2023-2025北京高三（上）期末數(shù)學匯編

空間直線、平面的垂直

一、單選題

1.（2025北京昌平高三上期末）設”“是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，且aP=則

““_1_#"是“"_1加”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2025北京豐臺高三上期末）如圖，在三棱錐尸-ABC中，VABC與R4S都是邊長為2的等邊三角

形，且尸C=退，則點P到平面ABC的距離為（）

3.（2025北京昌平高三上期末）如圖1所示，在正六棱柱48coEF-44CQ4耳中，底面邊長為1,側棱長

為2,BB?=ABB、,DD2=ADD,,FE=/FF\,0<N<1.在正六棱柱A8CDEF-44￡〃耳耳中，截去三棱錐

BJABC、D2-CDE、F2-EFA,再分別以AC,CE,胡為軸將AAC瓦，△C￡%△以區(qū)分別向上翻轉180,記

四，2,用三點重合的點為P,圍成的曲頂多面體如圖2所示.記正六棱柱ABCQEF-A4CQE出的表面積與體

積分別為幾K，當人=!時，記所圍成的曲頂多面體的表面積與體積分別為包,％,則下述判斷正確的是

4

TT

4（2025北京房山高三上期末）已知正三棱錐尸-由的底面邊長為2,側面與底面所成角是一則三棱

錐P-ABC的體積等于（）

A.-B.-C.2D.1

33

5.（2025北京順義高三上期末）某同學在勞動實踐課中，用四塊板材制作了一個簸箕（如圖1）,其底面

擋板是等腰梯形，后側擋板是矩形，左右兩側擋板為全等的直角三角形，后側擋板與底面擋板垂直.簸箕

的造型可視為一個多面體（如圖2）.若AB=24cm,CD=30cm,AE=15cm,AB與CO之間的距離為

28cm,則該多面體的體積是（）

圖1

A.5040cm3B.5250cm3

C.5460cm3D.5670cm3

__TT

6.（2024北京海淀局三上期末）正四棱錐P-ABCD中，AB=2,二面角尸-CD-A的大小為了，則該四

4

棱錐的體積為（）

24

A.4B.2C.-D.-

33

7.（2024北京東城高三上期末）如圖，在正方體A5cO-A5GA中，鉆=2,石，/分別是0m用的中

點.用過點尸且平行于平面叱的平面去截正方體，得到的截面圖形的面積為（）

A.nB.2占C.#D.好

2

8.（2024北京豐臺高三上期末）在某次數(shù)學探究活動中，小明先將一副三角板按照圖1的方式進行拼接，

然后他又將三角板A3C折起，使得二面角A-BC-O為直二面角，得圖2所示四面體A3CD.小明對四面

體ABCD中的直線、平面的位置關系作出了如下的判斷：①CD_L平面ABC；②AB,平面ACD；③平面

ABD_L平面AC￡＞；④平面ARD_L平面BCD.其中判斷正確的個數(shù)是（）

A

C.3D.4

9.（2024北京朝陽高三上期末）如圖，在正方體ABCD-A瓦G2中，點M是平面A內一點，且

MB//平面ACD,,則tanNDMA的最大值為（）

A.交B.1C.JiD.2

2

10.（2024北京大興高三上期末）木楔在傳統(tǒng)木工中運用廣泛.如圖，某木楔可視為一個五面體，其中四邊

形A3。是邊長為2的正方形，M.ADE,3C尸均為等邊三角形，EF//CD,EF=4,則該木楔的體積為

A.五B.20C.漢1D.晅

33

11.（2024北京石景山高三上期末）在正方體ABCD-A用GR中，點尸在正方形A。。A內（不含邊界），則

在正方形。CC12內（不含邊界）一定存在一點Q,使得（）

A.PQ//ACB.PQ1AC

C.AC_L平面PQGD.平面PQG〃平面ABC

12.（2024北京東城一六六中高三上期末）風箏又稱為“紙鶯”，由中國古代勞動人民發(fā)明于距今2000多年

的東周春秋時期，相傳墨翟以木頭制成木鳥，研制三年而成，是人類最早的風箏起源.如圖，是某高一年上

級學生制作的一個風箏模型的多面體為的中點，四邊形EEDC為矩形，且

DF±AB,AC=BC=2,ZACB=120,當鉆_L3E時，多面體ABCEF的體積為（）

A.9B.逅C.走D.76

333

二、填空題

13.（2025北京通州高三上期末）如圖，正方形ABC。和正方形CDEP所在的平面互相垂直.M為BC中

點，尸為正方形CDEP內一點（包括邊界），且滿足NAP￡>=NMPC,。為正方形ABC。內一點（包括邊

界），設鉆=3,給出下列四個結論:

①/Q,使EQLMP；

②之。，使PQ=6；

③點尸到DF的最小值為20-2;

④四棱錐尸-AWCD體積的最大值為2叵.

4

其中正確結論的序號是.

14.（2025北京朝陽高三上期末）在棱長為1的正方體中，點E在線段AG上（不與AG

重合），EFLAC于EFGLBC于G,以下四個結論：

①2C_L平面EFG；

②線段EF與線段FG的長度之和為定值；

③,EFG面積的最大值為:；

④線段EG長度的最小值為亞.

2

其中所有正確的結論的序號是.

15.（2023北京海淀高三上期末）如圖，在正三棱柱ABC-ABCI中，尸是棱8月上一點，AB=AAl=2,

則三棱錐尸-ACG的體積為.

16.（2023北京石景山高三上期末）在四棱錐P-ABCD中，出，面底面A5C。是正方形,

PA=AB^2,則此四棱錐的外接球的半徑為.

參考答案

1.A

【分析】由充分（必要）條件的判定，結合線面垂直的判定和性質判斷即可.

【詳解】由題，aP=m,則mu6,

若"_1_2，根據(jù)線面垂直的性質，則定有故是“〃，加”的充分條件;

當時，”也可以在夕內，故不一定有〃，尸，

故“n_L租”不是“nVp”的必要條件，

故選：A.

2.C

【分析】根據(jù)題意，取42中點。，連接尸28,由線面垂直的判定定理可得平面PCD,從而可得

平面ABC,平面PCD,則點P到平面ABC的距離為點P到直線CD的距離，即可得到結果.

【詳解】

取中點。，連接尸。8,

因為VABC與aEAB都是邊長為2的等邊三角形，

所以P￡>_LAB,C￡>_LA3,PD=CD=6,

且PDcCD=D,P￡>,CDu平面PCD,

所以A5_L平面尸CD,且ABu平面ABC,所以平面ABC_L平面PCD,

所以點P到平面ABC的距離為點P到直線CD的距離，

過點尸做尸E_LCD,所以點尸到直線CD的距離即為PE,

又尸C=6，且PD=CD=5所以△PCD為等邊三角形，

所以尸E=6cos30°=Gx3=』，

22

3

即點P到平面ABC的距離為1.

故選：C

3.C

【分析】利用割補法求解可得.結合正六邊形與正棱柱性質，由割補部分體積相等可得匕=匕；再由割補方

法根據(jù)表面積的變化，求解并比較兩幾何體表面積大小即可.

【詳解】如圖2,由題意4E=Ag,

由旋轉方法可知，代及B，A四點共面，且四邊形PE&A為菱形，

連接P&,交AE于M,則“為AE中點，且AM_LMP；

如圖1,正六棱柱ABCDEF-44CQ4耳中，F(xiàn)F21平面ABCDEF,

因為9u平面ABCDE/，所以質，尸M,

在上底面正六邊形ABCDEF中，設中心為

連接CF,與AE的交點即為AE中點

則四點共線，且H為C尸中點，M為FH中點.

連接E〃,A”，四邊形EH4尸為菱形，則加，且

如圖2,連接PH，

由AMLMP,平面且MWMP=M,

故4/_]_平面尸又PHu平面所以A〃_LP”.

結合圖1與圖2,

在與，尸中，PM=F2M,ZPMH=ZF2MF,HM=FM,

所以F?FM與PHM全等,ZF2FM=9Q,則/PHM=90，

即A/H,AEu平面AfiCDE尸，且MHAE=M,

則尸HL平面ABCDEF,且尸女=8尸，

同理，S斥口=SECH，SCAB=SCAH，PH=B^B=D?D,

又SACH=S.CEH=SEAH,

貝！J^P-AHE=Vp_EHC=^P-CHA=^F2-AFE=^D2-EDC=^B2-CBA,

設均為V，V=—S.?-BJB=-x—x—x2sinl20=—,

3r-032424

故匕"=%AHE+Vp-EHC+^P-CHA=^F2-AFE+^D2-EDC+^B2-CBA=3V=，

~-O

故曲頂多面體可看作由正六棱柱截去3個小三棱錐(三棱錐鳥-AfE,三棱錐層-CA4,三棱錐

D.-EDC)再補上1個大三棱錐尸-ACE,

故曲頂多面體的體積％=匕-3丫+3V=匕=6義￥*12、2=3坦；

因為=J尸球+產/=][52)+1]=孝,

AE={FA2+FE?—2FE?E4cos120=Jl?+/一2x.g)=收

所以由正六棱柱的性質結合上面的分析，可知曲頂多面體的表面積

S2=3s菱形尸％A+6S梯形為片4A+S正六邊形416GA4耳

1/?

=3MF2AE+6x-(FlF2+AAl)AlFl+6x^-AlB^

。血石y1/3,八一3石21+3#+3g

=3x——xV3+6x—x—+2xl+---=-------------；

22（2J22

而正六棱柱的表面積S[=^S^WABCDEF+6S矩形A41glB

=2x6x^xl2+6x1x2=12+3^;

所以$2_岳=:（"_若_1）<0,即S]>S2.

綜上所述，乂=匕,耳＞52.

故選：C.

圖1圖2

【點睛】關鍵點點睛：解決此題的關鍵在于割補法的應用.

4.B

【分析】根據(jù)正三棱錐的定義和側面與底面所成二面角的定義求出三棱錐的高，代入體積公式即可.

【詳解】如下圖所示：

P

由正三棱錐的定義，底面VABC為正三角形，且邊長為2,作正三棱錐的高尸O,垂足。為VABC的中

心，連接A0并延長，交于M點；

由正三棱錐的幾何的性質可知：AM±BCfPM1BC,/PMO就是側面尸5c與底面所成二面角的平面

TT

角，ZPMO=~,可得POM是等腰直角三角形，PO=OM.

4

根據(jù)正三角形的性質，OM=B,即正三棱錐的高為且.

33

三棱錐的體積為：—x—x22xsin—x.

32333

故選：B

5.C

【分析】將幾何體的體積轉化為四棱錐和三棱錐的體積后可得正確的選項.

【詳解】

因為四邊形ABFE為矩形，故AEJ.AB,而平面平面ABCD,

平面A5P臼平面ABCD=AB,AEu平面/WFE,

故AE_L平面ABC。，

在平面ABC。中過A作AS_LDC,垂足為S,則AS_LAB,

同理可證AS1平面ABFE,

而AS=28,故/_As=gxl5x4x28x30=2100cm3,

1,

3

VCc-ARoFrcF=—3x28x24xl5=3360cm7,

故幾何體的體積為54608?,

故選：C.

6.D

jr

【分析】作出輔助線，得到/P。"為二面角P-CD-A的平面角，所以NPQ"=；,從而求出四棱錐的

4

高，由棱錐體積公式求出答案.

【詳解】連接4C，m，相交于點H,則“為正方形A5CD的中心，

故底面A3CD,

取CD的中點Q,連接"Q,PQ,則HQLCZXPQ，。，HQ=^AD=l,

TT

故NPQH為二面角P-CD—A的平面角，所以NPQH=r，

4

故P〃=HQ=1,

所以該四棱錐的體積為14

故選：D

7.B

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質可得四邊形為截面所在的四邊形，即可利用線面垂直得四邊形

RC/M為矩形，即可求解.

【詳解】取AA的中點連接。M,BEC/,

則M尸〃A3//C，，故四邊形RC/M為平行四邊形，即為過點尸且平行于平面山汨的截面,

RM=6,MF=2,且G2，平面ADDS,D}Mu平面ADD^，則CQJD、M,

故四邊形RGM0為矩形，

故四邊形的面積為MPR“=2右，

故選：B

3_____________

：D：.

8.C

【分析】根據(jù)題意，結合線面位置關系的判定定理和性質定理，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于①中，因為二面角A-3C-D為直二面角，可得平面ABC，平面38,

又因為平面ABC|平面3CD=3C,DCLBC,且OCu平面BCD,

所以OCL平面ABC,所以①正確；

對于②中，由OC_L平面A3C,且ABu平面ABC,可得AB_LCD,

又因為AB1AC,且ACCD=C,AC,。u平面AC。，

所以AB，平面AC。，所以②正確；

對于③中，由AB_L平面ACD,且ABu平面ABD,所以平面ABD_L平面ACD,所以③正確;

對于④，中，因為DC_L平面ABC,且。Cu平面3CD,可得平面ABC_L平面3CD,

若平面AB￡>_L平面BCD,且平面ABDc平面ABC=AB,可得AB_L平面BCD,

又因為BCu平面BCD,所以AB_L3C,

因為AB與BC不垂直，所以矛盾，所以平面A3。和平面3c。不垂直，所以D錯誤.

故選：C.

【分析】點M是平面ABCA內一點，且“8〃平面AC，，先考慮平面ABC"/平面AC，，從而得M在

直線4G上，tan需取最大值時M2取最小值，此時A￡c耳，=M,求解即可.

正方體ABCO-ABC。中，

連接8。，交AC于點。，再連接AB和BG

由于AA〃CG，且M=CG，.?.四邊形A41GC是平行四邊形，

所以AC〃4G，

又ACu平面ACR,且AGa平面ACR,AC//AG，

所以4G〃平面ACR,同理證明48〃平面ACR,

因為4cl〃平面ACD],48〃平面AC￡>1,AGu平面AGB，4Bu平面AC]B,且A]CJA8=a，

所以平面4BG〃平面ACA，且平面ABC/平面481G2=AG，

從而得，若MB〃平面ACR,點M是平面ABC。內一點，且Be平面48G，

則MwAG，即Af在直線4Q上時，都滿足8M〃平面ACR,

因為DR，平面人耳。A,所以DD,1MD、,

顯然tanNDMD、=器,當tanZDMDt最大時,即MD｝取最小值時，

此時點M滿足A￡c=Af,連接

可設正方體ABCD-A51Goi的棱長為1，

tan/DMD[==—廣=\/2

所以MDXV|

~T

故選：c.

10.D

【分析】如圖，分別過點A,5作班的垂線，垂足分別為G,H,連接OG,C”,取A。的中點0,連接

GO,求出S△皿=5研8=0，結合三棱錐和三棱柱的體積公式計算即可.

【詳解】如圖，分別過點A,B作斯的垂線，垂足分別為G,H,連接DG,CH,

則由題意等腰梯形43￡F全等于等腰梯形CDEF,

貝”EG=HF=-^=LAG=Gr)=B//=J/C=j22-12=73.

2

取AD的中點。，連接G0,因為AG=GD,所以GOLAD,

則GO=J陰?一仔=血,

?*,SAAOG==—X^/2X2=V2.

因為M〃跖，AG1EF,所以AB_LAG,因為四邊形ABC。為正方形，

所以AB_LAD,又因為ADAG=A,AD,AGu平面ADG,所以AB_L平面ADG,

所以EF_L平面AGO,同理可證EF_L平面BC77,

多面體的體積V=七棱錐E-A?G+L棱錐八BCH+@梭ttAGD-BHC=20棱錐后/0G+丫三棱柱AGD-BHC

=-x5/2x1x2+y/2x2=—,

33

11.A

【分析】

作出截面ACP后可作PQ//AC,從而判斷A,利用線面垂直的性質判斷BC,根據(jù)面面平行的性質判斷D.

【詳解】選項A,正方體中，顯然有AG//AC,連接叱延長，

如果直線AP交棱AA于點”（圖1）,則作MN〃AG交GA于N,連接CN,則AC7VM是梯形，作

尸。〃AC交CN于。，則Qe平面。CG2，

如果直線轉交棱。2于點/（圖2）,則直接連接Q0,在三角形ACM內作尸。〃AC交CM于。，也有

Qw平面DCGQ,因此A正確；

選項B,正方體中易知AC,平面8DR4，因此與AC垂直的直線都可能平移到平面8。。片內，而當尸e

平面ADDA，Qe平面。CGQ時，直線P。與平面以?！?相交，不可能平移到平面BDR4內，B錯；

選項C,由選項B知AC與尸。不可能垂直，因此AC與平面PQG也不可能垂直，C錯；

選項D,過C1的平面只有平面4片?？谂c平面A3C平行，因此要使得平面尸QG〃平面A3C，則平面

PQG與平面重合，從而尸點只能在棱A%上，與已知不符，D錯.

故選：A.

12.A

【分析】根據(jù)題意，先證得平面CDFE,在VABC中，利用余弦定理求得AB=26，再結合線面垂直

判定定理證得CEL平面ABC,得到CE_LAC,CE_L3C,設CE=m,利用AB?=AE?+理2,求得

應，結合丫=匕一CDFE+VB-CDFE=2匕_CDFE，即可求解.

【詳解】在VABC中，因為AC=3C且。為A3的中點，所以CDLAB,

又因為。尸，且。。尸,CDu平面CDEE,所以ABL平面CDEE,

在VABC中，因為AC=3C=2且NACB=120,

jSFfKAB2=AC2+BC2-2AC-BCcosZACB=4+4-2x2x2x(-1)=12,

所以A3=2G，且8=1,

因為四邊形CORE為矩形，可得_LCD,

又因為Db_LAB,AB?！?gt;=。且4氏。<=平面45。，所以平面ABC,

因為CE/IDF,所以CE_L平面ABC,

又因為AC,BCu平面ABC,所以CE，AC,CE，BC,

設CE=m,在直角"CE中，BT^AE2=AC2+m2=4+m2,

在直角3cg1中，可得BE?=g2+蘇=4+田，

因為AE_L3E,所以AB?=鉆2+3￡2,即12=4+療+4+病，解得根=夜，

所以多面體ASCEF的體積為：

=

V^A-CDFE+VB-CDFE=2VA-CDFE=2x—SCDF￡AD=2X—X1XX.

【分析】先求出點p的軌跡方程，建立適當?shù)闹苯亲鴺讼岛螅柚臻g線面的概念研究位置關系，結合距

離公式、三棱錐體積公式逐項判斷即可得.

【詳解】根據(jù)題意，正方形A5CO和正方形CDEb所在的平面互相垂直，

平面AB8C平面CD￡E=DC,尸為正方形CDE/內一點，

所以ED_L平面ABC。，CM_L平面CDEF,AD_L平面CDEF,

所以..P/M、APCM均為直角三角形，

因為NAPr>=NMPC,

所以而=荻’又因為.為3C中點'32MC,

所以尸D=2PC,

如圖，以。為原點，DC,DE所在直線分別作x,y軸，建立平面直角坐標系,

因為AB=3,所以DC=3,0（0,0）,C（3,0）,設P（x,y）,

由PD=2PC可得y/x2+y2=2&X-3）。+y=,

化簡可得（x-4y+y2=4,點P的軌跡為以圓心Q（4,0）半徑為r=2的圓的一部分，如圖所示，

當。與。重合，P在點［時，此時EQJ■平面ABC。，MPu平面ABC。，所以故①正確;

當Q與A重合，P在點心時，|尸。|最大，即歸

隹c|=，怛=5/4^1=g,

陋="+3?=3垃,所以在PCA中，|pg|==^C|2+|CA|2=y/21,

2\P2A\

因為?<6,故不存在尸，。，使「2=6,故②錯誤；

設0｝到DF的距離為h,點p到DF的距離最小值為h-r,

在，0匹中，利用等面積法可得：^x\O,D\-\CF\=^x\DF\-h,BP|X4X3=1X3A/2-/Z,解得g2&,

所以點P到DF的距離最小值為〃-r=20-2,故③正確；

四邊形AMCD的面積5=到/+3b3=彳，咐=后

當尸在點鳥時，四棱錐尸-4WCD體積有最大值，j/,_=-Ls.|^C|=-x—x73=—,故④正確.

故答案為：①③④

【點睛】關鍵點點睛：求出點尸的軌跡方程，建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，借助空間線面的概念研究位置關系

是解題關鍵，第④個結論的關鍵點在于借助四面體的體積公式，分別求出高與底面三角形的最大值.

14.①②④

【分析】對于①，結合圖形，利用面面垂直的判定證得平面ACC1，平面ABCD,再用其性質推得瓦，平

面ABCD,得EFJ.BC,利用BCLFG,即可證得結論；對于②，利用平行線分線段成比例性質可求得

EF=昱AF和FG=叵CF,即可證明；對于③，④，利用②的結論，借助于基本不等式可求得,EFG

22

面積的最大值和EG的最小值，即可判斷.

【詳解】

)----------------71G

//I

//jJ仙I

：邑/

:卜:：7c.■LzJc

［/二■=二二二二匕々

Jt-f------------?

對于①，如圖，在正方體中，CCJ平面ABC。，

因CC|u平面ACG,則平面ACG，平面ABCD,

因平面ACC/平面ABCD=AC,￡Fu平面ACC［且￡F_LAC,故￡FJ_平面ABC。，

又