2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末模擬卷01

（人教A版2019）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證

號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測(cè)試范圍：人教A版2019選擇性必修3+選擇性必修2導(dǎo)數(shù)

5.難度系數(shù)：0.65。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.設(shè)“X）是定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)，若/'（x0）=l,則lim"x。-2Ax）-（）

Ax

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的極限定義計(jì)算即得.

［詳解］因lim=_2Hm〃/-:一2/每），

—Ax——2Ax

故lim-Ax."/）二_2

Ax

故選：A.

2.某學(xué)校一同學(xué)研究溫差x「C）與本校當(dāng)天新增感冒人數(shù)y（人）的關(guān)系，該同學(xué)記錄了5天的數(shù)據(jù)：

X568912

y1720252835

經(jīng)過擬合，發(fā)現(xiàn)基本符合經(jīng)驗(yàn)回歸方程f=2.6x+G,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.樣本中心點(diǎn)為（8,25）B.a=4.2

C.x=5時(shí)，殘差為0.2D.相關(guān)系數(shù)r>0

【答案】C

【分析】由回歸直線必過樣本中心可判斷A項(xiàng)、B項(xiàng)，由殘差公式可判斷C項(xiàng)，由線性回歸方程的斜率即

可相關(guān)系數(shù)正負(fù)可判斷D項(xiàng).

5+6+8+9+12-17+20+25+28+35?

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)樘?=8,y=---------------------------=25,

5

所以樣本中心點(diǎn)為（8,25）,故A項(xiàng)正確;

對(duì)于B項(xiàng)，由回歸直線必過樣本中心可得：25=2.6x8+3解得：a=4,2>故B項(xiàng)正確;

對(duì)于C項(xiàng)，由B項(xiàng)知，1=2.6x+4.2,令x=5,貝I|j=2.6x5+4.2=17.2,

所以殘差為17-17.2=-0.2,故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程j>=2.6x+&中，斜率2.6>0,說(shuō)明x與夕正相關(guān)，

故相關(guān)系數(shù)r>0,故D項(xiàng)正確.

故選：C

S?1

3.已知事件43,且尸（/）=：,P（A\B）=-,則尸（引/）=（）

632

4112

A.—B.-C.—D.一

5535

【答案】D

【分析】根據(jù)概率的乘法公式及條件概率公式計(jì)算即可.

21

【詳解】因?yàn)槭?）=晨尸（川3）=5，

211

所以尸（48）=尸⑶尸（4為=3、5=5,

因?yàn)槭?）=（所以尸（中）=幫書《?

6

故選：D.

4.某班星期二上午有五節(jié)課，下午有三節(jié)課，安排的課程有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物、體育,

其中數(shù)學(xué)是上午或下午連續(xù)的兩節(jié)課，其余課程各一節(jié)，現(xiàn)將體育課安排在下午的第三節(jié)，則不同的安排

方案有（）

A.120B.480C.600D.720

【答案】C

【分析】對(duì)數(shù)學(xué)課分上下午安排，由分類加法計(jì)數(shù)原理即得.

【詳解】若數(shù)學(xué)課安排在下午，只能安排在6,7節(jié)，其余5節(jié)課全排列，有A；=120（種）不同的安排方案,

若數(shù)學(xué)課安排在上午，可以是12,23,34,45,共4種，其余5節(jié)課全排列，有4xA；=4x120=48。（種）

不同的安排方案，

由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有120+480=600（種）不同的安排方案.

故選：C

5.李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車，他分別記錄了50次坐公交車和50次騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)

數(shù)據(jù)分析得到，假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布，X?N（從,62）,Y?NJ?：?）,x

和y的正態(tài)曲線如圖所示.則下列結(jié)果正確的是（）

c.P（X<38）>P（r<38）D.P（^<34）<P（y<34）

【答案】B

【分析】根據(jù)給定的正態(tài)分布密度曲線，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性和性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】對(duì)于A,隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且X?N（4,62）,

所以隨機(jī)變量的方差。（幻=62=36,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,根據(jù)給定的正態(tài)分布密度曲線圖象，可得4=30,外=34,

所以〃1<〃2，故B正確；

對(duì)于C,根據(jù)正態(tài)分布密度曲線圖象，可得XV38時(shí)隨機(jī)變量X對(duì)應(yīng)的曲線與x軸圍成的面積小于YV38時(shí)

隨機(jī)變量丫對(duì)應(yīng)的曲線與x軸圍成的面積，

所以尸（XV38）（尸（F438）,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,根據(jù)正態(tài)分布密度曲線圖象，可得尸（XW34）>g,尸（￥434）=；,

即P（XW34）>P（y434）,所以D錯(cuò)誤.

故選：B.

6.縣委組織部擬派六位大學(xué)生村官對(duì)五個(gè)貧困村進(jìn)行駐村幫扶，每位大學(xué)生村官只去一個(gè)貧困村，每個(gè)貧

困村至少派一位大學(xué)生村官，其中甲、乙兩位大學(xué)生村官派遣至不同的貧困村，則不同的派遣方案共有

A.1440種B.1680種C.1800種D.2400種

【答案】B

【分析】先考慮將六位大學(xué)生村官分派到五個(gè)貧困村的分法種數(shù)，然后考慮慮甲、乙兩位大學(xué)生村官分派

在同一個(gè)貧困村的派遣方案種數(shù)，結(jié)合間接法可求得結(jié)果.

【詳解】先考慮將六位大學(xué)生村官分派到五個(gè)貧困村的分法種數(shù)，

則五個(gè)貧困村分派的村官人數(shù)分別為2、1、1、1、1,

不同的派遣方案種數(shù)為C；A；=15x120=1800；

接下來(lái)考慮甲、乙兩位大學(xué)生村官分派在同一個(gè)貧困村，則不同的派遣方案種數(shù)為A；=120種，

由間接法可知，甲、乙兩位大學(xué)生村官派遣至不同的貧困村，則不同的派遣方案共有1800-120=1680種.

故選：B.

7.若函數(shù)/(%)=11?+辦2-2在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

【答案】A

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，檢驗(yàn)。=0時(shí)的情況；當(dāng)時(shí)，令g(x)=2#+i,只需g(￡|<0或g(l)<0.代入

求解不等式，即可得出答案.

【詳解】由已知可得定義域?yàn)?0,+"),f'(x)=-+2ax=^^

XX

當(dāng)。=0時(shí)，解/''(x)=：<0可得x<0,不滿足定義域；

當(dāng)QW0時(shí)，令g(x)=2辦2+1,

要使函數(shù)/(X)=Inx+辦2_2在區(qū)間\,1)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，

只需滿足或g(l)<0.

<0可得，g—+1<0,此時(shí)有。<一8；

由g(l)<0可得，g(l)=2〃+l<0,止匕時(shí)有〃<一,.

所以，a

綜上所述，

故選：A.

8.已知函數(shù)/(%)=；■+加lnx-x,x￡(0,+8)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(-8,0]B.C.[-1,+?)D.

【答案】D

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由己知可轉(zhuǎn)化為/一天+機(jī)=。有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解，根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布列出

不等式組，求解即可得出答案.

2

【詳解】f(x)=x+——1=--------

XX

因?yàn)楹瘮?shù)y(x)=、+加lnx-x,x￡(0,+GQ)有兩個(gè)極值點(diǎn),

2

所以/，(》)=X-；+”=0有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解,

所以有，-x+加=0有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解，

即二次函數(shù)歹一％+加有兩個(gè)不同的正零點(diǎn),

A=(-1)2-4m=1-4m>0

-1解得。＜加＜:

所以有＜——=1>0

1

m>0

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知(l-2x)7=1+%丁+%X2+。4尤"+。54+4工6+%/，則下列結(jié)論中正確的是()

A.%=32B.aQ+ax+a2----1-iz7=—1

_1_

C.同+同+同+…+|%|=37D.—

【答案】BCD

【詳解】令X=l,可得%+4+。2+???+%=(-1)'=—1①故B正確；

令X——1f可旬—％+&—%+。4—。5+。6-%=3,，

由可得%+“2++&=---2--，所以％+%+。5+。7=-1--------=--------,

故D正確；

由二項(xiàng)式定理可知，(1-2x)7=C；(-2x)°+C；(一2xy+...+C"(-2x)7,

故%=C；X(_2)5=_672,故A錯(cuò)誤；

a0,a2,a4,a6的系數(shù)均為正數(shù)，at,a3,as,a7的系數(shù)均為負(fù)數(shù)，

3’一1_]_

以1旬|+1J||-----|%|=〃0++“4+“6―("1+〃3+%+%)=--------------二，

故C正確.故選：BCD.

10.有甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)，下列說(shuō)法正確的是()

A.5名同學(xué)排成一排，甲乙相鄰且丙丁不相鄰，則不同的排法有24種

B.5名同學(xué)排成一排，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有54種

C.5名同學(xué)排成一排，甲乙丙按從左到右的順序，則不同排法共有20種

D.若將5名同學(xué)分配到3個(gè)班進(jìn)行宣講，每班至少1名同學(xué)，且每名同學(xué)只去1個(gè)班，則有150種不

同的分配方案

【答案】ACD

【分析】由捆綁法，插空法即可判斷A,由特殊元素優(yōu)先法即可判斷B,由倍縮法即可判斷C,先分組再分

配然后代入計(jì)算，即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,A；A；A；=24,故A正確，

對(duì)于B,最左端排甲時(shí)，有A：=24種不同的排法，最左端排乙時(shí)，最右端不能排甲，

則有A；A；=18種不同的排法，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，

則不同的排法共有24+18=42種，故B不正確，

對(duì)于C,甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有當(dāng)=20種，故C正確，

A3

對(duì)于D,將5名同學(xué)分為3,1,1或2,2,1三組，然后分配到三個(gè)班，

0202

所以分配方案有C；A；+卞A；=150種，D正確.

鼠2

故選：ACD

11.11若函數(shù)/(耳=用+辦2-2在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)。的取值可以為()

A.a=—3B.a=—2C.Q=—1D.a=0

【答案】CD

【分析】求出函數(shù)/'(x)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，轉(zhuǎn)化求解表達(dá)式的最小值，然后推出。的范圍，結(jié)合

選項(xiàng)即可判斷.

w+1

【詳解】r(x)=-+2gx=,

XX

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=lnx+"2_2在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，

所以2。、2+］〉0在內(nèi)有解，所以Q〉一有解，

由于xe］；，，所以八日4)故-苴4々-：'

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-2,+劃，結(jié)合選項(xiàng)可知。=-1,。=0符合題意.

故選：CD.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(2X-叱］的二項(xiàng)展開式中f的系數(shù)為.

【答案】-160

【分析】寫出二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式，由x的指數(shù)為2求得項(xiàng)數(shù)，從而得到系數(shù).

【詳解】由題意得二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為7kl=底?(2x)i1-=0<26-<(-1/,

4a

令6-§左=2,得左=3,所以f項(xiàng)的系數(shù)為C323.(_1)3=-16O.

故答案為：-160

13.已知曲線y=2f-7,則曲線過點(diǎn)尸(3,9)的切線方程為.

【答案】8x7-15=0或16x-y-39=0

【分析】由題意首先根據(jù)定義得導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)一步求出切點(diǎn)即可得解.

【詳解】點(diǎn)尸(3,9)不在曲線>=2》2_7上.

設(shè)所求切線的切點(diǎn)為

則切線的斜率上=/，（％）=媽［2（…yJ一.一7）=唳（徐+2Ax尸.，

故所求的切線方程為了-%=4%（%-/），

將尸（3,9）及%=2,-7代入上式，得9-（2*-7）=4x。（3,

解得X。=2或％=4,所以切點(diǎn)為（2,1）或（4,25）.

從而所求切線方程為8x_y_15=0或16x_y_39=0.

故答案為：8x-y-15=0或16x-y-39=0.

14.切比雪夫不等式是19世紀(jì)俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫在研究統(tǒng)計(jì)規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的，其內(nèi)容是：對(duì)于任一隨機(jī)變

量X,若其數(shù)學(xué)期望E（X）和方差。（X）均存在，則對(duì)任意正實(shí)數(shù)￡,有打工-與幻卜￡）21-2手.根據(jù)

該不等式可以對(duì)事件1萬(wàn)-￡（萬(wàn)）|<￡的概率作出估計(jì).現(xiàn)拋擲一枚骰子，當(dāng)出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)

成功，在〃次拋擲中，記成功次數(shù)為X,為了至少有98%的把握使試驗(yàn)成功的頻率在區(qū)間（：,；）內(nèi)，估計(jì)拋

擲的次數(shù)〃的最小值為.

【答案】400

【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布計(jì)算數(shù)學(xué)期望及方差，最后結(jié)合已知新定義計(jì)算求解.

1ri2

【詳解】由題意知：成功次數(shù)X?5（〃,學(xué),所以現(xiàn)X）=w，D{X}=-n,

加心1X1n〃n口口n__nn,n.n

要使，則tId<x<5,

2

ri一〃ii

由切比雪夫不等式P（X-§<-）>l-^—知：至少有98%的把握使試驗(yàn)成功的頻率在區(qū)間（不，5）內(nèi)，

（不"）

2

一幾Q

則1—>0.98=>0.022—=”2400,所以拋擲的次數(shù)n的最小值為400.

/1\2n

（7?）

6

故答案為：400.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

某景區(qū)試賣一款紀(jì)念品，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了該款紀(jì)念品的定價(jià)x（單位：元）與銷量V（單位：百件）的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù),

如下表所示：

X1212.51313.514

(1)求該紀(jì)念品定價(jià)的平均值亍和銷量的平均值歹；

(2)計(jì)算x與了的相關(guān)系數(shù)；

(3)由(2)的計(jì)算結(jié)果，判斷能否用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

參考數(shù)據(jù)：2(%-五)(乂-歹)=-8,

【答案】(1)13；11(2)-0.992(3)可以用線性回歸模型擬合V與x之間的關(guān)系，理由見解析

【詳解】(1)由題可知元=S(12+12.5+13+13.5+14)=13,

(2)計(jì)算得￡(X,.-X)2=2.5,￡?-歹y=26,

2(%-可(%-刃

i=l

￡也一力2

1=1

(3)由(2)可知，V與x的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值近似為0.992,大于0.75且非常接近1,

說(shuō)明了與x的線性相關(guān)性很強(qiáng)，從而可以用線性回歸模型擬合了與x之間的關(guān)系

16(15分)

某商場(chǎng)在五一假期間開展了一項(xiàng)有獎(jiǎng)闖關(guān)活動(dòng)，并對(duì)每一關(guān)根據(jù)難度進(jìn)行賦分，已知甲、乙、丙三人都參

加了該項(xiàng)闖關(guān)活動(dòng).每個(gè)人闖關(guān)活動(dòng)累計(jì)得分服從正態(tài)分布，且滿分為450分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共2500名參

加者中得分前400名發(fā)放獎(jiǎng)勵(lì).

(1)假設(shè)該闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270分，問甲能否獲得獎(jiǎng)勵(lì),

請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)丙得知他的分?jǐn)?shù)為430分，而乙告訴丙：“這次闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為201分，351分以上共有57人”，請(qǐng)

結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)幫助丙辨別乙所說(shuō)信息的真?zhèn)?

附：若隨機(jī)變量Z?N(〃,cr2),貝I」P(〃-erVXV〃+cr)=0.6827；P(/j-2cr<X</J+2<r)?0.9545；

P(〃一3cr4X4〃+3b)a0.9973.

【答案】(1)甲能夠獲得獎(jiǎng)勵(lì)，理由見詳解(2)乙所說(shuō)為假

【詳解】(1)甲能夠獲得獎(jiǎng)勵(lì)，理由如下：

設(shè)此次闖關(guān)活動(dòng)的分?jǐn)?shù)記為X~N(〃,/).

57

由題意可知〃=171,因?yàn)槁?0.0228,...............................................................................................................1

日“V、一、1-尸(〃-2bWXW4+2b)1-0.9545。

所以〃+2。=351,則b=351J71=90；而黑=0」6,.................................................................................3

且P(X>〃+b)J一尸(〃一。；/4〃+可=1^。?！?87<。」6,...........................................................：

可知前400名參賽者的最低得分高于〃+b=261,而甲的得分為270分，

所以甲能夠獲得獎(jiǎng)勵(lì)............................................................................7

(2)假設(shè)乙所說(shuō)為真，則〃=201,............................................................................................................................8

/、1-尸(〃-2crVXV〃+2cr)1-09545

P(X>z/+2o-)=——----------------------->-=；x0.0228,......................................................................10

57ac1—

而二^=0.0228,所以b=-=75,從而〃+3(r=201+3x75=426<430,

25002

,/、\-P(LI-3CT<X<U+3<J}i-o9973

而尸(X2//+3cr)=--------------------------------=——-——?0.0013<0.005,.....................................................14

所以+3b為小概率事件，即丙的分?jǐn)?shù)為430分是小概率事件，可認(rèn)為其一般不可能發(fā)生，但卻又發(fā)生

了，所以可認(rèn)為乙所說(shuō)為假.....................................................................15

17(15分)

2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)上，網(wǎng)球女單決賽中，中國(guó)選手鄭欽文擊敗克羅地亞選手維基奇獲得中國(guó)在該項(xiàng)目上首

枚金牌！展現(xiàn)了祖國(guó)至上，為國(guó)爭(zhēng)光的赤子情懷.已知網(wǎng)球比賽為三局兩勝制，在鄭欽文與維基奇的單局

比賽中，鄭欽文獲勝的概率為。，且每局比賽相互獨(dú)立.

(1)在此次決賽之前，兩人交手記錄為2021年庫(kù)馬約爾站：鄭欽文0比2不敵維基奇；2023年珠海WTA超

級(jí)精英賽：鄭欽文以2比1戰(zhàn)勝維基奇.若用這兩次交手共計(jì)5局比賽記錄來(lái)估計(jì)P.

(i)。為多少？

(ii)請(qǐng)利用上述數(shù)據(jù)，若鄭欽文再次遇到維基奇，求比賽局?jǐn)?shù)X的分布列.

(2)如果比賽可以為五局三勝制，若使鄭欽文在五局三勝制中獲勝的概率大于三局兩勝制中獲勝的概率，求P

的取值范圍？

【答案】（1）（i）0.4；（ii）分布列見解析（2）（051）

【分析】（1）（i）計(jì)算兩次交手記錄鄭欽文獲勝的頻率即可；

（ii）按照獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式求尸（X=2）,再利用尸（X=3）=1-尸（X=2）即可求出分布列；

（2）按照獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式分別求出兩種情況下的鄭欽文獲勝的概率耳心，再解關(guān)于。的不

等式即可.

【詳解】（1）

2

（i）根據(jù)兩次交手記錄，鄭欽文共勝2局，負(fù)3局，因此。的估計(jì)值為y=0.4.......................................1

（ii）由題知，X可取值為2、3,.........................................................................................................................2

P（X=2）=0.42+0.62=0.52,尸（X=3）=l-尸（X=2）=0.48,......................................................................4

所以X的分布列為

X23

P0.520.48

.........................................................................................................................................................................................6

（2）三局兩勝制鄭欽文最終獲勝概率（1-川=-2/+3/="（3一2小，.............8

五局三勝制中鄭欽文最終獲勝的概率

3332

P2=p+Cjp^-p）+C；p（1-p）=p3（6p2-15o+10）.....................................................................................10

所以/（6儲(chǔ)-15p+10）>p2（3-2p）,化簡(jiǎn)得3/（2p-l）（l-p）2>0,...........................................................12

因?yàn)閜>0,1所以2。一1>0,即。>0.5,所以0.5<p<l,.............................................................13

所以使得五局三勝制獲勝的概率大于三局兩勝獲勝的概率。的取值范圍是（0.5,1）..........................................15

17

18.（17分）

近期，我國(guó)國(guó)產(chǎn)AI大模型深度求索（DeepSeek）在人工智能領(lǐng)域取得了重大技術(shù)突破，并且通過開源策略

和高性價(jià)比的模式，為AI行業(yè)的發(fā)展提供了新的可能性.為了評(píng)估DeepSeek的使用頻率與用戶滿意度之

間是否存在關(guān)聯(lián)，一研究團(tuán)隊(duì)在某大學(xué)隨機(jī)抽取了200名用戶進(jìn)行調(diào)查，收集整理得到了如表的數(shù)據(jù)：

高滿意度低滿意度

頻繁使用DeepSeek7030

不頻繁使用DeepSeek5050

2

P^X>K^0.100.050.0100.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

(1)依據(jù)小概率值a=0.005的/獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為DeepSeek的使用頻率與用戶滿意度之間有關(guān)聯(lián)；

(2)若已知樣本中學(xué)生人數(shù)為120人，其中高滿意度用戶數(shù)為80人，教師人數(shù)為80人，其中高滿意度用戶

數(shù)為40人.以樣本頻率估計(jì)總體的概率.

①若從全校使用DeepSeek的用戶中每次抽取1名用戶，直到抽出2名高滿意度用戶即停止抽取.求恰好第

4次抽取后停止抽取的概率.

②若從全校使用DeepSeek的學(xué)生用戶和教師用戶中各隨機(jī)抽取2名，設(shè)這4人中學(xué)生和教師的高滿意度用

戶數(shù)分別為X和丫，令j=求片的分布歹!).

參考公式：/=訴發(fā)尚而后

其中〃=q+b+c+d,xo.oo5=7.879.

【答案】(1)認(rèn)為DeepSeek的使用頻率與用戶滿意度之間有關(guān)聯(lián)

1no

(2)(1)—-；②答案見解析

625

【分析】(1)根據(jù)/計(jì)算公式計(jì)算即可得出結(jié)論;

(2)①由題意轉(zhuǎn)化為前3次抽取中恰有1次抽取的是高滿意度用戶，第4次恰好抽取的是高滿意度用戶,

利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的乘法公式求解；②分別求出x,y對(duì)應(yīng)取值的概率，據(jù)此計(jì)算J=|x-y|對(duì)應(yīng)取值

的概率，列出分布列即可.

【詳解】(1)零假設(shè)為DeepSeek的使用頻率與用戶滿意度之間無(wú)關(guān)聯(lián).

200x(70x50-50x30)2

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，z2=—?8.333>7.879,...................................................................4

~100x100x120x803

根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷Ho不成立,

即認(rèn)為DeepSeek的使用頻率與用戶滿意度之間有關(guān)聯(lián)...........................................6

3

(2)(1)由題知，樣本中DeepSeek高滿意度用戶的頻率為《，.................................7

設(shè)事件/="恰好第4次抽取后停止抽取”，

需在前3次抽取中恰有1次抽取的是高滿意度用戶，第4次恰好抽取的是高滿意度用戶,

2

則尸(z)=c；1--

55625

即恰好第4次抽取后停止的概率為一..........................................................10

625

(2)由題知，樣本中學(xué)生的高滿意度用戶頻率為|,教師的高滿意度用戶頻率為g.

/1A21?14

又尸(X=0)=bJ=--=l)=C2-j-=-,P(X=2)=

尸([。)=出4,尸"=2)=出=%

4的所有可能取值為0,1，2,................................................................12

貝U尸(g=o)=尸(x=o,y=o)+p(x=i,y=i)+p(x=2,y=2)

11414113

=—X—+—X—+—X—=——

94929436

114141411

P^=l)=P(X=0,Y=l)+P(X=l,Y=0)+P(X=l,Y=2)+P(X=2,Y=l)=-x-+-x-+-x-+-x-=-,

929494922

pe=2)=P(X=0,y=2)+P(X=2,y=0)=gx：+[x；=《.......................................15

所以隨機(jī)變量4的分布列為：

012

135

P

36~236

..............................................................................................17

19.(17分)

定義：若函數(shù)"X)與g(x)在公共定義域內(nèi)存在%,使得〃%)+8(/)=0,則稱/(x)與g(x)為“契合函數(shù)”,

%為“契合點(diǎn)

⑴若/(尤)=Tnx-l與g(x)=ox為“契合函數(shù)，，，且只有一個(gè)“契合點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

⑵若p(x)=e*-xlnx與q(x)=bx-l為“契合函數(shù)”，且有兩個(gè)不同的“契合點(diǎn)”不多.

①求6的取值范圍；

②證明：x1x2<1.

【答案】(1)(一8,0]1{1}；

⑵①(-81-e)；②證明見解析.

【分析】(1)由給定的定義把問題轉(zhuǎn)化為方程。=電"1有唯一零點(diǎn)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的

性質(zhì)求解即可.

1「X

(2)①根據(jù)給定的定義將問題轉(zhuǎn)化為方程6=+有兩個(gè)不同的零點(diǎn)求解；②由①中信息，利用極

XX

值點(diǎn)偏移求解.

【詳解】(1)由/(x)=-lnx-l與g(%)="為“契合函數(shù)”，得玉:￡(0,+8),使/(x)+g(x)=o

1?八Inx+1-

0-lnx-l+ax=O=a=--------,.........................................................................................................................2

x

InV-L1

令加(%)=-----,依題意，方程〃=加(%)有唯一解，

X

—Inx

求導(dǎo)得環(huán)(x)=——,當(dāng)0<x<l時(shí)，m(x)>0；當(dāng)x>l時(shí)，m(%)<0,

x

函數(shù)冽(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(I+8)上單調(diào)遞減，則%(4皿=加⑴=1，

當(dāng)時(shí)，m(x)>0,時(shí)，m(x)<0,m(-)=0,.................................................................................4

ee