第03講等式與不等式的性質(zhì)

目錄

01考情解碼?命題預(yù)警..........................................................2

02體系構(gòu)建?思維可視...........................................................3

03核心突破?靶向攻堅(jiān)...........................................................3

知能解碼....................................................................3

知識(shí)點(diǎn)1兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較............................................3

知識(shí)點(diǎn)2不等式的性質(zhì)..................................................4

題型破譯....................................................................4

題型1作差法、作商法比較兩數(shù)（式）的大小...............................4

題型2利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假重

【方法技巧】利用不等式判斷正誤的方法

題型3利用不等式的性質(zhì)證明不等式.......................................6

題型4利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍...........................7

【易錯(cuò)分析】利用同向相加求范圍出錯(cuò)

題型5不等式的綜合難

04真題溯源?考向感知..........................................................8

05課本典例?高考素材..........................................................8

01

考情解碼-命題預(yù)警

考點(diǎn)要求考察形式2025年2024年2023年

(1)理解用作差法比較兩個(gè)

團(tuán)單選題

實(shí)數(shù)大小的理論依據(jù)

□多選題///

(2)理解不等式的性質(zhì)，掌□填空題

□解答題

握不等式性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

考情分析：

近三年考情顯示，高考對(duì)不等式性質(zhì)的考查雖單獨(dú)命題頻率較低，但相關(guān)知識(shí)貫穿各類題型，是進(jìn)行不等式變形、

證明及解題的核心工具。其重要性體現(xiàn)在：作為數(shù)學(xué)邏輯的基礎(chǔ)支撐，不等式性質(zhì)為函數(shù)、數(shù)列、幾何等模塊的解題提

供理論依據(jù)；同時(shí)，其應(yīng)用能力直接影響考生對(duì)復(fù)雜問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與分析能力，成為高考數(shù)學(xué)考查邏輯思維與運(yùn)算素養(yǎng)的

關(guān)鍵載體。因此，掌握不等式性質(zhì)不僅是應(yīng)對(duì)單一題型的需要，更是提升整體數(shù)學(xué)能力的必備基礎(chǔ)。

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

1.梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì)

2.能夠利用不等式的性質(zhì)比較不等式的大小關(guān)系

3.能夠利用不等式的關(guān)系表示不等式的范圍

02

體系構(gòu)建-思維可視

等

式

與

不

等

式

的

性

質(zhì)

03

Fi

核心突破?靶向攻堅(jiān)

PU

知識(shí)點(diǎn)1兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較

作差法：

如果?！肥钦龜?shù)，那么a>b;如果a-b等于零，那么a=b;如果a-b是負(fù)數(shù)，那么a<b.反過(guò)來(lái)也對(duì).

這個(gè)基本事實(shí)可以表示為:a>bo,a=b=a—b=0,a<boa—b<。.

作商法：

任意兩個(gè)值為的代數(shù)式。、b,可以作商a+6后比較/與的關(guān)系，進(jìn)一步比較。與。的

大小.

則有色>10〃>/?；a<b'—=\oa=b.

bbb

自主檢測(cè)|已知4>1,a2>l,設(shè)尸='+',2=—+1,則P與。的大小關(guān)系為

知識(shí)點(diǎn)2不等式的性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意

對(duì)稱性a>b<=>b<ao

傳遞性a>b,b>cna>cn

—a>b<^>a+c>b+co

a>b,c>Unac>bc

可乘性C的符號(hào)

a>b.______=>ac<be

同向可加性a>b.c>dn______n

同向同正可乘性a>b>O,c>d>O^ac>bdn

可乘方性a>b>0^>an>b〃(neN,n..2)同正

自主檢測(cè)|（多選）下列命題為真命題的是（）

A.若a>b>0,貝！Jac?〉。。？

B.若一2vav3,1<Z?<2,貝（jTva—Z?v2

C.若且c<0,則一z->—y

ab

D.若c>a>b,貝I------>—

c-ac-b

題型1作差法、作商法比較兩數(shù)（式）的大小

|例1-1他=叵。=布-&R=屈-日則尸，Q,R的大小關(guān)系是（）

A.P>RB.R>QC.P<RD.R<Q

例1-2妝口果尤,yeR,比較1+,2丫與孫（x+y）?的大小并證明.

【變式1-1］設(shè)0=近，6=3-0，貝I。b（填入“〉”或.

【變式1-2】己知》克糖水中含有?？颂牵?>。>0）,再添加加克糖（相>0,假設(shè)全部溶解），糖水變甜

了，將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式（）

aaa+ma

A.->------B.------->-------

bb+mbb+m

/aa+m-aa+m

C.-------<--------D.-<-------

b+mb+mbb+m

【變式?變載體】若。=浮力=號(hào)，則。與的大小關(guān)系是

1-3b.（用“>”連接）

題型2利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假

例2-1|（多選）對(duì)于實(shí)數(shù)。、b、c,下列說(shuō)法正確的是（）

A.若a<6<0,則一<，B.若ac2>be2,則。>方

ab

C.若?！?〉人，貝口.若c>a>b>0,貝絲g

cc+b

例2-2|已知x,y是實(shí)數(shù)，則“工>1”是“x<y”的（）

X

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

方法技15利用不等式判斷正誤的方法

①直接法：對(duì)于說(shuō)法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)證明；對(duì)于說(shuō)法錯(cuò)誤的只需舉出一個(gè)反例即可.

②特殊值法：注意取值一定要遵循三個(gè)原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算；三是

所取的值要有代表性.

【變式2-1】設(shè)a,beR,若則下列不等式中不正確的是（）

A.a2<b2B.—<—C.ab<b2D.a,+b>—\

ab

【變式2-2］（多選）設(shè)。力,ccR,則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.若a>b,貝!Ja-c〉b-cB.若a2>,貝

C.若ac1>be?,貝D.若則6?>尸

【變式2-3】下列說(shuō)法中正確的是（）

人.“々>方”是“〃2”2，，的充分條件

B.是“42>"2，，的必要條件

c.“0>萬(wàn)”是“時(shí)>網(wǎng)”的充分條件

D.是"/>從”的必要條件

題型3利用不等式的性質(zhì)證明不等式

ab

例3-1|若a>6>0,c<d<0,證明:--------------7>-------------T

(b-d)(Q-C).

例3-2已知,d<c<-2.

(1)求證：(。-1)伍—l)(c+2)(d+2)>。；

(2)求證：ac+bd>bc+ad.

c〃

【變式3-11已知b>a>0,c>d>0,求證——>——

c+ad+b

【變式?jīng)Q2】設(shè)心八°'求證常

【變式3-31(1)設(shè)0vxvl,。vy<1,求證：x(1-y)+y(\—x)<1,

(2)設(shè)0<%<1,0<y<1,0<z<l,求證：％(l—y)+y(l—z)+z(l—%)<l,

題型4利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍

例4-1已知a,6eR,若2<々<3,-2<6<-1,貝!Ja-3/?的取值范圍是；若-l<a+b<3,且

2<a-b<4,貝|2。+36的取值范圍是.

|例4-2|已知3<。+6<4,1<。一6<2,貝112ab的取值范圍是（

A.（4,18）B.（2,9）C.（5,15）

易錯(cuò)分析利用同向相加求范圍出錯(cuò)

在多次運(yùn)用不等式性質(zhì)時(shí)，其等號(hào)成立的條件可能有所不同，造成累積誤差，結(jié)果使變量范圍擴(kuò)大。為了

避免這類錯(cuò)誤，必須注意①檢查每次使用性質(zhì)時(shí)等號(hào)成立的條件是否相同；②盡可能多的使用等式

【變式4-1】如果30〈尤<42,16<y<24,則2x-y的取值范圍是.

【變式4-2］已知一l<a+b<3,2<a-b<4,P=a+3b,則P的取值范圍是.

【變式4-3】已知1cx<3,-2<y<-l.

⑴求2尤+3y,3x-2y的取值范圍；

⑵求孫，上的取值范圍.

X

題型5不等式的綜合

例5-1（2025?云南昆明?一模）已知x>0,x2-2xy+z2=0,/<衣，則（）

A.y>z〉xB.龍〉y>zc.龍>zD.Z>%>,

例5-21已知a,6eR+,〃eN*,若m=（a+"（a"+6"）,n=2（an+i+bn+l）,則（）

A.m>nB.m>nC.m<nD.m<n

丫25

【變式5-1］設(shè)龍,>為實(shí)數(shù)，滿足2（孫2工3,3?—W4,則r二的最大值是.

yy

，新考法|【變式5-2］（2024?河北邯鄲?模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)無(wú)，》z滿足3x+2y+2zZ4或尤+3y+3zN3,

記A/=max{x,y,z}（M為x,y,z中最大者），則/的最小值為.

【變式5-3］（1）已知x>y>z,且x+2y+z=o,請(qǐng)證明：—舊-2/4-6.

Z

mYl]

（2）已知機(jī)>0,n>0,且〃z+〃>3,請(qǐng)證明:與」至少有一個(gè)大于9

〃+3"7+33

04

真題溯源-考向感知

■i

1.（2017.北京.高考真題）能夠說(shuō)明“設(shè)a,6,c是任意實(shí)數(shù)，若a>b>cMa+b>c”是假命題的一組整數(shù)a,b,c

的值依次為.

2.（2019?全國(guó)H卷?高考真題）若a>b,則

A.ln（<7-/?）>0B.3a<3b

C.a3-/?5>0D.|a|>|/?|

3.（2022.新高考全國(guó)II卷.高考真題）（多選）若x,y滿足/+'2一D=1，則（）

A.x+y<lB.尤+yN-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l