2025廣東中考數(shù)學(xué)專題突破

幾何最值問題

廣東中考數(shù)學(xué)中《幾何最值》部分主要考向分為四類:

將軍飲馬（每年選考1?2題，3?6分）

-：費(fèi)馬點(diǎn)（每年選考1?2題，3?6分）

三：胡不歸模型（每年選考1?2題，3?6分）

四；"阿氏圓"模型（每年選考1?2題，3?6分）

五：隱形圓（每年選考1?2題，3?6分）

題型一：將軍飲馬

鼠

題型二：費(fèi)馬點(diǎn)

回

蛔題型三：胡不歸模型

幅

題型四；“阿氏圓”模型

題型五：隱形圓

考向一：將軍飲馬

模型一：兩定一動(dòng)模型

模型作法結(jié)論

_z,

■,/

X

PA+PB的最小值為AB

BB

當(dāng)兩定點(diǎn)八、B在直線/異側(cè)時(shí)，在直線連接八B交直線/于點(diǎn)P,點(diǎn)P

/上找一點(diǎn)P,使%+PB最小.即為所求作的點(diǎn).

—1—

BB

,A

J\Z/p11,

1;//

1/

1zPA+PB的最小值為AB'

當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線/同側(cè)時(shí)，在直線B'

/上找一點(diǎn)P,使得力+PB最小.作點(diǎn)B關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)B',

連接AB，交直線/于點(diǎn)P,點(diǎn)P

即為所求作的點(diǎn).

.A尸4-尸目的最大值為

B

一一一,

*1P1

當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線/同側(cè)時(shí)，在直線

連接AB并延長(zhǎng)交直線/于點(diǎn)P,

/上找一點(diǎn)P,使得|PA-尸卻最大.

點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn).

.A

1

P:

川-尸目的最大值為AB1

BB

當(dāng)兩定點(diǎn)八、B在直線/異側(cè)時(shí)，在直線作點(diǎn)B關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)

連接并延長(zhǎng)交直線/于點(diǎn)P,

/上找一點(diǎn)P,使得用最大.點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn).

.A

B?

尸A-尸身的最小值為0

1

當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線/同側(cè)時(shí)，在直線連接AB,作AB的垂直平分線

/上找一點(diǎn)P,使得-PB\最小.交直線/于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求

作的點(diǎn).

模型二：一定兩動(dòng)模型

模型作法結(jié)論

-2-

/?A

0O\J

\、）EPCD周長(zhǎng)的最小值為P'P"

0BP"

分別作點(diǎn)P關(guān)于。4OB的對(duì)稱

點(diǎn)P在蜘。B內(nèi)部，在OB邊上找點(diǎn)D,點(diǎn)P'、P",連接P'P",交OA.

OA邊上找點(diǎn)C,使得回PCD周長(zhǎng)最小.OB于點(diǎn)C、。，點(diǎn)C、D即為所

求.

1

/X、1-B

PD+CD的最小值為P'C

、7

0Bp'

點(diǎn)P在蜘。B內(nèi)部，在OB邊上找點(diǎn)D,作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)產(chǎn)，過

OA邊上找點(diǎn)C,使得PD+CD最小.。作P'CSOA交。B于。，點(diǎn)C、

點(diǎn)。即為所求.

1.如圖，RtABC中，ZC=90°,AC=4,3C=3,點(diǎn)尸為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作P。，AB于點(diǎn)。，則依+正。

20

C.5D.T

2.如圖，"的半徑為2,圓心M的坐標(biāo)為（3,4）,點(diǎn)尸是M上的任意一點(diǎn)，PA±PB,且以、依與了軸分

別交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)5關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則A3的最小值（）

-3-

3.如圖所示，在一MC中，ZABC=68°,平分/ABC,P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，。為邊A3上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AP+P。

的值最小時(shí)，NAP3的度數(shù)是（）

A.118°B.125°C.136°D.124°

4.如圖1,正方形A3CD中，點(diǎn)E是3c的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AP=x,PB+PE=y,當(dāng)點(diǎn)

P從A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，y與X的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，其中點(diǎn)以是函數(shù)圖象的最低點(diǎn)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）

A.（4后,3君）B.（20,3石）C.（36,2&）D.（3宕,4夜）

5.如圖，凸四邊形ABCD中，NA=90o,/C=90o,NO=6（）o,AO=3,AB=5^,若點(diǎn)M、N分別為邊CD,A。上的動(dòng)

點(diǎn)，則BMN的周長(zhǎng)最小值為（）

考向二：費(fèi)馬點(diǎn)

“費(fèi)馬點(diǎn)”指的是位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距高之和最短的點(diǎn)。主要分為兩種情況：

（1）當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角都小于120。的三角形，通常將某三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60度，從而將"不等三爪圖"中三條線

段轉(zhuǎn)化在同一條直線上，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問題。

-4-

（2）當(dāng)三角形有一個(gè)內(nèi)角大于120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)就是此內(nèi)角的頂點(diǎn).

費(fèi)馬點(diǎn)問題解題的核心技巧：

旋轉(zhuǎn)60。三構(gòu)造等邊三角形今將"不等三爪圖"中三條線段轉(zhuǎn)化至同一直線上）利用兩點(diǎn)之間線段最短求解問

題

模型展示：如圖，在回ABC內(nèi)部找到一點(diǎn)P,使得PA+PB+PC的值最小.

當(dāng)點(diǎn)P滿足EIAPB=EIBPC=EICPA=120。，則PA+PB+PC的值最小，P點(diǎn)稱為三角形的費(fèi)馬點(diǎn).

特別地，回ABC中，最大的角要小于120。，若最大的角大于或等于120。，此時(shí)費(fèi)馬點(diǎn)就是最大角的頂點(diǎn)A

（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120°）

費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)：

1.費(fèi)馬點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小。

2.費(fèi)馬點(diǎn)連接三頂點(diǎn)所成的三夾角皆為120。。

最值解法：以回ABC任意一邊為邊向外作等邊三角形，這條邊所對(duì)兩頂點(diǎn)的距離即為最小值。證明過程：

將回APC邊以A為頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到AQE,連接PQ,貝靦APQ為等邊三角形，PA=PQ。

即PA+PB+PC=PQ+PB+PC,當(dāng)B、P、Q、E四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值BE

6.如圖，在.ABC中，ZG4B=90°,AB=AC=1,尸是—46C內(nèi)一點(diǎn)，求R4+P3+PC的最小值為

7.如圖，在R/HABC中，SBAC=90。，A2=AC,點(diǎn)尸是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，作尸。aBC于點(diǎn)。，線段上存在一點(diǎn)

—5—

當(dāng)QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時(shí)，貝UPD=

8.如圖，已知矩形ABC。，AB=4,BC=6,點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA+MD+ME的

最小值為.

9.如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=6,且財(cái)BC=60°,M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM,BM,CM,則AM+8M+CM

的最小值為

10.如圖，蜘BC中，E1BAC=30。且AB^AC,P是底邊上的高AH上一點(diǎn).若AP+BP+CP的最小值為2a,貝!|BC=

考向三：胡不歸模型

模型展示：

如圖，一動(dòng)點(diǎn)P在直線外的運(yùn)動(dòng)速度為1/1,在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為M2,且以＜1/2,A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在

直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使任+些的值最小.

%乂

-6-

B

MN

ACBC_1I,K

匕hXIK

即求BC+kAC的最小值.

構(gòu)造射線A。使得sinEia4A/=k,CH/AC=k,CH=kAC.

將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點(diǎn)作BHSAD交MN于點(diǎn)C,交AD于"點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC

最小.

最值解法:在求形如"%+kPB"的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段,將"%+kPB"型問題轉(zhuǎn)化為"%+PC"

型.

11.如圖，在4Ase中，ZBAC=90°,ZB=60°,=4,若。是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則2AD+DC的最小值是（）

A.6B.8C.10D.12

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-/+fcr+3的圖像與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與無軸交于點(diǎn)C（3,0）,若

P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為連接P￡?,則四PD+PC的最小值是（）

—7—

i—32/r-

A.4B.2+2V2C.2A/2D.—+—A/2

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2-2x+c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)2(0,-3),

若尸是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。(0,1)在y軸上，連接P。，則行PD+PC的最小值是()

32

A.4B.2+20C.2拒D.-+-72

14.如圖，在AABC中，ZA=90°,ZB=6Q°,AB=2,若。是3C邊上的動(dòng)點(diǎn)，貝I2AD+OC的最小值（）

A.273+6B.6C.6+3D.4

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=4lx2x-G的圖象與x軸交于點(diǎn)A,C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)2,

22

對(duì)稱軸與X軸交于點(diǎn)。，若尸為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PO,則：尸3+尸。的最小值為()

——8——

3G

A.c.73D.-V3

~T~4

考向四：“阿氏圓”模型

模型展示：如下圖，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA：PB=k(心1),則滿足條件的所有的點(diǎn)P構(gòu)成的圖形為圓.

(1)角平分線定理：如圖，在回ABC中，AD是團(tuán)BAC的角平分線，則——=——.

ACDC

S

正明.ABD_BDsABxDEAB^AB=DB

'S貫JCD'S.cn~ACxDF~AC'AC一DC

(2)外角平分線定理：如圖，在13ABe中，外角CAE的角平分線AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,則任=闞.

ACDC

證明：在BA延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E使得AE=AC,連接BD,則回ACDEEAED(SAS),CD=ED且AD平分回BDE,則一=—,

DEAE

即絲=型.

ACDC

接下來開始證明步驟:

MAPA

如圖，PA：PB二k,作回APB的角平分線交AB于M點(diǎn)，根據(jù)角平分線定理，一=——=k,故M點(diǎn)為

MBPB

定點(diǎn)，即回APB的角平分線交AB于定點(diǎn)；作回APB外角平分線交直線AB于N點(diǎn)，根據(jù)外角平分線定理,

-9-

——=——=k,故N點(diǎn)為定點(diǎn)，即回APB外角平分線交直線AB于定點(diǎn)；又回MPN=90。，定邊對(duì)定角，故P

NBPB

點(diǎn)軌跡是以MN為直徑的圓.

模型最值技巧：

計(jì)算PA+k.PB的最小值時(shí)，利用兩邊成比例且夾角相等構(gòu)造母子型相似三角形

問題：在圓上找一點(diǎn)P使得Q4+左.PB的值最小，解決步驟具體如下：

①如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)與圓心相連即OP,0B

OP

②計(jì)算出這兩條線段的長(zhǎng)度比〃=左

OB

0Cpc

③在0B上取一點(diǎn)C,使得——=k,即構(gòu)造EIPOMEBBOP,則——=k,PC=k,PB

OPPB

④則以當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)可得最小值

16.如圖，在R/0ABC中，EIACB=90。,CB=1,AC=9,以C為圓心、3為半徑作回C,尸為團(tuán)C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、

BP,則的最小值為（）

C.4+9D.2V13

17.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,3的半徑為2,P為8上的動(dòng)點(diǎn)，則忘PC-PD的最大值是

-10—

D

18.如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，40,4),3(4,0),「是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OP=2,連接AP、BP,貝|加+^4尸

的最小值是

19.如圖所示，ZACB=60°,半徑為2的圓。內(nèi)切于—ACS.尸為圓。上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸M、PN分別垂直于

/ACB的兩邊，垂足為/、N,則PM+2PN的取值范圍為.

20.如圖，在［。中，點(diǎn)A、點(diǎn)3在。上，ZAOB=90°,Q4=6,點(diǎn)C在Q4上，且OC=2AC,點(diǎn)。是08的中

點(diǎn)，點(diǎn)又是劣弧A3上的動(dòng)點(diǎn)，則CW+2DM的最小值為.

A

OD

考向五：隱形圓

模型一：定點(diǎn)定長(zhǎng)作圓

模型探究：如圖，在平面內(nèi)，點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)8為動(dòng)點(diǎn)，且長(zhǎng)度固定，則動(dòng)點(diǎn)B的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，AB

長(zhǎng)為半徑的圓.

/Y--、、、\

【推廣】在折疊或旋轉(zhuǎn)問題中，有時(shí)會(huì)利用“定點(diǎn)定長(zhǎng)作圓”模型確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.[1

模型二：定弦定角作圓

模型探究：若已知定弦A8,定角/C,要確定頂點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡，需分三種情況:

(1)如圖①，在中，當(dāng)/C<90。時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為優(yōu)弧前方；

(2)如圖②，在。。中，當(dāng)/C=90。時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為半圓；

(3)如圖③，在。。中，當(dāng)NC>90。時(shí)，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡為劣弧協(xié).

常見張角計(jì)算(關(guān)鍵定圓心):

模型三：四點(diǎn)共圓

（1）如圖①、②，共斜邊的兩個(gè)直角三角形，同側(cè)或異側(cè)，都有A、B、C、。四點(diǎn)共圓

2）如圖③若則A、B.C,D四點(diǎn)共圓.

如圖④固定線段AB同側(cè)若I3P=E]C，貝ijA、B,C、P四點(diǎn)共圓.

圖④

21.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且ZEAB=ZEBC.連

結(jié)AE,BE,PD,PE,則PD+PE的最小值為（）

A.2屈-2B.475-2C.40-2D.2715-2

22.如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=3,3C=4.點(diǎn)尸是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AP上一點(diǎn).ZADM=ZBAP,

則的最小值為（）

-13-

AD

B

512r—3/_

A.-B.-C.V13——D.J13-2

252

23.如圖，在放ABC和R"AD石中，ABAC=ZDAE=90°,AC=AD=3,AB=AE=5.連接8。，CE,將回ADE繞

點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中當(dāng)/DBA最大時(shí)，0ACE的面積為（）.

A.6B.6&C.9D.972

3

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線＞分另IJ與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)、E、尸分別是正方形OAC。

的邊O。、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且D￡=AF,過原點(diǎn)。作垂足為“，連接H4、HB,貝k/f鉆面積的最大值

13+50

C.6+3夜

2

-14-

25.正方形ABC。中，AB=4,點(diǎn)￡、尸分別是C。、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且始終滿足。E=C凡DF、AE相交于點(diǎn)G.以

AG為斜邊在AG下方作等腰直角"HG使得她HG=90。，連接8”.則8"的最小值為（）

C.V10-V2D.Vw+V2

基礎(chǔ)訓(xùn)練

一：?jiǎn)芜x題

26.如圖，矩形A3cD,AB=6,BC=3,點(diǎn)E是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸是射線BC上的動(dòng)點(diǎn)，S.BF=2AE,連接

AF,CE.若gAF+CE=m,則加的最小值為（）

A.35/2B.35/5C.6^/2D.675

27.如圖，在矩形ABCD中，AB=8,AO=4,點(diǎn)E是矩形A3CD內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且ZBEC=90。，點(diǎn)尸是A3邊上一

動(dòng)點(diǎn)，連接尸。、PE,則PD+PE的最小值為（）

C.10D.4A污-2

28.如圖，E為正方形ABC。邊AD上一點(diǎn)，AE=1,DE=3,P為對(duì)角線即上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則R4+PE的最小值為

()

C

-15—

A.5B.472C.2V10D.10

29.如圖，等腰三角形A3C的底邊BC長(zhǎng)為6,腰AC的垂直平分線所分別交邊AC、AB于點(diǎn)E,F,若D為BC

邊的中點(diǎn)，M為線段E尸上一動(dòng)點(diǎn)，若三角形CDM的周長(zhǎng)的最小值為13,則等腰三角形A3C的面積為（）

A.78B.39C.42D.30

30.如圖，正方形A8CD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)M在QC上，且。M=l,N是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則。N+MN的最小值為（）

A.4B.4亞C.2^/5D.5

培優(yōu)訓(xùn)練

一、單選題

31.如圖，Rt^ABC中,ABIBC,AB=8,BC=6,尸是ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足=則線段

CP長(zhǎng)的最小值為（)

A-7B.2C.2屈-6D.2屈-4

32.如圖1,在菱形ABC。中，AB=6,SBAO=120。，點(diǎn)E是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線3。上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)

的長(zhǎng)度為X,PE與尸C的長(zhǎng)度和為y,圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，其中H（°,6）是圖象上的最低點(diǎn)，則a+6

的值為（）

圖1圖2

-16—

A.7A/3B.6A/3+3C.8A/3D.3省+6

33.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)是4,點(diǎn)E是。C上一個(gè)點(diǎn)，且。E=l,P點(diǎn)在AC上移動(dòng)，則PE+P。的最小值

是（）

A.4B.4.5C.5.5D.5

34.如圖，在咫AABC中，ZACB=90°,AC=8cm,BC=3cm.。是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD,過點(diǎn)C作CE_LAD

于E,連接BE,在點(diǎn)。變化的過程中，線段班的最小值是（）

A.1B.V3C.2D.6

35.如圖，在R/EL4BC中，EIC=9O。，AC=6,BC=8,點(diǎn)P在邊AC上，并且CF=2,點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將回?！戤a(chǎn)

沿直線