奧數(shù)補(bǔ)充組合題目及答案一、選擇題（每題5分，共20分）1.有5個(gè)不同的球和3個(gè)不同的盒子，將球放入盒子中，每個(gè)盒子至少有一個(gè)球，問有多少種不同的放法？A.15B.20C.30D.402.一個(gè)班級(jí)有30個(gè)學(xué)生，其中10個(gè)男生和20個(gè)女生，現(xiàn)在要選出5個(gè)學(xué)生組成一個(gè)小組，要求至少有1個(gè)男生和1個(gè)女生，問有多少種不同的組合方式？A.300B.400C.500D.6003.有6本不同的書，要分給3個(gè)人，每個(gè)人至少得到1本書，問有多少種不同的分法？A.60B.120C.180D.2404.一個(gè)數(shù)字由0到9這10個(gè)數(shù)字組成，要求數(shù)字中至少包含一個(gè)0和至少一個(gè)9，問這樣的數(shù)字有多少種？A.90B.100C.110D.120二、填空題（每題5分，共30分）1.有7個(gè)不同的蘋果和4個(gè)不同的籃子，每個(gè)籃子至少有一個(gè)蘋果，問有多少種不同的放法？______。2.一個(gè)班級(jí)有40個(gè)學(xué)生，現(xiàn)在要選出10個(gè)學(xué)生組成一個(gè)小組，要求小組中至少有3個(gè)男生和3個(gè)女生，問有多少種不同的組合方式？______。3.有8本不同的書，要分給4個(gè)人，每個(gè)人至少得到1本書，且每個(gè)人得到書的數(shù)量不能超過3本，問有多少種不同的分法？______。4.一個(gè)數(shù)字由0到9這10個(gè)數(shù)字組成，要求數(shù)字中至少包含一個(gè)1，一個(gè)2和一個(gè)3，問這樣的數(shù)字有多少種？______。5.有5個(gè)不同的球和3個(gè)不同的盒子，將球放入盒子中，每個(gè)盒子至少有一個(gè)球，且盒子中的球數(shù)不能超過2個(gè)，問有多少種不同的放法？______。6.一個(gè)班級(jí)有50個(gè)學(xué)生，其中25個(gè)男生和25個(gè)女生，現(xiàn)在要選出8個(gè)學(xué)生組成一個(gè)小組，要求小組中至少有2個(gè)男生和2個(gè)女生，問有多少種不同的組合方式？______。三、解答題（每題10分，共40分）1.有10個(gè)不同的球和5個(gè)不同的盒子，將球放入盒子中，每個(gè)盒子至少有一個(gè)球，且盒子中的球數(shù)不能超過3個(gè)，問有多少種不同的放法？2.一個(gè)班級(jí)有50個(gè)學(xué)生，其中30個(gè)男生和20個(gè)女生，現(xiàn)在要選出10個(gè)學(xué)生組成一個(gè)小組，要求小組中至少有2個(gè)男生和2個(gè)女生，且小組中男生的數(shù)量不能超過女生的數(shù)量，問有多少種不同的組合方式？3.有12本不同的書，要分給6個(gè)人，每個(gè)人至少得到1本書，且每個(gè)人得到書的數(shù)量不能超過3本，問有多少種不同的分法？4.一個(gè)數(shù)字由0到9這10個(gè)數(shù)字組成，要求數(shù)字中至少包含一個(gè)0，一個(gè)1，一個(gè)2，一個(gè)3，一個(gè)4和一個(gè)5，問這樣的數(shù)字有多少種？四、證明題（每題10分，共20分）1.證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，將n個(gè)不同的球放入n個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少有一個(gè)球，放法的總數(shù)為n!。2.證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，將n個(gè)不同的球放入n個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少有一個(gè)球，且盒子中的球數(shù)不能超過2個(gè)，放法的總數(shù)為2^(n-1)。答案：一、選擇題1.C.302.D.6003.B.1204.B.100二、填空題1.362.196003.2804.20005.106.53130三、解答題1.將10個(gè)不同的球放入5個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少有一個(gè)球，且盒子中的球數(shù)不能超過3個(gè)，可以按照以下步驟計(jì)算：-先從10個(gè)球中選出3個(gè)球，有C(10,3)種選法。-將選出的3個(gè)球放入一個(gè)盒子中，有5種放法。-剩下的7個(gè)球放入剩下的4個(gè)盒子中，每個(gè)盒子至少有一個(gè)球，有C(7,3)種選法。-將選出的3個(gè)球放入一個(gè)盒子中，有4種放法。-最后剩下的4個(gè)球放入剩下的3個(gè)盒子中，每個(gè)盒子至少有一個(gè)球，有C(4,2)種選法。-將選出的2個(gè)球放入一個(gè)盒子中，有3種放法。-最后剩下的2個(gè)球放入剩下的2個(gè)盒子中，每個(gè)盒子至少有一個(gè)球，有C(2,1)種選法。-將選出的1個(gè)球放入一個(gè)盒子中，有2種放法。-最后剩下的1個(gè)球放入最后一個(gè)盒子中，有1種放法。-所以總共有C(10,3)5C(7,3)4C(4,2)3C(2,1)21=25200種放法。2.一個(gè)班級(jí)有50個(gè)學(xué)生，其中30個(gè)男生和20個(gè)女生，現(xiàn)在要選出10個(gè)學(xué)生組成一個(gè)小組，要求小組中至少有2個(gè)男生和2個(gè)女生，且小組中男生的數(shù)量不能超過女生的數(shù)量，可以按照以下步驟計(jì)算：-先從30個(gè)男生中選出2個(gè)男生，有C(30,2)種選法。-再從20個(gè)女生中選出2個(gè)女生，有C(20,2)種選法。-剩下的6個(gè)名額可以是男生也可以是女生，可以按照以下情況計(jì)算：-6個(gè)名額都是男生，有C(28,6)種選法。-5個(gè)名額是男生，1個(gè)名額是女生，有C(28,5)C(18,1)種選法。-4個(gè)名額是男生，2個(gè)名額是女生，有C(28,4)C(18,2)種選法。-3個(gè)名額是男生，3個(gè)名額是女生，有C(28,3)C(18,3)種選法。-2個(gè)名額是男生，4個(gè)名額是女生，有C(28,2)C(18,4)種選法。-1個(gè)名額是男生，5個(gè)名額是女生，有C(28,1)C(18,5)種選法。-6個(gè)名額都是女生，有C(18,6)種選法。-所以總共有C(30,2)C(20,2)(C(28,6)+C(28,5)C(18,1)+C(28,4)C(18,2)+C(28,3)C(18,3)+C(28,2)C(18,4)+C(28,1)C(18,5)+C(18,6))=230300種組合方式。3.有12本不同的書，要分給6個(gè)人，每個(gè)人至少得到1本書，且每個(gè)人得到書的數(shù)量不能超過3本，可以按照以下步驟計(jì)算：-先從12本書中選出3本書，有C(12,3)種選法。-將選出的3本書分給3個(gè)人，有A(6,3)種分法。-剩下的9本書分給剩下的3個(gè)人，每個(gè)人至少得到1本書，且每個(gè)人得到書的數(shù)量不能超過3本，可以按照以下情況計(jì)算：-3個(gè)人每人得到3本書，有C(9,3)種選法。-2個(gè)人每人得到3本書，1個(gè)人得到0本書，有C(9,3)C(6,2)種選法。-1個(gè)人得到3本書，2個(gè)人每人得到2本書，1個(gè)人得到0本書，有C(9,3)C(6,2)C(3,2)種選法。-1個(gè)人得到3本書，1個(gè)人得到2本書，2個(gè)人每人得到1本書，有C(9,3)C(6,1)C(5,2)種選法。-所以總共有C(12,3)A(6,3)(C(9,3)+C(9,3)C(6,2)+C(9,3)C(6,2)C(3,2)+C(9,3)C(6,1)C(5,2))=27720種分法。4.一個(gè)數(shù)字由0到9這10個(gè)數(shù)字組成，要求數(shù)字中至少包含一個(gè)0，一個(gè)1，一個(gè)2，一個(gè)3，一個(gè)4和一個(gè)5，可以按照以下步驟計(jì)算：-先從10個(gè)數(shù)字中選出6個(gè)數(shù)字，有C(10,6)種選法。-將選出的6個(gè)數(shù)字排列成一個(gè)6位數(shù)字，有A(6,6)種排列方式。-剩下的4個(gè)數(shù)字（0，1，2，3，4，5）可以任意排列，有A(4,4)種排列方式。-所以總共有C(10,6)A(6,6)A(4,4)=151200種數(shù)字。四、證明題1.證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，將n個(gè)不同的球放入n個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少有一個(gè)球，放法的總數(shù)為n!。-首先，將n個(gè)不同的球放入n個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少有一個(gè)球，相當(dāng)于將n個(gè)不同的球排列成一個(gè)序列，有n!種排列方式。-然后，對(duì)于每個(gè)排列，將第i個(gè)球放入第i個(gè)盒子中，這樣就保證了每個(gè)盒子至少有一個(gè)球。-所以，總共有n!種放法。2.證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，將n個(gè)不同的球放入n個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少有一個(gè)球，且盒子中的球數(shù)不能超過2個(gè)，放法的總數(shù)為2^(n-1)。-首先，將n個(gè)不同的球放入n個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少有一個(gè)球，相當(dāng)于將n個(gè)不同的球排列成一個(gè)序列，有n!種排列方式。-然后，對(duì)于每個(gè)排列，將第i個(gè)球放入第i個(gè)盒子中，這樣就保證了每個(gè)盒子至少有一個(gè)球。-接下來，對(duì)于每個(gè)盒子，如果盒子中有2個(gè)球，我們可以將這兩個(gè)球交換位置