2026屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習核心知識點講義

目錄Contents

第1章集合與常用邏輯用語、相等關(guān)系與不等關(guān)系

1.1集合.......................................................................................3

1.2充分條件與必要條件、全稱量詞與存在量詞...................................................3

1.3等式的性質(zhì)與不等式的性質(zhì)、基本不等式.....................................................4

1.4二次函數(shù)與一元二次方程、不等式............................................................5

第2章函數(shù)

2.1函數(shù)的概念及其表示.........................................................................5

2.2函數(shù)的單調(diào)性與最大（小）值....................................................................6

2.3函數(shù)的奇偶性與周期性.......................................................................6

2.4募函數(shù).....................................................................................6

2.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù).............................................................................7

2.6對數(shù)與對數(shù)函數(shù).............................................................................8

2.7函數(shù)的圖象.................................................................................9

2.8函數(shù)與方程................................................................................10

第3章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

3.1導(dǎo)數(shù)的概念、意義及運算...................................................................11

3.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.................................................................12

3.3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值.............................................................12

第4章三角函數(shù)與解三角形

4.1任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念...........................................................10

4.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式.........................................................14

4.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)......................................................................15

4.4三角恒等變換..............................................................................15

4.5函數(shù)y=Asin（?）x+（p）.........................................................................16

4.6解三角形..................................................................................18

第5章數(shù)列

5.1數(shù)列的概念................................................................................19

5.2等差數(shù)列及其前n項和......................................................................20

5.3等比數(shù)列及其前n項和......................................................................21

5.4數(shù)列求和..................................................................................21

第6章平面向量、復(fù)數(shù)

6.1平面向量的概念及線性運算.................................................................22

6.2平面向量基本定理及向量的坐標表示.........................................................24

6.3平面向量的數(shù)量積與平面向量的應(yīng)用.........................................................25

6.4數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入...................................................................27

第7章立體幾何...................................................................................29

7.1基本立體圖形、直觀圖、表面積和體積.......................................................29

7.2空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系.........................................................32

7.3空間直線、平面的平行......................................................................33

7.4空間直線、平面的垂直......................................................................34

7.5空間向量及其運算..........................................................................37

7.6立體幾何中的向量方法.....................................................................38

第8章解析幾何...................................................................................40

1

8.1直線的傾斜角與斜率、直線的方程...........................................................40

8.2直線的交點坐標與距離公式.................................................................41

8.3圓的方程..................................................................................41

8.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系...............................................................41

8.5橢圓......................................................................................42

8.6雙曲線....................................................................................42

8.7拋物線....................................................................................43

8.8直線與圓錐曲線...........................................................................44

第9章計數(shù)原理...................................................................................45

9.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理......................................................45

9.2排列與組合................................................................................45

9.3二項式定理................................................................................46

第10章統(tǒng)計與統(tǒng)計案例...........................................................................46

10.1隨機抽樣..................................................................................46

10.2用樣本估計總體...........................................................................47

10.3成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析.......................................................................48

第11章概率.....................................................................................50

11.1隨機事件與概率、事件的相互獨立性........................................................50

11.2古典概型、條件概率與全概率公式..........................................................51

11.3離散型隨機變量及其分布列.................................................................51

11.4離散型隨機變量的數(shù)字特征.................................................................52

11.5二項分布與超幾何分布.....................................................................52

11.6正態(tài)分布..................................................................................53

第1章集合與常用邏輯用語、相等關(guān)系與不等關(guān)系

2

]]集合

(1)集合元素的三個特征性質(zhì):確定性、無序性、互異性.

(2)元素與集合的兩種關(guān)系:屬于，記為?；不屬于，記為

(3)集合的三種表示方法:列舉法、描述法、圖示法.

(4)五個特定的常見數(shù)集記法：

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號NN*或N+ZQR

2.集合間E勺基本關(guān)系

關(guān)系自然語言符號語言Venn圖

集合A中任意一個元素都是集合3中的元

子集A^B(B^A)o

素(即若則x?B)

或G?)

真子集集合但存在元素xGB,且》區(qū)4A^B(或B叁A)(05)

集合A的任何一個元素都是集合B的元

集合

素，同時集合3的任何一個元素都是集合A=B

相等

A的元素，即A￡B,且BGA

3.集合的口基本運算

運算文字語言符號語言圖形語言記法

所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的

交集{x\xW4,且xEB}AHB

集合正

所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的

并集/小或xG可AUB

集合

全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集

補集{x\x￡U,且x^A}CuA

合

4.集合的運算性質(zhì)

(1)并集的性質(zhì):AU0=A；AUA=A；AUB=BUA；AUB=A<=>B^A.

(2)交集的性質(zhì):0=0；AHA=A；AHB=BnA；AHB=A^^B.

(3)補集的性質(zhì):AO(CuA)=U；AH(CuA)=0；Cu(CuA)=A；

Cu(AUB)=(CuA)n(CuB)；Cu(AC}B)=(CuA)U(CuB).

【常用結(jié)論展示】

1.若有限集合A中有n(n?N*,nNl)個元素，則A有2n個子集，有21M個真子集，有2n-2個

非空真子集.

1.2充分條件與必要條件、全稱量詞與存在量詞

1.命題

概念使用語言、符號或者式子表達的，可以判斷真假的陳述句

特點(1)能判斷真假；(2)陳述句

分類真命題、假命題

2.充分條件、必要條件、充要條件

設(shè)與p對應(yīng)的集合為與q對應(yīng)的集合為則有如下結(jié)論:

定義從集合觀點看

若p=q,則p是q的充分條件若集合AUB,則2是q的充分條件

3

若p.，且q羚p,則夕是q的充分不必要條件若集合A",則。是q的充分不必要條件

若q中,且p#q,則p是q的必要不充分條件若集合3s4,則2是q的必要不充分條件

若p包，則p是q的充要條件若集合A=5則夕是q的充要條件

若p及q,且［=2，則p是q的既不充分也不必若集合AgB,且3弓4,則p是q的既不充分也不必

要條件要條件

3.全稱量詞和存在量詞

量詞名稱常見量詞表示符號

全稱量詞“所有的”“任意一個”“一切”“每一個”“任給”V

存在量詞“存在一個”“至少有一個”“有些”“有一個”“對某些”“有的”3

4.全稱量詞命題和存在量詞命題

命題名稱定義命題結(jié)構(gòu)命題簡記

全稱量詞命題含有全稱量詞的命題對M中任意一個x,p㈤成立VxWM,p(x)

存在量詞命題含有存在量詞的命題存在〃中的元素X,2⑴成立Hx￡M,p(x)

5.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

命題命題的否定

VxGM,p(x)

p(x)Vx-^p(x)

1.3等式的性質(zhì)與不等式的性質(zhì)、基本不等式

1.兩個實數(shù)比較大小的法則

法則

關(guān)系

作差法則作商法則

a>ba-b>0[l(a,b>0)或川(a,b<0)

a二ba-b=O「=l(a,b/0)

a<ba-b<0川(a,b>0)或》l(a,b<0)

2.等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容

性質(zhì)1對稱性如果a=b,那么b=a

性質(zhì)2傳遞性如果a=b,b=c,那么a=c

性質(zhì)3加減性如果a=b,那么a土c=b土c

性質(zhì)4乘法法則如果a=b,那么ac=bc

性質(zhì)除法法則如果a=b,cWO,那么?=-

5cc

3.不等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意

性質(zhì)1對稱性a>b^4)<a可逆

性質(zhì)2傳遞性a>b,b>c=>a>c同向

性質(zhì)3可加性a>b^a+c>b+c可逆

a>b]一

八f=>ac>bc

c>0->

性質(zhì)4可乘性c的符號

a>b]一八

八gac<bc

c<0->

4

a

性質(zhì)5同向可加性>》na+c>b+d同向

c>dJ

a>b>0,1*

性質(zhì)6同向同正可乘性,c'gac>bd同向、正項

c>d>0->

性質(zhì)7乘方法則a>b>0=>an>bn(n￡N,n>2)同正

4.基本不等式

對于任意的正實數(shù)a,b,府W手，當且僅當a=b時，等號成立.手叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平

均數(shù)，相叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).

1.4二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

1.一元二次不等式

我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式，其一般

形式是aN+bx+c〉?；騛N+fct+cvO,其中。，b,c均為常數(shù)，a*0.

2.二次函數(shù)的零點

一般地，對于二次函數(shù)產(chǎn)aN+fec+c,我們把使蘇+笈+0=0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)y=a/+加;+。的

零點.

3：三個二次之間的關(guān)系

/的取值J>04=0/<0

瓦

二次函數(shù)yuaf+bx+aa〉。)的圖u

象xXp/Xu

有兩個相等的實數(shù)根

一元二次方程辦2+bx+c=0(a>0)有兩個不相等的實數(shù)根

b沒有實數(shù)根

的根Xl，X2(X1<X2)

af+bx+cAOm>。)的角星集或

{x\x<XiX>X2}卜XA2R

af+bx+cvOm>。)的角星集{%|X1<X<X2}00

【常用結(jié)論展示】

(x-a)(x-b)>0^(x-a)(x-b)<0型不等式的解法

解集

不等式

a<ba-ba>b

(%-〃)?(%-/?)>0{x\x<a或x>b}{x\x^a}{x\x<b或x>a}

(x-d)-(x-b)<0{x\a<x<b]0[x\b<x<a]

第2章函數(shù)

★數(shù)學(xué)建?！醯群瘮?shù)模型的應(yīng)用

2.1函數(shù)的概念及其表示

1.函數(shù)的概念

前提A,3是非空的實數(shù)集

如果對于集合A中的任意一個數(shù)x,按照某種對應(yīng)關(guān)系方在集合3中都有唯一確

對應(yīng)關(guān)系

定的數(shù)Z和它對應(yīng)

結(jié)論就稱f：A-B為從集合A到集合B的一個函數(shù)

記法y=f(x),X^A

2.函數(shù)的有關(guān)概念

5

(1)函數(shù)的定義域、值域

在函數(shù)中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)

的丁值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合加動叫做函數(shù)的值域，顯然，值域是集合3的子集.

(2)函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系.

(3)同一個函數(shù):如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對應(yīng)的

函數(shù)值也相同，那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).

2.2函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值

1.增函數(shù)與減函數(shù)的定義

一般地，設(shè)函數(shù)加r的定義域為D,X間/CD.如果Vxi,X2*/,當XI<X2時

市女什性

都有f(Xl)<f(X2)都有f(Xl)>f(X2)

那么就稱函數(shù)#刈在區(qū)間D上單調(diào)遞增那么就稱函數(shù)廣盼在區(qū)間。上單調(diào)遞減

結(jié)論當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，稱它當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，稱它

是增函數(shù)是減函數(shù)

怖“>;向T?

圖示??

|?

0~xTx0X1：2X

如果函數(shù)在區(qū)間/上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)丁=力切在這一區(qū)間具有

巳口6匕

(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間/叫做丁時可的單調(diào)區(qū)間

2.函數(shù)的最大(小)值

前提設(shè)函數(shù)y=/rw的定義域為。，如果存在實數(shù)〃滿足

(1)心￡。，都有的WM；(1)\/xED,都有的WM；

條件

(2)3助GD,使得#(2)mxoGD,使得

結(jié)論般是函數(shù)y寸㈤的最大值M是函數(shù)y=/㈤的最小值

【常用結(jié)論展示】

1.函數(shù)單調(diào)性定義的等價形式

1

⑴函數(shù)火X)在區(qū)間/上單調(diào)遞增，Xl，X2e/,且即分2Q(X1-X2)[/U1)爪念)]>。0四上

葉第2

(2)函數(shù)段)在區(qū)間/上單調(diào)遞減，Xl，X2^I,且羽分20(尤1-X2)[/U1)爪X2)]<0O空止色2<().

巧-12

2.3函數(shù)的奇偶性與周期性

L函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點

偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)段)的定義域為D,f(-x)=f(x)關(guān)于y軸對稱

奇函數(shù)VxED,都有-xei,且f(-x)=-f(x)關(guān)于原點對稱

2.奇(偶)函數(shù)的性質(zhì)

(1)如果函數(shù)力%)是偶函數(shù)，那么片川x|).

⑵奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有

相反的單調(diào)性.

(3)在公共定義域內(nèi)有:奇函數(shù)土奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)土偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)義奇函數(shù)=偶函

數(shù)，偶函數(shù)x偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)x偶函數(shù)=奇函數(shù).

(4)若函數(shù)/㈤是奇函數(shù)，且在x=0處有定義，則#0)=0.

2.4累函數(shù)

2.五種幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)

6

1

⑴募函數(shù)產(chǎn)口y=X2,y=x2,y=x-l,產(chǎn)%5的圖象.

(2)五種基函數(shù)的性質(zhì)

1

函數(shù)y二x產(chǎn)無2y=x3y=X2y二x.7

定義域RRR[0,+oo)(-00,0)U(0,+oo)

值域R[0,+oo)R[0,+oo)(-GC,0)U(0,+oo)

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

當xd[0,+oo)時，

單調(diào)單調(diào)遞增，當當XG(O,+oo)時，單調(diào)遞減，

單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞增

遞增x^(-oo,0)時，單調(diào)當xG(-oo,0)時，單調(diào)遞減

遞減

定點(1,1),(0,0)(b1)

2.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

1.根式及相關(guān)概念

(l)a的n次方根定義

如果xn=a,那么x叫做a的n次方根，其中n>l,且n?N*.

⑵根式:式子，叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).

2.根式的性質(zhì)(n>l,且n?N*)

(l)n為奇數(shù)時，1Vm=a.(2)n為偶數(shù)時，V近=|a|a]°，⑶9=。(由負數(shù)沒有偶次方根.

3.分數(shù)指數(shù)塞的意義

分m____

正分數(shù)指數(shù)募規(guī)定正=V^(a>0,m,n￡N*,且n>l)

數(shù)

指m11

負分數(shù)指數(shù)募規(guī)定m=f=B=(a>0,m,n?N*,且n>l)

數(shù)

嘉0的分數(shù)指數(shù)募0的正分數(shù)指數(shù)累等于0,0的負分數(shù)指數(shù)募沒有意義

4.有理數(shù)指數(shù)事的運算性質(zhì)

(l)aras=ar+s(a>0,r,s^Q).(2)(ar)s=ars(a>0,r,s^Q).(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r^Q).

5.指數(shù)函數(shù)??

(1)定義:一般地，函數(shù)y="x(a>0,且存1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.

(2)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

y=ax(a>0,且好〃

函數(shù)

0<a<la>l

圖象駕網(wǎng)彗

7

在x軸上方，過定點（0,1）

圖象特征

當X逐漸增大時，圖象逐漸下降當X逐漸增大時，圖象逐漸上升

定義域R

值域(0,+oo)

性單調(diào)性在R上單調(diào)遞減在R上單調(diào)遞增

質(zhì)當時，y=l

函數(shù)值的變化

當x<0時，y>l；當x<0時，0<y<l-,

規(guī)律

當%>0時，0<y<l當x>0時，y>l

【常用結(jié)論展示】

指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較:指數(shù)函數(shù)（1）>=出，（2）y=〃，（3）y=cS（4）y=tf的圖象如圖

所示，底數(shù)a,b,c,d與，之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>0.

規(guī)律:在y軸右（左）側(cè)圖象越高（低），其底數(shù)越大.

2.6對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

1.對數(shù)的概念

（1）根據(jù)下圖的提示填寫與對數(shù)有關(guān)的概念：

x

a=N<>loSaN=x

（2）a的取值范圍:a>0,且存I.

常用對數(shù)將以血為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)把logioN記為1gN

將以無理數(shù)e=2.71828…為底的對數(shù)叫做自然對

自然對數(shù)把logeN記為InN

數(shù)

3.對數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)1對數(shù)的真數(shù)大于0,即負數(shù)和0沒有對數(shù)

性質(zhì)21的對數(shù)是0_,即logal=Q_（a>0,且存1）

性質(zhì)3底數(shù)的對數(shù)是j_,即logaa=j_（a>0,且存1）

對數(shù)恒等式@alogaN=N；②logaaN=N(a>0>且a^l)

4.支f數(shù)的運算性質(zhì)

如果a>0,且在1,M>0,N>0,那么：

M

(l)10ga(MN)=logaM+logaN；(2)loga—=logaM-logaN；(3)logaMn=IllogaM(n^R).

5.對數(shù)換底公式

logab=：°&b(Q〉0,且4;c>0,且b>0).

logca

6.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

y=logax(a>0,且葉1)

a>l0<a<l

8

X=1t=1

2

圖象1/(1.0)x

定義域：(0,+oo)

值域:R

過定點(1,0)

性質(zhì)

當x>l時，y>0；當x>l時，y<0；

當0<x<l時，y<0當0<x<l時，y>0

在區(qū)間(0,+8)內(nèi)是增函數(shù)在區(qū)間(0,+oo)內(nèi)是減函數(shù)

7.反函數(shù)

對數(shù)函數(shù)產(chǎn)/og『(a>0,且中1)與指數(shù)函數(shù)產(chǎn)出(。>0,且存1)互為反函數(shù).

互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.它們的定義域與值域正好互換.

【常用結(jié)論展示】

1.換底公式的兩個重要結(jié)論

n

(l)10gab=-^—;(2)10gamb=-10gab.

logbam

其中a>0,且在1,b>0,且屏m豐0,nGR.

2.對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖，作直線y=l,則該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐

標為相應(yīng)的底數(shù)，故0<c<d<l<a<b.由此我們可得到以下規(guī)律:在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增

大.

尸logM

,

J=logix

——y=l

,x

尸1吟

尸log/X

2.7函數(shù)的圖象

1.利用描點法作函數(shù)圖象的流程

1確定函數(shù)的定叉域］

由夢卜化簡函數(shù)的解析式I

T討論函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對麗1

布』」除考慮點的一般性外，尤其要注意特殊點，如：與

半尸1坐標軸的交點、頂:點：端點、最(極)值點、對稱點等

(^)T畫出平面直角坐標系，準確描出表中癇

曲花滑的曲線連接所描司

2.函數(shù)圖象間的變換

(1)平移變換

9

對于平移，往往容易出錯，在實際判斷中可熟記口訣:左加右減，上加下減.

(2)對稱變換

關(guān)于y軸對稱,

函數(shù)yW(-x)的圖象

函

關(guān)于x軸對稱]函緲=[(x)的薪

數(shù)

人關(guān)于原點對稱函物的甌

的

圖喘簿黑篝氣方揖數(shù)月恒的幽

象

黑蠹鬻囂左普不變低數(shù)內(nèi)(㈤)的圖象I

(3)伸縮變換

____________縱坐標不變一

y=f(xJ的圖象1*y=f(QX7)的圖象.

)〃川各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼摹(a>0))〃

產(chǎn)曲的圖象各點縱坐標詈器惠心。湛的圖象.

【常用結(jié)論展示】

1.函數(shù)圖象自身的中心對稱性

(l)f(-x)=-f(x)u函數(shù)y力㈤的圖象關(guān)于原點對稱；

(2)函數(shù)丁守㈤的圖象關(guān)于點(。，0)^i^<^(a+x)=-f(a-x)^f(x)=-f(2a-x)^f(-x)=-f(2a+x)；

(3)函數(shù)丁次口的圖象關(guān)于點(。，切成中心對稱引％+幻=2/?十。-刈5x)=2b-f(2a-x)；

(4)若函藪的定義域為R,且滿足條件"a+x)+/(6-x>)=c(a,b,c為常數(shù))，則函數(shù)的

圖象關(guān)于點(芳°,對稱.

2.兩個函數(shù)圖象之間的對稱關(guān)系

(1)函數(shù)y=/(a+x)與y=/g-x)的圖象關(guān)于直線》=號對稱；

(2)函數(shù)產(chǎn)戶盼與yJ2a-幻的圖象關(guān)于直線x=a對稱；

(3)函數(shù)y=/2與尸2。/門的圖象關(guān)于點(0,切對稱；

(4)函數(shù)丁=加)與y=2Z?-#2a-x)的圖象關(guān)于點(a,切對稱.

2.8函數(shù)與方程

1.函數(shù)的零點

(1)函數(shù)零點的定義

對于一般函數(shù)x^D,我們把使力X)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)丁=/應(yīng))的零點.

(2)函數(shù)零點的等價關(guān)系

(3)函數(shù)零點存在定理

如果函數(shù)在區(qū)間/a,刃上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)-f(b)<0,那么函數(shù)

在區(qū)間切內(nèi)至少有一個零點，即存在cG(a,b),使得廣。=0,這個c也就是方程於片0的解.

2.二次函數(shù)丁=?2+加:+c(q>0)的圖象與函數(shù)零點的關(guān)系

^=6zx2+/?x+c(a>0)

函數(shù)

/>0A=Q/<0

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八:X，,

圖象T\1/

r。|勺二犬2天0X

圖象與X軸的公共點(%1,0),(%2,0)(xi,0)無交點

零點個數(shù)210

3.二分法

對于在區(qū)間［。，加上圖象連續(xù)不斷且#a加⑨＜0的函數(shù)'=/俄)，通過不斷地把它的零點所在區(qū)

間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.

【常用結(jié)論展示】

1.若函數(shù)力可在區(qū)間［a,加上單調(diào)，且五砂的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，則廣幻也分＜0n函數(shù)

在區(qū)間3,加上只有一個零點.

2.周期函數(shù)若存在零點，則必有無窮個零點.

第3章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

3.1導(dǎo)數(shù)的概念、意義及運算

對于函數(shù)設(shè)自變量x從xo變化到xo+/x,相應(yīng)地，函數(shù)值就從變化到#xo+/切,

這時，x的變化量為Ax,y的變化量為/iy=f(xo+/ix)-f(xo).

1.平均變化率

我們把比值M，即M二曲鏟遍叫做函數(shù)y=/(x)從X0到XO+Ax的平均變化率.

2.導(dǎo)數(shù)的概念

⑴導(dǎo)數(shù)的定義:如果當Ax-0時，平均變化率非無限趨近于一個確定的值，即當有極限，則稱

在處可導(dǎo)，并把這個確定的值叫做在處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時變化率)，記作

八.)或冒舊。，即八xo)=/m'=-。+黑力⑹

(2)導(dǎo)函數(shù):當x變化時，y=/Q)就是x的函數(shù)，我們稱它為y=?v)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))少=?0的

導(dǎo)函數(shù)有時也記作y，即/(x)=V=您為

(3)導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=?x)在xo處的導(dǎo)數(shù)十(xo)的幾何意義，就是曲線y=/U)在點Cw,/Uo))處切線的斜率上,即

左=八次)=lim上型X)△細.

JAx^O△X

3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

?=c(c為常數(shù))/(x)=0

J(x)=xa(a￡R,且a^O)f(x)=axaA

fix)=sinx/(x)=cosX

於)二cosX/(x)=-sinx

八工尸。%(。＞0,且存1)f(x)-cfVaa

火x)=.f(x)=ex

1

?X)=logaX(Q>0,且存1)/a-

Hx)=lnx八叫

11

4.導(dǎo)數(shù)的運算法則

(l)［f(x)±g(x)］'=f(x)±g'(x)；(^\f(x)g(x)y=f(x)g(x)+f(x)g'(x)；(3)［緇］=r3g黑翼，3(g(x)和).

5.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)定義:一般地，對于兩個函數(shù)和u=g(x),如果通過中間變量u,y可以表示成x的函數(shù)，

那么稱這個函數(shù)為函數(shù)丁=//)和M=g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y=#g⑴人

(2)求導(dǎo)法則:一般地，對于由函數(shù)y=/?)和