復(fù)旦附中高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)的是（）

A.\(f(x)=|x|\)

B.\(f(x)=x^2\)

C.\(f(x)=\sqrt{x}\)

D.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

2.已知函數(shù)\(f(x)=2x^3-3x^2+4\)，則\(f'(1)\)的值為（）

A.-1

B.1

C.2

D.3

3.下列不等式中，正確的是（）

A.\(2^3>3^2\)

B.\(2^3<3^2\)

C.\(2^3=3^2\)

D.無(wú)法確定

4.已知\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，則\(\sin2\alpha\)的值為（）

A.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

B.\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

C.1

D.-1

5.下列方程中，無(wú)實(shí)數(shù)解的是（）

A.\(x^2-4=0\)

B.\(x^2+4=0\)

C.\(x^2-1=0\)

D.\(x^2+1=0\)

6.已知\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=4\)，\(c=5\)，則\(\triangleABC\)是（）

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等邊三角形

D.梯形

7.下列數(shù)列中，是等差數(shù)列的是（）

A.\(1,3,5,7,\ldots\)

B.\(1,2,4,8,\ldots\)

C.\(1,4,9,16,\ldots\)

D.\(1,3,6,10,\ldots\)

8.已知\(\log_23=x\)，則\(\log_32\)的值為（）

A.\(\frac{1}{x}\)

B.\(x\)

C.\(\sqrt{x}\)

D.\(\frac{\sqrt{x}}{x}\)

9.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是（）

A.\(f(x)=x^2\)

B.\(f(x)=|x|\)

C.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

D.\(f(x)=x^3\)

10.下列命題中，正確的是（）

A.兩個(gè)等腰三角形的底角相等

B.兩個(gè)等邊三角形的底角相等

C.兩個(gè)等腰三角形的頂角相等

D.兩個(gè)等邊三角形的頂角相等

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，滿足以下條件的是（）

A.\(f(x)=x^2\)在\(x=0\)處連續(xù)

B.\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處連續(xù)

C.\(f(x)=\sqrt{x}\)在\(x=0\)處連續(xù)

D.\(f(x)=|x|\)在\(x=0\)處連續(xù)

2.已知\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，則\(\sin2\alpha\)和\(\cos2\alpha\)的可能取值分別是（）

A.\(\sin2\alpha=1,\cos2\alpha=0\)

B.\(\sin2\alpha=0,\cos2\alpha=1\)

C.\(\sin2\alpha=-1,\cos2\alpha=0\)

D.\(\sin2\alpha=0,\cos2\alpha=-1\)

3.下列方程中，下列根的情況正確的是（）

A.\(x^2-4=0\)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

B.\(x^2+4=0\)有兩個(gè)復(fù)數(shù)根

C.\(x^2-1=0\)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

D.\(x^2+1=0\)有兩個(gè)復(fù)數(shù)根

4.下列數(shù)列中，下列數(shù)列是收斂數(shù)列的是（）

A.\(\{1,1/2,1/4,1/8,\ldots\}\)

B.\(\{1,2,4,8,\ldots\}\)

C.\(\{1,1/2,1/4,1/8,\ldots\}\)

D.\(\{1,-1,1,-1,\ldots\}\)

5.下列函數(shù)中，下列函數(shù)的圖像是奇函數(shù)的是（）

A.\(f(x)=x^2\)

B.\(f(x)=|x|\)

C.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

D.\(f(x)=x^3\)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.函數(shù)\(f(x)=x^3-6x^2+9x\)的導(dǎo)數(shù)\(f'(x)\)為_(kāi)______。

2.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)\(P(2,-3)\)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)______。

3.解方程\(2x-5=3x+1\)得到\(x\)的值為_(kāi)______。

4.在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_1=3\)，公差\(d=2\)，則第\(n\)項(xiàng)\(a_n\)的表達(dá)式為_(kāi)______。

5.設(shè)\(\triangleABC\)的內(nèi)角\(A\)、\(B\)、\(C\)的對(duì)邊分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)，若\(a=5\)，\(b=7\)，\(c=8\)，則\(\cosA\)的值為_(kāi)______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算下列極限：

\[

\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^3}

\]

2.解下列微分方程：

\[

\frac{dy}{dx}=3x^2y^2

\]

3.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x+1\)，求\(f'(x)\)和\(f''(x)\)，并計(jì)算\(f''(2)\)。

4.已知等差數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n=3n^2+2n\)，求該數(shù)列的首項(xiàng)\(a_1\)和公差\(d\)。

5.在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)\(A(1,2)\)、\(B(3,4)\)、\(C(5,1)\)形成三角形\(ABC\)，求三角形\(ABC\)的面積。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.A（知識(shí)點(diǎn)：絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)）

2.C（知識(shí)點(diǎn)：多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）

3.A（知識(shí)點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的大小比較）

4.A（知識(shí)點(diǎn)：二倍角公式）

5.B（知識(shí)點(diǎn)：二次方程的根）

6.A（知識(shí)點(diǎn)：勾股定理）

7.A（知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的定義）

8.A（知識(shí)點(diǎn)：對(duì)數(shù)的換底公式）

9.D（知識(shí)點(diǎn)：奇函數(shù)的定義）

10.A（知識(shí)點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)）

二、多項(xiàng)選擇題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.ACD（知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的連續(xù)性）

2.AB（知識(shí)點(diǎn)：二倍角公式）

3.ABCD（知識(shí)點(diǎn)：二次方程的根）

4.AC（知識(shí)點(diǎn)：數(shù)列的收斂性）

5.CD（知識(shí)點(diǎn)：奇函數(shù)的定義）

三、填空題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.\(3x^2-12x+9\)（知識(shí)點(diǎn)：多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）

2.\((-2,3)\)（知識(shí)點(diǎn)：點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）

3.\(-1\)（知識(shí)點(diǎn)：一元一次方程）

4.\(a_n=3+2(n-1)\)（知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式）

5.\(\frac{1}{2}\)（知識(shí)點(diǎn)：余弦定理）

四、計(jì)算題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.解：利用洛必達(dá)法則，得到：

\[

\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\cosx-1}{3x^2}=\lim_{x\to0}\frac{-\sinx}{6x}=\lim_{x\to0}\frac{-\cosx}{6}=-\frac{1}{6}

\]

知識(shí)點(diǎn)：洛必達(dá)法則、三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

2.解：分離變量并積分，得到：

\[

\frac{dy}{dx}=3x^2y^2\Rightarrow\frac{1}{y^2}dy=3x^2dx\Rightarrow-\frac{1}{y}=x^3+C

\]

知識(shí)點(diǎn)：微分方程、分離變量法

3.解：求導(dǎo)得到：

\[

f'(x)=3x^2-6x+9,\quadf''(x)=6x-6

\]

計(jì)算\(f''(2)\)得到：

\[

f''(2)=6\times2-6=6

\]

知識(shí)點(diǎn)：多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)

4.解：根據(jù)等差數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和公式，得到：

\[

S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)=3n^2+2n

\]

代入\(n=1\)得到\(a_1=3\)，代入\(n=2\)得到\(d=2\)。

知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和公式

5.解：利用海倫公式計(jì)算半周長(zhǎng)\(s\)：

\[

s=\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2}(5+7+8)=10

\]

計(jì)算面積\(S\)：

\[

S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{10(10-5)(10-7)(10-8)}=\sqrt{10\times5\