第60課時專題強化：用“動態(tài)圓”思想分析臨界問題

r目標要求】1.理解“平移圓”、“旋轉(zhuǎn)圓”、“放縮圓”的適用條件。2.會用“平移圓”法、“旋轉(zhuǎn)圓”

法、“放縮圓”法分析臨界問題。

考點一“平移圓”

粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點不同但在同一直線上的同種

帶電粒子進入勻強磁場時，它們做勻速圓周運動的半徑相同，若入射

速度大小為V0,則半徑R=華，如圖所示

適用條件qB

XXXXXXX

帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在同一直線上，該直線與入

軌跡圓圓心共線

射點的連線平行

將半徑為尺=筆的圓進行平移，從而探索粒子的臨界條件，這種方法

qB

界定方法

叫“平移圓”法

【例1】如圖所示，三角形A3C內(nèi)有垂直于三角形平面向外的勻強磁場，A3邊長為L,ZA=30°,ZB

=90°,。是A3邊的中點。現(xiàn)在03段上向磁場內(nèi)射入速度大小相同、方向平行于3c邊的同種粒子

（不考慮粒子間的相互作用和粒子重力），若從。點射入的粒子恰好能垂直AC邊射出磁場，則AC邊上

有粒子射出的區(qū)域長度為（）

A.-LB.-L

43

---LD.---:

23

答案C

解析由題意可知，粒子均向上偏轉(zhuǎn)，從。點射入和從3點射入的粒子的運動軌跡如圖所示，

A

E

廿3

??/、

I??\

BC

設兩個粒子在AC邊上的出射點分別為E、尸點，由于從。點射入的粒子恰好能垂直AC邊射出磁場，所以

A點為該粒子做圓周運動的圓心，則粒子做圓周運動的半徑為R=h,則有AE=,,因為。點是A3的中

點，所以。點是從8點射出的粒子做圓周運動的圓心，所以有AD=。尸，則根據(jù)幾何知識有4戶=

2x|￡.cos30°=^,所以有粒子射出的區(qū)域長度為EF=AF-AE=^L，故A、B、D錯誤，C正確。

考點二“旋轉(zhuǎn)圓”

粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的同種帶電粒子進入勻強磁場時，

它們在磁場中做勻速圓周運動的半徑相同，若入射初速度大小為w，則

圓周運動軌跡半徑為R-黃，如圖所示

適用條件

.

P

如圖，帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在以入射點尸為圓心、

半徑的圓上

x**x

xxx

軌跡圓圓心共圓*上\

XX\xX\^l'IdX

XXXX

將半徑為R卷的圓以入射點為圓心進行旋轉(zhuǎn)，從而探索出臨界條

界定方法

件，這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法

【例2】（多選）（2024.山東日照市模擬）如圖所示，擋板左側(cè)區(qū)域存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁

感應強度為比擋板中間空隙NP長度為L紙面上。點到N、尸的距離相等，均為L。。處有一粒子

源，可向紙面所在平面的各個方向隨機發(fā)射速率相同的帶正電的粒子，粒子電荷量為q,質(zhì)量為相，

打到擋板上的粒子均被吸收。不計粒子重力和粒子間的相互作用。下列說法正確的是（）

xxxV\M

B

xxx

r"

xxLx

。＜’!

XX；、x；

xxx

XXXWQ

A.若粒子速率v=理，粒子能從空隙NP“逃出”的概率為:

m6

B.若粒子速率v=%，N尸線段上各處都可能有粒子通過

m

C.若粒子速率v=等，粒子能從空隙NP“逃出”的概率為:

2m6

D.若粒子速率v=理，NP線段上各處都可能有粒子通過

2m

答案AB

解析若粒子速率為v=理，

m

則軌跡半徑一=絲=乙

qB

粒子運動情況如圖甲所示

M

S；、、、

P

UQ

甲

從P點飛出的粒子，軌跡的圓心在N點，該粒子從。點發(fā)射時的速度方向與ON垂直斜向右下，與水平方

向成60。角。從N點飛出的粒子，軌跡的圓心在S點，該粒子從。點發(fā)射時的速度方向與OS垂直，水平

向右，兩粒子發(fā)射速度間的夾角夕=60。,發(fā)射方向在這兩個方向之間的粒子都可從空隙NP“逃出”，粒

子“逃出”的概率為盤=；,由圖甲可知，N尸線段上各處都可能有粒子通過，故A、B正確；若粒子速

3606

率為上幽,則軌跡半徑r=—=-

2mqB2

粒子運動情況如圖乙所示，粒子軌跡與P點相交時，圓心為A,

Q

乙

粒子軌跡與PN相切時，切點為D,圓心為C,兩發(fā)射速度間的夾角B=AAOC,由幾何關(guān)系知0>60。，則

粒子“逃出”的概率為捺>；

3606

由圖乙可知OD<ON=L

則。在N點下方，故線段DN間不可能有粒子通過，故C、D錯誤。

拓展如圖所示，真空室內(nèi)存在勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應強度的大小為B,磁場

內(nèi)有一塊足夠大的平面擋板，板面與磁場方向平行，在距擋板的距離為L處有一粒子源，可向紙面所

在平面的各個方向隨機發(fā)射速率相同的帶正電的粒子，粒子電荷量為q,質(zhì)量為m,打到擋板上的粒

子均被吸收，若粒子速率"=哼，則擋板上被粒子打中區(qū)域的長度是（不計粒子的重力和

粒子間的相互作用）。

XXXX

XX；XX

XX；XX

L\

Bxx!XX

?s

XXXXXX

答案（8+1比

解析若粒子速率為v=^,則軌跡半徑R=^=L

mqB

粒子運動情況如圖所示

根據(jù)幾何關(guān)系可得A8=L,AC=V3L

所求長度為BC=AB+AC=（V3+l）￡o

考點三“放縮圓”

粒子源發(fā)射速度方向一定，大小不同的同種帶電粒子進入勻強磁場時，這些

適用條件

帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑隨速度的變化而變化

如圖所示（圖中只畫出粒子帶正電的情景），速度V越大，運動半徑也越大。可

以發(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場后，它們運動軌跡的圓心在垂直初速度方向的

直線PP'±.

軌跡圓圓心共線XXP'XXXX

XX

x/xx

XXXXXX

以入射點p為定點，圓心位于pp直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而探索出

界定方法

臨界條件，這種方法稱為“放縮圓”法

【例3】（2024?山東泰安市檢測）一勻強磁場的磁感應強度大小為瓦方向垂直于紙面向外，其邊界如圖

中虛線所示，曲為半圓，ac、6d與直徑"共線，ac間的距離等于半圓的半徑。一束質(zhì)量為相、電荷

量為q（q>0）的粒子，在紙面內(nèi)從c點垂直于ac射入磁場，這些粒子具有各種速率。不計粒子的重力和

粒子之間的相互作用。在磁場中運動時間最長的粒子，其運動時間為（）

'ca\：：：?：族”才

'、、?、?_?//

AA.-7-u-r-ncB5.-u-r-n--C4.-n-m--?D3.nm

GqB4qB3qB2qB

答案c

解析粒子在磁場中運動的時間與速度大小無關(guān)，由在磁場中的運動軌跡對應的圓心角決定。設軌跡交半

圓盤?于e點，ce中垂線交6c于。點，則。點為軌跡圓心，如圖所示。

圓心角6=71+2/3,當用最大時，。有最大值，由幾何知識分析可知，當ce與6相切時，夕最大，此時軌跡

過他中點，夕=30。，可得9=\,則尸?7=黑,故選Co

32IT3qB

【例4】如圖所示，正方形區(qū)域仍cd內(nèi)（含邊界）有垂直紙面向里的勻強磁場，ab=l,Oa^OAl,大量帶

正電的粒子從O點沿與浦邊成37。角的方向以不同的速度w射入磁場，不計粒子重力和粒子間的相互

作用，已知帶電粒子的質(zhì)量為加、電荷量為外磁場的磁感應強度大小為比sin37o=0.6,cos37°=

0.8o

d

X

(1)求帶電粒子在磁場中運動的最長時間；

(2)若帶電粒子從ad邊離開磁場，求w的取值范圍。

答案⑴理吧(2)—<v^—

')90qB09m

解析(1)粒子從邊離開磁場時，在磁場中運動的時間最長，如圖甲所示,

2

mvD2TVR

qBvo=^0~,又T=—,

2nm

解得T=

又由幾何關(guān)系得9=74。，

則粒子在磁場中運動的最長時間上強薩7=詈詈

(2)當粒子軌跡與ad邊相切時，如圖乙所示，

設此時速度為voi,軌道半徑為R,

由幾何關(guān)系可得Ri+Rsin37°=0.4/

又處出=手，解得出=詈

Ri4m

當粒子運動軌跡與Cd邊相切時，如圖丙所示，設此時速度為V02,軌道半徑為&,

由幾何關(guān)系可得&十&cos37°=/,

又”儂=耍,解得加=普

R29m

綜上可得幽＜1，0〈吧。

4m9m

B總結(jié)提升

1.臨界問題的分析重點是臨界狀態(tài)

臨界狀態(tài)就是指物理現(xiàn)象從一種狀態(tài)變化成另一種狀態(tài)的中間過程，這時存在著一個過渡的轉(zhuǎn)折點，此轉(zhuǎn)

折點即為臨界狀態(tài)點。與臨界狀態(tài)相關(guān)的物理條件則稱為臨界條件，臨界條件是解決臨界問題的突破點。

2.極值問題

所謂極值問題就是對題中所求的某個物理量最大值或最小值的分析或計算，求解的思路一般有以下兩種：

一是根據(jù)題給條件列出函數(shù)關(guān)系式進行分析、討論；二是借助幾何圖形進行直觀分析。

課時精練

（分值：60分）

基礎(chǔ)落實練

1~5題每小題4分，共20分

1.（多選）如圖所示，在矩形區(qū)域內(nèi)分布著垂直紙面向里的勻強磁場，P點是GH邊的中點，四個完全

相同的帶電粒子僅在洛倫茲力的作用下，以大小不同的速率從P點射入勻強磁場，它們軌跡在同一平面（紙

面）內(nèi)，忽略粒子重力及相互作用，下列說法正確的是（）

A.①、②、③、④這四個粒子在矩形〃磁場區(qū)域的運動周期相同

B.④粒子的速率最大

C.③粒子的向心加速度最大

D.②粒子在矩形GH〃磁場區(qū)域運動的時間最長

答案AB

解析對于完全相同的粒子，其區(qū)相同，又丁=爺，則在同一勻強磁場中，周期都相同，由題圖知③粒子

mqB

在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角最大，所以③粒子在矩形GH/J磁場區(qū)域運動的時間最長，故A正確，D錯誤；根

據(jù)qvB—m—,可得r---

rqB

由于④粒子的半徑最大，則④粒子的速率最大，因為,T=—

rv

得粒子的向心加速度

可知④粒子的向心加速度最大，故B正確，C錯誤。

2.一線狀粒子源垂直于勻強磁場邊界不斷地發(fā)射速度相同的同種粒子，不考慮粒子的重力和粒子間的相互

作用,則粒子經(jīng)過磁場的區(qū)域（陰影部分）可能是（)

XXXXXX

:x

&XXIX

四

AB

xxxxXx一、xx

/X舞、XXX友Xxx\X

ILDJ皿………

CD

答案C

解析粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，如圖所示，粒子源最左端發(fā)射的粒子落在A點，最右端發(fā)射的

粒子落在B點，故選Co

XXX

X、X

粒子源

3.（2025?山東省名校期中聯(lián)考）如圖所示，直角三角形ABC區(qū)域中存在一勻強磁場，磁感應強度為3,已知

A8邊長為LZC=30°,相同帶正電粒子（不計重力及粒子間相互作用）以不同的速率從A點沿AB方向射

入磁場，貝（）（）

A

X

：X

XX

BC

A.粒子速度越大，在磁場中運動的時間越短

B.粒子在磁場中運動的時間最長時，是從C點射出的

C.粒子速度越大，在磁場中運動的路程越長

D.粒子在磁場中運動的最長路程為凱L

答案D

解析當粒子能夠從AC邊射出時，由幾何關(guān)系可知，粒子在磁場中的圓心角都為120°,因此運動時間為

粵7=萼，當粒子速度增大，半徑增大，直到不能從AC邊射出，圓心角變小，時間變短，故選項A、

36038q

B錯誤；粒子速度越大，粒子在磁場中運動的軌跡半徑越大，當粒子運動軌跡與邊相切時運動軌跡最

長，粒子速度再增大，粒子運動軌跡變短，并不是速度越大，粒子運動軌跡越長，故選項C錯誤；當粒子

和3c邊相切時路程最大，此時有R=AB=L,由選項A分析知運動的路程為s=6R=|讓,故選項D正確。

4.（多選）如圖，空間存在著垂直于紙面、磁感應強度為3的勻強磁場（圖中未畫出），M是垂直于x軸的熒光

屏，。點到屏M的距離為R。。點為一粒子源，從。點沿Oy方向發(fā)射出一束速度不同、比荷相同的帶正

電粒子，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后均能水平向右垂直打在屏M上，已知粒子以最大速度w在磁場中運動軌跡如圖中

所示，不計粒子的重力及粒子間的相互作用，貝!］（）

A.磁場方向垂直于紙面向里

B.帶電粒子的比荷為黑

C.磁場區(qū)域最小面積為咚

D.磁場區(qū)域最小面積為胃區(qū)

答案BD

解析根據(jù)左手定則可知，磁場方向垂直于紙面向外，故A錯誤；根據(jù)尺=翳，可知比荷為5=含，故

B正確；速度小于w的粒子也能水平向右垂直打在屏M上，所以磁場邊界是過。點與x軸夾角為45。斜線，

如圖，則磁場區(qū)域最小面積為陰影部分面積Sg=中—??2=中，故C錯誤，D正確。

7

ORX

5.（多選）如圖所示，平面直角坐標系中，A點的坐標為（遮心0）,在y軸和直線4。之間存在垂直紙面向里

的勻強磁場I,在AD和AC之間存在垂直紙面向外的勻強磁場II,磁感應強度大小均為3,AD與y軸平

行，AD.AC邊界的夾角ND4c=30。。質(zhì)量為加、電荷量為的粒子可在邊界AC上的不同點射入，入

射速度垂直AC且垂直磁場，若入射速度大小為理，不計粒子重力，貝1）（）

m

A.粒子在磁場中的運動半徑為d

B.粒子距A點0.5J處射入，不會進入I區(qū)

C.若粒子能進入?yún)^(qū)域I,則粒子在區(qū)域I中運動的最短時間為粵

3qB

D.若粒子能進入?yún)^(qū)域I,則粒子從距A點(百一l)d處射入，在區(qū)域I內(nèi)運動的時間最短

答案ACD

解析根據(jù)8利=心《可得『=吧=??迺=d,A正確；如圖甲所示，設粒子從P點入射時，軌跡和4。相

1rBqBqm

切，由幾何關(guān)系知OiA=2d,AP=d,因此粒子距A點0.5d處射入，會進入I區(qū)，B錯誤；

粒子在區(qū)域I運動時間最短時，軌跡如圖乙所示，此時MV平行于x軸，又MN=Wd,由幾何關(guān)系可知，

軌跡對應的圓心角為120°,運動時間為/=二=工.陋=陋，C正確；由幾何關(guān)系可知NAO2N=30。，又r

33qB3qB

=d,則AE=(V3—1)J,D正確。

ID能力綜合練

6~8題每小題6分，9題15分，共33分

6.(2024.山東省實驗中學月考)如圖，半徑R=2m的圓形區(qū)域內(nèi)有一垂直紙面向里的勻強磁場，P為磁場邊

界上的一點，大量相同的帶正電粒子，在紙面內(nèi)沿各個方向以相同的速率從P點射入磁場，這些粒子射出

磁場時的位置均位于尸。圓弧上且。點為最遠點。已知圓弧長等于磁場邊界周長的四分之一，不計粒

子重力和粒子間的相互作用，則該圓形磁場中有粒子經(jīng)過的區(qū)域面積為()

Xx\

XX1

p

A.(3K-2)m2B.(27i-2)m2

C.3兀m2D.2nm2

答案A

解析設軌跡圓的半徑為r,由幾何關(guān)系NPOQ=90。,則粒子儡

2

XXX

圓形磁場中有粒子經(jīng)過的區(qū)域如圖中陰影所示，圓形磁場中有粒子經(jīng)過的區(qū)域面積為s=（半一￡）+亨

428

nr23TIR2

—=(3TI—2)m2,故選Ao

7.（2024?山東淄博市檢測）一勻強磁場的磁感應強度大小為B,方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所

示，其中虛線兒足夠長，/a兒=135。。其他地方磁場的范圍足夠大。一束質(zhì)量為加、電荷量為q的帶正

電粒子，在紙面內(nèi)從。點垂直于仍射入磁場，這些粒子具有各種速率。不計粒子之間的相互作用及粒子

重力。以下說法正確的是（）

A.從6c邊射出的粒子在磁場中運動的時間都相等

B.若從a點入射的速度越大，則在磁場中運動的時間越長

C.粒子在磁場中最長運動時間不大于普

4qB

D.粒子在磁場中最長運動時間不大于空

2qB

答案D

解析畫出帶電粒子在磁場中運動的動態(tài)分析圖，如圖甲所示。粒子入射的速度越大，其做圓周運動的半

徑越大，當粒子都從油邊射出，所用時間均為半個周期，用時相等；當粒子從be邊射出時，速度越大，

軌跡半徑越大，圓心角越大，運動時間越長，故A、B錯誤；

當粒子的速度足夠大，半徑足夠大時，忽略仍段長度，運動情況可簡化為如圖乙所示，在直線邊界磁場

問題中，根據(jù)粒子運動軌跡的對稱性，結(jié)合幾何關(guān)系可知此時圓心角為a=270。，可得粒子在磁場中運動

的最長時間為史絲，故C錯誤，D正確。

36002qB

8.（2024.山東省名校聯(lián)盟聯(lián)考）如圖所示，PQ為磁感應強度為3=lxl（p21、方向垂直紙面向里的勻強磁場

的邊界，磁場中的。點有一粒子源，它均勻地向紙面內(nèi)各個方向同時發(fā)射速率為v=lxl04m/s、比荷為g

m

=lxl07C/kg的帶正電的粒子。已知。點與PQ的距離為10cm,不計帶電粒子的重力和粒子間的相互作

用，下列說法正確的是（）

A.飛出磁場的粒子數(shù)占所有粒子數(shù)的三分之一

B.飛出磁場的粒子數(shù)占所有粒子數(shù)的四分之一

C.PQ上有粒子飛出的區(qū)域長度為20cm

D.飛出磁場的粒子在磁場中運動的最長時間是最短時間的4.5倍

答案D

2

解析粒子在磁場中,由牛頓第二定律有/3=〃二，運動半徑為廠=7=0.1m=10cm,等于。到PQ的

距離，各個方向發(fā)射的粒子的軌跡如圖甲所示，水平向右和水平向左射出的粒子恰經(jīng)過邊界PQ,過。點

作垂直于尸。的水平線，則從O點射向水平線上方的粒子都不能射出磁場，射向水平線下方的粒子都可以

射出磁場，故飛出磁場的粒子數(shù)占所有粒子數(shù)的一半，故A、B錯誤；

粒子從邊界飛出的臨界點如圖乙所示，其中打到最下面的位置距離。點為2r,故PQ上有粒子飛出的區(qū)域

長度為5=7(2x0.1)2-0.12m+0.1m=0.1V3m+0.1m=(10V3+10)cm,故C錯誤；

丙T

如圖丙所示，水平向左發(fā)射的粒子運動時間最長，所對圓心角為270°,故在磁場中運動時間為?=-T,

max4

如圖丁所示，粒子軌跡對應的弦長最短，粒子運動時間最短，所對圓心角為60°,故在磁場中運動時間為

^?=7,所以/max—/min,故正確。

64.5D

9.（15分）如圖所示，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為b磁場區(qū)域

圓的半徑為凡質(zhì)量為加、電荷量為式.0）的帶電粒子在紙面內(nèi)從圓周上的M點射入磁場。不計粒子重力。

L又…-戈、

/XXX攵\

以XXX\

xOxx：

\xxxY/

（1）（4分）如果一個帶電粒子沿直徑MON方向射入磁場，速度v尸整該粒子在磁場中運動的時間為多少？

m

（2）（5分）如果大量相同的帶電粒子以相同的速率也在紙面內(nèi)從M點沿不同方向射入磁場，不計粒子間相互

作用，也=空，求粒子在磁場中運動的時間的最大值；

m

（3）（6分）如果大量相同的帶電粒子以相同的速率V3在紙面內(nèi)從〃點沿不同方向射入磁場，V3=警，不計粒

子間相互作用，求這些粒子在磁場邊界上出射點分布的長度。

答案⑴您⑵您⑶哩

、，2qB、，3qBv73

解析（1）由也=跡，〃1=吟,可得n=R,

mqB

粒子在磁場中運動的軌跡如圖甲所示，圓弧對應的圓心角（XI=90°,由7=陋