3.1.3函數(shù)的奇偶性（第1課時）人教B版（2019）必修第一冊第二章

等式與不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)了解函數(shù)的奇偶性01會用定義判斷簡單函數(shù)的奇偶性02知識回顧初中時我們學(xué)習(xí)過有關(guān)軸對稱和中心對稱的知識，而且已經(jīng)知道，在平面直角坐標(biāo)系中，點(x

，y)關(guān)于y軸的對稱點為(－x

，y)，關(guān)于原點的對稱點為(－x

，－y).例如，(－2

，3)關(guān)于y軸的對稱點為________，關(guān)于原點的對稱點為_________.(2

,3)(2,－3)探索新知嘗試與發(fā)現(xiàn)填寫下表，觀察指定函數(shù)的自變量

x互為相反數(shù)時，函數(shù)值之間具有什么關(guān)系，并分別說出函數(shù)圖象應(yīng)具有的特征．x…－2－1012……………44101101

當(dāng)自變量取互為相反數(shù)的兩個值

x與

－x時，對應(yīng)的函數(shù)值相等，即

探索新知偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y＝f

(x)

的定義域為

D，如果對

D

內(nèi)的任意一個

x，都有－x

∈

D，且

f(－x)＝f(x)，則稱y＝

f

(x)

為偶函數(shù).如果

y＝f

(x)

是偶函數(shù)，其圖象具有什么特征呢?探索新知如圖所示，是嘗試與發(fā)現(xiàn)中兩個函數(shù)的圖象.從圖像上可以看出關(guān)于

y軸對稱，那么一般的偶函數(shù)的圖象是否都具有這一特點呢？我們知道，點

P(x，f(x))與

Q(－x，f(－x))都是函數(shù)

y＝f(x)圖象上的點，按照偶函數(shù)的定義，點

Q又可以寫成

Q(－x，f(x))，因此點

P和點

Q關(guān)于

y軸對稱．結(jié)論：偶函數(shù)的圖象關(guān)于

y軸對稱（即偶函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝0對稱）；反之，結(jié)論也成立，即圖象關(guān)于

y軸對稱的函數(shù)一定是偶函數(shù)．探索新知嘗試與發(fā)現(xiàn)按照類似的方式得到奇函數(shù)的定義，以及奇函數(shù)圖象的特征：一般地，設(shè)函數(shù)y＝f

(x)

的定義域為

D，如果對

D

內(nèi)的任意一個

x，都有－x

∈

D，且

f(－x)＝－f(x)，則稱y＝

f

(x)

為奇函數(shù).奇函數(shù)的圖象關(guān)于________對稱.原點探索新知奇函數(shù)的圖象特征也可按照下述方式得到：點

P(x

，f

(x))

與

Q(－x，f

(－x))都是函數(shù)

y＝

f

(x)

圖象上的點，如果

y＝

f

(x)

是奇函數(shù)，則點

Q

又可以寫成

Q(－x，－f

(x))，因此點P和點Q關(guān)于原點對稱．結(jié)論：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；反之，結(jié)論也成立，即圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)一定是奇函數(shù)．

探索新知

典型例題例1判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：(1)f

(x)＝x＋x3＋x5； (2)f

(x)＝x2＋1；(3)f

(x)＝x＋1； (4)f

(x)＝x2，x

∈

[－1，3].解：(1)因為函數(shù)的定義域為

R，所以

x∈R時，－x∈R．又因為f(－x)＝(－x)＋(－x)3＋(－x)5

＝－(x＋x3＋x5)＝－f(x)，所以函數(shù)

f

(x)＝x＋x3＋x5是奇函數(shù)．典型例題例1判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：(1)f

(x)＝x＋x3＋x5； (2)f

(x)＝x2＋1；(3)f

(x)＝x＋1； (4)f

(x)＝x2，x

∈

[－1，3].解：(2)因為函數(shù)的定義域為

R，所以

x∈R時，－x∈R．又因為f

(－x)＝

(－x)2＋1＝x2＋1＝f

(x)，所以函數(shù)

f(x)＝x2＋1是偶函數(shù)典型例題例1判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：(1)f

(x)＝x＋x3＋x5； (2)f

(x)＝x2＋1；(3)f

(x)＝x＋1； (4)f

(x)＝x2，x

∈

[－1，3].解：(3)因為函數(shù)的定義域為

R，所以

x∈R時，－x∈R又因為

f(－1)＝0，f(1)＝2，所以f

(－1)≠－f

(1)

且

f

(－1)≠f

(1)，因此函數(shù)

f

(x)＝x＋1既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)（也可說成

f

(x)是非奇非偶函數(shù)）．典型例題例1判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：(1)f

(x)＝x＋x3＋x5； (2)f

(x)＝x2＋1；(3)f

(x)＝x＋1； (4)f

(x)＝x2，x

∈

[－1，3].解：(4)因為函數(shù)的定義域為[－1，3]，而3∈[－1，3]，但－3?[－1，3]，所以函數(shù)

f

(x)＝x2，x∈[－1，3]是非奇非偶函數(shù)．本例說明，設(shè)函數(shù)

f

(x)

的定義域為D，如果存在

x0∈

D，但

－x0?

D，即函數(shù)

f

(x)

的定義域不關(guān)于原點對稱，則

f

(x)

既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).探索新知判斷一個函數(shù)的奇偶性步驟：第一步看定義域是否關(guān)于原點對稱，若關(guān)于原點對稱，再看

f(－x)與f(x)的關(guān)系：對定義域內(nèi)任一

x都有

f(－x)＝f(x)，則

f(x)

是偶函數(shù)；對定義域內(nèi)任一

x都有

f(－x)＝－f(x)，則

f(x)

是奇函數(shù)．若存在一個

x0∈D，有－x0∈D，但

f(－x0)≠－f(x0)

且

f(－x0)

≠f(x0)，則

f(x)是非奇非偶函數(shù)．典型例題例2已知奇函數(shù)

f

(x)

的定義域為D，且

0

∈

D，求證：f

(0)＝

0.證明：因為

f

(x)

是奇函數(shù)，所以

f

(－0)＝－f

(0)，即

f

(0)＝－f

(0)，所以2

f

(0)＝0，因此

f