專題3:切線問(wèn)題

.............................°?！磳ｎ}綜述》>6.............................

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義探究函數(shù)的切線問(wèn)題高考考查的熱點(diǎn)，常見(jiàn)題型有求切線方程、探究切線的條

數(shù)、由切線方程或切線方程的條數(shù)求參變量的值或范圍、公切線問(wèn)題，公切線問(wèn)題是2022年高考的新題

型之一.

.............................。<?專題探究>>>。.............................

1.切線的定義：在曲線的某點(diǎn)A附近取點(diǎn)B,并使B沿曲線不斷接近A,這樣直線AB的極限位置就是曲

線在點(diǎn)A處的切線.

2.函數(shù)f（久）在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)了（回）的幾何意義是在曲線y=f（x）上點(diǎn)（須，/Uo））處的切線的斜率（瞬時(shí)速度就

是位移函數(shù)s⑺對(duì)時(shí)間f的導(dǎo)數(shù)）.相應(yīng)地，切線方程為y—八項(xiàng)）=/（項(xiàng)）（尤一沏）.

3.求曲線切線方程的一般步驟：（1）求出y=/（久）在x=久。處的導(dǎo)數(shù)，即y=/（X）在點(diǎn)PQoJOo））處的

切線斜率（當(dāng)曲線y=/（x）在P處的切線與y軸平行時(shí)，在P處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為刀=久。）；（2）

由點(diǎn)斜式求得切線方程y-y0=f'（x）?（%-

4.對(duì)于兩個(gè)（或兩個(gè)以上）函數(shù)的兩條切線重合時(shí)，稱該切線為兩個(gè)（或兩個(gè)以上）函數(shù)的公切線即：對(duì)

于函數(shù)y=/0）和y=g（x）,若直線/既與曲線y=/（￡）相切，也與曲線y=g（x）相切.則稱直線I為函數(shù)

y=f（x）和y=g（x）的公切線.

函數(shù)公切線問(wèn)題，一般最后轉(zhuǎn)化為方程的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，因此解決

函數(shù)公切線問(wèn)題，充分應(yīng)用“轉(zhuǎn)化與化歸”的思想和“函數(shù)與方程”的思想；公切線問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是導(dǎo)數(shù)幾何意

義的綜合應(yīng)用，將曲線間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極（最）值、零點(diǎn)等，然后通過(guò)運(yùn)算

求解或推理論證而解決問(wèn)題；解決公切線問(wèn)題至少有三種思維切入方式：①利用兩切線重合；②構(gòu)造函數(shù)，

轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值；③凹凸反轉(zhuǎn)，利用切不等式放縮.

〉題型一：公切線問(wèn)題

?解題策略

題設(shè)情境是兩常系數(shù)函數(shù)公式條數(shù)的探究及求公切線方程，因此分別設(shè)函數(shù)的切點(diǎn)坐標(biāo)，求得相應(yīng)的切

線方程，利用公式的幾何特征即兩函數(shù)的切線為同一直線，因此聯(lián)列方程組消元后得到關(guān)于其中一個(gè)切

點(diǎn)模坐標(biāo)的方程，然后應(yīng)用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)定理討論方程解的個(gè)數(shù)，求方程特殊根相應(yīng)的切線方程.

⑥典例精那

例1已知函數(shù)/'（久）=-2,g（x）=41nx-2（a〉0）.則函數(shù)/（久）與g（久）的圖象是存在公切

線，其中一條公切線的方程為.

【思路點(diǎn)撥】

由函數(shù)f（x）與g（x）的圖象存在公切線，設(shè)公切線與函數(shù)〃久）=K2一2、g（x）=4仇久-2上的切點(diǎn)分別為

（久1，久21一2）,（%2,41nx2-2）,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求得切線的方程，由公切線的意義及兩直線重合的

條件列方程組，消元后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為—41nxi+41n2—4=0（/>0）有解，構(gòu)造函數(shù)m（x）=x2-

41nx+41n2-4,(%>0),根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可判斷函數(shù)根(%)在(0,+8)上有兩個(gè)零點(diǎn)，函

數(shù)/(%)與g(%)的圖象存在兩條公切線，結(jié)合根(2)=0,=2,可得其中一條公切線的方程.

【規(guī)范解析】

由題設(shè)函數(shù)/(%)與9(%)的圖象存在公切線，

設(shè)公切線與函數(shù)/(%)=/一2、g(%)=4仇％-2上的切點(diǎn)分別為一2),(%2,41n%2-2),

因?yàn)?''(%)=2x,g'(x)=p

4

所以切線的方程分別為y—(/i-2)=2x(x-x),y-(41nx-2)=—(x-x).

112x22

，4

即y=2%]%——2,y=—x+41nx2~,6,由題意可得1，

2

"2{—x1—2=41nx2—6,(2)

則%2=—>0,可知>0,將%2=工代入(2)可得久21—41n%i+41n2—4=0,

xixi

函數(shù)/(%)與g(%)的圖象存在公切線，貝I」/]一41n%i+41n2-4=0(%i>0)有解，

22

設(shè)m(%)=x2-41nx+41n2-4,x>0得M(%)=2%-：=^~X

當(dāng)0<%〈迎時(shí)，m'C%)<0,函數(shù)m(%)單調(diào)遞減；當(dāng)%>或時(shí)，mz(x)>0,函數(shù)m。)單調(diào)遞增，

因?yàn)閙(夜)=21n2—2V0,7no=.+41n2>0,m(e)=e2+41n2—8>0,

所以函數(shù)m(%)在(0,+8)上有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)/(%)與g(%)的圖象存在兩條公切線，

2

因?yàn)閙(2)=0,%】=2代入y=2xrx—xr—2,

可得其中一條公切線的方程為4%-y-6=0.

機(jī)要式訓(xùn)練

練1(2024?河北省?模擬題)已知直線小、=%+5為曲線/(%)=短的切線，若直線，與曲線gQ)=—+

也相切，則實(shí)數(shù)租的值為.

【規(guī)范解析】

設(shè)直線/：y=x+b與曲線/(%)=e"相切于點(diǎn)(%(),e”。),

由/'(%o)=ex°=1,得久o=0,

所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),所以直線，的方程為：y=x+lf

又由直線/與g(%)相切，得一?％2+mx-|=x+1有且僅有一個(gè)解，

化簡(jiǎn)得：x2—2(m—1)%+9=0,

則4=4(ZH-1)2-4x9=0,

解得：m=4或m=-2.

故答案為4或-2.

練2(2024?湖南省?模擬題)已知函數(shù)/(久)=ax3+3%2—6ax—11,g(%)=3x2+6%+12和直線TH：y=

kx+9,且/'(-1)=0.

(1)求。的值；

(2)是否存在k,使直線相既是曲線y=f(%)的切線，又是曲線y=g(%)的切線？如果存在，求出k的值;

如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【規(guī)范解析】

(1)由已知得((%)=3a%2+6%—6a,

因?yàn)閞(-1)=0,

所以3a—6—6a=0,

所以a=-2.

(2)存在.由已知得，直線m恒過(guò)定點(diǎn)(0,9),若直線m是曲線y=g(%)的切線，

則設(shè)切點(diǎn)為(%0,3工a+6%0+12).

因?yàn)間'(&)=6x0+6,

所以切線方程為y-(3%+6x0+12)=(6x0+6)(%-x0)?

將(0,9)代入切線方程，解得久o=±l.

當(dāng)&=一1時(shí)，切線方程為y=9；

當(dāng)狗=1時(shí)，切線方程為y=12%+9.

由(1)知/(%)=-2/+3%2+12%-11,

①由/。)=0得一6/+6%+12=0,

解得久=-1或%=2.

在％=-1處，y=/(%)的切線方程為y=-18；

在％=2處，y=/(%)的切線方程為y=9,

所以y=/(%)與y=g(%)的公切線是y=9.

②由「(久)=12得一6/+6%+12=12,

解得久=?；颍?1.

在％=0處，y=/(%)的切線方程為y=12x-11；

在％=1處，y=/(汽)的切線方程為y=12%—10,

所以y=/W與y=的公切線不是y=12%+9.

綜上所述，y=/(%)與y=g(%)的公切線是y=9,此時(shí)k=0.

)題型二：含參變量的切線問(wèn)題

?解題策略

題設(shè)情境是討論三次多項(xiàng)式型函數(shù)單調(diào)性和極值，已知函數(shù)切線條數(shù)求參變量的取值范國(guó).第(1)問(wèn)應(yīng)

用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值的基本方法，通過(guò)分類與整合思想求解；第(2)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得

過(guò)點(diǎn)P的切線方程,應(yīng)用參變分離方法和數(shù)形結(jié)合思想,探究存在三條切線的充分條件,從而求得實(shí)數(shù)小的

取值范圍.

?兩的精的

例2已知函數(shù)/(無(wú))=|x3—|ax2+(a—l)x+2(aGR).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若函數(shù)f(x)滿足/'(久)+f(-x)=4,且過(guò)點(diǎn)P(l,ni)(mH可作曲線y=f(%)的三條切線，求實(shí)數(shù)

小的取值范圍.

【思路點(diǎn)撥】

第(1)問(wèn)由題設(shè)求得/(久)=/—ax+a—1=(x—l)(x-a+1),由((x)=0可知得x=1或x=a-

1兩個(gè)根，然后a-1與1的大小關(guān)系分類討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性，便可得到函數(shù)/(?的極值；第(2)問(wèn)

首先由/(X)+/(—%)=4求出參數(shù)a的值，從而可求得過(guò)點(diǎn)P的切線方程y—?琮-殉+2)=

(以一1)0-*0)，由切線過(guò)點(diǎn)P(I,M)得機(jī)=一|琮+以+1，構(gòu)造新函數(shù)g(x)=—|刀3+/+1,應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(x)的性質(zhì)，借助函數(shù)g(x)的圖象推導(dǎo)曲線y=f(x)有三條切線時(shí)，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

【規(guī)范解析】

(1)((%)=x2—ax+a—1=(x—1)(%—a+1),令/'(%)=0得%=1或%=a—1,

①若a-1=1,即a=2,則尸(%)=(%-1)2之0,/(%)在(一8,+8)上單調(diào)遞增，無(wú)極值；

②若Q—1>1,即a>2,則當(dāng)汽<1或%>a—1時(shí)，/'(%)>0；當(dāng)1V%<a—1時(shí)，/'(%)<0,

故/(%)在(一8,1)和(a—L+8)單調(diào)遞增，在(1,。一1)單調(diào)遞減，極大值為"1)=(。+/

極小值為/(a—1)=—'a?+\口)

oZ3

③若a—1<1,即a<2,則當(dāng)％<a—1.或％>1時(shí)，/'(%)>0；當(dāng)a—1<%<1.時(shí)，/(%)<0,

/(%)在(一8,@-1)和(1,+8)單調(diào)遞增，在(Q—1,1)單調(diào)遞減，

極大值為f(a-1)=一｝。3+小_|a+1，極小值為/(l)=

綜上可知，當(dāng)a=2時(shí)，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,+8),無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間，無(wú)極值；

當(dāng)a>2時(shí)，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(—8,1)和(a—1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,a-1),

極大值為/(I)=+[,極小值為f(a—1)=—^a3+a2-|a+f；

ZJo23

當(dāng)a<2時(shí)，f(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8?-1)和(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(a—LI),

極大值為f(Q-1)=一：。3+小_|q+1,極小值為/(l)=1a+i

oZ3Z3

⑵由/(%)=|x3—1ax2+(a—l)x+2,/(%)+f(—x)=4,

可得a=0,所以/(%)=|x3—%+2,/'(%)=%2—1,

設(shè)曲線y=/(%)與過(guò)點(diǎn)P(Lzn)(mH§的切線相切于點(diǎn)1。,加一汽o+2),

則切線的斜率為k=詔一1,所以切線方程為y-C就一&+2)=(就-1)(%-%0),

因?yàn)辄c(diǎn)尸(l,m)HJ在切線上，

3

所以TH-Q%0一％o+2)=(%Q-1)(1一%0),即TH=-|%o+就+1,設(shè)g(%)=-|%+/+1,

過(guò)點(diǎn)尸(1,瓶)(mH可作曲線y=/(%)的三條切線，即y=m與g(X)的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，

因?yàn)間'(%)=—2x2+2%=—2x(x—1),令g'(x)=0,解得%=0或%=1,

所以當(dāng)(％V0)或%>1時(shí),grM<0；當(dāng)0V%<1時(shí)，“(X)〉0,g(%)在(—8,0)和(1,+8)上單調(diào)遞

減，在(0,1)上單調(diào)遞增，g(x)的極小值為g(0)=l,極大值為9(1)=%

則g(x)的大致圖像如下：

4

<m<-

從而由y=m與g(%)的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，可得13

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1怖)

?》變式訓(xùn)練

練3(2024?福建省三明市?月考試卷)已知函數(shù)/(%)=—短+2久2一久，若過(guò)點(diǎn)P(l,t)可作曲線y=f(x)的三

條切線，貝亞的取值范圍是()

A.(0,京1)B.(0喘1)C1.(0,擊)1D.(0i)

【規(guī)范解析】

設(shè)過(guò)點(diǎn)尸的直線為L(zhǎng)y=k(x-1)+3

r(x)=-3%2+4%-1,設(shè)切點(diǎn)為(％o，y()),

則1-3鬲+4x0-1=k

、(/c(x0—1)+t=—XQ+2%Q—x0'

得t+1=2就-5就+4出有三個(gè)解，

令g(%)=2x3—5x2+4%,g'(x)=6x2—lOx+4=2(%—1)(3%—2),

當(dāng)g'(%)>0，得久>1或％<I，g'(%)<0,得|<x<1,

所以9(%)在(—8,1),(L+8)單調(diào)遞增，(I，1)單調(diào)遞減，

2羿g⑴=1,g(x)=t+1有三個(gè)解,

,3

得1<t+1<招，即0<t<

故選：D.

練4.(2025?湖北省?模擬題)若過(guò)點(diǎn)P(l,TH)可以作三條直線與曲線C:y=%峭相切，則根的取值范圍是()

*0

A.B.C.(0,+oo)D-(W.

【規(guī)范解析】

???曲線C：y=xex???y，=(%+l)ex,

xx

?,?過(guò)點(diǎn)(%o，&e&)的切線方程為y=(x0+i)e°x-x^e°9

???該切線和％=1的交點(diǎn)縱坐標(biāo)為(一瞪+%。+l)ex°,

?.,函數(shù)/(%)=(―%2+%+l)ex,

???函數(shù)/(%)=(-%2+%+和直線y=m的交點(diǎn)個(gè)數(shù),

即為過(guò)點(diǎn)(1,血)的切線條數(shù)，即為原題過(guò)點(diǎn)尸和曲線C相切的直線條數(shù),

??,/'(%)=—(%2+x—2)e*=—(%—1)(%+2)ex,

???當(dāng)％e(-8,-2)時(shí)，［(久)<0,函數(shù)/(%)遞減,

當(dāng)無(wú)￡(-2,1)時(shí)，f(x)>0,函數(shù)/(%)遞增，當(dāng)％6(1,+8)時(shí)，f(%)<0,函數(shù)/(%)遞減,

???函數(shù)f(%)圖像如下:

???函數(shù)/(%)在汽=-2處取得極小值，在％=1處取得極大值,

2)=—爰，/⑴=e，又/(0)=1，XT+8時(shí)，/(X)<0,

故選：A.

練5(2024?四川省雅安市?模擬題)已知函數(shù)f(x)=等，其中aGR.

(1)當(dāng)a<0時(shí)，求/(%)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)a=1時(shí)，過(guò)點(diǎn)(-1,爪)可以作3條直線與曲線y=/(x)相切，求小的取值范圍.

(1)由/(%)=?x，。<。,

【規(guī)范解析】

aex—(ax+l)exa—l—ax

得/⑺=

~e^-嬴-

令—(%)>0,得久>/-;令/'(%)<0,得X<

(2)當(dāng)Q=1時(shí)，((%)=矍,則/⑺=—9

%o+i

設(shè)切點(diǎn)為［0,得)，則［(X。)=—需=雷；

化簡(jiǎn)得爪="號(hào)+1,

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)(-1,6)可以作3條直線與曲線y=f(x)相切，

所以方程.^有三個(gè)不同的實(shí)根，

設(shè)。(久)=匚詈里，則直線y=ni與函數(shù)y=g(x)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn),

而歐乃=守，

令g'(%)>0,得令g'(x)V0,得％V-1或久>1,

所以函數(shù)9(%)在(-8,-1)和(1,+8)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

易知9(一1)=0，9(1)=%且%>0時(shí),g(x)>0,

畫出直線y=血與函數(shù)y=g(%)的大致圖象，如圖,

要使直線y=血與函數(shù)y=g(%)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，貝依<m<^,

)題型三：利用切線放縮證明不等式

?解題策略

題設(shè)情境是討論含參變量函數(shù)的單調(diào)性,證明常系數(shù)不等式和與函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)的不等式.第(1)問(wèn)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)

研究函數(shù)單調(diào)性的基本方法，通過(guò)分類與整合思想求解；第(2)問(wèn)等價(jià)變形不等式,應(yīng)用數(shù)學(xué)抽象構(gòu)造函

數(shù),應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值的基本方法求函數(shù)最值而證明不等式;第(3)小問(wèn)借助研究問(wèn)題的整體性意識(shí)，

由第(2)問(wèn)求解啟示,應(yīng)用切線放縮技巧證明，即利用函數(shù)在某點(diǎn)處的切線位于函數(shù)下方,從而直線y=爪與

函數(shù)的交點(diǎn)之間的距離小于直線y=根與兩切線的交點(diǎn)之間的距離.

⑥典例精那

例3已知函數(shù)/(%)=xInx—a(x—1),其中aGR.

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a=0時(shí)，①證明：/(x)>-x--

__-I

②方程f(%1)=/(%2)=血有兩個(gè)實(shí)根第1，%2，且％2>X1，求證：X2-<1+—+2m.

【思路點(diǎn)撥】

第(1)問(wèn)由函數(shù)/(%)=%①%--1),求得/(%)=1+,]-a,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)正負(fù)取值與函數(shù)單調(diào)性的

關(guān)系，即可求解函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；第(2)問(wèn)①證明不等式恒成立，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)g(%)=%)%+%+

*，求得g'(x)="x+2應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值的關(guān)系，求得函數(shù)g(x)的最小值即可證明；②根據(jù)函數(shù)的單

調(diào)性及極值點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合判斷方程有兩個(gè)根的情況a的取值范圍及兩根的取值范圍，聯(lián)立直線、=-x-

與y=m,求解交點(diǎn)橫坐標(biāo)7，應(yīng)用“切線夾”的技巧得血-與<g-犬，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將證明不等

式刀2-乂1<1+a+2n轉(zhuǎn)化證明不等式刀2-X’<1+*+26，構(gòu)造函數(shù)/1(刀)=久—萬(wàn))刀-

1,(；<X<1),應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)□(%)的最值即可證明.

【規(guī)范解析】

(1)由已知函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),=1+Inx-a,

所以當(dāng)%￡(0,4一1)時(shí),此時(shí)/'(%)<0,函數(shù)/(%)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,建一1),

所以當(dāng)％W(e"T,+8)時(shí),此時(shí)廣(%)>0,函數(shù)/(%)單調(diào)遞增區(qū)間為(eaT,+oo),

所以函數(shù)/。)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,?aT),單調(diào)遞增區(qū)間為(4T,+8).

(2)當(dāng)a=0時(shí)，①要證不等式/(%)2-%-/成立，即證明％仇％N-％-2成立.

即證明％Zn%%>0成立.令g(x)=xInx+x(%)=Inx+2

當(dāng)無(wú)€(0,?-2)時(shí)，此時(shí)“(%)<0,當(dāng)％E(?-2,+8)時(shí)，此時(shí)"(%)>0,

所以g(x)在(0,e-2)上單調(diào)遞減，在(b2,+8)上單調(diào)遞增

所以g(x)最小值為g(e-2)=o,g(x)>0恒成立，即一無(wú)-m無(wú)仇久恒成立得證.

②由①得久仇%>一%-2恒成立，即直線y=-％-2始終在曲線y=%仇》下方且有唯一切點(diǎn)，

又尸(%)=Znx+1,故f(1)=1,

y=x\nx

所以在點(diǎn)(L0)處的切線方程為y=%-1,\/=x?l

令t(%)=xlnx—%+1,貝加'(％)=Inx_______/?

所以當(dāng)久E(0,1)時(shí)，此時(shí)?%)vo,函數(shù)wo單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),J=nl-V--

所以當(dāng)久e(1,+8)時(shí)，此時(shí)F(%)>o,函數(shù)力(%)單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8),

所以t(x)>t(l)=0,即％仇%>X—1,

即直線y=x—1始終在曲線y=%仇工下方且有唯一切點(diǎn);

設(shè)y=-己與y-x-1的圖象與y=m交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為%3/4，

貝UR=--m,x4=m+1,

所以％3<xr<x2<x4,即%2—V%4—%3=1+專+2m.

一變式訓(xùn)練

練6(2024?安徽省合肥市模擬)已知函數(shù)/(久)=講-2,函數(shù)g(x)=等①6R)的最大值為

(1)求a的值；

(2)求證：(①)/(%)與g(%)的一條公切線過(guò)原點(diǎn)；(②)/(%)>g(%).

【規(guī)范解析】

(1)顯然aH0,g'(%)=，由g'(%)=0得％=e,

若aVO當(dāng)久c(0,e)時(shí)，g'(%)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)％W(e,+8)時(shí),g'(x)>0,g(%)單調(diào)遞增.

g(%)沒(méi)有最大值，不符合題意.

若a>O當(dāng)久E(0,e)時(shí)，g'(%)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng).W(e,+8)時(shí),g'(x)<0,g(%)單調(diào)遞減.

g(%)有最大值g(e)=故Q=2.

(2)0)由/(%)=靖-2,得/⑺=靖-2,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為

切線為y—eX1~2-eX1~2(x—無(wú)力，即y=eX1~2x+(1—%i)e工廠2過(guò)原點(diǎn),

所以(1-%i)e%L2=0,故久1=1,故切線方程為y=［久；

由(1)知g(x)=等，"(%)=汽粵

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(冷，等)，切線為丫-等=2d；產(chǎn))(久_%2).

由切線過(guò)原點(diǎn)，得%2=近，故切線方程為y=；%.

所以/(%)與g(%)有一條公切線y=}%過(guò)原點(diǎn).

(范)由(i)知要證/(x)>g(%),即證1一2>|x>q即e%>e%且/>2eln%(等號(hào)不同時(shí)成立)

令F(x)=ex—ex,x>0,F'(x)=ex-e,

當(dāng)xe(0,1)時(shí),F'(x)<0，尸(%)單調(diào)遞減;當(dāng)xe(1,+8)時(shí),F(x)>0,尸(%)單調(diào)遞增.

所以“x)min=F(l)=0,所以短2ex,當(dāng)且僅當(dāng)尤=1時(shí)取等號(hào)，

令G(x)="-2elnK,%>0,所以G'(x)=2x-空=返三色.

所以，當(dāng)x6(0,孤)時(shí)，G'(x)<0,G(x)單調(diào)遞減;當(dāng)xe(血,+8)時(shí)，G，(x)>0,G(x)單調(diào)遞增.

故G(x)min=G(Ve)=0,所以/>2elnx,當(dāng)且僅當(dāng)x=正時(shí)取等號(hào).

綜上，/(x)>g(x).

練7(2024?四川省成都市模擬)已知函數(shù)/O)=e，—2Y—(a+1)，9(乃=%2+(a-l)x—(a+2)

(其中e-2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

(1)試討論函數(shù)/0)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)當(dāng)a>1時(shí)，設(shè)函數(shù)h(%)=/(%)-g(%)的兩個(gè)極值點(diǎn)為久i、&且%i<%2，求證：e%2-eX1<4a+2.

【規(guī)范解析】

(1)由/(%)=0可得Q=ex—2x—1,令p(%)=ex-2x—1,其中第6R,

則函數(shù)/(%)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于直線y=a與函數(shù)p(%)=靖-2%-1圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù),

p'(x)=ex-2,令p'(%)=0可得久=ln2,列表如下：

X(—00,In2)In2(In2,+00)

p'(x)—0+

pM減極小值1一2"2增

如下圖所示:

當(dāng)。<1一2仇2時(shí)，函數(shù)/(%)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)。=1-2仇2時(shí)，函數(shù)/(')只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)。>1一2仇2時(shí)，函數(shù)/(%)有兩個(gè)零點(diǎn).

(2)v/i(x)=/(%)—g(%)=e%———(a+i)%+1,其中X6R,

所以，叫-x-(a+l),由已知可得H(deX-2xL(a+l)=0,

h(%2)=c*2—2x2—(a+1)=0

上述兩個(gè)等式作差得e“2-e%】=2(久2-%i)，

要證e%2—eX1<4a+2,即證％2—%i<2a+1,

因?yàn)閜(0)=0,設(shè)函數(shù)p(%)的圖象交工軸的正半軸于點(diǎn)(冷,0),則％3>上2,

因?yàn)楹瘮?shù)p(%)在(近2,+8)上單調(diào)遞增，p(l)=e-3<0,p(|)=￡-4>0,???久3E(L

設(shè)函數(shù)p(%)的圖象在％=0處的切線交直線y=a于點(diǎn)4(*,a),

函數(shù)p(%)的圖象在久=第3處的切線交直線y=a于點(diǎn)

因?yàn)閜'(0)=-1,所以，函數(shù)p(%)的圖象在％=0處的切線方程為丁=一%,

聯(lián)立｛J二;可得｛1;二,即點(diǎn)4(一a,a),

構(gòu)造函數(shù)??1(%)=p(x)+x=ex—x—1,其中％GR,則M(X)=ex—1,

當(dāng)％<0時(shí)，mz(x)<0,此時(shí)函數(shù)m(%)單調(diào)遞減，

當(dāng)%>0時(shí)，m'^x)>0,此時(shí)函數(shù)m(%)單調(diào)遞增，所以，m(x)>m(0)=0,

所以，對(duì)任意的久ER,p(x)>-%,當(dāng)且僅當(dāng)％=0時(shí)等號(hào)成立，

由圖可知久1<0,貝Up(%i)=eX1—2/—1=a>—%i，

所以，X]>—CLf

因?yàn)閜(%3)=e%3—2X3—1=0,可得e%3=2x3+1,

函數(shù)p(%)在％=的處的切線方程為y=(e*3-2)(%-x3),

聯(lián)立/二("；]產(chǎn)一￡),解得無(wú)=&+右=++如即點(diǎn)

B(/l+%3，a),

因?yàn)?+%3—S+1)=3—D(1-占)=(XL】：：：；一?。)<°,

所以，為=已+巧<。+1,

xxX3

構(gòu)造函數(shù)九(%)=e-2x—1—(e*3—2)(X—x3),其中％GR,貝g(%3)=0,rf(x)=e—ef

當(dāng)％<孫時(shí)，nz(x)<0,此時(shí)函數(shù)幾(%)單調(diào)遞減，

當(dāng)%>冷時(shí)，當(dāng)(%)>0,此時(shí)函數(shù)？1(%)單調(diào)遞增,則九(%)>n(x3)=0,

X3

所以，對(duì)任意的％ER,p(x)>(e-2)(x-x3),當(dāng)且僅當(dāng)％=孫時(shí)，等號(hào)成立，

所以，p(%2)=短2—2右一1=。>(靖3-2)(%2—第3)，可得％2〈/公+%3=為，

因此，久2—％1V為一%：Va+1+a=2a+1,故原不等式成立.

.............................?！丁磳ｎ}訓(xùn)練>>>"

1.(2024?江蘇省南通市?模擬題)已知函數(shù)/(%)=%2+2%和g(%)=-x2+a,如果直線胴時(shí)是/(%)和g(%)的

切線，稱，是/(%)和g(%)的公切線，若/(%)和g(%)有且僅有一條公切線，則。=.

【解析】

由/(%)=%2+2%得：/'(%)=2%+2；由g(%)=—X2+a得:g'(x)=—2x；

設(shè)/與f(%)相切于點(diǎn)4(%1，就+2/)，與g(%)相切于點(diǎn)8(欠2,-螃+a),

所以[的方程為y-(%i+2%i)=(2x1+2)(%-%])或y-(-%2+a)=-2x2(%-x2)?

即/的方程為y=(2/+2)x—賭或y=—2X2X+%,+%

所以｛?212%2+貝|2好+2/+1+a=0,因?yàn)?(%)和g(%)有且僅有一條公切線，

所以』=4—8(1+a)=0,解得：a=—

1

故答案為:2-

x+m2

2.(2024?安徽省合肥市模擬)已知曲線的：y=e,C2：y=xf若恰好存在兩條直線直線"與

氫、。2都相切，則實(shí)數(shù)M的取值范圍是()

A.(2仇2—2,+8)B.(2仇2,+8)C.(―8,2仇2-2)D.(—8,2仇2)

【解析】

設(shè)直線k：y=七%+%，=：y=+與，設(shè)h與。1、心的切點(diǎn)坐標(biāo)分別為(%i,yi)、(%2,y2)，

%=e%i+m=2%2氏>0)(%1=lnkl_m

則有《七％1+瓦=短】+皿，可得(x2=^,

—X1+m

、七％2+bl=W(/c1(%2—%1)=%2e

故心(—―伍七+6)=彳_h，整理得：m=In%一三-1,

同理可得，當(dāng)直線22：y=k2%+力2與Q、。2都相切時(shí)有：m=lnk2-^-l,

綜上所述，只需血=仇女一號(hào)一1(々>0)有兩解，

令f(k)=Ink_三_1,貝Ij/(k)=(一:=M，故當(dāng)尸(k)>o時(shí)，0<k<4,

當(dāng)廣(k)V0時(shí),fc>4,所以f(k)在(0,4)上遞增,在(4,+8)遞減，

故/(k)7na%=f(4)=/n4-^-1=2ln2-2,所以只需滿足m<2In2-2即可.

4

故選c.

3.(2024?天津市月考)若函數(shù)/(%)=與函數(shù)g(%)=/+%+磯％<0)有公切線，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是()

A.()》+8)B.(—l/+oo)

C.(1,+oo)D.(仇2,+oo)

【解析】

設(shè)公切線與函數(shù)f(x)=mx切于點(diǎn)4(右,Zn%!)(%!>0),f'M=p切線的斜率為言，

則切線方程為y—mXi=((%-X1),即丫=px+Znxi-l,

設(shè)公切線與函數(shù)g(%)=/+%+。切于點(diǎn)8(%2,慰+%2+a)(%2V0)，g'(%)=2%+1,

切線的斜率為2次+1，

則切線方程為y-(%22+%2+Q)=(2%2+1)(第一％2)，

1_2%_|_]

即y=(2&+1)%—+。，所以有X12，

2

Inxr—1=—x2+a

_ii

因?yàn)樯?gt;0,所以20+1>0，可得一-<%2<0，0<2x+1<1,即0(一<1,

22

由V=2冷+1可得：尤2=?一也

所以a=InXi+Xo2_1=InX]+(-----)—1=—In—I—(---1)—1,

1z1

2/比14\xrJ

令t=—,貝￡(0,1)fCL=—(^t—1)2—1—Int=———t—ITIt——,

設(shè)h(t)=it2-it-Znt-J(0<t<1),則口％)=工力_三_工=t-=(咱匕<0,

4/4、J22t2t2t

所以h(。在(0,1)上為減函數(shù)，則h(t)>h(l)=：—=-1,所以a>-L

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-1,+8),故選B.

4.(2024嘿龍江省模擬)設(shè)直線4，%分別是函數(shù)圖象上點(diǎn)B，22處的切線，

且乙與"垂直相交于點(diǎn)P，h,%分別與y軸相交于點(diǎn)力，B,則△P4B的面積的取值范圍是()

A.(0,1)B.(O,(3T：2)Z)c((3T：2)2,+8)D.(1,+OO)

【解析】

設(shè)P1(汽1，Vl)，尸2(X21丫2)，。V%1V1V%2，

當(dāng)0<%Vl時(shí)，/(%)=Inx,/'(%)=：;當(dāng)％>1時(shí)，/(%)=—Inx,/'(%)=—：.

11

的斜率為七=二，PiCq,仇修)，?的斜率為卜2=-不，P(x,-lnx),

X1x2222

由，1.與"垂直知七七=~2)=—1，即%i%2=1，

直線，1的方程為y-仇％1(%-%1),即y=2%-1+伍》1，則點(diǎn)+上％J,

xixi

XX

直線%的方程為y+近％2=~~(~%2)，即y=~~+1一"%2，由％2=；得丫=—XrX+1+仇％1，則

xX

%221

點(diǎn)8(0,1+InXi),所以=|(1+①％J-(-1+Inx1)\=2,

X1+lnX

聯(lián)立直線方程[y=^-l；消去y得P點(diǎn)橫坐標(biāo)孫=玉，

X1

ly=-xrx+1+仇％i

12

所以△P4B的面積S=-|^F|.|xP|=不，o<%!<1,

1

因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)y=/+J在0<<1是單調(diào)遞減的，取值范圍為(2,+8),故U衛(wèi)e(o,3，

xl1Xi

即s=—re(0,1).

故選：A.

2

5.(2024廣東省?聯(lián)考題)已知函數(shù)/(%)=arx+a2,g(%)=f(x)—xsinx.

(1)證明：當(dāng)3al=a2=3時(shí)，曲線C:y=(%+3)/(%)+恒*關(guān)于點(diǎn)(一1,8)對(duì)稱；

(2)若P為曲線G，C2的公共點(diǎn)，且G，C2在P處存在共同的切線，則稱該切線為Ci，。2的公切線.若曲線

y=g(%)與曲線y=-cos久存在兩條互相垂直的公切線，求的,g的值.

【解析】

232

(1)當(dāng)3al=a2=3時(shí)，令h(%)=(%+3)(%+3)+1g=%+3x+3%+9+

即/i(%)=(x+l)3+】g2+8,定義域?yàn)?-8,-2)U(0,+8),

所以/i(-l-x)+h(-l+x)=[(-x)3+IgEiTT+8]+(%3++8)

=[(一久)3+X3]+(1g言+1g舒)+16=16,

即h(—1—x)+h(—l+%)=16,

所以曲線C：y=(x+3)/(%)+1g魘關(guān)于點(diǎn)(—1,8)對(duì)稱.

(2)設(shè)曲線y=g(x)與曲線y=-cosx的兩條互相垂直的公共切線的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為%,%2,其公切線

的斜率一定存在，分別設(shè)為自，k2,則自電=一1，

因?yàn)?—cos久)'=sin%,所以sin%i?sinx2==—1,

不妨設(shè)simq=1,則=2/CTT+￡Z),COS%[=0,sinx2=-1，cosx2=0，

因?yàn)樽?g'(%i)=2a1x1—sin%1—%icos%i，

由公切線的定義得，2alzt-sin%1—%icos%i=sin%1，

所以的=--=77——(fc€Z),

1勺4kn+n'J

同理的=-2，所以工=一工，化簡(jiǎn)得，x1+x2=0,

X2x1x2

因?yàn)榍€y=-cos%上的點(diǎn)(%L-cos%】)也在曲線y=g(%)上，所以一?瓷-%isin%i+a=-cos%「所以

xi2

a2=0,

2

所以的=4卜7+兀(kWZ),a2=0.

6.(2024?湖北省襄陽(yáng)市?模擬題)已知函數(shù)/(%)=(x2-l)e-x-a.

>2e-x,求a的取值范圍；

(2)當(dāng)。=一2時(shí)，記函數(shù)/(%)的兩個(gè)零點(diǎn)為%1，汽2，求證：1%1-％21<|-2

【解析】

(1)易知f(%)的定義域?yàn)镽,由/(%)>2?一%得a<(%2-3)e-x.

令。(%)=(⑤-3)e-x,則“(%)=(―%2+2%+3)e-x,

令。'(久)=0，解得％=-1,或久=3?

所以當(dāng)%E(一8,-1)時(shí),g'(x)<0,9。)單調(diào)遞減；

當(dāng)xc(-1,3)時(shí)，“(%)>0,g(%)單調(diào)遞增;

當(dāng)無(wú)￡(3,+8)時(shí)，gr(x)<0,9(%)單調(diào)遞減.

易知當(dāng)％T+8時(shí)，9(%)-0,所以g(%)min=9(-1)=-2e，

所以a的取值范圍是：(-8,-2e].

(2)證明：當(dāng)a=—時(shí)，/(%)=(%2—l)e-x+p則/(%)=(2%—/+1)?一無(wú).

令/'(%)=0,解得％=1-或1+V-2-

所以當(dāng)久W(-8,1時(shí)，/'(%)<0,/(%)單調(diào)遞減；

當(dāng)%E(l—LZ1+C)時(shí),f(x)>0,/(乃單調(diào)遞增；

當(dāng)％W(1+心,+8)時(shí)，/'(%)<0,/(%)單調(diào)遞減.

易知當(dāng)|%|>1時(shí)，函數(shù)/(%)=(%2-V)e~x+^>0,

且當(dāng)％=-1時(shí)，/(-I)=其圖象與y軸交于點(diǎn)N(0,—今，

函數(shù)/(久)的兩個(gè)零點(diǎn)無(wú)1，汽2必在(-L1)之間，不妨設(shè)%1<%2.

由分析可知，不等式可通過(guò)切線放縮的方法證明，不妨在函數(shù)/(%)上取N(0,-今，

所以需要證明當(dāng)-IV%VI時(shí)，函數(shù)/(%)在N(0,-今處的切線均在函數(shù)f(%)圖象的下方.

易求函數(shù)/(%)在也一13),N(0,-手處的切線方程分別為y=-2e(x+1)+抑y=%-1,

所以證明當(dāng)一1<xV1時(shí)，不等式一2e(%+1)+：</(%)和％</(%)成立.

@先證明當(dāng)—1V%<1時(shí)，—2e(x+1)+2—/(%)<0成立，

即證2eQ+1)+(x2—l)e-x>0.令m(%)=2e(x+1)+(%2—l)e~x,

則MQ)=2e—(%2—2x—l)e-x=(2ex+1—x2+2%+V)e~x,

令九(%)=2ex+1——+2%+1,則"(％)=2ex+1—2%+2;

令(p(x)=2ex+1—2%+2,則d。)=2ex+1—2>0.

所以9(%)在(一1,1)上單調(diào)遞增，所以9(%)>9(-1)=6>0,即〃(%)>0,

所以九(%)在(一1,1)上單調(diào)遞增,所以九(%)>h(-1)=0,即？n'(%)>0,

所以m(%)在(—1,1)上單調(diào)遞增，所以m(%)>m(—1)=0,

所以7n(%)=2e(x4-1)+(x2—l)e"x>0.

即當(dāng)—1<x<1時(shí)，—2e(%+1)+1</(%)成立.

②再證明當(dāng)一1V%<1時(shí)，％—2一/(%)40成立.

-11

令八1(%)=x---[(x2—V)e~x+-]=(1—x)[(x+l)e~x—1].

令九2(X)=(%+l)e~x—1,則為<%)=—xe~x,

當(dāng)％W(TO)時(shí),出'。)〉。，函數(shù)九2。)單調(diào)遞增；

當(dāng)％W(0,1)時(shí),h2'(x)<0,函數(shù)電(%)單調(diào)遞減；

所以當(dāng)汽W時(shí),/i2(x)</12(0)=0,此時(shí)1一%>0,

所以七(%)=x-1-/(%)<0,

所以當(dāng)一1<%<1時(shí)，％—]4/(%)成立.

通過(guò)分析，可畫出/(%)的大致圖象，如圖所示：

易得直線y=—2e(x+1)+?和y=x—g的零點(diǎn)分別為=-1+/，x]=寺，

則由圖象可得出一%21V=?一(-1+也)=|一今.

7.(2024湖北省荊州市月考)已知函數(shù)/(久)=ex,g(x)=K+abix.

(1)討論g(x)的單調(diào)性；

(2)若a=l,直線/與曲線y=/(久)和曲線y=g(x)都相切，切點(diǎn)分別為「(/，乃)，Q(x2,y2),

求證：久2>

【解析】

(1)g(x)定義域?yàn)?0,+8),因?yàn)間'(x)=1+?=卓，

若aNO,則g'(%)>0，所以g(%)在(0,+s)單調(diào)遞增，

若a<0,則當(dāng)％6(0,-a)時(shí)，“(%)V0,當(dāng)％e(-a,+8)時(shí)，g'(%)>0,

所以9(%)在(0,-。)單調(diào)遞減，在(一+8)單調(diào)遞增.

(2)證法一：對(duì)于曲線y=/(%),1(%)=e*,的==e%】，

X1X1X1X1X1

直線，的方程為y—yi=e(x—即y—e=ex—