專題04三角形（九大題型）

盛型大裳合

＞題型一三角形的三邊關(guān)系（高頻）＞題型六全等三角形的外角有關(guān)計(jì)算

＞題型二三角形的穩(wěn)定性的應(yīng)用＞題型七添加條件使三角形全等（高頻）

＞題型三三角形的角平分線和高的有關(guān)運(yùn)算＞題型八全等三角形的性質(zhì)與判定（高頻）

＞題型四利用三角形的中線性質(zhì)求面積（高＞題型九全等三角形綜合（重點(diǎn)）

頻）

＞題型五三角形的內(nèi)角和有關(guān)計(jì)算

型大通關(guān)

【題型1］三角形的三邊關(guān)系

1.（24-25八年級上?云南臨滄?期末）以下列線段為邊能組成三角形的是（）

A.2cm,2cm,6cmB.3cm,6cm,9cm

C.4cm,6cm,lcmD.5cm,6cm,4cm

【答案】D

【分析】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊是解題的關(guān)鍵.根據(jù)三角

形兩邊之和大于第三邊判斷即可.

【詳解】解：4、2+2＜6,

長度為2cm,2cm,6cm的三條線段不能組成三角形，不符合題意；

B、3+6=9,

.??長度為3cm,6cm,9cm的三條線段不能組成三角形，不符合題意；

C、1+4＜6,

???長度為4cm,6cm,1cm的三條線段不能組成三角形，不符合題意；

D、4+5>6,

二長度為5cm,6cm,4cm的三條線段能組成三角形，符合題意；

故選：D.

2.（24-25八年級上?吉林?期末）下列長度的三條線段，首尾順次相連能組成三角形的是（）

A.2,3,6B.4,4,8C.5,9,14D.5,12,13

【答案】D

【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)"任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”,

逐項(xiàng)判斷即可求解，掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、02+3<6,

02,3,6不能組成三角形，該選項(xiàng)不合題意；

B、04+4=8,

04,4,8不能組成三角形，該選項(xiàng)不合題意；

C、05+9=14,

團(tuán)5,9,14不能組成三角形，該選項(xiàng)不合題意；

D、05+12>13,

05,12,13能組成三角形，該選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

3.（24-25八年級上?湖北襄陽?期末）等腰三角形的一邊長為6cm,另一邊長為3cm,則它的周長為（）

A.9cmB.12cmC.15cmD.12cm或15cm

【答案】C

【分析】本題主要考查了三角形三邊之間的關(guān)系，等腰三角形的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角形三邊

之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

由等腰三角形的定義及三角形三邊之間的關(guān)系可得，若等腰三角形的一邊長為6cm,另一邊長為3cm,

則只能是6cm為腰，3cm為底邊，由此即可求出它的周長.

【詳解】解：???3+3=6,

???若等腰三角形的一邊長為6cm,另一邊長為3cm,則只能是6cm為腰，3cm為底邊，

二其周長=6+6+3=15cm,

故選：C.

4.（2023?浙江金華?中考真題）在下列長度的四條線段中，能與長6cm,8cm的兩條線段圍成一個(gè)三角形的

是（）

A.lcmB.2cmC.13cmD.14cm

【答案】c

【分析】根據(jù)三角形三邊的關(guān)系求出第三邊的取值范圍，再判斷即可.

【詳解】解：設(shè)第三邊長度為xcm,

則第三邊的取值范圍是2<x<14,

只有選項(xiàng)C符合，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊的關(guān)系，能熟練求出求出第三邊的取值范圍是本題的關(guān)鍵.

【題型2】三角形的穩(wěn)定性的應(yīng)用

5.（24-25八年級上?四川綿陽?期末）用幾根細(xì)木條首尾相連構(gòu)造下列圖形，具有穩(wěn)定性的是（）

A.正方形B.梯形C.鈍角三角形D.正六邊形

【答案】C

【分析】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，掌握三角形的穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵，根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性即可

判斷求解.

【詳解】解：三角形具有穩(wěn)定性，其他多邊形沒有，

故選：C.

6.（24-25八年級上?廣西防城港?期末）蓋房子時(shí)，在窗框未安裝好之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一

根木條來防止窗框變形，你認(rèn)為這樣做的理由是（）

C.四邊形具有穩(wěn)定性D.三角形具有穩(wěn)定性

【答案】D

【分析】本題考查三角形穩(wěn)定性的實(shí)際應(yīng)用.三角形的穩(wěn)定性在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如鋼架

橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，往往通過連接輔助線轉(zhuǎn)化為三角形而獲得.用

木條固定門框，即是組成三角形，故可用三角形的穩(wěn)定性解釋.

【詳解】解：加上木條后，原不穩(wěn)定的四邊形中具有了穩(wěn)定的三角形，故這種做法根據(jù)的是三角形的

穩(wěn)定性.

故選：D.

7.（24-25八年級上?四川南充?期末）如圖，人字梯中間一般會(huì)設(shè)計(jì)一"拉桿"，這樣做所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是

A.三角形的穩(wěn)定性B.兩點(diǎn)確定一條直線

C.垂線段最短D.兩點(diǎn)之間線段最短

【答案】A

【分析】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，直線的性質(zhì)，線段的性質(zhì)，垂線段最短，關(guān)鍵是掌握三角形的

穩(wěn)定性.

由三角形具有穩(wěn)定性即可得到答案.

【詳解】解：人字梯中間一般會(huì)設(shè)計(jì)一"拉桿這樣做所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是三角形的穩(wěn)定性，

故選：A.

8.（24-25八年級上?河南安陽?期末）安裝空調(diào)外機(jī)一般會(huì)采用如圖所示的方法固定，其根據(jù)的幾何原理是

()

?■空調(diào)

六［三角形支架

A.垂線段最短

B.兩點(diǎn)之間線段最短

C.兩點(diǎn)確定一條直線

D.三角形的穩(wěn)定性

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：安裝空調(diào)外機(jī)一般會(huì)采用如圖所示的方法固定，其根據(jù)的幾何原理是三角形的穩(wěn)定性,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線段最短，兩點(diǎn)之間線段最短，兩點(diǎn)確定一條直線，三角形的穩(wěn)定性及應(yīng)

用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角形的穩(wěn)定性及應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【題型3］三角形的角平分線和高的有關(guān)運(yùn)算

9.（24-25八年級上?陜西咸陽?期末）如圖，在A/IBC中，/.BAC=90°,AD,AE,BF分別是AABC的

高線、中線和角平分線，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.Z.ABF=Z.CBFB./.ABC=Z.CAD

C.S-BE=S^ACED.AF—CF

【答案】D

【分析】本題考查三角形的高線、中線和角平分線，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形的高線、

中線和角平分線的定義是解題的關(guān)鍵.利用角平分線的定義判斷選項(xiàng)A；利用高線的定義得出4。，

BC,得出乙4BC+NB4D=90。，再結(jié)合NB2C=90。，即可判斷選項(xiàng)B；利用中線定義得出BE=CE,

即可判斷選項(xiàng)C；無法得出選項(xiàng)D.

【詳解】解：BBF是AABC的角平分線，

0ZXBF=Z.CBF,

故選項(xiàng)A結(jié)論正確，不符合題意；

0/W是AABC的高線，

回力。1BC,

團(tuán)乙ADB=90°,

^ABC+乙BAD+^ADB=180°,

^ABC+^LBAD=90°,

^\Z-BAC=90°,

^BAD+ACAD=90°,

^\Z-ABC=Z.CAD,

故選項(xiàng)B結(jié)論正確，不符合題意;

ME是△ABC的中線，

回BE=CE,

^BE-AD^-CE-AD,

22

即SA.BE=SAACE，

故選項(xiàng)C結(jié)論正確，不符合題意；

BBF是A4BC的角平分線，無法判定BF是△ABC的中線，

團(tuán)選項(xiàng)D結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；

故選：D.

10.（24-25八年級上?貴州遵義?期中）如圖，AD,AE,4尸分別是A4BC的高、角平分線和中線，下列說法

正確的是（）

A.DF=DC

C./-BAF=/-DAFD-S"BC=2SXABF

【答案】D

【分析】本題考查了三角形的中線、高線及角平分線的意義，三角形一邊上的中線平分此三角形的面

積等知識(shí).解答本題的關(guān)鍵是掌握三角形的中線、高線及角平分線的意義，根據(jù)上述知識(shí)逐項(xiàng)進(jìn)行判

斷即可.

【詳解】解：A、是△力BC的中線，

BF=CF,

而。F與DC不一定相等，

故說法錯(cuò)誤，不符合題意；

B、m是AABC的高線，

???^ADC=90°,

在△ADC中，ZC+ZC4D+AADC=180°,

：.ZC+/.CAD=90°,

故說法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、???4E是△力BC的角平分線,

Z.BAE=Z.CAE,

而NB4F與ND4F不一定相等，

故說法錯(cuò)誤，不符合題意；

D、是△&8C的中線，

???BF=CF=-BC,

2

-11

又S&ABF=2BF'4。，S—CF=2CF,AD,

SMBF=SAACF，

S44BC=S&ACF+S44BF，

SAABC=2SAABF?

故說法正確，符合題意；

故選：D.

11.（2025?云南昭通,一模）如圖，AD,4E分別是AABC的高線和中線.若AABC的面積為18,AD=4,

貝UBE的長為（）

【答案】C

【分析】本題主要考查了三角形的中線性質(zhì)，掌握三角形的中線性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積求得SMBE=|SMBC=9,再利用三角形的面積公式求解即可.

【詳解】解：,??&￡1是AABC的中線，

1

，?S—BE=2S2ABC~9，

S^ABE=5BE,AD=9,AD=4，

Q

BE=2=4.5.

2

故選：c.

12.（24-25八年級上?廣東廣州?期末）如圖，在固48c中，力。為邊BC上的高，點(diǎn)E為邊8c上的中點(diǎn)，連接

AE.若4D=4,EL4BC的面積為20,求BE的長.

【答案】BE=5

【分析】本題考查與三角形高有關(guān)的計(jì)算，先利用三角形的面積求出BC=10,然后利用線段中點(diǎn)的

定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【詳解】解：???4D1BC,西BC的面積為20,

1

???-AD-BC=20,

2

AD—4,

???BC=10,

?.?點(diǎn)E為邊BC上的中點(diǎn)，

BE=-BC=5.

2

13.（22-23七年級下?江蘇南京?期中）如圖，2E與4D分別是△ABC的角平分線和高.若NB=70。，ZC=

60°,求NZME度數(shù).

【答案】5°

【分析】三角形內(nèi)角和求出NC4B的度數(shù)，角平分線求出NC71E的度數(shù)，互余關(guān)系求出NC4D的度數(shù),

禾!］用N&W-NC4E,即可得出結(jié)果.

【詳解】解：S\AD1BC,

團(tuán)Z.ADC=90°.

團(tuán)4C=60°,

團(tuán)NDAC=90。-NC=30°.

回ZB=70°,Z,C=60°,

^Z.CAB=50°.

回AE為NC4B的角平分線，

^CAE=-ACAB=25°.

2

0ZOXE=ADAC-/.CAE=30°-25°=5°.

【點(diǎn)睛】本題考查含角平分線的三角形的內(nèi)角和的計(jì)算.正確的識(shí)圖，確定角度之間的和差關(guān)系，是

解題的關(guān)鍵.

【題型4】利用三角形的中線性質(zhì)求面積

14.（24-25八年級上?北京豐臺(tái)?期末）能將任意一個(gè)三角形分成面積相等的兩部分的是（）

A.三角形的一條高B.三角形的一條中線

C.三角形的一條角平分線D.三角形一邊的垂直平分線

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的中線，由等底同高的三角形面積相等即可判斷；理解三角形的中線是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A.三角形的一條高將任意一個(gè)三角形分成的兩部分面積不一定相等，結(jié)論錯(cuò)誤，故不符

合題意；

B.由等底同高的三角形面積相等得，三角形的一條中線將任意一個(gè)三角形分成的兩部分積一定相等，

結(jié)論正確，故符合題意；

C.三角形的一條角平分線將任意一個(gè)三角形分成的兩部分面積不一定相等，結(jié)論錯(cuò)誤，故不符合題

忌；

D.三角形一邊的垂直平分線將任意一個(gè)三角形分成的兩部分面積不一定相等，結(jié)論錯(cuò)誤，故不符合題

忌-zst.；

故選：B.

15.（2024九年級下,浙江寧波?競賽）如圖，把△ABC的各邊延長2倍至C1；那么△公當(dāng)?shù)牡拿娣e

是△ABC的面積的（）

G

A.4倍B.7倍C.19倍D.20倍

【答案】C

【分析】本題考查了等底同高三角形面積的關(guān)系，熟練掌握等底同高三角形面積的關(guān)系是解題的關(guān)

鍵.

連接ACi，CBi，BA1,根據(jù)等底同高三角形面積之比等于底邊之比求解即可得出答案.

【詳解】解：如圖，連接2Q,CBi，BAr,

回△ABC的各邊延長2倍至Bi，

回的。，BCA的。，ACB的。，皿網(wǎng)

SAABR=3sA^^1=3sAS^X=3sASAACQ=2SAJ4IBC,5=2SAi4CBi,

S△B1BC1-2sA4BC/

回SAABIQ=SA4ICCX+SA4[4BI+S△B1BC1+SMBC

=2s4A、BC+2SAACBI+2s3ABC[+^^ABC

=2x3SAABC+2X3SLABC+2X3S^ABC+S^ABC

=19sA.Be，

故選：C.

16.（24-25八年級上?內(nèi)蒙古呼和浩特?階段練習(xí)）如圖，在AABC中，點(diǎn)。是BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E是力。上的一

點(diǎn)，若BD:CD=2:3,點(diǎn)E是4D的五等分點(diǎn)，若△ABC的面積是8,則△DEC的面積為（）

【答案】A

【分析】本題考查了三角形的面積問題，三角形面積與底和高的關(guān)系，利用等高的兩個(gè)三角形，其面

積比等于底邊的比，即可求出△DEC的面積，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】EA480與44CD等高，BD:CD=2:3,

回S—CO=7ABC=EX8=w

回△COE與△D4E等高，點(diǎn)E是4。的五等分點(diǎn)，

me1C12424

回SADEC=gS"CD=5XY=

故選：A.

17.（23-24七年級下?河南鄭州?期末）如圖，。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，且4。平分NB2C,CDLAD,連接8。，若

△4BD的面積為16,那么△力BC的面積是.

【答案】32

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握

相關(guān)的知識(shí).延長CD交4B于點(diǎn)E,證明AADE三△ADC,得到工皿?=50℃，ABOE和ABDC是等

底等高的三角形，進(jìn)而得到SABDE=S4BDC，即可求解.

【詳解】解：延長CD交于點(diǎn)E,

力。平分N84C,CD1AD,

：.^DAE=Z.DAC,^ADC=/.ADE=90°,

在△?!￡)￡■和△AOC中，

-Z-DAE=^DAC

AD=AD,

^ADC=AADE=90°

?-?A40C(ASA),

：,DE=CD,ShADE=S&ADC,

ABDE和ABDC是等底等高的三角形,

S^BDE=S>BDC

^LABC~2s>AB。=2X16=32,

故答案為：32.

【題型5】三角形的內(nèi)角和有關(guān)計(jì)算

18.（24-25八年級上?新疆吐魯番?期中）如圖，將一副直角三角板如圖放置，使含30。角的三角板的短直角

邊和含45。角的三角板的一條直角邊重合，則41的度數(shù)為（）

A.100°B.120°C.135°D.105°

【答案】D

【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和及平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)角和及平行線的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵；如圖，由題意易得乙。=30。，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可進(jìn)行求解.

【詳解】解：如圖,

由題意得：乙DEF=Z.ABC=90。/。=30%ZD=45°,

回OEIIBC,

回4D=Z.DGC=45°,

團(tuán)=180°-Z.C-乙DGC=105°；

故選D.

19.（24-25七年級下?浙江杭州?期中）如圖，△ABC中，E分別是848c上的點(diǎn)，滿足N2C2+乙甲+

乙BDE=180°.

A

D.

(1MC,DE是否平行？說明理由.

(2)若CD平分N4CB,Z1=35°,求42度數(shù).

【答案】⑴平行

(2)70°

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和，平行線的判定等知識(shí)點(diǎn).

(1)由三角形內(nèi)角和為180。，結(jié)合已知可得乙4=由同位角相等兩直線平行即可得出結(jié)論;

(2)根據(jù)角平分線定義可得乙4cB=2Z1=70°,結(jié)合ACIIDE可得N2=AACB=70°.

【詳解】(1)結(jié)論：平行，

^ACB+NB+乙BDE=180°,

/LACB+NB+乙4=180°,

回NA=乙BDE,

固4c||DE.

(2)回CO平分心ACB,

^ACB=241=70°,

比4c||DE,

團(tuán)42=/.ACB=70°.

20.(24-25七年級下?河北廊坊?階段練習(xí))已知：如圖，BF平分乙4BD,DE平分NBDC交BF于點(diǎn)E,BF交

CD于點(diǎn)凡Nl=N3.

⑴請說明||CD的理由；

(2)若42=25。，求乙3的度數(shù);

(3)若NABD=140°,求證：DE1BF.

【答案】⑴見解析；

(2)65°

⑶見解析

【分析】本題主要考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，掌握以上知識(shí)，

數(shù)形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)角平分線的定義得到N4BF=N1,等量代換得到N2BF=N3,由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

即可求解；

(2)根據(jù)角平分線的定義得到NBDF=2N2=50。，由二角形內(nèi)角和定理即可求解；

(3)根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到=180。，結(jié)合角平分線的定義得到

^AABD+^ABDC=90°,Nl+N2=90。，由此即可求解.

【詳解】(1)解：???BFn^ABD,

Z.ABF=Z1.

zl=z3,

???乙ABF=Z.3,

???AB||CD：

(2)解：??,DE平分乙BDC,Z2=25°,

???乙BDF=2Z2=50°,

???Z-BDF+Z14-Z3=180°,zl=z3,

1

Z3=j(180°-4BDF)=65°；

(3)證明：由(1)得力B||CD,

：.AABD+ABDC=180°

11

-ZXBD+"DC=90°,

22

???BF平分平分NBDC,

???Z1+Z2=90°,

???乙BED=90°,

???DE1BF.

21.(24-25八年級上?四川綿陽?階段練習(xí))如圖，。是三角形外一點(diǎn)，E,尸是BC上的點(diǎn)，G,以分別

是AB,AC上的點(diǎn)，連接2D,aE,FH,D”,GE,已知N1=N2,z3+z4=180°,AAEF=ACFH.

⑴判斷GE與AC的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若，C=36°,乙DHC=105°,求NB的度數(shù).

【答案】⑴平行，理由見解析

(2)69°

【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解

題關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)平行線的判定可得2E||FH,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得Nl=NC4E,從而可得N2=NC4E,

再根據(jù)平行線的判定即可得；

(2)先求出N3=lDHC=105°,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NB"=180?！?3=75°,然后根據(jù)三角

形的內(nèi)角和定理求解即可得.

【詳解】(1)解：GE||AC,理由如下：

回乙力EF=乙CFH,

EL4EIIFH,

團(tuán)41=Z.CAE,

回乙1=Z.2,

回42=Z,CAE,

回GE||AC.

(2)解：團(tuán)43+乙4=180。，ZDHC+Z4=180°,ADHC=105°,

回乙3=乙DHC=105°,

由(1)已證：GE||AC,

^BAC=180°-Z3=75°,

回乙。=36°,

團(tuán)乙B=180°一乙BAC-ZC=69°.

【題型6】全等三角形性質(zhì)的有關(guān)計(jì)算

22.（24-25八年級上?安徽合肥?期末）如圖，點(diǎn)8,C,。在同一直線上，若XABCm^CDE,AB=9,

BD=14,則BC等于（）

A.9B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是全等三角形性質(zhì)的熟練掌握，利用全等三角形的性質(zhì)

“全等三角形對應(yīng)邊相等"即可求解.

【詳解】解：0AABC=ACDE,

ECZ）=AB,

SAB=9,

BCD=9,

S\BD=14,

SDE=BC=B。-CD=14—9=5,

0SC=5,

故選：C.

23.（23-24八年級下?安徽淮南?期末）如圖，AABCmADEF,若BF=8,BE=1.5,貝l|EC的長為（）

A.3B.4

【答案】C

【分析】本題考查全等三角形性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.利用全等三角形的性

質(zhì)求解即可.

【詳解】解：由全等三角形的性質(zhì)得：EF=BC,

回BE+CE=CF+CE,即BE=CF,

0BF=8,BE=1.5,

回EC=BF-BE-CF=BF-2BE=8-2x1.5=5,

故選：C.

24.（24-25八年級上,河北滄州,期末）如圖，點(diǎn)在力D上，AABCWADEF,AD=8,BE=5,則4E的

長為（）

A

A.1.5B.2C.2.5D.3

【答案】A

【分析】本題主要考查了三角形全等的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形對應(yīng)邊相等.

由AABC三ADEF得48=DE,進(jìn)而可得4E=BD,利用線段的和差即可求解.

【詳解】解：???△4BC三△￡?￡1?,

AB=DE,

???AB—BE=DE—BE,

AE=BD,

AD—8,BE=5,

AE+BD=3,

AE=1.5.

故答案為：A.

25.（24-25八年級上?安徽合肥?期末）如圖，AABCZ2DBE,若4B=10,BE=4,貝IJCO的長為（）

【答案】C

【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意

得到45=05=10,8。=BE=4,即可得到答案.

【詳解】解：：AABCm^DBE,

：.AB=DB=10,BC=BE=4,

???CD=DB-CB=10-4=6.

故選C.

26.（24-25八年級上?江蘇泰州?期末）如圖，點(diǎn)E,F分別在線段4C,4B上，若A/IBEmAACF,且4B=

10,AE=4,貝UEC的長為.

【答案】6

【分析】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得4E=2尸=4,AB=AC

10,再結(jié)合線段的和差可得答案.

【詳解】解：0A/1SFSAXCF,

回4E=4F=4,ABAC=10,

0￡C=AC-AE=10-4=6,

故答案為：6

27.(24-25七年級上?山東煙臺(tái)?期末)如圖48=4cm,乙4=NB=60。，AC=BD=3cm.點(diǎn)尸在線段4B

上以lcm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。在線段BD上以xcm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，

它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s).若44CP與△BPQ全等,則尤的值為.

【答案】1或|

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系.能求

出符合題意的所有情況是解題的關(guān)鍵.由題意知當(dāng)ATICP與ABPQ全等時(shí)，分AACP三△■82。和4

APC三ABPQ兩種情況，根據(jù)全等的性質(zhì)列方程求解即可.

【詳解】解：回點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為lcm/s,點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為第cm/s,它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）,AB=

4cm,AC=BD=3cm,

固4P=t,BP=4—t,BQ=xt,

回乙/=乙B,

回當(dāng)A4CP與ABPQ全等時(shí)，有兩種情況:

①當(dāng)AACPmABPQ時(shí)，

AP=BQ,AC=BP,

配=墳，4—1=3,

解得力=1,x=1；

②當(dāng)△APC三ABPQ時(shí)，

AP=BP,AC=BQ,

配=4—=3,

解得t=2,%=I,

綜上所述，X的值是1或I，

故答案為：1或I

【題型7】添加條件使三角形全等

28.（24-25八年級上?福建漳州?期末）如圖，AC和BD相交于點(diǎn)。，若。4=。。，仍無法判定△4。8三4

DOC的是（）

A.OB=OCB.AB—DCC.Z-A—乙DD.L.B—Z.C

【答案】B

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐項(xiàng)判斷即可.

本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：在AAOB與△DOC中，

A、團(tuán)。Z=OD,Z.AOB=Z.DOC,OB=OC,

[SAAOBSADOC(SAS),正確；

B、由。A=OD,Z.AOB=/.DOC,AB=DC,

不能判定AAOB三△DOC,符合題意；

C、回乙4OB=/.DOC,OA=OD,Z.A=乙D,

0AXOF=ADOC(ASA),正確；

D,SZ.AOB=/.DOC,Z.B=ZC,OA^OD,

^AOBSAOOC(AAS),正確，

故選：B.

29.(24-25八年級上?浙江臺(tái)州?期末)如圖，在AABC和AADE中，AB=AD.添加下列哪個(gè)條件，不能使

AABC()

A.Z.B=乙DB.Z.ACB=Z.AEDC.AC=AED.BC=DE

【答案】D

【分析】本題考查了三角形全等的判定，依據(jù)三角形全等的判定定理逐一判斷即可，熟記三角形全等

的判定定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、在△4BC和A4DE中，

24=Z4

AB^AD

zB=Z.D

回△ABC三△ADE(ASA),原選項(xiàng)不符合題意；

B、在△力BC和AADE中，

2ACB=^AED

/.A=Z.A

.AB=AD

回AABC三△ADE(AAS),原選項(xiàng)不符合題意；

C、在AABC和A/WE中，

AC=AE

Z-A=Z-A,

AB=AD

團(tuán)△ABC三△ZDE（SAS）,原選項(xiàng)不符合題意；

D、添加BC=OE,又AB=/。，44=乙4,都無法判定△ABC三/kADE,原選項(xiàng)符合題意;

故選：D.

30.（23-24八年級下?安徽宣城?期末）如圖，在△ABCDEF中，點(diǎn)8,E,C,F共線，已知BE=

CF,添加下列條件不能使得△ABC三△DEF的是（）

A.AB\\DE9ACWDFB.^A==90°,AB=DE

C.Z-A=乙D,AC=DFD.AB=DE,AC=DF

【答案】c

【分析】本題考查了全等三角形的判定，由已知得8C=EF,再根據(jù)全等三角形的判定定理逐項(xiàng)判斷

即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：BBE=CF,

0BF+EC=CF+EC,

即BC=EF,

A、當(dāng)4BIIDE,ACIIDF時(shí)，Z.B=/.DEF,/.ACB=Z.F,

El由ASA可得△ABCdDEF,該選項(xiàng)不合題意；

B、當(dāng)乙4=乙0=90。，AB=DE時(shí)，由HL可得Rt△48CmRt△DEF,該選項(xiàng)不合題意；

C、當(dāng)N4=AD,=時(shí)，由兩邊及一邊的對角相等不能得到A4BC三△DEF,該選項(xiàng)符合題意；

D、當(dāng)AB=DE,AC=DF時(shí)，由SSS可得△4BC三△DEF,該選項(xiàng)不合題意；

故選：C.

31.（24-25八年級上,陜西西安,期末）如圖，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE,還需添加兩個(gè)條件才能

使△ABC三△DEC,不能添加的一組條件是（）

D

A.BC=EC,Z-B=Z.EB.BC=EC,AC=DC

C.BC=EC,Z-A=ZDD.乙B=LE,Z-ACD=Z.BCE

【答案】C

【分析】本題考查全等三角形的判定定理，根據(jù)全等三角形的判定定理逐個(gè)判定即可.能熟記全等三

角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,兩直角三角形全

等還有HL.

【詳解】解：A.AB=DE,乙B=AE,BC=EC,符合全等三角形的判定定理SAS,能推出AABC三

ADEC,故此選項(xiàng)不符合題意；

B.AB=DE,AC=DC,BC=CE,符合全等三角形的判定定理SSS,能推出△2BC三△DEC,故此

選項(xiàng)不符合題意；

C.AB=DE,BC=EC,Z4=Z.D,不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC三△DEC,故此

選項(xiàng)符合題意；

D.^\Z-ACD=Z.BCE,

回乙4CD+Z-ACE=（BCE+Z-ACE,

=乙DCE,

乙ACB=LDCE,乙B=（E,AB=DE,符合全等三角形的判定定理AAS,能推出△DEC,故

此選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

32.（24-25八年級上?安徽滁州?期末）如圖，在AABC和ADEF中，點(diǎn)B、F、C、。在同一條直線上，已知

=AB=DE,添加以下條件，不能判定△ABC三△￡>￡1/的是（）

E

WA

BFCD

A.BC=EFB.AC=DFC.Z-ACB=乙DFED.Z_B—乙E

【答案】A

【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據(jù)全等三角形的判定法則即可得出答案，掌握全等三角形

的判定法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：HZX=Z￡>,AB=DE,

回當(dāng)8c=不能判定小ABC=ADEF,故A選項(xiàng)符合題意；

當(dāng)AC=DF,根據(jù)SAS能判定△ABCdDEF,故B選項(xiàng)不符合題意；

當(dāng)乙4cB=4DFE,根據(jù)AAS能判定△ABC=ADEF,故C選項(xiàng)不符合題意；

當(dāng)NB=乙E,根據(jù)ASA能判定△ABC三4DEF,故D選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

33.（24-25八年級上?江西上饒?期末）如圖，已知AB14。，垂足分別為E,F,下列

條件：①4B=NC；②4BIICD；③BE=CF；@AF=DE,選擇一個(gè)就可以判定Rt△ABE三Rt△

DCF的是（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④

【答案】D

【分析】本題考查了三角形全等的判定方法，解題的關(guān)鍵在于掌握判定兩個(gè)三角形全等的一般方法

有：SSS,SAS,ASA,HL.根據(jù)相關(guān)判斷判定方法逐項(xiàng)判斷，即可解題.

【詳解】解：；BE14D于點(diǎn)E,CF149于點(diǎn)尸，

???AAEB=乙DFC=90°,

AB—CD,Z-B=乙C,

??.Rt△ABE=Rt△DCF（AAS）；

故①可以判定=RIADCF；

???ABWCD,

???Z-A=乙D,

???^AEB=乙DFC=90°,AB=CD,

?-?RtAABE三Rt△OCF(AAS)；

故②可以判定Rt△力BE三RtAOCF；

???BE=CF,乙AEB=4DFC=90°,AB=CD,

?-?RtAABEsRtADCF(HL)；

故③可以判定Rt△ABE=RtADCF；

AF—DE,

...AF-EF=DE-EF,即/E=DF,

???乙AEB=乙DFC=90°,AB=CD,

???Rt△ABE三Rt△DCF(HL)；

故③可以判定RtAABE三Rt△DCF；

綜上所述，①②③④可以判定RtAABE三RtADCF；

故選：D.

【題型8】全等三角形性質(zhì)與判定的綜合

34.(22-23八年級下?廣東清遠(yuǎn)?期中)在△力BC中，AB=CB,^ABC=90°,。為48延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)、E

在BC邊上，5.BE=BD,連接4E、DE、DC.

⑴求證：AABEm^CBD；

(2)若NC4E=30°,求NBDC的度數(shù).

【答案】⑴見解析

(2)75°

【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形等邊對等角.

(1)利用SAS即可得證；

(2)由全等三角形對應(yīng)角相等得到乙4EB=NCDB,利用外角的性質(zhì)求出“EB的度數(shù)，即可確定出

NBDC的度數(shù).

【詳解】（1）證明：回乙4BC=90。，。為AB延長線上一點(diǎn)，

團(tuán)乙ABC=乙CBD=90°,

在△C8。中，

AB=CB

乙ABC=乙CBD,

BE=BD

0AABE=△CBD（SAS）；

（2）解：???在△ABC中，AB=CB,^ABC=90°,

??.ABAC=乙ACB=45°,

由（1）得：XABEZXCBD,

Z.AEB=Z-BDC,

■■■NAEB為ATIEC的外角，

???4AEB=乙ACB+乙CAE=30°+45°=75°,

???ABDC=乙AEB=75°.

35.（23-24八年級上?浙江嘉興?期末）如圖，已知AB||CT,DE=EF.

⑴求證：AADE=△CFE；

(2)若4B=7,CF=4,求BD的長.

【答案】⑴見解析

(2)3

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知

識(shí)，屬于中考?？碱}型.

(1)根據(jù)AAS證明A4DE三△CFE即可；

(2)利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題；

【詳解】(1)證明：?.T8||CF,

乙4=乙FCE,

在△4。所以“E中,

'LA=乙FCE

^AED=乙CEF，

.DE=EF

.?.AADE=△CF￡(AAS).

(2)解：???△ADESACFE,

：.AD=CF=4,

：.BD=AB-AD=7-4=3.

36.(23-24七年級下,山西臨汾,期末)如圖所示，△ABC三△4DE,且NC4D=30。，/LEAB=120°,

DEWAC.

⑴求NCA8的度數(shù)；

⑵求ADFB的度數(shù).

【答案】⑴45。

⑵105。

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：--AABC=AADE,

??.Z.DAE=Z-CAB,

???乙EAB=120°,^CAD=30°,

???/.DAE=A.CAB=5x(120°-30°)=45°；

(2)解：???DEWAC,

ZD=^DAC=30°,

???△ABC=△ADE,

???Z-B=乙D=30°,

???乙DFB=ZB+/.FAB=30°+45°+30°=105°.

37.(23-24九年級上,湖北宜昌,期末)如圖，AABE和AaCD都是等邊三角形，△E4C旋轉(zhuǎn)后能與△ABD重

合，EC與BD相交于點(diǎn)F.

(1)試說明AAECmAABD.

(2)求ADFC的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)60°

【分析】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，對頂角，三角形外角性質(zhì)

等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，題目綜合性比較強(qiáng)，難度適中.

(1)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)推出2E=4B,AD=AC,AEAB=^DAC=60°,求出NE4C=NB4D,根

JgSASiiEAAEC=A48。即可；

(2)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)推出NR4B=60。，根據(jù)三角形外角性質(zhì)推出乙4GC=^AEC+60°=

^ABD+^GFB,求出4GF8的度數(shù)，根據(jù)對頂角相等求出即可.

【詳解】(1)證明：???△4BE和AACD都是等邊三角形，

???AE=AB,AD=AC,乙EAB=Z.DAC=60°,

???Z-EAB+Z.BAC=Z-DAC+ABAC,

^Z.EAC=乙BAD,

在△NEC和△ZBO中

(AE=AB

\^.EAC=/-BAD,

(AD=AC

*'?△AEC三△A.BD.

(2)證明：如圖，ZB與EC交于點(diǎn)G,

LAEC=△ABD,

?1.Z.AEC=Z.ABD,

■：AAGC=N4EG+4EAB=AAEC+60°,

Z.AGC=Z-GFB+Z.ABD=Z.GFB+Z.AEC,

???乙4EC+60°=4GFB+^AEC,

???Z.GFB=60°,

???/.DFC=/.GFB=60°.

38.（24-25八年級上?廣西來賓?期中）如圖，在AABC中，點(diǎn)。在邊BC上，點(diǎn)E在邊4D上，延長BE交AC

于點(diǎn)尸，S.AACD=ABED.

⑴求證：^AFE=90°；

(2)若SABCF=20,S四邊形CFEO=8,求△4EF的面積.

【答案】⑴見詳解

⑵4

【分析】(1)先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到乙4DC=NBDE,乙CAD=4DBE,再根據(jù)平角的定義計(jì)算

出乙4DC=4BDE=90°,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可證明乙4FE=4BDE=90°；

(2)先計(jì)算出另加￡=12,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到SUCD=SABED=12,然后計(jì)算以江。—

SWH^CFED^^■

本題考查了三角形內(nèi)角和性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)角相等，全等三角形的面積

相等.

【詳解】(1)解：???4ACDm4BED

???Z-ADC=乙BDE,Z.CAD=乙DBE,

???^LADC+ABDE=180°,

???乙ADC=乙BDE=90°,

Z.AEF+Z.AFE+Z,EAF=乙BED+乙BDE+乙DBE,

而NAEF=乙BED,

AAFE=乙BDE=90°；

"S*BDE=SABCF_S四邊形CFEO=12,

0AACD^ABED,

SUCD=S"ED=12,

SAAEF=S&ACD_S四邊形CFEO=12—8

【題型9】全等三角形綜合

39.（24-25八年級上?安徽六安?期中）如圖，AB=AD,^BAD=140°,AB1CB于點(diǎn)B,AD1CD于點(diǎn)

D,E、尸分別是CB、CD上的點(diǎn)，且N￡;4F=70。，下列結(jié)論中①8C=DC,@AXDF=AABE,

③凡4平分乙DFE,④EF平分乙4EC,?BE+DF=EF.其中正確的結(jié)論是（）

Du-------

A.②③⑤B.①③④C.①③⑤D.①④⑤

【答案】C

【分析】此題重點(diǎn)考查角平分線的定義，線段的和差運(yùn)算，角的和差運(yùn)算，全等三角形的判定與性質(zhì)

等知識(shí)，正確地作出輔助線并且證明AEAG三AEAF是解題的關(guān)鍵.連接4C,可證明RtA48C三RtA

4DC（HL）,得到BC=DC,故①正確；由E、尸分別是CB、CD上的任意點(diǎn)，可知DF與BE不一定相

等，AADF與△力BE也不一定全等，可判斷，②錯(cuò)誤；延長CB到點(diǎn)G,使BG=DF,連接4G,先證

明AABG三△4DF得4G=4F,4BAG=4DAF,ZG=/.AFD,由NBA。=140°,/.EAF=70°,可以

推導(dǎo)出NEAG=70°,貝IjNEAG=Z.EAF,即可證明△E2G三△EAF,得NG=^AFE,因?yàn)橐?EB=

乙4EF,所以N4FD=N4FE,可判斷③正確，因?yàn)镋G=EF,所以BE+DF=BE+BG=EG=EF,

可判斷⑤正確；由EF平分N4EC結(jié)合Z/1EF=ZXE8,推出與題干互相矛盾，可得④錯(cuò)誤.

【詳解】解：如圖所示，連接4C,

c

B

國481CB于點(diǎn)B,AD1CD于點(diǎn)D,

回=CB=90°,

^\AB=AD,AC=AC,

回Rt△ABC=RtAADC(HL),

SBC=DC,故①正確；

aDF與BE不一定相等，

回AADF與AABE不一定全等，故②錯(cuò)誤；

延長CB到點(diǎn)G,使BG=DF,連接4G,貝ikABG=180°-乙4BE=90°,

C

回乙4BG=乙D,

在△ABG和△ZDF中，

AB=AD

Z.ABG=乙D,

.BG=DF

ABG=A^DF(SAS),