2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圖形的相似解答題》專項(xiàng)檢測(cè)卷(附答案)

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

1.如圖，在RtAABC中，乙4cB=90。，AB=275,AC=2,點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)(且點(diǎn)￡

不與點(diǎn)8、C重合)，連接4E.過點(diǎn)C作CD14E,交邊力B于點(diǎn)。，交線段4E于點(diǎn)足

A

(2)當(dāng)△C4FsAABC時(shí)，求4。的長(zhǎng)；

⑶連接DE,當(dāng)四邊形4CED為軸對(duì)稱圖形時(shí)，直接寫出BD的長(zhǎng).

2.在AAED和ABCE中，AD=DE,BC=CE/ADE=NBCE,點(diǎn)P在DE上，且PD=CE.連

接CD,P4PB,PB交CE于點(diǎn)Q.

(1)求證：△apg是等腰三角形;

(2)如圖1,若BC=8,CQ=5,求力。的值;

⑶如圖2,當(dāng)/,P,C三點(diǎn)共線時(shí)，求哭的值.

3.如圖，點(diǎn)。在A4BC的邊4C上，以CD為直徑的。。經(jīng)過點(diǎn)B,連接BD,S.^ABC+^BDC=

180°,DE||4B交。。于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連接CE.

(1)求證：CB平分ZDCE；

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⑵若tanNBCE=|,AD=2,求。。的半徑.

4.在菱形4BGD中，E是對(duì)角線4c上一點(diǎn)，連接BE,DE.

(1)如圖1,延長(zhǎng)BE交4D與點(diǎn)P,乙CBP=2乙ABP,求證：PE=PD；

(2)如圖2,N2BC=60。，點(diǎn)F在邊BC上，連接AF,AF與BE交于點(diǎn)H,AE=CF.

①求證：BF2=BE?FH；

②如圖3,作CG1DE,垂足為點(diǎn)G,連接CH,若乙CHB=90°,AH=1,求CG的值.

5.如圖，在AABC中,AB=2C,乙4=90。,點(diǎn)尸是邊上一點(diǎn)(點(diǎn)F不與端點(diǎn)重合)，。尸1BC,

垂足為點(diǎn)。，連接CF.

⑴如圖1,若BF=2AF,BD=V2,求CF的長(zhǎng)；

⑵如圖2,點(diǎn)E在BC邊上，CE=BD,連接4E,用等式表示線段CF與4E之間的數(shù)量關(guān)系，

并證明；

(3)如圖3,在(2)的條件下，2E與CF相交于點(diǎn)P,連接DP,點(diǎn)尸從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)4的過程

中，當(dāng)ADPF是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)會(huì)的值.

6.如圖，矩形。A8C的頂點(diǎn)4、C分別在工、y軸的正半軸上，點(diǎn)。為對(duì)角線OB的中點(diǎn)，反比

例函數(shù)y=：(k40)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D,與相交于點(diǎn)E,且點(diǎn)B(4,2).

⑴求反比例函數(shù)y=如勺關(guān)系式；

(2)求仆ODE的面積；

⑶若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點(diǎn)F,將矩形折疊，使點(diǎn)。與點(diǎn)尸重合，折痕分別

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與x、y軸正半軸交于點(diǎn)H、G,求直線GH的函數(shù)關(guān)系式.

7.綜合與實(shí)踐

問題情境：數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們以"直角三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題展開探究活動(dòng)，已知在內(nèi)△

4BC中，4ACB=90°,AC=3,BC=4.將△ABC繞點(diǎn)力旋轉(zhuǎn)一定角度得至[]△AED,延長(zhǎng)ED

交BC于點(diǎn)F.

深入思考：（2）如圖2,篤學(xué)小組發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)D正好落在斜邊4B上時(shí)，可以求出四邊形FCAD

的面積，你能解決這一問題嗎？

拓展延伸：（3）善思小組繼續(xù)探究，當(dāng)4E和4C在同一條直線上時(shí)，連接CD.請(qǐng)你在圖3中

畫出圖形，并直接寫出CD的長(zhǎng).

8.如圖，4B是。。的直徑，C,G是。。上的點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線CD1BG于點(diǎn)D,交B力的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)E,BC與OD交于點(diǎn)、F,^ABC=/.CBD.

⑴求證：CD是。。的切線；

⑵若黑=|,求NE的度數(shù)；

FD3

（3）連接4D,在（2）的條件下，若CD=回求4。的長(zhǎng).

9.已知：如圖1,在RtAABC中，。為斜邊4B的中點(diǎn)，在邊力C外存在一點(diǎn)￡使AE=CE,

連接DE,CD,BE,BE與AC交于點(diǎn)F,與CD交于點(diǎn)G,且BE平分4ABC.

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(1)求N4EB的度數(shù).

(2)若AC=BC,

①如圖2,當(dāng)。E=5時(shí)，求箸的值；

(JD

②如圖3,連接4G,并延長(zhǎng)4G交BC于點(diǎn)H,求證：AH=2EC.

10.【知識(shí)技能】

(1)如圖1,在矩形ABCD中，點(diǎn)￡,廠分別是邊4。，上的點(diǎn)，連接CE與DF交于點(diǎn)

若NFOC=90。，求證：ADAFs&CDE.

【遷移應(yīng)用】

(2)如圖2,在口28?！辏局?，AB=4,2。=7,點(diǎn)E,尸分別是邊AD,AB上的點(diǎn)，連接CE與

DF交于點(diǎn)。，且NC。。+N82D=180。，求生的值.

DF

【深入探究】

(3)如圖3,在四邊形力BCD中，點(diǎn)￡是邊4D上的一點(diǎn)，連接BD與CE交于點(diǎn)O,乙BOC=

［、.

Z-rBiA.nD=乙BT~tC/-?Dr\=Y1C2C0C,A—B=1—,B—C=4—,求C—EJL的Z^/值-￡*.

AD3CD3BD

11.(1)問題背景：如圖1,在正方形2BCD中，E、尸分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，Z.EAF=45°,

求證：BE+DF=EF.

(2)嘗試應(yīng)用：如圖2,在等腰直角三角形ABC中,￡、尸是斜邊4B上的兩個(gè)點(diǎn)，且NE4F=45°,

試探究BE、EF、CF之間的數(shù)量關(guān)系.

(3)拓展創(chuàng)新：如圖3.在矩形4BCD中，點(diǎn)￡、R尸分別在線段4。、BC、DC上，BP交EF于

點(diǎn)M,4EMP=45°,4B=4,BC=8,BF=ED=2.5,貝IjDP的長(zhǎng)度為.

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12.綜合與探究

問題情境：如圖1,將等邊△48C沿邊4C翻折得到AADC,點(diǎn)E,F是邊4C上的兩點(diǎn)，且4E=

CF,分另U連接DE,BE,DF,BF.

猜想證明：（1）判斷四邊形DEBF的形狀，并說明理由；

深入探究：（2）將圖1中的線段DE繞點(diǎn)E逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段EP,EP交直線4。于點(diǎn)M.如

圖2,當(dāng)點(diǎn)P落在線段B4的延長(zhǎng)線上時(shí)，猜想線段CE與4P的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

遷移探究：（3）如圖3,若AABC變?yōu)榈妊苯侨切?，ZB=90°,

AB=3V3,將小注呂。沿邊4C翻折得至IU2DC,點(diǎn)E為邊4C上一點(diǎn)，S.AE=AC,將線段DE

繞點(diǎn)E逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段EP.當(dāng)點(diǎn)P落在直線2B上時(shí),請(qǐng)直接寫出線段P力的長(zhǎng)度.

DC

DCDC0

W

ABPABAB

圖1圖2圖3

13.如圖1,。是正方形A8CD對(duì)角線上一點(diǎn)，以。為圓心，0c長(zhǎng)為半徑的O。與48相切于

點(diǎn)E,與4C相交于點(diǎn)F,與CD相交于點(diǎn)G.

二二,

（圖1）（圖2）

⑴求證：4。與。。相切；

（2）若正方形4BCD的邊長(zhǎng)為曰+1,求弦CG的長(zhǎng)；

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⑶如圖2,在（2）的條件下，若點(diǎn)M是半徑上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN10C交O。于點(diǎn)

N.當(dāng)CN=/時(shí)，求FM的長(zhǎng).

14.一部臺(tái)式切割機(jī)的截面圖如圖1所示.點(diǎn)尸為轉(zhuǎn)動(dòng)桿手把位置，/為轉(zhuǎn)動(dòng)桿與底座連接

處的轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)，4Q為底座，。為圓形切割片的圓心（點(diǎn)。在力P上）.已知切割機(jī)未工作時(shí)的

（1）切割機(jī)工作時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)桿4P繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)銳角a,此時(shí)。。與4Q'相切于點(diǎn)G（如

圖2）.若4Q'=7dm,求：

①NQSQ的大小；

②點(diǎn)Q'到轉(zhuǎn)動(dòng)桿4P的距離.

⑵現(xiàn)將一方形薄鐵片置于底座上進(jìn)行加工，切開一個(gè)2.4dm長(zhǎng)度的口子（切口大小應(yīng)符合實(shí)

際要求）.已知底座有凹槽，允許切割片穿過的最大深度為0.5dm,請(qǐng)判斷能否達(dá)到加工要

求，并說明理由.

15.在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們探究利用正方形紙折出特殊角及利用特殊點(diǎn)折出對(duì)稱圖形，并

進(jìn)一步探究幾何圖形中線段的長(zhǎng)度問題.如圖1,在正方形4BCD中，AB=2,動(dòng)點(diǎn)P在BC

（1）【初步感知】當(dāng)點(diǎn)E在2B的垂直平分線上時(shí)，求NR4B的度數(shù)；

⑵【探究應(yīng)用】如圖2,當(dāng)尸是BC的中點(diǎn)時(shí)，延長(zhǎng)4E交CD于點(diǎn)0,求CQ的長(zhǎng);

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⑶【拓展延伸】如圖3,延長(zhǎng)4E交BC邊于點(diǎn)尸，〃是4P的中點(diǎn)，連接FM.若FM=FB,

求靠的值.

rD

16.興趣小組在活動(dòng)時(shí)，王老師提出了這樣一個(gè)問題：

如圖1,在AABC中，48=6,AC=10,。是8c的中點(diǎn)，求BC邊上的中線20的取值范圍.

【閱讀理解】小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：

(1)如圖1,延長(zhǎng)2D到E點(diǎn)，使DE=4D,連接BE.根據(jù)可以判定△4DC三△EDB,

得出4C=BE.就能把線段AB、AC、2AD集中在AABE中.利用三角形三邊關(guān)系，可得出

中線4D的取值范圍是.

【方法感悟】當(dāng)條件中出現(xiàn)"中點(diǎn)"、"中線"等條件時(shí)，可以考慮把中線延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造全等

三角形，將分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中，稱為"中線加倍”法.

【問題解決】

(2)如圖2在△ABC中，4ABe=90°,AB=3,AD是△4BC的中線，CE1BC,CE=5,

且乙4DE=90°.求4E的長(zhǎng).

【問題拓展】

(3)如圖3在AaBC中，44=90°,。是BC邊的中點(diǎn)，ZFDF=90°,DE交4B于點(diǎn)E,。尸交

4C于點(diǎn)F,連接EF,求證：BE2+CF2=EF2.

E

17.在直角三角形紙片48c中，/.BAC=90°,AB=6,AC=8.

【數(shù)學(xué)活動(dòng)】將三角形紙片4BC進(jìn)行以下操作：

第一步：折疊三角形紙片ABC使點(diǎn)C與點(diǎn)/重合，然后展開鋪平，得到折痕。已

第二步：然后將△DEC繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到ADFC.點(diǎn)E,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)R

G,直線GF與直線2C交于點(diǎn)“(點(diǎn)”不與點(diǎn)/重合)，與直線4B交于點(diǎn)N.

【數(shù)學(xué)思考】如圖1,按照如上操作：

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(1)折痕DE的長(zhǎng)為.

(2)在△DEC繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過程中，試判斷力M與MG的數(shù)量關(guān)系；并證明你的結(jié)論.

【數(shù)學(xué)探究】(3)如圖2,當(dāng)直線GF經(jīng)過點(diǎn)8時(shí)，4M的長(zhǎng)為.

【問題延伸】(4)在△DEC繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)直線GFIIBC時(shí)，直接寫出4M的長(zhǎng).

18.如圖，拋物線y=a/+6x+3與x軸交于點(diǎn)4(—3,0)和點(diǎn)B(1,O),與y軸交于點(diǎn)C,P

是第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

⑴求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖1,設(shè)對(duì)稱軸交線段4C于點(diǎn)N,點(diǎn)0在對(duì)稱軸上，且在點(diǎn)N的下方，若以P,Q,N

為頂點(diǎn)的三角形與AAOC相似，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為二

(3)如圖2,連接BP,BP交AC于點(diǎn)E,當(dāng)=時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(4)如圖2,連接AP,若AP交y軸于點(diǎn)尸，々k=SxAPE_SxcEF，直接寫出左的最大值.

19.如圖，已知拋物線y=a/+法一3與x軸交于4、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，經(jīng)過4、B、

C三點(diǎn)的圓的圓心M(l,zn)恰好在此拋物線的對(duì)稱軸上，OM的半徑為遙，設(shè)OM與y軸交

于D,拋物線的頂點(diǎn)為E.

(1)求小的值及拋物線的解析式;

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(2)若尸在拋物線第四象限上，求使四邊形OBFC的面積最大時(shí)的點(diǎn)F的坐標(biāo)；

⑶探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使得以P、4、C為頂點(diǎn)的三角形與ABCE相似？若存在，請(qǐng)

指出點(diǎn)P的位置，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

20.在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形G以任意點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度。(0。<8<180°),

得到圖形G',再以。為位似中心將圖形G，放大或縮小得到圖形G",使圖形G〃與圖形G的對(duì)應(yīng)

線段的比為k,我們把這種圖形變換叫做【出k】變換，點(diǎn)。為變換中心.例如，把AABC繞

著點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得△ABC,再以4點(diǎn)為位似中心，將縮小為原來的也就記為

【90。，|］變換.

(1)如圖1,△ABC的邊長(zhǎng)4B為3cm,將它以點(diǎn)4為中心作【90。，|］變換，得到AaDE,連

接則線段BD的長(zhǎng)為一.

(2)如圖2,△力BC是。。的內(nèi)接正三角形，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)BD到點(diǎn)E,使

BD=DE,連接CD和DE.△CDE可以看作是△力經(jīng)過【仇k】變換得到的嗎？如果可以，

請(qǐng)求出0,k的值；如果不可以，請(qǐng)說明理由.

(3)如圖3,在Rt△力BC中，ABAC=90°,AB=3,AC=4,AD為BC邊上的高，將△ADC以

點(diǎn)力為中心經(jīng)過【。，k】變換得到△力CE,求CE的長(zhǎng)及AADE的面積.

(4)如圖4,在(3)的條件下，若尸為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)尸不與點(diǎn)B,。重合)，將AABF以

點(diǎn)力為中心經(jīng)過【8,k］變換得到^aCG.以4F,4G為邊作矩形4FMG,連接CM.則△CMG

面積的最大值為

參考答案

1.(1)解：在RtAABC中，^ACB=90°,AB=2瓜AC=2,

BC=7AB2-AC2=J(2與之-22=4.

(2)解：???4ACB=90°,

當(dāng)4CAFsAABC時(shí)，

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Z.CAF=Z-B.

vAE1CD,^ACB=90°,

???Z.CAF+匕ACF=90°,AACF+乙FCB=90°.

??.Z.CAF=Z-FCB=乙B,

回OC=DB,

^ACF=90°-乙FCB=90°一乙B=^BAC.

：.AD=CD=BD=-AB=V5.

2

(3)解：當(dāng)四邊形4CED為軸對(duì)稱圖形時(shí)，

情況一：如答圖1,以4E為對(duì)稱軸時(shí)，則4。=4C=2,

A

口因1BD=AB-AD=245-2.

情況二：如答圖2,以CD為對(duì)稱軸時(shí)，則41CD=NBCD,

A

答圖2

回點(diǎn)。至Ue、BC的距離相等.

設(shè)點(diǎn)。至Me、BC的距離為〃，點(diǎn)C到4B的距離為加,

.S&ACD=*八=:Dm

“SABCD~牙h—

???AC=2,BC=4,AB=2逐，

，些="=2=工即8。=二48=3店.

BCBD421+23

綜上，BD的長(zhǎng)為2b-2或［逐.

2.(1)證明：SAD=DE,BC=CE,

^\Z-DAE=乙DEA,乙CEB=乙CBE,

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-11

^DAE=乙DEA=:(180°-^ADE),乙CEB=乙CBE=1(180°-乙BCE),

又團(tuán)乙4DE=Z-BCE,

團(tuán)乙。AE=/.DEA=乙CEB=乙CBE,

^AD||CE,DE||BC,

^1Z.ADE—乙DEC=Z-BCQ,

又團(tuán)PO=CE,

團(tuán)△ADP三△DEC(SAS),

回/M=CD,

又回PO=CE=BC,PD||BC,

團(tuán)四邊形BCDP是平行四邊形，

^PB=CD,

團(tuán)PA=PB

ZPB是等腰三角形；

(2)解：由(1)可知，四邊形BCDP是平行四邊形，△ADP三△DEC,

⑦乙CBQ=乙CDP,(CDP=/-PAD,PD=BC,

團(tuán)乙C8Q=NP4D,

又團(tuán)4ADE=乙BCQ,

^APD八BQC,

?A?D_—PD，

BCQC

tAD_BC

「BC—QCf

又回BC=8,CQ=5,

AD_8

??8—5

解得力D=~

(3)解：BAD||CE,

.?.AAPDCPE,

AD_PD

,,CE-PE，

又回P。=CE,

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tAD_CE

CEPE,

設(shè)/￡)=DE=a,BC=CE=x,

則,

xa-x

?,?%2+ax—a2=0

(-f+--l=O

\a/a

解得工=與1或工=*Z1(不符合題意，舍去)，

a2a2

V5-1

.?.x=-----a,

2

Vs—i.—

PD_BC_x_~^~a_V5+1

PEPEa-x=a與a=F，

3.(1)證明：???AABC+^A+/LACB=180°,AABC+ABDC=180°,ABDC=zX+^ABD,

???Z-ACB=4ABD,

WE||AB,

^Z.BDE=乙ABD,

^Z-BDE=Z-BCE,

^\Z-BCE=Z-ACB,

團(tuán)CB平分乙DCE；

(2)解：由(1)可得N8CE=N4CB,

1

團(tuán)tanZ_BCE=

2

i

團(tuán)tanZ_ACB=

2

團(tuán)CD是。。的直徑，

國(guó)乙CBD=90°,

pn-1

回tan乙4cB=-=-

BC29

團(tuán)=4人，Z,ACB=Z.ABD,

團(tuán)s^ABD,

^ABACBCr

團(tuán)——=2,

ADABBD

團(tuán)48=2AD=4,AC=2AB=8,

^\CD=AC-AD=6,

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團(tuán)。。的直徑為6,

團(tuán)O。的半徑為3.

4.(1)證明：回四邊形A8C0為菱形，

團(tuán)AB=BC=CD=AD,Z.BAE=ADAE,AD||BC,

在與△ADE中，

AB=AD

乙BAE=Z.DAE,

.AE=AE

[?]△ABE三△ADE(SAS),

^Z-ABE=Z-ADE,

^CBP=2(ABP

團(tuán)可設(shè)NABP=/ADE=a,貝！JNC8P=2Q,

團(tuán)4。IIBC,

團(tuán)4cBp=乙APB=2a,

又回乙力尸8=乙ADE+乙PED.

團(tuán)Z_PED=乙APB—Z.ADE=2a—a=a

國(guó)匕ADE=乙PED—a,

回PE=PD；

(2)解：①團(tuán)四邊形4BCD是菱形，

團(tuán)48=BC,

團(tuán)4ABe=60°,

ZBC是等邊三角形，

^AB=AC,乙BAC=乙ACB=60°,

又朋E=CF,

[?]△BAE三△ACF(SAS),

^BE=AF,Z.ABE=Z.CAF,

國(guó)乙ABE+乙AEB=180°-60°=120°,

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^CAF+Z.AEB=120°=乙AHB,

^AHE=60°=乙BHF=/.ABF,

又田4BFH=Z.AFB,

[?]△BFH^AFB.

^BFFH

團(tuán)-----,

AFBF

0BF2=AF?FH

OBE=AF,

0BF2=BE?FH；

②將BH繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。交4F的延長(zhǎng)線于M,連接

AD

回四邊形4BCD是菱形，

^\AB=BC,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得=60°,

又團(tuán)4BHM=60°,

是等邊三角形，

團(tuán)BH=BM,

又團(tuán)4=乙CBM=60°-乙CBH,

蹌ABHm^CBM(SAS),

回=CM,乙AHB=乙BMC=120°

⑦乙CHB=90°,

團(tuán)4cHM=30。，

0ZHMC=乙BMC-乙BMH=60°,

團(tuán)乙HCM=90°,

WM=2CM=2

在中，由勾股定理得：CH=VMH2-CM2=V3.

回BC=CD,/.BCE=乙DCE,CE=CE,

第14頁共50頁

回△BCE三△DCE(SAS),

^\Z-BEC=乙DEC,

團(tuán)BEIC",CGIDE,

團(tuán)CG=CH=V3.

5.(1)解：^AB=AC,<4=90。，

^ABC=Z-ACB=45°,

團(tuán)。F1BC,

^BFD=ZB=45°,

回=DF=V2,

團(tuán)BF=7BD2+DF2=J(魚)+(V2)=2,

團(tuán)BF=2AF=2,

團(tuán)4F=1,

團(tuán)48=AC=BF+AF=2+1=3,

22

團(tuán)CF=NAF2+24c2=Vl+3=VlO；

(2)解：CF=41AE,證明如下，

如圖所示，過點(diǎn)/作AG1BC于點(diǎn)G,

^ABC=AACB=45°,

團(tuán)4G1BC,

團(tuán)BG=CG,

團(tuán)4G=BG=CG,

團(tuán)CE=BD,

回BG-BD=CG-CE,即。G=EG,

設(shè)CE=BD=a,DG=EG=b,則BD=DF=a,AG=BG=CG=a+b,

0XB=AC=y/BG2+AG2=V2(a+b),BF=<BD2+DF2=缶，AE=<GE2+AG2=

+(a+b)2,

第15頁共50頁

0XF=AB—BF=V2b,

0CF=y/AF2+AC2=J(V2/?)2+[V2(a+b)]2=V2X7b2+(a+/?)2,

EICF=正AE；

(3)解：EL4B=AC,乙4=90°,

0Z4BC=乙4cB=45°,

如圖所示，過點(diǎn)4作AG1BC于點(diǎn)G,

由(2)可得：CF^V2AE,AF=42GE,△ACG為等腰直角三角形，DG=EG,

EL4c=?AG,ZXCG=/.CAG=45°,

團(tuán)△AGECAF,

^\Z-GAE=Z-ACF,

^APF=AACF+/.PAC=Z.CAE+^PAC=45°,

團(tuán)乙CPE=Z.APF=45°,

由題意可得，當(dāng)△DPF是直角三角形時(shí)，乙DPF=90。,

團(tuán)乙CPD=180°-乙DPF=90°,

0ZCPE=乙DPE=45°,

設(shè)CE=BD=a,DG=EG=b,則DE=2b,BC=2a+2fe,BE=a+2b,

團(tuán)乙。PE=乙ABE=45°,乙DEP=乙AEB,

DPE~匕ABE,

^-BEAEoa+2bAE

(3—=—,即n---=——，

PEDEPE2b

^AE?PE=(a+2b)x2b①,

^Z-GAE=Z-ACF,

團(tuán)4G4G-乙GAE=Z.ACG-/-ACF,即NEGP=Z.CAE,

^Z-CEP=乙AEC,

CEPAEC,

第16頁共50頁

「PECE口門PEa

回一=—，BP—=—

CEAEaAE

國(guó)4E?PE=?、?，

由①②可得：（a+2b）x2b=a2,

回a=（逐+l）b或a=（-遮+1）5（不符合題意，舍去），

回絲=_jb_=工=_b_=，=而_2

BC2a+2ba+b（存+1）8+匕V5+2

6.（1）解：???矩形04BC的頂點(diǎn)B（4,2）,點(diǎn)。為對(duì)角線OB的中點(diǎn),

D(2,l),

把。（2,1）代入反比例函數(shù)y=：（k豐0）得：k=2,

???反比例函數(shù)解析式為y=|；

（2）解：連接。E,點(diǎn)E在4B上,

4時(shí)，求得y一1,

2

?"（每），*，BE=2—；|,

?1-S&ODE=SUOB-SMOE-S^BDE=-X4X2--X4X---X-X2=-；

(3)解:連接GF、FH,設(shè)3(a,2),

???反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊8c交于點(diǎn)F,

解得a=1,

???CF=1,

???點(diǎn)尸(1,2),

設(shè)G(0,t),

OG—t,CG=2—t,

根據(jù)折疊的性質(zhì)得GF=OG=t,

在RtZkOGF中，CG2+CF2=GF2,

第17頁共50頁

即(2—t)2+M=產(chǎn),

解得：v，

4

??.G①)，

過點(diǎn)H作HM18C,垂足為點(diǎn)M,

姝

由折疊可知乙"FG=(HOG=90°,

???乙CFG+4MFH=90°,乙CFG+乙CGF=90°,

??.Z.CGF=乙MFH,

GFCFHM,

.CG_CF

??MF一HM'

設(shè)0),

??.OH=m,MF=m—1,

3

?1=1

??m-12，

解得：m=I，

.??嗚0),

設(shè)直線GH的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,

代入G(0,￡)和“(|,0)得：

(5

-=b7

4

"59

-k+b=0

(2

(k=--

解得h5之，

(b=4

???直線GH的函數(shù)關(guān)系式為y=—,+：.

7.解：(1)由旋轉(zhuǎn)得，ZC=ZADE=90°,XC=AD.

第18頁共50頁

?

??AD\\CBf

???zf+￡.CAD=180°,

???Z.CAD=90°,

團(tuán)四邊形FC/D是矩形.

又AC=ZD,

團(tuán)矩形FCZD是正方形.

(2)在RtZk/BC中，^ACB=90°,AC=3fBC=4,

3

48=AM/+BC2=,32+42=5,tanB=^

4

由旋轉(zhuǎn)得，乙C=/L.ADE=90。,AC==3,

^DB=AB-AD=5-3=2f

在Rt△BFD中,乙BDF=90°,DB=2,tanB=器3

4

333

DF=DBx-=2x-=-

442

13c3

SXDBF=|DFxDB=—x—x2=一,

222

?，S&ABC~-ACxBC=-\3x4=6,

22

39

S四邊形FC40=^^ABC~S^BDF=^~2=2

(3)如圖，情況一：如圖，點(diǎn)/在CE中間時(shí),

過點(diǎn)。作OH1/E,

「.LADDH

[UsinzE=—=——

AEDE

3X412

55

EH

0coszE=——

AEDE

DF216

^\EH=—

AE5

團(tuán)C”=/C+AE-EH=3+5-蔡24

5

第19頁共50頁

MD="H2+DH2=M+㈢匕等

情況二：如圖，點(diǎn)C在4E中間時(shí)，

同理CH=EH-(AE-AC)=￡—(5-3)=/

回CD="“2+D"2=J(/+(^2=W-

綜上，?！?gt;=￡花或(?￡)=￡痛.

8.(1)證明：如圖所示，連接0C,

^OCB=乙OBC,

^ABC=乙CBD

^OCB=乙CBD,

回。。||BG,

配7)1BG,

團(tuán)。C1CD,

回。C是O。的半徑，

團(tuán)CD是。。的切線；

(2)解：團(tuán)。C||BG,

[HAOCFs'DBF,△EOCEBD,

第20頁共50頁

「OC

團(tuán)--=-O-F=—2

BDDF3

「OC

團(tuán)--=-O-E=—2

BDBE3

團(tuán)。E=20B,

團(tuán)48=20B,

團(tuán)。E=AB,

WC=-AB=-OE,

22

團(tuán)NOCE=90°,

L團(tuán)s?mEL=—OC=-1

OE2

團(tuán)4E=30°；

(3)解：如圖2,過/作于H

D

^Z.EBD=60°,

1

回“BD=*“D=3。。,

團(tuán)CD=遮,

CD

回吁嬴k3,

WE=—=3V3,BE=—=6,

tanEsmE

團(tuán)。E=OA+ZE=ZB=。2+OB,

團(tuán)4E=OA=OB,

^E=\BE=2,

^\AH=AE-sinE=1,EH=AE?cosE=V3,

WH=DE-EH=2V3,

第21頁共50頁

在RtA中，由勾股定理得4。=y/AH2+DH2=Jl2+(2禽J=g.

9.(1)解EED為RtAABC斜邊48的中點(diǎn)，

回乙4cB=90°,AD=CD=BD,

又ME=CE,

回DE是AC的垂直平分線，

0DF1AC,

SBCWDE,

SABED=乙CBE

回BE平分/ABC,

⑦乙DBE=Z-CBE,

^BED=乙DBE,

團(tuán)EQ=BD,

團(tuán)4。=BD=ED,

^\Z-AED=Z-DAE.

^AED+ADAE+乙BED+乙DBE=180°,

W.2LAED+2^BED=180°,

^AED+(BED=90°,

團(tuán)乙4EB=90°.

(2)①解回由(1)及題意可知，AD=BD=ED=CD=5,BC\\DEf

[?]△EGDBGC,

「EOGD

回-----，

BCGC

團(tuán)4c=BC,AD—BD,

團(tuán)乙BDC=90°,

SBC2=BD2+CD2=50

SBC=5'\/2

設(shè)GD=x,貝!|CG=CD-GD=5-x,

解得久=5(四一1),

0GO=5(V2-1),CG=10-5V2,

第22頁共50頁

^ACB=乙BDC=90°,

^CBF+乙CFB=90°,乙DBG+乙BGD=90°,

又上CBF=乙DBG,

^\Z.BFC=(BGD,

又回匕CGF=乙BGD,

^\Z-CFB=Z-CGF,

回CF=CG=10-5V2,

0CF=1O-5V2=

GD5^2-5

②證明國(guó)如圖，延長(zhǎng)4E,BC,交于點(diǎn)P.

團(tuán)4E=EC,

^\Z-EAC=Z-ECA.

團(tuán)乙4EB=^LACB=90°,

^EAC+^AFE=90°,乙CBE+乙BFC=9。。,

又團(tuán)乙AFE=乙BFC,

^Z-EAC=Z-CBE,

^\Z-ACE=Z.CBE,

團(tuán)4c=BC,AD=BD,

回CD垂直平分48,

團(tuán)4G=BG,

又AC=BC,CG=CG,

回△ZCG三△BCG(SSS),

^\Z-CAG=Z-CBE,

^\Z-CAG=Z-ECA,

第23頁共50頁

團(tuán)ECIIZG,

「PCPE

團(tuán)--=--，

CHAE

^CAG=/-EAC,AC=AC,Z-ACH=AACP=90°,

團(tuán)ZkACP=^ACH,

回PC=CH,

0—=1,即PE=AE,

AE

1

團(tuán)EC=-AH,

2

比4”=2EC.

10.解：(1)證明：團(tuán)四邊形ZBCD是矩形，

團(tuán)4人=Z.CDE=90°,

^AFD+AADF=90°,

團(tuán)4FOC=Z.EOD=90°,

^ADF+Z.CED=90°,

團(tuán)乙CED=/LAFD,

HADAFCDE,

(2)^COD+乙BAD=180°,乙COD+乙DOE=180°,

團(tuán)WOE=/-DAF,

回々ODE=/LADF,

[?]△ODE^△ADF,

「DFDE

回--=--,

DAOD

回四邊形/BCD是平行四邊形，

^\CD\\AB,AB=CD,

團(tuán)+Z.ADC=180°,

又回NFOC+Z.COD=180°,

^ADC=乙COD,

^DCE=Z.OCD,

團(tuán)△DCEs△OCD,

第24頁共50頁

「DFCE

團(tuán)--=---

DACD

「DFCECEAB

0—二—,即nn——=——,

DAABDFAD

團(tuán)48=4,AD=7,

回啜的值為

Dr7

(3)如圖所示，過點(diǎn)C作CN||力D,交AB延長(zhǎng)線于N,過點(diǎn)。作DMI力B,交NC延長(zhǎng)線于

則四邊形。4NM是平行四邊形，

4E

NpcM

0ZM=Z.A=120°,DM=AN,MN=AD,

同()可得吧=絲，

2CEDM

我J,

AD3

團(tuán)設(shè)AB=a,AD=3a,

在MN上取一點(diǎn)尸使得NB=NP,連接BP,

回/。||MN,AA=120°,

團(tuán)NN=60°,

SANBP是等邊三角形，

團(tuán)BP=NB=NP,乙BPN=60°,

^BPC=120°=乙M,

^BCD=120°,

^PCB+乙PBC=60°=乙PCB+乙MCD,

^Z.PBC=AMCD,

PBCMCD,

CM_DM_CD_3

-PC~BC~

設(shè)。M=3%,則PC=4%,BP=PN=BN=AN—AB=3x—a,

393

^M=-PB=-x?-a,

EIMN=PN+PC+CM=AD=3a,

第25頁共50頁

93

回3%—a+4%H—x—a=3a,

44

解得：x=

57

?DM=3%=—a,

37

57

回「_C_E=D_M_=行37a_1_9_

'BDAD3a-37,

11.解：(1)證明：延長(zhǎng)CB至G,使BG=D尸,

回四邊形/BCD是正方形，

團(tuán).NADG=ZD=90°,AB=AD,

0AABG=△XDF(SAS)

團(tuán)/BAG=Z.DAF

團(tuán)4FAG=Z.BAG+4ABE+Z-EAF=Z-DAF+/-BAE+Z.EAF=90°,

團(tuán)4E4G=/-BAG+L.BAE=Z-DAF+乙ABE=4BAD一Z.EAF=45°=Z,EAF,

團(tuán)4E=AE,

0AAEG三△AEF(SAS),

0EF=EG=BE+BG=BE+DF；

(2)如圖，△ABE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，連接。尸，

A

0AABC是等腰直角三角形，

^ABC=乙ACB=45°,AB=AC,

0AABE=AT4CD,

團(tuán)BE=CD/ACD="=45。，

團(tuán)乙4CD+乙ACB=ZB+乙ACB=90°,,

第26頁共50頁

0DF2=CD2+CF2=BE2+CF2,

HAABE三4ACD,

SAD=AE,/.BAE=Z.CAD,

0ZEXF=45°,

SABAE+Z.CAF=45°,

^/.CAD+/.CAF=45°=/.EAF,

又力F=4F,

回△力EF三△ADF(SAS),

0DF=EF,

回"2=BE2+CF2

(3)延長(zhǎng)EF,延長(zhǎng)48交于點(diǎn)N,過點(diǎn)E作EHLBC于H,交BP于點(diǎn)G,過點(diǎn)2作8QLFN

于點(diǎn)。，如圖，

N

0DF=BF=-2,AD=BC=8,

0XE=CF=8--2=—2,

團(tuán)EH1BC,5=/-ABC=90°,

團(tuán)四邊形是矩形，

ii

團(tuán)EH=AB=4tBH=AE=y,

0FH=---=3,

22

團(tuán)EF=VEH2+FH2=V42+32=5,

團(tuán)4DIIBCt

[?]△BFNAEN,

「BNBFFN

回--=--=--f

ANAEEN

第27頁共50頁

5

「BN5NF

回----=五=-----,

BN+4—2NF+5

回BN=U,NF=―,

36

in222555

^AN=ABBN=4+—=—,NE7VF+EF=—+5=—

3366

團(tuán)4N=(N,(BQN=AA=90°,

皿NBQNEA

迎_BQ_NQ

HR-=—=—,

ENAEAN

io

牙_BQ_NQ

團(tuán)亙——石，

~62-3

o

⑦BQ=2,NQ/

^EMP=乙BMQ=45°,BQ1NE,

團(tuán)“=乙BMQ=45°,

團(tuán)MQ=BQ=2,

團(tuán)ME=EN-NQ-MQ=^--^-227

6

①48||EH,

SABNMGEM,

「BNNM

回一=—,

EGEM

與5+2

團(tuán)-E-G=2—7，

6

45

團(tuán)EG=—,

14

4511

團(tuán)G”=EH-EG=4--=—,

1414

回EH||CD,

團(tuán)△BG”fBPC,

4

團(tuán)PC=

7

424

團(tuán)。P=DC-PC=4--=—

77f

第28頁共50頁

故答案為：y.

12.解:(1)四邊形DEBF是菱形，理由如下：

方法一：連接BD交4C于點(diǎn)0,

?.?等邊△4BC翻折得至以/WC,AB=BC,AB=AD,BC=CD,

AB=AD=CD=BC,.?.四邊形4BCD為菱形，

0A=0C,OB=0D,AC1BD,

AB

又AE=CF,

：.0A-AE=0C-CF,即。E=0F,

又???OB=0D,

.?.四邊形DEBF為平行四邊形，

又???BDLAC,

???四邊形DEBF為菱形；

方法二：

?.?等邊△力BC翻折得到4ADC,

：.AB=BC,AB=AD,BC=CD,NB4C=ZDXC=ZBCX=/.DCA=60°,

又???AE=AE,

BAE=△DAE(SAS),BE=DE,

同理，BF=DF,

???BA=BC,/.BAG=乙BCA,AE=CF,

BAE=△BCF,

BE=BF,

??.BE=DE=DF=BF,

???四邊形DEBF為菱形.

(2)方法一：

證明：過點(diǎn)E作引V||交于點(diǎn)N,

第29頁共50頁

???△ZBC為等邊三角形,

???AD=AC,

??.Z1=乙ACB=￡.ABC=60°,

???EN||BC,

Z2=乙ACB=60°,Z3=乙ABC=60°,

.??△4VE為等邊三角形，

/.AE=EN=AN,

???四邊形DEB尸為菱形，

.?.DE=BE,

又???PE=DE,PE=BE,Z-P=乙EBA,

又???Z1=Z3,EA=EN,

??.△PEN=△BEA,

；,PN=AB,:.PN=AC,

??.PN-AN=AC-AE,

即力尸=CE；

方法二：

證明：連接DP,

???等邊△48c翻折得至ADC,

：./.DAC=4BAC=Z.BCA=60°,AB=BC,AB=AD,BC=CD,

：.AD=DC,AD||BC,

Z1=180°一^DAC-ABAC=60°,

???四邊形DEBF為菱形,

第30頁共50頁

DE=BE,

XvAD=AB,AE=AE,

??.△DAE=△BAE,

???z.2=z3,

PE=DE,DE—BE,

??.PE=BE,

???z.2=z_4,

???z.3=z_4,

又???z5=z6,

??.180°-z3-z5=180°-z4-z6,即47=zl=60°,

又DE=EP,.'.ADEP為等邊三角形,

???4EDP=60°,

???/.EDP-Z3=/.ADC-Z3,BPZPDX=ZEDC,

又???AD=DC,/.I=^DCA,

PDA=△EDC,

AP=CE.

(3)解：當(dāng)P與B重合時(shí)PA=AB=3V3,

當(dāng)P在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，易證△EMOAMP,

???/.MAP=乙DEM=90°,

由為等腰直角三角形，可得黑=/，

DE

易證△力。。為等腰直角三角形，.?塔=&,

?.廿?—一絲―_乙/,

DEDO

又APDE=^ADO=45°,

???APDA八EDO,

第31頁共50頁

AP=V2OE=V2Xy=V3.

13.(1)證明：連結(jié)0E,過。作。Hl4。，垂足為H,

???。。與4B相切于點(diǎn)E,

???OE1AE,

???正方形/BCD,

???^EAD=(B=90°,AB=BC,

???^BAC=45°,

???/,EOA=45°,

AE—EOf

???四邊形ZEOH為正方形，

??.OH=OE=r,

.??與O。相切；

(2)解：延長(zhǎng)E。交CD于點(diǎn)K,

???正方形ABC。,

???AB||CD,

??.Z.OKD=180°-^AEO=180°-90°=90°,

???OK1CG,

??.LOCK=/.EAO=45°,

OK=-CG,

2

???在RtACK。中，OK4。。,

令E。=OC=r,

第32頁共50頁

.V2..V2

???Vd-V=14-----，

22

/.r=1,

???CG=20K=V2；

(3)解：連結(jié)尸N