2025北京高一（上）期末數(shù)學(xué)匯編

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)章節(jié)綜合（填空題）

一、填空題

1.（2025北京人大附中高一上期末）已知命題p：若二次函數(shù)滿足/⑼/⑶>0,則在區(qū)間

（0,3）內(nèi)無零點(diǎn).能說明p為假命題的一個二次函數(shù)是.

2.（2025北京延慶高一上期末）人們通常以分貝（符號是dB）為單位來表示聲音強(qiáng)度的等級，其中OdB

是人能聽到的等級最低的聲音，一般地，如果強(qiáng)度為x的聲音對應(yīng)的等級為/（x）dB,則有

/（x）=101g——給出下列四個結(jié)論:

1X1U

①等級為OdB的聲音的強(qiáng)度為1x10-2.

②函數(shù)F（尤）在定義域上是增函數(shù);

③等級為80dB的聲音與70dB的聲音強(qiáng)度之比是10；

④等級為60dB的聲音與90dB的聲音強(qiáng)度之比是1000.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

3.（2025北京豐臺高一上期末）已知指數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)（2,9）,則該指數(shù)函數(shù)的解析式為

4.（2025北京豐臺高一上期末）函數(shù)/■（尤）=1g（尤-1）的定義域?yàn)?/p>

f2jX<1,

5.（2025北京西城高一上期末）設(shè)函數(shù)/（x）=

〔4(x-a)(x-2a),X>1.

①若4=1,則“X）的最小值為:

②若/（X）恰有2個零點(diǎn)，則參數(shù)。的取值范圍是.

6.（2025北京延慶高一上期末）已知log4a=log25b=26，則lg（"）的值為.

7.（2025北京密云高一上期末）如圖，太極圖通常被描繪為一個圓形圖案，中間有一條S形曲線將圓形圖

案分為兩部分，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對稱美”.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若函數(shù)FQ）的圖象將圓。的圓周二等分，

并且將這個圓及其內(nèi)部分成面積相等的兩部分，則記/（x）為圓O的一個“太極函數(shù)”.給出下列四個結(jié)論：

①對于圓0,它的“太極函數(shù)”有無數(shù)個；

②函數(shù)/。）=是圓0的一個“太極函數(shù)”；

③函數(shù)/（無）=/-3尤是圓O的一個太極函數(shù)”；

④函數(shù)/■（x）=ln（477T+x）是圓。的一個“太極函數(shù)”.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

8.（2025北京密云高一上期末）計算：；Ig5+lg2+log39=.（用數(shù)字作答）

9.（2025北京房山高一上期末）據(jù)說古印度國王為了獎賞國際象棋的發(fā)明者，讓他提一個要求.發(fā)明者

說：我想在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒，在第2個格子里放上2顆麥粒，在第3個格子里放上2?顆麥

粒，在第4個格子里放上23顆麥粒，L,每個格子放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到

第64個格子，國王欣然同意.通過計算，該發(fā)明者所要求的麥粒數(shù)為a647.你認(rèn)為10%IO。，1標(biāo)°，1。⑤

四個數(shù)中與2例_1最接近的是.（參考數(shù)據(jù)：Ig2。0.3010）

10.（2025北京房山高一上期末）函數(shù)/Oh7三+館（5-工）的定義域?yàn)?

11.（2025北京海淀高一上期末）函數(shù)/（x）=ln[/j,其中⑷表示不超過。的最大整數(shù).給出下列四個結(jié)

論：

①/（X）的定義域?yàn)椋?8,0）I,（0,+8）；

②方程y（x）=i沒有實(shí)數(shù)根；

③函數(shù)g（尤）=f（x）-21nx的值域?yàn)椋?ln2,0]；

④存在實(shí)數(shù)使得當(dāng)占，龍2c（。,+°°）且■/'（項(xiàng)）=/<>2）=/時，都有1為一龍21<^^.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

12.（2025北京海淀高一上期末）計算：（0）。+1、,=.

2-x-l,x<0

13.（2025北京二中高一上期末）設(shè)函數(shù)〃％）=1,則/（/（T））=;若/⑺之1,貝U

x,x>0

log/'4+1）的最大值為.

2

2

14.（2025北京西城高一上期末）已知函數(shù)/（x）=log2X,g（x）=--a.當(dāng)尤e（l,2）時，若曲線y=北尤）和

x

y=g（無）有一個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的一個取值為.

xx<a

'",若。=-1,則函數(shù)的減區(qū)間為_____；

）x,x>a

若存在6,使函數(shù)/（x）的圖象與直線>=。有兩個交點(diǎn)，則。的取值范圍是.

16.（2025北京大興高一上期末）函數(shù)/（x）=2，+/的值域?yàn)槟苁筂ali,+8）成立的一個％值

為.

17.（2025北京大興高一上期末）已知lga=-lg6,則油=,a+b的最小值為.

18.（2025北京朝陽高一上期末）已知函數(shù)/x，給出下面四個結(jié)論：

[2+a,x<a

①當(dāng)a=1時，只有一個零點(diǎn)；

②對任意a>3,/（X）既沒有最大值，也沒有最小值;

③存在實(shí)數(shù)。，/（尤）在R上單調(diào)遞增；

④若/（x）存在最小值，貝的最小值為-L

其中所有正確結(jié)論的序號是.

19.（2025北京清華附中高一上期末）中國茶文化博大精深，茶水的口感與水的溫度有關(guān).若茶水原來的溫

度是以C,經(jīng)過t分鐘后的溫度是滿足7_〃=（7；_7；）性-：，其中，表示室溫，以人>。）是由物體和

空氣接觸狀況而定的常數(shù).在室溫恒為20℃的房間中，已知一杯80℃的茶水，測得溫度降到50℃需要10分

鐘，則這杯茶水還需要繼續(xù)放置_____分鐘，茶水溫度才降至35℃達(dá)到最佳飲用口感.

Y2兀（1

20.（2025北京房山高一上期末）已知函數(shù)/（》）=,'一若/（x）=2,則尤=_____；若f（x）=n有三

log,x,x>I.1

個不同的實(shí)根玉，彳2，》3，且滿足玉<馬<三，則（不+%）機(jī)2°2，+三的取值范圍是.

21.（2025北京海淀高一上期末）已知命題人若二次函數(shù)f（x）滿足"0）/（3）>0,則在區(qū)間（0,3）

內(nèi)無零點(diǎn).能說明P為假命題的一個函數(shù)是.

22.（2025北京西城高一上期末）給定函數(shù)〃》）.若曲線y=〃x）上任意一點(diǎn)尸（x,y）的坐標(biāo)滿足

|y|<|x|,則稱函數(shù)/（X）具有“線性控制”性質(zhì).給出下列四個函數(shù)：

①/（尤）=gx;②〃%）=石；

③〃g。）；?/（x）=lg（-^）（jc<-l）

其中具有“線性控制”性質(zhì)的函數(shù)的序號是.

23.（2025北京四中高一上期末）函數(shù)〃彳）=一二+1082（5尤-爐）的定義域是.

24.（2025北京朝陽高一上期末）函數(shù)/（x）=ln（l+x）的定義域是.

/、[（2—4a\ax+a,x<l

25.（2025北京清華附中高一上期末）已知函數(shù)〃x）=;,a>0且"1.

[lnx,x>1

（1）”=:時，函數(shù)f（x）的最小值為；

（2）若函數(shù)/（"的值域?yàn)镽,那么實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

26.（2025北京順義高一上期末）函數(shù)〃x）=?+lg（2-x）的定義域是.

27.（2025北京清華附中高一上期末）函數(shù)〃尤）=lg（x-D+—1的定義域?yàn)開_______.

%—2

參考答案

1.〃x）=（尤—1）2（答案不唯一）

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】P為假命題，則二次函數(shù)/（尤）滿足了（0）/（3）>0,且〃力在區(qū)間（0,3）內(nèi)有零點(diǎn),

如〃無）=（》-1）2,/（0）=1>0,/（3）=4>0,/（0）/（3）>0,

且在區(qū)間（0,3）內(nèi)有零點(diǎn)1.

故答案為：/（x）=（^-l）2（答案不唯一）

2.①②③

【分析】對于①，由〃力=0求出x即可；對于②，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；對于③，令

〃%）=80,/5）=70,分別求出網(wǎng)，芍，計算立即可；對于④，令/（不）=90,/（X4）=60,分別求

X2

出X3,匕，計算學(xué)即可.

【詳解】對于①，由〃力=0即溫=0,可得x=lxl0*,

1X1

因此等級為OdB的聲音強(qiáng)度為lxl（r“，故①正確；

對于②，令/溫，貝獨(dú)=ioigr，易知/溫和y=ioigf在（0,+s）上單調(diào)遞增，

1X1UJ.XJ.U

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知/'（X）在定義域上是增函數(shù)，故②正確；

對于③，設(shè)〃為）=80,則10坨三^=80,解得%=107.

1X1u

設(shè)/伍）=70,同理可得尤2=10-5.

因此所求兩種等級聲音的強(qiáng)度之比為:=『=1。，故③正確；

對于④，設(shè)/（不）=90,貝也。坨^^=90,解得％=10-3.

設(shè)/（%）=60,同理可得％=10%

因此所求兩種等級聲音的強(qiáng)度之比為￡=*=10-3,故④錯誤.

故答案為：①②③.

3.y=y

【分析】設(shè)出解析式，代入（2,9）,求出。=3,得到答案.

【詳解】設(shè)y="（a>0且31）,將（2,9）代入得4=9,解得。=3,負(fù)值舍去，

故該指數(shù)函數(shù)的解析式為y=3,.

故答案為：>=3工

4.(1,+(?)

【分析】由真數(shù)大于0得到不等式，求出定義域.

【詳解】由題意得彳-1>0,解得x>l,故函數(shù)定義域?yàn)?L”).

故答案為：(L+s)

5.-1g,l)」2,+s)

【分析】①分別求出分段的函數(shù)的最小值，即可得到函數(shù)的最小值；②分情況討論，求出。的范圍

【詳解】①1時，&)=[i*2)，x",

函數(shù)/(x)在(f,1)上為增函數(shù)且/(x)>-1,

函數(shù)/(尤)在嗚3]為減函數(shù)，在[3于+8)為增函數(shù)，當(dāng)％=,3時，/(九)取得最小值為-1;

②令/z(x)=2"-。且％<1,g(%)=4(尤一a)(x-2a)且％21,

若人(%)在％<1時與九軸有一個交點(diǎn)，貝!Ja>0,且飄1)=2—。>0,所以0<a<2.

3〃[2a>l11

此時g。)在xZl時也有一個零點(diǎn)，因?yàn)間(%)的對稱軸為1=彳，所以｛1,解得^L-<a<\.

2[a<l22

若/i(x)在上與X軸沒有交點(diǎn)，則aWO或心2.

當(dāng)aWO時，g(x)在[,+?))上與x軸無交點(diǎn)，不符合題意，舍去.

當(dāng)aN2時，g(x)在[1,+00)上有兩個零點(diǎn)。和2a,所以a22符合題意.

綜上可得，實(shí)數(shù)。的取值范圍為七,1)[2,+s).

故答案為：—1;[/1).[2,+co)

6.4A/3

【分析】將對數(shù)式變成指數(shù)式，再根據(jù)指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.

【詳解】因?yàn)閘og4a=log啰6=2百,所以a=4汽6=252、,

所以a6=4Sx2524=10。2有，

故lg(afe)=lgIO。?有=10S=

lg4A/3.

故答案為：4布.

7.

【分析】根據(jù)題意，只需判斷所給函數(shù)的奇偶性即可得答案.

【詳解】①：圓O,過圓心的直線都可以將圓的周長和面積等分成兩部分，所以對于任意一個圓。，其“太

極函數(shù)”不止1個，故①正確；

②：由于函數(shù)=

x+x(x<0)

當(dāng)xNO時，一1<0,貝！]/一1=/(%),

/、O7\/、x2—x(x>0)

當(dāng)XV0時，r>0則/(—%)=%+%=〃%),故/(力=12〉八(為偶函數(shù)，

X+%(X<U)

故根據(jù)對稱性可知函數(shù)/(x)="+x；x<oj不是圓0的一個“太極函數(shù)”，故②錯誤；

③：函數(shù)定義域?yàn)镽,f(-x)=-^+3x=-f(x),也是奇函數(shù)，

故為圓。的一個“太極函數(shù)”，故③正確；

④：函數(shù)定義域?yàn)镽,/(-A：)=In[y/x2+1-xj=In-r==-]=-ln(+1-x)=-〃x),故為奇函數(shù)，

故函數(shù)〃尤)=ln(G7T+x)是圓。的一個“太極函數(shù)”，故④正確.

故選：①③④

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

學(xué)生在理解相關(guān)新概念、新法則(公式)之后，運(yùn)用學(xué)過的知識，結(jié)合已掌握的技能，通過推理、運(yùn)算等解

決問題在新環(huán)境下研究舊性質(zhì)主要是將新性質(zhì)應(yīng)用在舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì).

8.23

【分析】空一可利用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運(yùn)算求解；空二利用對數(shù)的運(yùn)算法則求解.

【詳解】=已以『=2-2^=2'=2；

2

Ig5+lg2+log39=lg5x2+log33=lgl0+2=l+2=3.

故答案為：2；3.

9.IO20

【分析】計算2s4的對數(shù)，比較可得答案.

【詳解】Ig(264-l)?lg264=641g2,因?yàn)閘g2ao.3010,所以lg(28-1卜19.2659,

所以10%10巴io?。，io?'四個數(shù)中與Z64-：!最接近的是1標(biāo)°.

故答案為：I。?。

10.(3,5)

【分析】根據(jù)分母不為0,根號內(nèi)要大于等于0且對數(shù)函數(shù)的定義域列不等式組，解不等式可得.

[x-3>0

【詳解】由題可知，<八解得3Vx<5.

[5-x>0

故答案為：(3,5).

11.②③④

【分析】舉例說明判斷①；解方程并結(jié)合函數(shù)的意義判斷②；令［/］=左eN*,結(jié)合單調(diào)性求出值域判斷

③；取t=ln上水eN*,確定%,%取值區(qū)間推理判斷④即可得解.

【詳解】對于①，當(dāng)x時，［x，=0,函數(shù)/'(x)無意義，①錯誤；

2

對于②，由=得，］=e,而［J,z,e/Z,因此方程"%)=1沒有實(shí)數(shù)根，②正確;

2

對于③，函數(shù)g(x)=1口［兄2］一11無2,令［爐］=女cN*,貝U女0〈k+1,In<InX<ln(^+1),

ki

In左—In(左+1)<ln［%2］—Inx2W0,而In左—In(左+1)=In------ln(l---------),

k+1k+1

1一隨左的增大而增大，則ln(l--^―)>ln^-,

k+1k+\2k+12

因此一1口2<111［%2］一111%240,函數(shù)g(x)=/(%)—21n%的值域?yàn)?—ln2,0］,③正確；

對于④，取方=ln左，左cN*,［X2］=^GN*,k<x2<k+l,由%>。，得&Wx〈1k+1,

令A(yù)p尤2+，則1%—尤2KJk+l，由Jk+1-&W2(^5，

得VTTT+血22025,ffi］VT+T+A/^>2V^,當(dāng)2加>2025,^^>10132,

此時不九2/［〃，〃+1)，此4￡伙,女+1),此］=［%；］=%,

f(xt)=f(x2)=lnk=t,都有|占一馬|<，^,④正確，

所以所有正確結(jié)論的序號是②③④.

故答案為：②③④

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：令［Y］=keN*,借助單調(diào)性是求出函數(shù)g(x)的關(guān)鍵.

【分析】根據(jù)條件，利用指數(shù)累的運(yùn)算，即可求解.

【詳解】因?yàn)?偽。+(V=1+冷，

故答案為：

4

13.厲-1

【分析】借助分段函數(shù)性質(zhì)計算即可得空一；分區(qū)0及f>0計算可得/的范圍，結(jié)合函數(shù)yT°gKx+i)的

2

單調(diào)性即可得解.

1_

【詳解】/(/(^))=/(2-(-4)-1)=/(15)=152=715；

若Q0,貝廳⑺=2一'一121,即2T22，即YT;

若10,f^=t2>1,即此1;

故"T或也1,則尸之1,

由y=logK尤+1)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，

2

故logG+1)的最大值為10§1(1+1)=T.

22

故答案為：715；-1.

14.1(答案不唯一，0＜口＜2)

【分析】構(gòu)造函數(shù)版x)=f(x)-g(x),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)/7(x)在(1,2)有一個零點(diǎn)問題求解.

2

【詳解】令函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)=logx一一+a

2x9

2

函數(shù)y=log2x,y=-士+。在(0,+s)上都單調(diào)遞增，則函數(shù)Mx)在(0,+⑹上單調(diào)遞增，

x

[/?(l)=a-2＜0

依題意，函數(shù)/7(x)在(1,2)有一個零點(diǎn)，因此，二c，解得0＜。＜2,

(n(2)=a＞0

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是0＜。＜2,。的一個取值為1.

故答案為：1(答案不唯一，0＜。＜2).

15.(-1,0)(-oo,0)u(l,+＜x＞)

【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、圖象來求得正確答案.

【詳解】當(dāng)a=-l時，f(x)=\X，X~a,

[x,x＞a

畫出/(x)的圖象如下圖所示，

由圖可知，4％)的減區(qū)間為(TO).

＞=/是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，且在(-e,0)單調(diào)遞減，(0,+力)單調(diào)遞增,

y=V是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且在R上單調(diào)遞增，

2

y=X%=0-X=1

3解得y=0或

y=xy=l

要使函數(shù)/(x)的圖象與直線y=6有兩個交點(diǎn),

則需。＜0,/(元)圖象如下圖所示，

若。＞1,“X)圖象如下圖所示,

綜上所述，a的取值范圍是(-力,o)u(l,+e).

故答案為：(—1，。)；+8)

16.0(答案不唯一)

【分析】首先求出函數(shù)Ax)=2'+/的值域?yàn)樵倮眉祥g的包含關(guān)系即可求得左的取值范圍，即可

得到答案.

【詳解】函數(shù)/(x)=2，+上的值域?yàn)镸=(匕心)，因?yàn)镸a—1,+8),所以左NT.

故答案為：0

17.12

【分析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算可解得必的值，利用基本不等式可求的最小值.

【詳解】由題意，。＞0力＞0,由lga=-lg6,得lga+lg6=。,即lg"=O,則油=1；

由基本不等式得a+6N2旅=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=l時，等號成立.

故答案為：1,2.

18.①②④

【分析】求出八》)的零點(diǎn)可判斷①；分別求出彳2。和x＜a時的范圍，根據(jù)。＞3可判斷②；分別討論

a＜1和a21時/(x)是否在R上單調(diào)遞增可判斷③；分。＜1和a?1兩種情況求出/(%)存在最小值時?的取

值范圍可判斷④.

【詳解】對于①，當(dāng)。=i時，龍”

當(dāng)xNl時，令/(x)=0,即d-2x=0,解得x=。(舍)或x=2；

當(dāng)x<l時，令y(x)=O,即2，+1=0,方程無解，

所以當(dāng)。=1時，/(X)只有一個零點(diǎn)，故①正確；

對于②，當(dāng)口>3時，因?yàn)閥=d—2尤=(*一1)2—1在［a,+o=)單調(diào)遞增，

所以x2-2xe［6-2a,+e),/(x)無最大值；

又因?yàn)?gt;=2'+”在(—8,。)單調(diào)遞增，所以2,+"(a,2。+a),

3^(a~-2。)-a=a~-3a=a(q-3)>0,

即a2-2o>。，所以/(x)>a,f(尤)無最小值，

所以函數(shù)/(x)既沒有最大值，也沒有最小值，故②正確；

對于③，當(dāng)。<1時，y=d-2x=(x-l)2—1在,』)單調(diào)遞減，在［L+8)單調(diào)遞增,

所以/(x)在R上不單調(diào)遞增；

當(dāng)a21時，y=x2-2x=(x-l)2-1在［。,+℃)單調(diào)遞增，

所以尤?-2xe［a。-2a,+oo)；

y=2"+a在(-oo,單調(diào)遞增，所以2*+aw(a,2"+a),

要使/(x)在R上單調(diào)遞增，貝02一2“22"+”，即a2-3a=a(a—3)22〃，

當(dāng)lVa<3時，顯然。(。-3)<0,2">0,不滿足4-2°22"+4,

所以“X)在R上不單調(diào)遞增；

當(dāng)a23時，y=/-3a單調(diào)遞增，y=2"單調(diào)遞增，

且當(dāng)a=3時，a2-3a=0<2"=8,

又因?yàn)閥=2。的增長速度比y=a2-3a的增長速度快，

所以"一3〃<2",不滿足儲一2“22。+々，所以/(x)在R上不單調(diào)遞增，

綜上，不存在實(shí)數(shù)。，使/(x)在R上單調(diào)遞增，故③錯誤；

對于④，當(dāng)時，因?yàn)閥=x2-2x=(x-l)2-l在［a,+oo)單調(diào)遞增，

所以尤?一2尤e［a?—2a,+oo\■

因?yàn)椤?2，+。在(-00,4)單調(diào)遞增，所以2"+ae(a,2"+a),

若〃x)存在最小值，則2“4a,解得04a<3,所以l?a?3；

當(dāng)。<1時，)；=爐_2%=(*-1)2-1在［a,l)單調(diào)遞減，在上+⑹單調(diào)遞增，

所以丫=/-2丘1-2=-1；

因?yàn)椤?2工+々在(-8,。)單調(diào)遞增，所以2，+aw32"+M，

若/⑺存在最小值，則aN-1,所以一"。<1,

綜上，-l<a<3,所以。的最小值為-1,故④正確.

故答案為：①②④

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性求出分段函數(shù)各段的范圍.

19.10

【分析】把溫度變?yōu)?0（和359的數(shù)據(jù)代入已知公式，兩式比較可求得結(jié)論.

10—3]

【詳解】由題意溫度降至U50℃時50-20=（80_20>屋e，eh=~

t-1i

溫度降到35℃時35一20=（80-20>屋"e

t1020

所以e。=（屋了）2=屋萬，所以f=2。，

20-10=10,

故答案為：10.

20.-五,4（1,2]

【分析】〃x）=2直接解方程即可，作出函數(shù)/（x）的圖象與直線>=根，觀察可得占,々，三的關(guān)系及與范

圍，從而得結(jié)論.

【詳解】犬=2得工=-亞（血舍去），bgzX=2得x=4,因此〃x）=2的解為一人和4；

再作函數(shù)丫=/（無）的圖象，作直線y=m,由圖象可知0<%41時，■/'（尤）=加有三個解尤1，%，尤3，當(dāng)

玉<々<%3時，石+/=0，log2x=1=>%=2,因止匕1<x3<2,

2024

所以(%+x2)m+x3=x3G(1,2],

A=/?2-4ac>0

滿足〃〉0時，<°<2Q<3或

21./(x)=x2-2x+l(答案不唯一，/(%)=冰2+樂+。(〃。0)

〃0)=c〉0

f(3)=9a+3b+c>0

A=/?2-4ac>0

0<--<3

av0時，<2a即可）

/(0)=c<0

/(3)=9tz+3Z?+c<0

【分析】令/（》）=加+法+。（。彳0）,根據(jù)條件，先假設(shè)/（x）在區(qū)間（0,3）內(nèi)有零點(diǎn)，利用二次函數(shù)根的分

布，建立a1,c的不等關(guān)系，通過取值4c,即可求解.

【詳解】4/(x)=ax2+te+c(fl^0),由/'(O)/。)〉。得至IJc(9a+3b+c)>0,

A=/?2-4ac>0

b

0<——<3

當(dāng)a>0時，假設(shè)f（x）在區(qū)間（0,3）內(nèi)有零點(diǎn)，則有，2a①,

/(0)=c>0

/(3)=9〃+3/?+c>0

不妨取。=1力=-2,°=1,顯然滿足①式，此時/'（無）=尤?一2無+l=（x-l）~,

令/(x)=0,得到x=le(0,3),

所以/（x）=W-2x+l,滿足〃0）/（3）>0,但/（無）在區(qū)間（0,3）內(nèi)有零點(diǎn)，故/（x）=Y一2x+l滿足題意,

A=/?2-4ac>0

0<-—<3

當(dāng)”0時，假設(shè)/（x）在區(qū)間（0,3）內(nèi)有零點(diǎn),則有，2a

/(0)=c<0

/(3)=9a+3b+c<0

不妨取a=—l,b=2,c=-l,顯然滿足②式，此時f(x)=-x2+2x-l=-(x-1)2,

令/(x)=0,得到x=le(0,3),

所以=+滿足/（0）/⑶>0,但/（劉在區(qū)間（0,3）內(nèi)有零點(diǎn),故〃初=-爐+2元-1滿足題

屈、，

故答案為：f（x）=x2-2x+l（答案不唯一，/（%）=亦2+樂+《〃。0）,滿足。>0時,

A=/?2-44c>0\=b2-4ac>0

b

0<——<30<--<3

2a或a<0時，<2a即可）.

/(0)=c>0/(0)=c<0

/(3)=9〃+3b+c〉0/(3)=9a+3b+c<0

22.①④

【分析】對于①，直接利用題設(shè)定義，即可判斷；對于②，由忖-可=石（1-石），當(dāng)0Vx<l時,

|y|>W，即可判斷；對于③，利用基本函數(shù)的圖象與性質(zhì)，在同一坐標(biāo)系中作出y=x（x>0）和

/（x）=Qj（%>0）,借助圖象即可判斷；對于④，在同一坐標(biāo)系中作出y=T（xW-l）和

〃X）=lg（T）（XW-l）的圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求解.

11o1

【詳解】對于①，當(dāng)=時，因?yàn)榭?國=3國-卜卜-1國40恒成立，所以=3尤具有“線性控

制”性質(zhì)，

對于②，當(dāng)/（%）=6時，因?yàn)閨y|-|X=6-x=?（i-?）,

當(dāng)04x<l時，1-?>0,此時卜|-忖>0，即N>忖，所以〃尤）=?不具有“線性控制”性質(zhì)，

對于③，令y=x(尤NO),在同一坐標(biāo)系中作出>=尤(尤20)和〃尤)=匕[(xNO)的圖象,

由圖1知y=x(x20)與/(%)=1(了20)相交于尸，不妨設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為％,易知當(dāng)OVxvx。時,

所以當(dāng)OVx<與時，|y|<W不成立，故〃同=匕)(xNO)不具有“線性控制”性質(zhì),

圖1

對于④，令y=—x(xWT),在同一坐標(biāo)系中作出y=r(xW-l)和/(x)=lg(-x)(xW-l)的圖象，如圖所