第62課時(shí)專題強(qiáng)化：帶電粒子在組合場中的運(yùn)動

［目標(biāo)要求】掌握帶電粒子在組合場中的運(yùn)動規(guī)律并會用其解決問題。

1.組合場：電場與磁場各位于一定的區(qū)域內(nèi)，并不重疊，或在同一區(qū)域，電場、磁場交替出現(xiàn)。

2.分析思路

(1)畫運(yùn)動軌跡：根據(jù)受力分析和運(yùn)動學(xué)分析，大致畫出粒子的運(yùn)動軌跡圖。

(2)找關(guān)鍵點(diǎn)：確定帶電粒子在場區(qū)邊界的速度(包括大小和方向)是解決該類問題的關(guān)鍵。

(3)劃分過程：將粒子運(yùn)動的過程劃分為幾個(gè)不同的階段，對不同的階段選取不同的規(guī)律處理。

3.常見粒子的運(yùn)動及解題方法

4.常見情形

(1)先電場后磁場

①帶電粒子先在勻強(qiáng)電場中做勻加速直線運(yùn)動，然后垂直磁場方向進(jìn)入勻強(qiáng)磁場做勻速圓周運(yùn)動，如圖甲。

②帶電粒子先在勻強(qiáng)電場中做類平拋運(yùn)動，然后垂直磁場方向進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動，如圖乙。

(2)先磁場后電場

進(jìn)入勻強(qiáng)電場時(shí)粒子

進(jìn)入勻強(qiáng)電場時(shí)粒子速度方進(jìn)入勻強(qiáng)電場時(shí)粒子速度方向與電場

常見情境速度方向與電場方向

向與電場方向垂直方向成一定角度(非直角)

平行

2

運(yùn)動示意圖??,'IE_

叢叫）?/

舉例\

斕

1?B.E

在電場中的勻加速或勻減速直線

類平拋運(yùn)動類斜拋運(yùn)動

運(yùn)動性質(zhì)運(yùn)動

動能定理或牛頓運(yùn)動平拋運(yùn)動知識，運(yùn)動的合成

分析方法斜拋運(yùn)動知識，運(yùn)動的合成與分解

定律結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式與分解

【例11（2023?遼寧卷」4）如圖，水平放置的兩平行金屬板間存在勻強(qiáng)電場，板長是板間距離的百倍。金

屬板外有一圓心為O的圓形區(qū)域，其內(nèi)部存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場。

質(zhì)量為加、電荷量為式4>0）的粒子沿中線以速度vo水平向右射入兩板間，恰好從下板邊緣尸點(diǎn)飛出電

場，并沿尸。方向從圖中。'點(diǎn)射入磁場。已知圓形磁場區(qū)域半徑為空警，不計(jì)粒子重力。

（1）求金屬板間電勢差U-,

（2）求粒子射出磁場時(shí)與射入磁場時(shí)運(yùn)動方向間的夾角仇

（3）僅改變圓形磁場區(qū)域的位置，使粒子仍從圖中0,點(diǎn)射入磁場，且在磁場中的運(yùn)動時(shí)間最長。定性畫

出粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡及相應(yīng)的弦，標(biāo)出改變后的圓形磁場區(qū)域的圓心

答案⑴噤（2）殳或60。）（3）見解析圖

解析（1）設(shè)板間距離為d,則板長為百d,帶電粒子在板間做類平拋運(yùn)動，兩板間的電場強(qiáng)度為E==,根

據(jù)牛頓第二定律得qE=ma,解得。=翳

設(shè)粒子在平板間的運(yùn)動時(shí)間為t0,根據(jù)類平拋運(yùn)動的規(guī)律得?=，片2,^d=VotQ

聯(lián)立解得。=皿

3q

⑵設(shè)粒子出電場時(shí)與水平方向夾角為?,則有

tana=—=?，故a=-

v036

則出電場時(shí)粒子的速度為口=，紇=孚功

cosa3

粒子出電場后做勻速直線運(yùn)動，接著進(jìn)入磁場，根據(jù)牛頓第二定律有《誣=〃￡,解得/=卓=嚕也

YqB3cjB

已知圓形磁場區(qū)域半徑為"簫，故HR

粒子沿PO方向射入磁場，軌跡如圖所示,

即沿半徑方向射入磁場，故粒子將沿半徑方向射出磁場，粒子射出磁場時(shí)與射入磁場時(shí)運(yùn)動方向的夾角為

0,則粒子在磁場中運(yùn)動圓弧軌跡對應(yīng)的圓心角也為6,由幾何關(guān)系可得。=20=三，故粒子射出磁場時(shí)與

射入磁場時(shí)運(yùn)動方向的夾角為出或60°）；

（3）粒子在該磁場中運(yùn)動的半徑與圓形磁場半徑關(guān)系為r=^3R,根據(jù)幾何關(guān)系可知，粒子在該磁場中運(yùn)動

的軌跡一定為劣弧，故劣弧所對應(yīng)軌跡圓的弦為磁場圓的直徑時(shí)粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間最長，則相對應(yīng)

的運(yùn)動軌跡以及圓心M的位置如圖所示。

【例21（2024?山東黃澤市檢測）利用電場和磁場實(shí)現(xiàn)粒子偏轉(zhuǎn)是科學(xué)儀器中廣泛應(yīng)用的技術(shù)。在圖示的

xOy平面（紙面）內(nèi)，的區(qū)域I內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，x軸上方的xi<x<X2區(qū)域II內(nèi)存在沿

y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場。一質(zhì)量為機(jī)、電荷量為q的帶正電粒子（不計(jì)重力），從原點(diǎn)。處以大小為丫（）的

速度垂直磁場射入第二象限，方向與x軸負(fù)方向夾角8=60。，一段時(shí)間后垂直了=制虛線邊界進(jìn)入電場。

已知修=舊心，X=^-L,區(qū)域n中電場的電場強(qiáng)度E=嚶。求：

234qL

???!?；n；

O\x2x

（1）區(qū)域I內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；

（2）粒子從原點(diǎn)O出發(fā)到離開電場的總時(shí)間t;

（3）粒子離開電場時(shí)的速度大小Vo

答案⑴器⑵筆普⑶手丫。

解析(1)區(qū)域I內(nèi)粒子在洛倫茲力作用下做圓周運(yùn)動，設(shè)在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑為R,

由幾何關(guān)系可得

Rsin6*=V3L

解得R=2L

又qvoB=m^-

R

解得區(qū)域I內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小

^—mvo

2qL

(2)粒子在磁場中運(yùn)動圓軌跡所對的圓心角為120°,在磁場中運(yùn)動時(shí)間設(shè)為人，

則「黑T

其中片答

粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，設(shè)該粒子的加速度大小為〃,在電場中運(yùn)動時(shí)間為t2,沿y軸負(fù)方向運(yùn)動的

距離為h,

則有qE=ma

%2-Xi—V()t2

解得T

2

其中h=^at2

解得產(chǎn)

由于h<R+RcosB=3L

粒子從電場邊界離開，則總時(shí)間仁介+力

解得kWF

22

(3)由動能定理得qEh=jmv—v0

解得V=^V0o

【例3】（2024?黑吉遼?15）現(xiàn)代粒子加速器常用電磁場控制粒子團(tuán)的運(yùn)動及尺度。簡化模型如圖：I、II

區(qū)寬度均為L存在垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度等大反向；III、IV區(qū)為電場區(qū)，IV區(qū)電場足

夠?qū)挘鲄^(qū)邊界均垂直于x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。甲、乙為粒子團(tuán)中的兩個(gè)電荷量均為+〃，質(zhì)量均為相

的粒子。如圖，甲、乙平行于x軸向右運(yùn)動，先后射入I區(qū)時(shí)速度大小分別為|w和1vo。甲到P點(diǎn)時(shí)，

乙剛好射入I區(qū)。乙經(jīng)過I區(qū)的速度偏轉(zhuǎn)角為30。，甲到O點(diǎn)時(shí)，乙恰好到尸點(diǎn)。已知HI區(qū)存在沿十x

方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度大小瓦=答。不計(jì)粒子重力及粒子間相互作用，忽略邊界效應(yīng)及變化的

4nqL

電場產(chǎn)生的磁場。

U區(qū)'ID區(qū)'N區(qū)

（1）求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小3;

⑵求III區(qū)寬度4；

⑶IV區(qū)x軸上的電場方向沿x軸，電場強(qiáng)度E隨時(shí)間八位置坐標(biāo)x的變化關(guān)系為E=M一近，其中常

系數(shù)。＞0,。已知、上未知，取甲經(jīng)過。點(diǎn)時(shí)/=0。已知甲在IV區(qū)始終做勻速直線運(yùn)動，設(shè)乙在IV區(qū)

受到的電場力大小為乩甲、乙間距為△》，求乙追上甲前尸與Ax間的關(guān)系式（不要求寫出Ax的取值

范圍）。

答案⑴猊（2）汕（3）F=^-Ax

解析（1）對乙粒子，如圖所示

L一L

由洛倫茲力提供向心力

由幾何關(guān)系sin3。。J

聯(lián)立解得磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B=^

（2）由題意可知，根據(jù)對稱性，乙在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為/1=2義廣］＞＜怨=#

360（jB3VQ

對甲粒子，由對稱性可知，甲粒子沿著直線從P點(diǎn)到。點(diǎn)，

2

由運(yùn)動學(xué)公式4/=|v0?i+|ati

由牛頓第二定律4=跑=婚

m4nL

聯(lián)立可得HI區(qū)范度為d=/L

(3)甲粒子經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)的速度為

v甲=m丫0+。力=3丫0

因?yàn)榧自贗V區(qū)始終做勻速直線運(yùn)動，

貝|JE=0,

即cot^kx—%X3v”

可得右言

設(shè)乙粒子經(jīng)過III區(qū)的時(shí)間為h,乙粒子在IV區(qū)運(yùn)動時(shí)間為t0,則t=t0+t2

對乙可得上—①?0+/2)—kX2

q

3%F

整理可得%2—3vo(fo+fe)qo)

對甲可得即=3Vo(fo+打)

則Ax=%i—叱

qo)

化簡可得乙追上甲前廠與Ax間的關(guān)系式為

?Axo

課時(shí)精練

(分值：60分)

1.(14分)如圖所示，直角坐標(biāo)系xOy中，在第I象限內(nèi)有平行于y軸的勻強(qiáng)電場，方向沿y軸負(fù)方向。在

第IV象限區(qū)域內(nèi)有方向垂直于尤Oy平面向外的勻強(qiáng)磁場。一質(zhì)量為加、電荷量為q的粒子，從y軸上的

p(0,WL)點(diǎn),以大小為vo的速度沿x軸正方向射入電場，通過電場后從x軸上的M(2L0)點(diǎn)進(jìn)入第IV象

限，又經(jīng)過磁場從y軸上的某點(diǎn)垂直y軸進(jìn)入第III象限，不計(jì)粒子的重力，求：

(1)(4分)電場強(qiáng)度E的大??；

(2)(5分)粒子到達(dá)M點(diǎn)時(shí)速度的大小和方向；

(3)(5分)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小。

答案(1)棄w02(2)2v0與x軸正方向夾角為60°(3)￡等

乙qL乙qL

解析(1)粒子在電場中僅受靜電力的作用做類平拋運(yùn)動，設(shè)在第一象限內(nèi)運(yùn)動時(shí)間為介。則

水平方向2L=vQh

豎直方向百￡=)112

由牛頓第二定律有qE=ma

2

聯(lián)立解得E=^mv0

(2)設(shè)粒子到達(dá)M點(diǎn)時(shí)豎直方向分速度為Vy=〃/1

代入數(shù)據(jù)解得vy=V3v0

到達(dá)M點(diǎn)的合速度為v=J%2+Uy2=2vo

設(shè)/點(diǎn)時(shí)速度方向與x軸正方向夾角為e,

又tan0=—=V3

v0

所以6=60。

(3)由于垂直打到y(tǒng)軸，易得帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的圓心角為120°,由洛倫茲力提供向心力得

nmv2

由幾何關(guān)系得rsin60°=2L

聯(lián)立解得

2qL

2.(15分X2025?山東泰安市?？?如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤0y中x軸上方有一勻強(qiáng)磁場，方向垂直于紙面

向里，在x軸下方有平行于xOy平面且與x軸正方向夾角為45。的勻強(qiáng)電場。y軸上有一個(gè)尸點(diǎn)，尸點(diǎn)的y

坐標(biāo)為(遮+魚比，一個(gè)質(zhì)量為加、電荷量為q的帶正電粒子，以初速度血從尸點(diǎn)與y軸正方向夾角為60。

斜向左上方射出，正好在無軸負(fù)半軸的。點(diǎn)(圖中未畫出)處以與無軸正方向夾角為45。的方向第一次經(jīng)過x

軸射入下方電場，若粒子第二次經(jīng)過x軸時(shí)的點(diǎn)和。點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，不計(jì)粒子的重力，求:

XXXX

XXXX

XXXXXX

XXXXXXXX

(1)(4分)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小;

(2)(7分)勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度大?。?/p>

(3)(4分)帶電粒子在勻強(qiáng)電場中離x軸的最遠(yuǎn)距離。

答案(J嚴(yán)。(2嚴(yán)一煙771%2⑶(&+DL

解析(1)如圖，根據(jù)題意<9P=(V3+V2)L,0=30。

設(shè)粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑為R,

貝ijOP=Rcos450+Rcos30°

可得R=2L

又qBvo=m-^—

聯(lián)立解得8=普

(2)粒子在x軸負(fù)半軸的Q點(diǎn)處以與彳軸正方向夾角為45。的方向第一次經(jīng)過x軸射入下方電場，勻強(qiáng)電場

方向與x軸正方向夾角為45°,可知粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，設(shè)粒子第二次經(jīng)過x軸時(shí)的點(diǎn)為M

OM=OQ=Rsin30°+/?-sin45°=(V2+1)L

則2M=2(V2+1)L

則沿電場方向的位移y=QMsin45°=(2+V2)L

在速度方向的位移尤=QMcos45°=(2+V2)￡

根據(jù)>=)/,X=VOt,〃=與，

聯(lián)立解得-偽小而

qL

(3)速度vo在垂直于x軸方向的分量是vi—vosin45°

加速度在垂直于x軸方向的分量是4i=asin45°

m2

帶電粒子在勻強(qiáng)電場中離X軸的最遠(yuǎn)距離s=；

2al

聯(lián)立解得$=包"。

4

3.(15分X2024.貴州卷44)如圖，邊長為L的正方形區(qū)域及矩形c四/■區(qū)域內(nèi)均存在電場強(qiáng)度大小為E、

方向豎直向下且與浦邊平行的勻強(qiáng)電場，4?右邊有一半徑為手心且與^相切的圓形區(qū)域，切點(diǎn)為動■的中點(diǎn),

該圓形區(qū)域與c慮/■區(qū)域內(nèi)均存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為人方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場。一帶電粒子從6點(diǎn)

斜向上射入電場后沿圖中曲線運(yùn)動，經(jīng)cd邊的中點(diǎn)進(jìn)入c時(shí)區(qū)域，并沿直線通過該區(qū)域后進(jìn)入圓形區(qū)域。

所有區(qū)域均在紙面內(nèi)，粒子始終在該紙面內(nèi)運(yùn)動，不計(jì)粒子重力。求：

#一一一'、、、

x!/xxxx\

：/B\

x：xxxx：

xxxx/

x!xx*

7、一一‘

(1)(4分)粒子沿直線通過c四/'區(qū)域時(shí)的速度大小；

(2)(5分)粒子的電荷量與質(zhì)量之比；

(3)(6分)粒子射出圓形區(qū)域時(shí)速度方向與進(jìn)入圓形區(qū)域時(shí)速度方向的夾角。

答案(1)|(2)紊(3)60°

解析(1)由粒子在油力區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動軌跡可知粒子帶正電，帶電粒子在c四/■區(qū)域做直線運(yùn)動，則有靜電

力與洛倫茲力平衡，經(jīng)過M邊的中點(diǎn)時(shí)速度水平向右，設(shè)粒子到達(dá)cd邊的中點(diǎn)時(shí)速度大小為vo,帶電荷

量為q,質(zhì)量為m,由平衡條件有qE=qv°B

解得Vo—7

B

⑵粒子從6點(diǎn)到cd邊的中點(diǎn)的運(yùn)動，可逆向看成從cd邊的中點(diǎn)到6點(diǎn)的類平拋運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為I,加

速度大小為a,由牛頓第二定律可得qE=相。

由類平拋運(yùn)動規(guī)律可得vot=L

-a^=-

22

聯(lián)立解得粒子的電荷量與質(zhì)量之比g=寺=2

mELLB2

⑶粒子從不中點(diǎn)進(jìn)入圓形區(qū)域后做勻速圓周運(yùn)動，設(shè)粒子的運(yùn)動半徑為R,

由洛倫茲力提供向心力可得qv0B=n^-

R

解得R=L

粒子在磁場中運(yùn)動軌跡如圖所示，粒子沿半徑方向射入，又沿半徑方向射出，設(shè)粒子射出圓形區(qū)域時(shí)速度

方向與進(jìn)入圓形區(qū)域時(shí)速度方向的夾角為a,由幾何關(guān)系可知a=20

又tand=S=￥，得6=30。

則有a=60°o

4.（16分X2024?江蘇卷.16）如圖所示，兩個(gè)半圓區(qū)域"cd、中有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，兩圓的半

徑分別為R和&,仍與優(yōu)，間有一個(gè)勻強(qiáng)電場，電勢差為U,cd與c"間有一個(gè)插入體，電子每次經(jīng)過插

入體速度減為原來的上倍（%<1）?，F(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為加、電量為e的電子，從cd面射入插入體，經(jīng)過磁場、電

場后再次到達(dá)〃面，速度增加，多次循環(huán)運(yùn)動后，電子到達(dá)cd的速度大小達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定值，忽略相對論

效應(yīng)，忽略電子經(jīng)過電場與插入體的時(shí)間。求：

d'd

（1）（4分）電子進(jìn)入插入體前后在磁場中的半徑八、/2之比；

⑵（4分）電子多次循環(huán)后