專題04特殊平行四邊形性質(zhì)與判定

一、【知識回顧】

【思維導(dǎo)圖】

有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四

「定義-邊形，相對的邊稱為對邊，相對的角稱為

對角

I■平行四邊形的對邊相等，對角相等

■性質(zhì)

I平行四邊形的鄰角互補，對角線互相平分

「兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

?兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

?判定一組組對邊平行且相等的四邊形是平行四

.邊形

?對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

由-妞牛謳三角形的中位線平行于第三邊，且等于第

中位線定理一三邊的一半

平行四邊形

【知識清單】

1

矩形的性質(zhì):幾何表達式舉例:

V)具有平行四邊形的所有通性;

(2)：ABCD是矩形

因為ABCD是矩形n，(2)四個角都是直角；

Dc[⑶對角線相等..?.NA=/B=/C=ND=90°

(3)「ABCD是矩形

；.AC=BD

——A----------------

矩形的判定:幾何表達式舉例：

(1)平行四邊形+一個直角'(1)：ABCD是平行四邊形

又：ZA=90°

(2)三個角都是直角四邊形ABCD是矩形.

...四邊形ABCD是矩形

(3)對角線相等的平行四邊形

(2)VZA=ZB=ZC=ZD=90

四邊形ABCD是矩形

⑶..........

菱形的性質(zhì)：幾何表達式舉例：

因為ABCD是菱形(1)..........

"(1)具有平行四邊形的所有通性;(2)；ABCD是菱形

.,.AB=BC=CD=DA

臺(2)四個邊都相等；

(3)ABCD是菱形

(3)對角線垂直且平分對角.

AACXBDNADB=NCDB

菱形的判定:幾何表達式舉例：

(1)平行四邊形+一組鄰邊等'(1)；ABCD是平行四邊形

,/DA=DC

(2)四個邊都相等臺四邊形四邊形ABCD是菱形.

二四邊形ABCD是菱形

(3)對角線垂直的平行四邊形

(2)；AB=BC=CD=DA

四邊形ABCD是菱形

A(3)：ABCD是平行四邊形

VACXBD

四邊形ABCD是菱形

正方形的性質(zhì)：幾何表達式舉例:

因為ABCD是正方形(1)..........

’⑴具有平行四邊形的所有通性；(2)：ABCD是正方形

.,.AB=BC=CD=DA

n(2)四個邊都相等，四個角都是直角;

NA=NB=NC=ND=90°

(3)對角線相等垂直且平分對角.

(3)：ABCD是正方形

.?.AC=BDAC±BD

2

正方形的判定：幾何表達式舉例：

(1)平行四邊形+一組鄰邊等+一個直角］(1)...ABCD是平行四邊形

又：AD=ABZABC=90°

(2)菱形+一個直角n四邊形ABCD是正方形.

.??四邊形ABCD是正方形

(3)矩形+一組鄰邊等

(2)：ABCD是菱形

口又；NABC=90°

二四邊形ABCD是正方形

(3)VABCD是矢巨形

又；AD=AB

AB

四邊形ABCD是正方形

二、【考點類型】

考點1：矩形的性質(zhì)(對角線相等，90°)

典例1：(23-24八年級下?湖北?周測)在矩形4BCD中，對角線4C、BD相交于點。，4E平分NB2D交

8C于點E,^CAE=15°,連接OE,則下面的結(jié)論：其中正確的結(jié)論有.

①4DOC是等邊三角形；②&BOE是等腰三角形；③BC=2AB；④N40E=150°；⑤S“OE=S^OE-

【答案】①②⑤

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握相關(guān)的性

質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.根據(jù)題意得到△ABE是等腰直角三角形，可得NB4。=Z.BAE+^CAE=60%

得到AAB。是等邊三角形，△COD是等邊三角形，由此判斷①，結(jié)合①可得。B=4B、AB=BE,

可判斷②，再由直角三角形的性質(zhì)得到BC=可判斷③，由等腰三角形的性質(zhì)求出NBOE=

|(180°-30°)=75°,再由乙4OE=N4OB+NBOE=60。+75。=135。，可判斷④，再由面積公式

得到SAAOE=SACOE，可判斷⑤，由此得到答案?

【詳解】解：?；4E平分NBAD,

???4BAE=Z.DAE=45°,

/.AEB=45°,

A4BE是等腰直角三角形，

??.AB=BE,

???ACAE=15°,

3

??.Z.BAO=Z,BAE+^CAE=60°,

???矩形ABC。中，

OA=OB=OC=OD,

-t?△ZBO是等邊三角形，△C。。是等邊三角形，

故①正確；

由①可知：△AB。是等邊三角形，是等腰直角三角形，

OB=AB,AB=BE,

???OB=BE,

△BOE是等腰三角形，

故②正確；

???乙OBE=^ABC-乙ABO=90°-60°=30°=乙ACB,

:,AC=2AB9

??.BC=WAB,

故③不正確；

???KOBE=^ABC-AABO=90°-60°=30°=乙ACB,

Z.BOE=|(180°-30°)=75°,BC=^3AB,

?-?/.AOE=/.AOB+乙BOE=60°+75°=135°,

故④不正確；

???AO=CO,

S&AOE=SACOE，

故⑤正確，

綜上，正確的結(jié)論有①②⑤，

故答案為：①②⑤.

【變式1](22-23八年級下?江蘇蘇州?期末)如圖，在矩形2BCD中，對角線2C與BD相交于點。，過

點A作AELBD,垂足為點E,若BE=1,AE=2,則AC=.

【答案】5

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理，由矩形的性質(zhì)得出。4=OB,設(shè)。4=OB=x,則。E=

x-1,在RtAAOE中，由勾股定理得出方程，解方程求出。4即可得出答案，熟練掌握矩形的性質(zhì)，

4

由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：??,四邊形4BCD是矩形，

???OA=OC=1AC,OB=OD=^BD,AC=BD,

：.OA=OB,

設(shè)04=0B=x,則。E=x-1,

'：AE1BD,

：.￡.AEO=90°,

由勾股定理得：AE2+OE2=OA2,

即22+(x-l)2=%2,

解得：x=I，

5

OA=

：.AC=2OA=5；

故答案為：5.

【變式2](22-23八年級上?湖北恩施?期末)如圖，點P是矩形4BCD對角線4C上一點，過點尸做EFIIBC,

分別交AB,CD于點E,F,連接PB,PD.若2E=2,PF=9,則圖中陰影部分的面積為.

【答案】18

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，過點P作GH分別交4D、BC于點G、H,證明S四邊形GPFB=SW^EPHB'

從而5s四邊形GPFD=]S四邊形EPHB，即SADPF=S，EB，求出S^DPF的值即可求出整個陰影部分的面積，

熟練掌握矩形的性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：過點P作GH分別交4D、BC于點G、H,如圖所示：

5

由矩形性質(zhì)可知，SAADC=S4ABC，S&PFC=S4PHC，S^AGP=SAAEP，

SMDC_S&PFC-S44GP=SRABC_S&PHC~SAAEP，即S四邊形GPFB=S四邊形EPHB，

,,,5s四邊形GPFD=5s四邊形EPHB，即SADPF=S^PEB-

GP=AE=2,PF=9,

???SADPF=：X2X9=9=SAPEB，即圖中陰影面積為SA°PF+SAPEB=9+9=18,

故答案為：18.

【變式3］（22-23八年級下?福建莆田?期末）如圖，在平面直角坐標系中，矩形0A3C的對角線AC

平行于x軸，邊OA與x軸正半軸的夾角為30。，AC=6,則點A的坐標是—.

【分析】由矩形的性質(zhì)得出NAOC=90。，由平行線的性質(zhì)得出，ZOAC=30°,由含30。角的直角三

角形的性質(zhì)得出OA,再求出OD、AD,即可得出結(jié)果.

【詳解】解：如圖所示：

?..四邊形。42c是矩形，

：.ZAOC=90°,

：AC〃x軸，

：.ZOAC=30°,ZODA=90°,

\'AC=6,

OC=-AC=3,

：.2

/.OA=V3OC=3V3,

：.OD=-OA=—,

22

：.AD=y/3OD=^

???點A的坐標是（￡-^）;

故答案為：（|,乎）.

6

【點睛】考核知識點：矩形性質(zhì).理解矩形性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)是關(guān)鍵.

【變式4（2024.山東濟南.模擬預(yù)測）如圖，在矩形4BCD中，對角線AC,8。相交于點O,2E，8。于

點E,DF14c于點F,求證：AE=DF.

【答案】見解析

【分析】

本題主要考查矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)矩形的性質(zhì)得。4=。。，利用垂直得

乙AE0=LDF0,結(jié)合對頂角相等即可證明AdOE三ADOF,則有結(jié)論成立.

【詳解】證明：???四邊形4BCD是矩形，對角線AC,B0相交于點O,

0A=0C=OB=0D,

-AE1BD,DFLAC,

???（AEO=Z.DFO=90°,

在AZOE和AO。F中，

/-AEO=乙DFO

/.AOE=Z.DOF

.AO=D0

.-.△i40E=AP0F（AAS）,

??.AE=DF.

【變式5】（23-24八年級下?全國?隨堂練習）如圖，在矩形4BCD中，。為對角線AC的中點，過點O

作直線分別與邊AD、BC交于M、N兩點，連結(jié)CM、AN.求證：四邊形4NCM為平行四邊形.

7

【分析】由矩形的性質(zhì)得出4。IIBC,AO=CO,再由平行的性質(zhì)得出NOAM=乙OCN,乙OMA=乙ONC,

再證明AaOM三△CON,由全等得形式可得4M=GV,即可證明四邊形4NCM為平行四邊形.

【詳解】證明；四邊形4BCD是矩形，。為對角線4C的中點，

：.AD\\BC,AO=CO,

:.乙OAM=LOCN,AOMA=AONC.

在CON中，

/-OAM=乙OCN

/.OMA=乙ONC

.AO=CO

...△40M三ACON(AAS)

：.AM=CN.

'JAM||CN,

二四邊形ANCM為平行四邊形.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定、平行四邊形的判定，以及平行線的性質(zhì)，掌握

矩形的性質(zhì)和平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵.

【變式6】(23-24八年級下.江蘇無錫.階段練習)如圖，在長方形紙片4BCD中，AB=6,BC=8,

將紙片按如圖所示的方式折疊，使點2與點。重合，折痕為EF.

⑴求證：BE=BF；

⑵求4E和EF的長.

【答案】(1)見詳解

(2)AE=7EF=個15

【分析】

本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是，熟練應(yīng)用折疊的性質(zhì)及勾股定理，表示出線段的

長度，列出等量關(guān)系式.

(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得4DEF=4BEF,由長方形可得40IIBC,4DEF=4BFE,利用等

邊對等角，即可得出BE=BF；

8

(2)設(shè)2E的長度為無，BE為8-x,在AABE中應(yīng)用勾股定理，列出一元二次方程，即可求出2E的

長度，過點E作EH1BC,在AEHF中應(yīng)用勾股定理，即可求出EF的長度.

【詳解】(1)解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得乙DEF=4BEF,

???4BCD是長方形，

???AD||BC,

Z.DEF=乙BFE,

Z.BEF=Z.BFE,

：.BE=BF.

(2)設(shè)4E=X,貝UBE=DE=8—尤，

在RtAABE中，

AB2+AE2=BE2,即：62+/=(8一%)2,

解得：x=g

4

由（）可知，BF=BE=8-AE=8--=—,

144

又?：EH工BC,ABLBC,

-.AE=BH,AB=EH,

2579

HF=BF-BH=-

442

在RtAEHF中，

EF2=EH2+HF2,即EF2=62+（|）\

解得：EF=y,EF=-^（舍）,

71q

故：AE=-,EF=—.

42

【變式7】（22-23九年級上?陜西咸陽?期中）如圖，矩形28C。的對角線AC,BD相交于點。，點E,尸在

BD±,且BE=DF.

9

⑴求證：4AEB=LCFD；

(2)若48=6,^AOB=60°,求矩形4BCD的面積.

【答案】(1)見解析

(2)3673

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理;

(1)由矩形的性質(zhì)得出。A=OC,OB=OD,AC=BD,^ABC=90°,證出。E=。凡由SAS證明

△XOF=△COF,即可得出乙4EO=NCFO,進而即可得證；

(2)證出AAOB是等邊三角形，得出。4=4B=6,AC=2OA=12,在RtAABC中，由勾股定理

求出BC,即可得出矩形4BCD的面積.

【詳解】(1)證明：???四邊形4BCC是矩形，

OA=OC,OB=OD,AC=BD,Z.ABC=90°,

???BE=DF,

???OE=OF,

在△40E和中，

OA=OC

AAOE=乙COF,

OE=OF

.*.△AOECOF(SAS),

???Z.AEO=Z-CFO,

???Z.AEB=乙CFD；

(2)解：vOA=OC,OB=OD,AC=BD,

???OA=OB,

???Z.AOB=(COD=60°,

/OB是等邊三角形，

???OA=AB=6,

--AC=2OA=12,

在RtUBC中，BC=y]AC2-AB2=6V3,

10

矩形4BCD的面積=AB-BC=6X6^3=36b.

考點2：直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)

典例2：（22-23八年級下?江蘇蘇州?階段練習）如圖，△ABC中，D,E分別是48,AC的中點，F(xiàn)是

DE延長線上的一點，且N4FC=90。，若4C=12,BC=20,則DF的長為

【答案】16

【分析】本題主要考查了直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半，三角形中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵

是先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出EF=IAC=6,再根據(jù)中位線的性質(zhì)求出DE=\BC=10,即可得

出答案.

【詳解】解：：在直角中，EF是斜逅1C上的中線，AC=12,

：.EF=-AC=6.

2

中，D,E分別是AB,AC的中點，BC=20,

：.DE=^BC=10是中位線，

：.DF=DE+EF=10+6=16.

故答案為：16.

【變式1］（2023?浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖，在RtAABC中，乙4cB=90。，CD為中線，延長CB至

點E,使BE=BC,連結(jié)DE,尸為DE中點，連接BF.若4C=4,BC=3,則BF的長為.

【答案】1.25

【分析】本題主要考查了勾股定理，三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線，此題的突破口是

推知線段CD的長度和線段BF是ACDE的中位線.利用勾股定理求得AB=5；然后由直角三角形斜邊

上的中線等于斜邊的一半求得CD的長度；結(jié)合題意知線段BF是ACDE的中位線，貝UBF=^CD,即可

得到答案.

【詳解】解：?在RtAABC中，^ACB=90°,AC=4,BC=3,

11

：.AB=>JAC2+BC2=V42+32=5.

又為中線，

ACD=-2AB=2.5.

為DE中點，BE=BC即點3是EC的中點，

是△CDE的中位線，貝=^C0=1.25.

故答案為：1.25.

【變式2】（23-24八年級下?江蘇南京?階段練習）如圖，在RtAABC中，^BAC=90°,AD是AABC的

中線，點E,P分別是4。，AC的中點，連接EF,若EF=3,則AD的長為.

【答案】6

【分析】

本題考查了三角形中位線定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)；

先根據(jù)三角形中位線定理可得CD=2EF=6,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出

答案.

【詳解】解：：點E,歹分別是40,AC的中點，

是△4DC的中位線，

:.CD=2EF=6,

,：Z.BAC=90°,40是△4BC的中線，

.9.AD=CD=6,

故答案為：6.

【變式3】（2023?甘肅隴南.模擬預(yù)測）如圖，在AABC中，乙4cB=90。，NB=28。，4。平分NB4C,

E是2D中點，則ADCE的度數(shù)為.

【答案】59。

【分析】

12

本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、角平分線的定義，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，根據(jù)

三角形內(nèi)角和定理求出NB4C,根據(jù)角平分線的定義ND4C,證明NACE==31。，從而可得答

案.

【詳解】解：：N4CB=90。，4B=28。,

J.^BAC=90°-28°=62°,

'：AD^^ABAC,

：.^DAC=-^BAC=31°,

2

是4D中點，

J.^ACE=/.DAE=31°,

，乙DCE=90°-31°=59°；

故答案為：59。

【變式4】(23-24八年級上.浙江嘉興.期末)如圖，CD是RtAABC的斜邊4B上的中線，乙4=30。.

(1)求NB的度數(shù).

(2)若4B=10,求ABDC的周長.

【答案】(1)乙8=60。

(2)ABDC的周長為15

【分析】此題考查了直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，

(1)根據(jù)直角三角形兩銳角互余求解即可；

(2)首先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD=DB=2aB=5,然后證明出ABCC是等邊三角形，進而

求解即可.

【詳解】(1)解：???NC=90。，44=30。，

???4B=60°.

(2)解：???CD是RtUBC的斜邊4B邊上的中線，S.AB=10,

???CD=DB=-AB=5,

2

vZ-B=60°,

??.△BDC是等邊三角形，

13

的周長為15.

【變式5]（23-24九年級上?陜西寶雞?期末）如圖，在四邊形48CD中,N2BC=90°,AD||BC,AD=BC.

（1）求證：四邊形4BCD是矩形；

（2）點E是4。上一點，點尸是BC的中點，連接BE,CE,EF,若NBEC=90。，EF=6,求4。的長.

【答案】（1）見解析

(2)AD=12

【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì);

（1）根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可解決問題；

（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可知BF=CF=\BC=EF=6,然后可求4。的長；

解決本題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì).

【詳解】（1）證明：?.[￡）IIBC,4D=BC,

...四邊形4BCD是平行四邊形.

W4FC=90°,

.??四邊形4BC0是矩形.

（2）,"EC=90。,點下是BC的中點,

：.BF=CF=-BC=EF=6,

2

???BC=12,

：.AD=BC=12.

【變式6】（23-24八年級上.云南昭通?期末）如圖，在AABC中，ZB=30°,是BC邊上的中線，

S.AD=|BC,AE1BC于點E.

⑴求NC4E的度數(shù)；

（2）若CE=2,求BE的長.

【答案】（1）30。

14

(2)6

【分析】此題考查了直角三角形斜邊上的中線、含30。角的直角三角形的性質(zhì)，熟記直角三角形斜邊

上的中線、含30。角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)由題意得4D=BD=CD,根據(jù)等邊對等角可得NB=乙BAD=30°,進一步可推出△4CD是等

邊三角形，然后根據(jù)垂直的定義即可求解；

(2)根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：???4D是BC邊上的中線，

：.BD=CD=-2BC,

'：AD=-BC,

2

：.AD=BD=CD,

：ZB=乙BAD=30°,

：.^ADC=+匕BAD=60°,

△zco是等邊三角形，

：.ADAC=zc=60°,

*：AE1BC,

：.Z.AEC=90°,

/.Z.C+zCi4E=90°,

J./LCAE=30°；

(2)解：在RtZk/CE中，CE=2,

：.AC=2CE=4,

%：^BAC=/.BAD+Z.DAC=90%乙B=30°,

：.BC=2AC=8,

：.BE=BC-CE=6.

【變式7](23-24八年級上?上海靜安?期末)如圖，在△ABC和△4DC中，乙=乙40c=90。，連

接4C與80交于點0,M,N分別是AC、的中點.求證：MN垂直平分

【答案】見解析

15

【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)；連接MB,MD,根據(jù)斜邊上的中線等于

斜邊的一半得出MD=MB,進而根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】證明：連接

'：^ABC=/-ADC=90°,M是4c的中點，

：.MD=MB,

是BD的中點，

：.MN1BD,ND=NB,即MN垂直平分BD.

考點3：矩形的判定

典例3：(23-24八年級下?湖南長沙?階段練習)如圖，點A在NMON的邊ON上，28，OM于=

OB,DE1ON于E,4D=AO,DC1。"于C.

(1)求證：四邊形4BCD是矩形；

(2)若。E=3,OE=9,求40的長.

【答案】(1)見詳解

(2)5

【分析】此題考查了矩形的判定與性質(zhì)以及勾股定理.注意利用勾股定理求線段4D的長是關(guān)鍵.

(1)根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及矩形的判定解答即可；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可.

【詳解】(1)證明：AB1OM^-B,DE1ON^E,

?-?/.ABO=/.DEA=90°.

在Rt△4B。與Rt△DEA中，

..(AO=AD

'(OB=AE

：.RtAABO=RtA0E4(HL),

16

???Z-AOB=Z.DAE.

AD||BC.

又???Z310M,DC1OM,

-.AB||DC.

???四邊形4BCD是平行四邊形，

Z.ABC=90°,

二四邊形4BCD是矩形；

（2）解：由（1）知RtA48。三RtADE4

AB=DE-3,

設(shè)4。=x,貝1]。4=x,AE=OE-OA=9-x.

在RtACEA中，由ZE?+DE2=4。2得：《一萬）2+32=%2,

解得x=5.

■■.AD=5.

【變式1]（22-23八年級下?北京房山?期末）如圖，在因48CD中，對角線AC,BD交于點0,OA=OB.

D_____________C

（1）求證：四邊形ABCD是矩形；

（2）若4。=2,/.CAB=30°,作NDCB的平分線CE交48于點E,求4E的長.

【答案】（1）見解析

（2）273-2

【分析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的定義，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)定

理是解題的關(guān)鍵.（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到4C=24。，BD=2BO,根據(jù)矩形的判定定理即

可得到結(jié)論；（2）如圖，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到ADCB=N4BC=90。，BC=AD=2,根據(jù)角平分線

的定義得到NECB=三乙DCB=45。，根據(jù)勾股定理得到4B=^AC2-BC2=2百，根據(jù)直角三角形的

性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）證明：???四邊形4BCD是平行四邊形，

AC=2AO,BD=2BO.

???AO=BO,

：?AC=BD,

17

??.平行四邊形2BCD為矩形;

乙DCB=/.ABC=90°,BC=AD=2.

???CE為NCCB的平分線，

^ECB=-^DCB=45°.

2

???/.ABC=90°,/-CAB=30°,BC=2,

???4C=2BC=4,

???AB=y/AC2-BC2=V42-22=2V3,

???(CBE=90°,(ECB=45°,

BE=BC=2,

???AE=AB-BE=2^-2.

【變式2](2024?云南.模擬預(yù)測)在AABC中，。是8c邊的中點,E、P分別在AD及其延長線上,CEIIBF,

連接BE、CF.

(1)求證：ABDF^ACDE

(2)若。5=喬。，試判斷四邊形BFCE的形狀，無需說明理由.

【答案】(1)詳見解析

(2)四邊形BFCE是矩形

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形全等的判斷和性質(zhì)，平行四邊形和矩形的判定，解題

的關(guān)鍵是熟悉“平行四邊形和矩形的判定方法

(1)由已知條件易得NCED=NBF。，BD=CD,結(jié)合N8DF=NCDE即可證得：ABDF^△CDE；

18

(2)由4BDF三△CDE易得DE=DF,結(jié)合8D=CD可得四邊形BFCE是平行四邊形，結(jié)合DE=|fiC

可得EF=BC,由此即可證得平行四邊形BFCE是矩形.

【詳解】⑴解：；CE||BF,

:.乙CED=乙BFD,

?.?。是BC邊的中點，

：.BD=DC,

（乙BFD=MED

在△BDF和△CDE中｛/BDF=NCDE,

BD=DC

三△CDE(AAS).

(2)解：四邊形BFCE是矩形.理由如下：

V△BDF=△CDE,

：.DE=DF,

又,：BD=DC,

四邊形BFCE是平行四邊形，

'：DE=-BC,DE=-EF,

22

：.BC=EF,

：.平行四邊形BFCE是矩形.

【變式3](23-24九年級下?黑龍江哈爾濱.開學考試)如圖，在平行四邊形2BCD中，E為線段CD的

中點，連接AC、AE,延長4E、8C交于點R連接DF,^ACF=90°.

(1)求證：四邊形2CFD是矩形；

(2)在不添加輔助線的條件下，請直接寫出圖中四個三角形且其面積為矩形4CFD的面積的四分之一.

【答案】(1)見解析

(22ACE,LADE,^CFE心DFE

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).掌握相關(guān)知識

點，是解題的關(guān)鍵.

19

(1)證明△AED三AFEC,推出四邊形2CFD是平行四邊形，再根據(jù)N4CF=90。即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)，三角形的中線平分面積，作答即可.

【詳解】(1)解：???平行四邊形4BCD,

：.AD||BC,

：.^DAE=ACFE,

為線段GJ的中點，

：.EC=ED,

又乙AED=/.CEF,

△AEDFEC,

：.AD=CF,

又4DIICF,

...四邊形ZCFD是平行四邊形，

?：AACF=90°,

...平行四邊形4CFD為矩形；

(2)?..四邊形4CFC是矩形，

,e?SAACF—SA4DF=2^)&^ACFD'E為力尸的中點，

?1111

??S—CE=SMCE=5s△女尸=[S矩形/CFO，S^ADE=^AFDE=QS^ADF=^^^ACFD9

即：AACEAADE,△CFE,△。9E的面積為矩形4CF0的面積的四分之一.

考點4：菱形的性質(zhì)

典例4：(2024?河南鄭州?模擬預(yù)測)如圖，在菱形4BCD中，AADC=128°,P是對角線4C,BD的交

點，點E在CB的延長線上，且PE=P4則乙4PE=度.

【答案】52

【分析】

本題考查了菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點.根據(jù)菱形的性質(zhì)易得NBC。，AC是的角

平分線，且4P=PC,所以由等腰三角形的判定與性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)求解即可.

【詳解】

解：?.?四邊形4BCC是菱形，P是對角線AC,BD的交點，

20

???ADWBC,AP=CP,AC是NBGD的角平分線.

Z.ADC+乙BCD=180°.

又：AADC=128°,

乙BCD=52°.

???4ACB=^4BCD=26°.

2

又PE=PA,

??.PE=PC,

???乙PEC=乙PCE=26°.

???/,APE=乙PEC+乙PCE=52°.

故答案是：52.

【變式1］（23-24八年級下.北京?階段練習）如圖，菱形ABC。的對角線4C、80相交于點O,過點O

作川于點X,連接?！比鬉C=16,S萼形Z”Q=64,貝I］?！钡拈L為.

變形AgC〃-----

【答案】4

【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，利用菱形的面積求得BD的長

度，再根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求解即可.

【詳解】解：???菱形ABC。的面積為64,且對角線交于點O,

；.S菱形4BCD=64,。為80的中點，

：.BD=8

"：DHLAB

"BHD=90°,

又：0為BD的中點，

：.0H=-BD=4,

2

故答案為；4.

【變式2】（2024.山西晉城.二模）如圖，菱形/BCD的對角線AC,相交于點。，過點/作/E1CD于

點E,連接。E,若。B=4,OE=3,則菱形ABCD的面積為.

21

【答案】24

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，根據(jù)直角三角形斜邊上

的中線等于斜邊的一半可求4C,根據(jù)菱形面積=對角線積的一半即可.

【詳解】解：「aBC。是菱形，

：.A0=CO,BO=DO=4

■■■AE1BC,

A△ACE為直角三角形

OE=-AC=AO=C。=3.

2

「ACxBD6x80.

S菱形ABCD==—=24>

故答案為：24.

【變式3】（23-24九年級上.山東青島.階段練習）如圖，在菱形4BCD中，NB=60。，點、E,尸分別

從點3,。同時以同樣的速度沿邊BC,DC向點C運動.給出以下三個結(jié)論中，正確的是:（填

寫序號）

①4E=4F；②乙CEF=4CFE；③當點￡,尸分別為邊BC,DC的中點時，AAfiT是等邊三角形.

【答案】①②③

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)證明AABE三AADF,即可判斷①②；連接4C,先證明AABC是等邊三角

形，即乙B4C=60。，根據(jù)“三線合一”可得NBAE=30。.同理可得：^DAF=30°,即可得

^EAF=乙BAD-乙BAE-^DAF=60°.進而可得A4EF是等邊三角形.

【詳解】?.?在菱形4BCD中，NB=60。，

：.AB=BC=CD=AD,乙B=zJ）=60°,

：.^BAD=120°.

根據(jù)運動的特點有：BE=DF,

22

△ABE=△ADF.

；.AE=AF,故①正確；

;BE=DF,BC=CD,

：.CE=CF.

:.乙CEF=KCFE,故②正確.

連接AC,如圖，

■:乙B=60°,AB=BC,

ABC是等邊三角形，即NB4C=60。，

:點E為邊BC的中點，

為等邊△4BC的中線，

.ME平分NB4C.

J.Z.BAE=-/.BAC

2=30°.

同理可得：Z.DAF=30°,

：.^EAF=/.BAD-/.BAE-ADAF=60°.

\'AE=AF,

A2E尸是等邊三角形，故③正確，

故答案為：①②③.

【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)；由菱形的性質(zhì)

得線段相等是解題的關(guān)鍵.

【變式4］（2023?湖南永州?一模）如圖，菱形ABCD中，ZCBD=75°,分別以4、B為圓心，大于AB的

一半長為半徑畫弧，兩弧在4B的兩側(cè)分別交于點P、Q,作直線PQ交4B于點E,交4。于點F,連接BF,

求NDBF的度數(shù).

A

【答案】乙DBF=45°

23

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，以及垂直平分線的性質(zhì)，求出“BD,UBF,再利用角的和差定義即可

解決問題.

【詳解】解：???四邊形ZBCD是菱形，

乙CDB=/.ADB=AABD=/.CBD=75°,

AA=180°-75°-75°=30°,

由作圖可知，EF垂直平分線段4B,

???FA=FB,

：./.FBA=/.A=30°,

???4DBF=Z.ABD-AABF=45°.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等角對角對等邊，熟練掌握以上知識是解題的

關(guān)鍵.

【變式5］（23-24九年級上?四川成都?階段練習）如圖，BO是菱形4BCD的對角線，^CBD=75°.

（1）請用尺規(guī)作圖法，作4B的垂直平分線EF,垂足為E,交4D于F；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）

⑵在（1）條件下，連接BF,求ND8F的度數(shù).

【答案】（1）見解析

⑵乙DBF=45°

【分析】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈

活運用所學知識解決問題.

（1）分別以4、B為圓心，大于長為半徑畫弧，過兩弧的交點作直線即可；

（2）根據(jù)NDBF=4ABD-N4BF計算即可.

【詳解】（1）解：如圖所示，直線EF即為所求；

24

(2)解：???四邊形2BCD是菱形,

?-?/.ABD=/.DBC=^/-ABC=75°,AB[\CD,zX=Z.C.

???/.ABC=150°,4ABC+NC=180°,

???Z-C=Z-A=30°,

???EF垂直平分線段/B,

??.AF=FB,

???LA=^FBA=30°,

???乙DBF=4ABD-乙FBE=45°.

【變式6]（2023?山東聊城?模擬預(yù)測）在菱形ZBCD中，對角線AC,80交于點。，過點C作80的平行

線，交4B延長線于點E.

1

(1)求證：BC=-AE-,

(2)若乙48c=120。,?！?6,求菱形ABC。的面積.

【答案】(1)詳見解析

(2)1873

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得到乙4OB=90。,48=BC,通過等量代換即可證明；

(2)根據(jù)直角三角形特殊角的三角比求出AC=68，再證明四邊形BECD是平行四邊形，最后利用

菱形的面積公式求解即可.

【詳解】(1)???四邊形4BCD是菱形

/.AOB=90°,AB=BC

???乙CAB=Z.ACB

???BD||EC

???/.ACE=Z.AOB=90°

???乙ACB+乙BCE=90。，4CAB+NE=90°fACAB=^ACB

???乙BCE=Z-E

??.BC=BE

??.AB=BC=BE

25

1

??.BC=-AE

(2)???AABC=120°

1

???乙CAB=乙4cB=-(180°-乙48G=30°

???CE=6

二在中，AC=CE=6V3

tanzOlB

???四邊形/BCD是菱形

AB=DC,DC||AE

vAB=BE

??.DC=BE

.??四邊形BECC是平行四邊形

???BD=EC=6

二菱形ABCD的面積為：^BDXAC=18A/3

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)及面積的計算、平行四邊形的性質(zhì)及判定、解直角三角形等，解題的

關(guān)鍵在于熟記性質(zhì).

【變式7】(23-24九年級上.山東泰安?期末)在菱形4BCD中，點P是BC邊上一點，連接4P,點E,

P是4P上的兩點，連接DE,BF,使得N4E。=/ABC,乙ABF=4BPF.

求證：

⑴△ABFWADAE；

(2)DE=BF+EF.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得ADIIBC,4B=4?？赏瞥鯪DAE=NBPF即可求證；

(2)由△4BF三△DAE^AE=BF,DE=4F即可求證.

26

【詳解】(1)解：???4BCD是菱形，

：.AD\\BC,AB=AD

：.Z-DAE=乙BPF

ZABF=乙BPF

：.Z.DAE=/.ABF

*：Z-ADE=180°-/-DAE-乙AED,乙BAF=180°-乙BPF-/.ABC,Z.AED=Z.ABC,

：.Z-ADE=^BAF

.*.△ABF=△DAE

(2)證明：\9^ABF=^DAE,

：.AE=BF,DE=AF

\9AF=AE+EF=BF+EF

：.DE=BF+EF

考點5：