第8節(jié)正弦定理和余弦定理課標(biāo)要求掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題.【知識梳理】1.正、余弦定理在△ABC中,若內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為△ABC外接圓半徑,則定理余弦定理正弦定理公式a2=b2+c22bccosA;b2=c2+a22cacosB;c2=a2+b22abcosCasinA=bsinB常見變形cosA=b2cosB=c2cosC=a(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=a2R,sinB=b2R,sin(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;(4)asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA2.在△ABC中,已知a,b和A時(shí),解的情況如下:A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無解3.三角形常用面積公式(1)S=12a·ha(ha表示a邊上的高(2)S=12absinC=12acsinB=12bcsin(3)S=12r(a+b+c)(r為內(nèi)切圓半徑[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(A+B)=sinC;(2)cos(A+B)=cosC;(3)sinA+B(4)cosA+B2.在△ABC中,兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊,A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.【診斷自測】概念思考辨析+教材經(jīng)典改編1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比.()(2)在△ABC中,若sinA>sinB,則A>B.()(3)在△ABC的六個(gè)元素中,已知任意三個(gè)元素可求其他元素.()(4)當(dāng)b2+c2a2>0時(shí),△ABC為銳角三角形;當(dāng)b2+c2a2=0時(shí),△ABC為直角三角形;當(dāng)b2+c2a2<0時(shí),△ABC為鈍角三角形.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×解析(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角的正弦值之比.(3)已知三角時(shí),不可求三邊.(4)當(dāng)b2+c2a2>0時(shí),△ABC不一定為銳角三角形,僅確定A為銳角.2.(人教A必修二P48T2(2)改編)在△ABC中,已知b=2,A=45°,C=75°,則邊c=.

答案2+6解析B=180°45°75°=60°,由正弦定理,得2sin60°=csin75°,得c=2+3.(蘇教必修二P93練習(xí)T1(3)改編)在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,則∠BAC等于.

答案2π解析在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,由余弦定理的推論得cos∠BAC=AC2+AB因?yàn)椤螧AC為△ABC的內(nèi)角,所以∠BAC=2π34.(人教B必修四P5例3改編)已知△ABC中,b=36,c=6,B=120°,則△ABC的面積為.

答案27-9解析由正弦定理,得sinC=csinBb=由于b>c,故B>C,所以C=45°,所以A=180°120°45°=15°,sin15°=sin(60°45°)=32×2212×2所以△ABC的面積為S=12bcsinA=12×36×6×6-考點(diǎn)一正、余弦定理的直接應(yīng)用例1(1)(2025·榆林模擬)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若asinA+(b+λa)sinB=csinC,則λ的取值范圍為()A.(2,2) B.(0,2)C.[2,2] D.[0,2]答案A解析因?yàn)閍sinA+(b+λa)sinB=csinC,由正弦定理得c2=a2+b2+λab,由余弦定理知c2=a2+b22abcosC,所以λ=2cosC,因?yàn)镃∈(0,π),所以cosC∈(1,1),故λ∈(2,2).(2)(2024·全國甲卷)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若B=π3,b2=94ac,則sinsinC=()A.23913C.72 D.答案C解析由正弦定理得94sinAsinC=sin2B因?yàn)锽=π3,所以sinAsinC=49sin2B=由余弦定理得b2=a2+c22ac·cosB=a2+c2ac=94ac,所以a2+c2=134所以sin2A+sin2C=134sinAsinC所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=214sinAsinC=7又sinA>0,sinC>0,所以sinA+sinC=72思維建模1.在解三角形中,如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí),要考慮用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí),則考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時(shí),則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.2.三角形解的個(gè)數(shù)的判斷:已知兩角和一邊,該三角形是確定的,其解是唯一的;已知兩邊和一邊的對角,該三角形具有不確定性,通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷.訓(xùn)練1(1)(2024·南京調(diào)研)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=2,b=6,B=π3,則A=(A.π4 B.C.π4或3π4 D.π答案A解析根據(jù)正弦定理asinA=bsinB得2sinA=632因?yàn)?<A<π,所以A=π4或3π又因?yàn)閍<b,所以A<B=π3,故A=π(2)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bsin2A=asinB,且c=2b,則ab等于(A.2 B.3 C.2 D.3答案D解析由正弦定理及bsin2A=asinB,得2sinBsinAcosA=sinAsinB,又sinA≠0,sinB≠0,則cosA=12又c=2b,所以由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=b2+4b24b2×12=3b2得ab=3考點(diǎn)二利用正、余弦定理判斷三角形的形狀例2(1)(2025·齊齊哈爾調(diào)研)在△ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊,且2sin2B+C2>△ABC的形狀為()A.直角三角形B.鈍角三角形C.直角或鈍角三角形D.銳角三角形答案B解析由2sin2B+C2>b+cc得1cos(即1+cosA>sinB因?yàn)镃∈(0,π),所以sinC>0,則sinC+cosAsinC>sinB+sinC,即cosAsinC>sinB,即cosAsinC>sin(A+C),即cosAsinC>sinAcosC+cosAsinC,即sinAcosC<0,又A∈(0,π),所以sinA>0,所以cosC<0,所以角C為鈍角,故△ABC為鈍角三角形.(2)(多選)(2025·重慶診斷)在△ABC中,下列說法正確的是()A.若acosA=bcosB,則△ABC為直角三角形B.若a=40,b=20,B=25°,則△ABC必有兩解C.若△ABC是銳角三角形,則sinA>cosBD.若cos2A+cos2Bcos2C<1,則△ABC為銳角三角形答案BC解析對于A,由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B,∴A=B或2A+2B=180°,即A=B或A+B=90°,∴△ABC為等腰三角形或直角三角形,故A錯(cuò)誤;對于B,asinB=40sin25°<40sin30°=40×12=20即asinB<b<a,∴△ABC必有兩解,故B正確;對于C,∵△ABC是銳角三角形,∴0°<A<90°,0°<B<90°,180°>A+B>90°,即90°>A>90°B>0°,∴sinA>sin(90°B)=cosB,故C正確;對于D,由題意及二倍角的余弦公式知12sin2A+12sin2B1+2sin2C<1,即sin2A+sin2Bsin2C>0,即a2+b2c2>0,∴cosC>0,即C為銳角,但不能說明△ABC為銳角三角形,故D錯(cuò)誤.思維建模判斷三角形形狀的技巧總結(jié):(1)整理出邊的相應(yīng)關(guān)系從而判斷三角形是否為等邊或等腰三角形;(2)通過三角恒等變換,得出內(nèi)角之間的關(guān)系,從而判斷三角形是否為銳角、直角或鈍角三角形.求解三角形形狀問題時(shí),既要從邊的角度考慮又要從角的角度考慮,以免漏解.訓(xùn)練2在△ABC中,已知sinA+sinCsinB=b+ca且滿足條件①a(sinAsinB)=(c②bcosA+acosB=csinC中的一個(gè),試判斷△ABC的形狀,并寫出推理過程.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,則按第一個(gè)解答計(jì)分.解由sinA+sina+cb=b+ca,即a2+ac∴a2b2+acbc=0,∴(ab)(a+b+c)=0,∴a=b.若選①,則△ABC為等邊三角形.推理如下:由a(sinAsinB)=(cb)(sinC+sinB)及正弦定理,得a(ab)=(cb)(c+b),即a2+b2c2=ab.∴由余弦定理的推論得cosC=a2+b又C∈(0,π),∴C=π3∴△ABC為等邊三角形.若選②,則△ABC為等腰直角三角形.推理如下:∵bcosA+acosB=b·b2+c2-a22bc+a·a2∴sinC=1,∴C=π2∴△ABC為等腰直角三角形.考點(diǎn)三三角形的面積、周長例3(13分)(2024·新高考Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinC=2cosB,a2+b2c2=2ab.(1)求B;(2)若△ABC的面積為3+3,求c.[思路分析](1)利用條件式a2+b2c2=2ab和余弦定理求出C,再代入sinC=2cosB求B.(2)利用(1)的結(jié)果及正弦定理求a,代入公式S=12acsinB中求得c[規(guī)范解答]解(1)由余弦定理的推論得cos→根據(jù)條件式的結(jié)構(gòu)特征、轉(zhuǎn)化為余弦定理求C(2分)又0<C<π,∴C=π4,(3分∴2cosB=sinC=2→將C代入已知等式求B∴cosB=12.(5分又0<B<π?,∴B=π3.(6分(2)由(1)得A=πBC=5π12,(8分由正弦定理asinA得a2→利用正弦定理得出a,c的關(guān)系式(10分)∴△ABC的面積S=12acsin=1+34c2×32→利用△ABC的面積公式及a,c的關(guān)系式列方程,求c解得c=22.(13分)[滿分規(guī)則]?得步驟分①處的實(shí)質(zhì)是解三角方程,要注意寫清楚角的范圍,根據(jù)范圍得到角的值,否則易失步驟分.?得關(guān)鍵分②處把條件式轉(zhuǎn)化為余弦定理推論的形式是求角C的關(guān)鍵.③處利用正弦定理得到a,c的關(guān)系式是求邊c的關(guān)鍵.?得計(jì)算分④處涉及5π12的正弦值的計(jì)算,需轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值求解訓(xùn)練3(2024·新高考Ⅱ卷)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinA+3cosA=2.(1)求A;(2)若a=2,2bsinC=csin2B,求△ABC的周長.解(1)由sinA+3cosA=2,得12sinA+32cosA所以sinA+因?yàn)?<A<π,所以π3<A+π3<所以A+π3=π2,故A=(2)由2bsinC=csin2B,得2bsinC=2csinBcosB,由正弦定理,得2bc=2cbcosB,所以cosB=22,因?yàn)?<B<π,所以B=πC=π(A+B)=7π12所以sinC=sin7π12=sinπ3cosπ4=32×22+1=6+由正弦定理得b=asinBsinA=c=asinCsinA=2sin7π所以△ABC的周長為a+b+c=2+6+32.射影定理設(shè)△ABC的三邊是a,b,c,它們所對的角分別是A,B,C,則有a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA.典例在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若△ABC為銳角三角形,且滿足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是()A.a=2bB.b=B.b=2aC.A=2B D.B=2A答案A解析法一因?yàn)閟inB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin(A+C),所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sinB,即cosC(2sinBsinA)=0,所以cosC=0或2sinB=sinA,即C=90°或2b=a,又△ABC為銳角三角形,所以0°<C<90°,故2b=a.法二由正弦和余弦定理得b1+=2a×a2+b2-所以2b21+a2+b2-c2ab即2ba(a2+b2c2)=a2+b2c即(a2+b2c2)2ba所以a2+b2=c2或2b=a,又△ABC為銳角三角形,所以a2+b2>c2,故2b=a.法三由正弦定理及射影定理,得b+2bcosC=2acosC+ccosA=acosC+(acosC+ccosA)=acosC+b,即2bcosC=acosC,又因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,所以cosC≠0,則2b=a.訓(xùn)練(2025·濟(jì)南模擬)已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊,且acosC+3asinC=b,則A=()A.π6 B.πC.π3 D.答案A解析法一由acosC+3asinC=b及正弦定理得sinAcosC+3sinAsinC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以3sinAsinC=cosAsinC,因?yàn)閟inC≠0,所以3sinA=cosA,tanA=33,由A∈(0,π)得A=π法二(射影定理)由射影定理知b=acosC+ccosA,所以acosC+3asinC=acosC+ccosA,即3asinC=ccosA,由正弦定理得3sinAsinC=sinCcosA,又sinC≠0,所以tanA=33由A∈(0,π),得A=π6一、單選題1.(2025·1月八省聯(lián)考)在△ABC中,BC=8,AC=10,cos∠BAC=35,則△ABC的面積為(A.6 B.8 C.24 D.48答案C解析由題意得,a=8,b=10,cos∠BAC=b2+c2-解得c=6,則∠ABC=90°,所以S△ABC=12ac=12×82.(2025·南昌模擬)在△ABC中,2sinA=3sinB,AB=2AC,則cosC=()A.12 B.1C.14 D.答案D解析由正弦定理及2sinA=3sinB可得2BC=3AC,又AB=2AC,所以AC∶BC∶AB=2∶3∶4,不妨設(shè)AC=2k,BC=3k,AB=4k,k>0,所以cosC=4k2+93.(2025·新鄉(xiāng)模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=7,b=3,c=5,則()A.△ABC為銳角三角形B.△ABC為直角三角形C.△ABC為鈍角三角形D.△ABC的形狀無法確定答案C解析由于a=7,b=3,c=5,可得a>c>b,所以A是△ABC的最大內(nèi)角,所以cosA=b2+c2-a又因?yàn)锳∈(0,π),所以A=2π3進(jìn)而△ABC為鈍角三角形.4.(2024·T8聯(lián)考)在△ABC中,sin(BA)=14,2a2+c2=2b2,則sinC=(A.23 B.3C.12答案C解析因?yàn)?a2+c2=2b2,所以2a22b2=c2.由余弦定理得a2+c2b2=2accosB,b2+c2a2=2bccosA,兩式相減,得2a22b2=2accosB2bccosA=c2.所以2acosB2bcosA=c.由正弦定理,得2sinAcosB2sinBcosA=2sin(BA)=sinC,因?yàn)閟in(BA)=14,所以sinC=15.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sinA+sinBsinC=b-A.π6 B.C.2π3 D.答案B解析在△ABC中,由sinA+sinBsinC=b-c即(a+b)(ba)=c(bc),即b2+c2a2=bc,故cosA=b2+c又A∈(0,π),故A=π36.(2025·韶關(guān)模擬)在△ABC中,tanA=14,tanB=35.若△ABC的最長邊的長為17,則最短邊的長為(A.2 B.3 C.2 D.5答案A解析在△ABC中,tan(A+B)=tanA+tan因?yàn)閠anA<tanB<1,所以A<B<45°,所以最短邊長為BC且A+B=45°,則C=135°,由tanA=14得sinA=17由正弦定理,得BC=ABsinAsin即最短邊的長為2.7.(2024·杭州模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若acosB=315bcosA=2155,c=15,則sin(B-A.15 B.C.1515 D.答案B解析因?yàn)閍cosB=3155,bcosA=2155,所以sin(B-=bcosA-acos8.(2024·石家莊質(zhì)檢)在△ABC中,若2cos2AcosA=2cos2B+2cos2C2+cos(BC),則A=()A.π6 B.C.2π3 D.答案B解析因?yàn)?cos2AcosA=2cos2B+2cos2C2+cos(BC),所以2(1sin2A)cos[π(B+C)]=2(1sin2B)+2(1sin2C)2+cos(BC),則22sin2A+cosBcosCsinBsinC=22sin2B2sin2C+cosBcosC+sinBsinC,整理得sin2B+sin2Csin2A=sinBsinC,由正弦定理可得b2+c2a2=bc,再由余弦定理的推論得cosA=b2+c2-因?yàn)锳∈(0,π),故A=π3二、多選題9.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若(a2+c2b2)tanB=3ac,則B的值為()A.π6 B.C.5π6 D.答案BD解析根據(jù)余弦定理可知a2+c2b2=2accosB,代入(a2+c2b2)tanB=3ac,可得2accosB·sinBcosB=即sinB=32因?yàn)?<B<π,所以B=π3或B=2π10.(2025·重慶診斷)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足下列條件的三角形有兩個(gè)解的是()A.c=54,b=39,C=120°B.b=11,a=20,B=30°C.a=2,b=6,A=30°D.b=26,c=15,C=30°答案BD解析對于A,sinB=bsinCc=又b<c,只有一解,不合題意;對于B,sinA=asinBb=又b<a,即asinB<b<a,則有兩解,符合題意;對于C,sinB=bsinAa=6×122>1,則B對于D,sinB=bsinCc=又c<b,即bsinC<c<b,則有兩解,符合題意.11.(2025·溫州檢測)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,由以下各條件分別能得出△ABC為等邊三角形的有()A.已知a+b=2c且A+B=2CB.已知sinA=32且b=C.已知a+b=2c且a2+b2=2c2D.已知ab=cosBcosA答案AC解析對于A,因?yàn)锳+B=2C,所以C=π3由余弦定理得c2=a2+b22abcosC=a2+b2ab,又a+b=2c,所以a+b22=a2+所以3(ab)2=0,所以a=b,所以A=B=C=π3所以△ABC為等邊三角形.故A正確;對于B,因?yàn)閟inA=32,0<A<π所以A=π3或A=2π當(dāng)A=π3時(shí),因?yàn)閎=c,所以A=B=C=π所以△ABC為等邊三角形;當(dāng)A=2π3時(shí),因?yàn)閎=c,所以B=C=π所以△ABC為等腰三角形.故B錯(cuò)誤;對于C,因?yàn)閍+b=2c且a2+b2=2c2,所以a2+b2=12(a+b)2所以(ab)2=0,所以a=b,又a+b=2c,所以a=b=c,所以△ABC為等邊三角形.故C正確;對于D,因?yàn)閍b=cosBcosA,所以即sinAcosA=sinBcosB,所以sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A+2B=π,所以A=B或A+B=π2當(dāng)A=B時(shí),因?yàn)锳=π3所以A=B=C=π3,所以△ABC為等邊三角形當(dāng)A+B=π2時(shí),因?yàn)锳=π所以B=π6,C=π所以△ABC為直角三角形.故D錯(cuò)誤.三、填空題12.(2025·武漢調(diào)研)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若B=3π4,b=6,a2+c2=22ac,則△ABC的面積為.答案3解析在△ABC中,B=3π4,b=6a2+c2=22ac,由余弦定理得b2=a2+c22accosB=22ac2accos3π4=32解得ac=62,所以S△ABC=12acsinB=12×62×13.(2024·沈陽質(zhì)檢)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,A=π6,(1+3)c=2b,則B=.答案7π解析在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=b2+c23bc,又b=1+32c,所以a=2由正弦定理得asinA=所以sinC=casinA=2·sinπ6=因?yàn)閏<b,所以C為銳角,C=π4所以B=ππ6π4=14.(2025·太原調(diào)研)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知cos2Ccos2B+sin2A=sinAsinB=12,且△ABC的面積為3,則邊c的值為.答案6解析因?yàn)閏os2Ccos2B+sin2A=sinA·sinB,所以1sin2C(1sin2B)+sin2A=sinAsinB,即sin2B+sin2Asin2C=sinAsinB,由正弦定理,得b2+a2c2=ab,所以cosC=a2+b2-又C∈(0,π),所以C=π3由正弦定理asinA=bsinB=csinC得absinAsinB=