門(mén)，。則比較口，心的大小結(jié)果為()

A.r\>r2

C.D.不確定

題型二回歸模型

命題點(diǎn)1一元線(xiàn)性回歸模型

例2(2023?蚌埠模擬)某商業(yè)銀行對(duì)存款利率與口存款總量的關(guān)系進(jìn)行調(diào)研，發(fā)現(xiàn)存款利

率每上升一定的百分點(diǎn)，日均存款總額就會(huì)發(fā)生一定的變化，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)得到下表：

利率上升百分點(diǎn)X0.10.20.30.40.5

日均存款總額y(億元)0.20.350.50.650.8

(1)在給出的坐標(biāo)系中畫(huà)出卜.表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖:

(2)根據(jù).上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程了="+身

(3)已知現(xiàn)行利率卜的口均存款總額為0.625億元，試根據(jù)(2)中的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，預(yù)測(cè)口均

存款總額為現(xiàn)行利率下的2倍時(shí)，利率需上升多少個(gè)百分點(diǎn)？

2必六一〃xy

參考公式及數(shù)據(jù)：①方=-------------

n__

22

工XLfix

?__A__55

a=y—bx,②9,g第=0.55.

/=!/=!

命題點(diǎn)2非線(xiàn)性回歸模型

例3（2023?保山模擬）某縣為了解鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況，對(duì)全縣鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況進(jìn)行調(diào)研,

現(xiàn)對(duì)2013年以來(lái)的鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)收入近單位：億元）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，制成如圖所示的散點(diǎn)圖,

其中年份代碼x的值1一10分別對(duì)應(yīng)2013年至2022年.

加鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)收入、（億元）

80.***

7。.???.

60.,

012345678910年份代碼x

⑴若用模型①尸a+H,②片a+/加擬合y與x的關(guān)系，其樣本相關(guān)系數(shù)分別為八=0.851

9,尼=0.9901,試判斷哪個(gè)模型的相關(guān)程度更強(qiáng)？

（2）根據(jù)（1）中相關(guān)程度更強(qiáng)的模型，求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（系數(shù)精確到0.01）,并估

計(jì)該縣2026年的鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)收入（精確到0.01）.

___11(1

參考數(shù)據(jù)：ti=F，7=而斗，713^3.606,{1^3.742,共23.873.

x)?(y-?"

%-7)2

7i((x,—xy

y/=1/=1

T)

72.652.25126.254.52235.4849.16

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（右，y）,（右，鹿），…，（&,,%）,經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=0r+a中的斜

.普一￡六一y._.

率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為〃=-------=—,a=~-iTi.

nt-t

/=l

思維升華求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟

計(jì)算出元無(wú)或*（x,-x）（y（-y）,

￡（憶一幻2的值

q

利用公式計(jì)算逐

寫(xiě)出經(jīng)臉回歸方程R=Rr+aj

跟蹤訓(xùn)練2（2022?南B充模擬）某特色餐館開(kāi)通了某APP的外賣(mài)服務(wù)，在一周內(nèi)的某特色菜

外賣(mài)份數(shù)x（單位：份）與收入〃單位：元）之間有如下的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):

外賣(mài)份數(shù)）（份）24568

收入y（元）3040605070

（1）在給出的坐標(biāo)系中畫(huà)出數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖:

（2）請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)用最小二乘法求出收入y關(guān)于份數(shù)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;

（3）據(jù)此估計(jì)外賣(mài)份數(shù)為12時(shí)，收入為多少元.

參考數(shù)據(jù)公式：ZW=14￡,E*,匕=1380,

/=i/=?

a=y—bx.

題型三殘差分析

例4（1）（多選）下列說(shuō)法正確的是（）

A.在經(jīng)驗(yàn)回歸方程p=—0.85x+2.3中，當(dāng)解釋變量x每增加1個(gè)單位時(shí)，響應(yīng)變量產(chǎn)？均

減少2.3個(gè)單位

B.在經(jīng)驗(yàn)回歸方程尸一0.85x+2.3中，相對(duì)于樣本點(diǎn)(1,1.2)的殘差為一0.25

C.在殘差圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，其模型的擬合效果越好

D.若兩個(gè)變量的決定系數(shù)〃越大，表示殘差