專題6.6分割（鞏固篇）（專項練習）

一、單選題

ARAC

1.生活中到處可見分割的美.如圖，點。將線段A8分成AC、C3兩部分，且AOBC,如果胃=片,

ACCB

那么稱點C為線段AB的分割點.若C是線段AB的分割點，AB=2,則分割后較短線段長為（）

/II

ACB

A.y[5-lB.3-V5C.25/5-3D.石一2

2.世界上最有名的建筑物中幾乎都包含“分割”，如成都廣播電視塔同樣蘊含著“分割”，如圖，塔高AB為

339米，觀光區(qū)P為塔AB的分割點（AP>PB）,那么AP的高度大約為（）米.

1

A〃口”

A.200B.210C.300D.130

3.點。是線段A5的分割點，且AB=6的，則3C的長為（）

A.^3A/5-3jcmB.（9一3百）。加

C.卜斯—3）czn或（9一3百卜機D.（9—cm或（6石一6,加

4.已知點P是線段的分割點，AP>PB,則AP:總的值為（）

A.B.^±1C.0.618D.75-1

22

5.如圖，線段A8=l,點P是線段的分割點（且APiVBPi,即PI￥=AP].A8）,點P?是線段AP的分

割點（AP2<P1P2）,點P3是線段AP2的分割點（AP3Vp2P3）,…，依此類推，則線段&尸2017的長度是（）

■_?----???

AP，P：RB

A.（竽）2017B.（誓）2017C.（|）2。17D.（V5-2）1008

6.古希臘數(shù)學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點G將一線段腦V分

為兩線段MG,GN,使得其中較長的一段MG是全長MN與較短的段GN的比例中項，即滿足

曳￡=絲=正'后人把好匚這個數(shù)稱為“分割,，數(shù)，把點G稱為線段肱V的“分割”點.如圖，在AABC

MNMG22

中，已知AB=AC=3,BC=4,若。，E是邊2C的兩個“分害/點，貝以ADE的面積為（)

A

A.10-475B.375-5C.，-笠D.20-8石

7.有以下命題：

①如果線段d是線段。，b,。的第四比例項，貝U有￡

ba

②如果點C是線段AB的中點，那么AC是A3、的比例中項；

③如果點C是線段A3的分割點，且AC>BC,那么AC是A3與3c的比例中項；

④如果點C是線段的分割點，AC>BC,且AB=2,則AC=6—1.

其中正確的判斷有（）

A.②④B.①②③④C.①③④D.②③④

8.采用如下方法可以得到線段的分割點：如圖，設是已知線段，經(jīng)過點B做8OLA2,使=

連接ZM,在ZM上取。在AB上截取AC=AE.點C即為線段AB的分割點，若BD=2,則BC

的長為（）

D.2A/5-2

9.古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是史二1（吏二0.618,

22

稱為分割比例），如圖，著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚

臍的長度之比也是縣」.若某人滿足上述兩個分割比例，且腿長為105s,頭頂至脖子下端的長度為

2

26cm,則其身高可能是（）

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

二、填空題

10.大自然巧奪天工，一片小小樹葉，也蘊含著“分割”.如圖，P為A3的分割點如果AP的

長度為8cm,那么AB的長度是cm.

n.人們把理這個數(shù)叫做分割數(shù)'著名數(shù)學家華羅庚優(yōu)選法中的。618法就應用了分割數(shù).設0

A/5+I11

b-，貝Uab=1,i己S1=------F---?―1+/+1+加，…，貝US[+邑+???+、（）=

21+Q1+Z?

12.點尸是線段A8的分割點，AP>BP,若BP=5,則AP=_.

13.如圖，線段AB=1,點Pi是線段AB的分割點（APi<BPi），點P2是線段APi的分割點（AP2<PIP?）,

點P3是線段AP2的分割點（AP3Vp2P3）,…，依次類推，則APn的長度是.

<*—?-----??，，一?

Ap3P.P,B

14.大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“分割”.如圖，P為的分割點（AP>P3）,

如果AB的長度為8cm,那么A尸的長度是.

15.已知線段A5=6,點c是線段的分割點，AC>BC.那么AC—3C=.

16.“分害/被視為最美麗的幾何學比率，在建筑、藝術和日常生活中處處可見.如圖，。、E是AABC中

邊BC的兩個“分割”點，則4ADE與公ABC的面積之比是.

17.若線段42=底加，C是A3的分割點，且AC>BC,則AC=5-且cm.（判斷對錯）

2

18.已知點C為線段的分割點，S.AC=lcm,則線段A3的長為.

19.點C是線段AB的分割點（AC>BC）,若AC=2則.

AP一BP

20.（如圖1）,點P將線段AB分成一條較小線段AP和一條較大線段BP,如果BP'1s,那么稱點P

（1）以圖1中的AP為底，BP為腰得到等腰AAPB（如圖2）,等腰AAPB即為三角形，三角形的定義

底腰

底一底一腰

為：滿足M.618的等腰三角形是三角形；類似地，請你給出矩形的定義:

（2）如圖1,設AB=1,請你說明為什么k約為0.618；

（3）由線段的分割點聯(lián)想到圖形的“分割線”，類似地給出“分割線”的定義：直線1將一個面積為S的圖形

Si_s?

sTT

分成面積為S1和面積為S2的兩部分（設S1<S2）,如果一，那么稱直線1為該矩形的分割線.（如

圖3）,點P是線段AB的分割點，那么直線CP是△ABC的分割線嗎？請說明理由；

（4）圖3中的△ABC的分割線有幾條?

21.如圖，正五邊形A8CDE的各條對角線的交點為N,P,Q,R,它們分別是各條對角線的分割點.若

AB=2,則MN的長為.

D

22.如圖1所示，點C將線段AB分成兩部分，如果？=美，那么點C為線段AB的分割點.某研究小組

在進行課題學習時，由分割點聯(lián)想到“分割線”，類似地給出“分割線”的定義：直線1將一個面積為s的圖

形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1、S2,如果?=言，那么稱直線1為該圖形的分割線.

(1)研究小組猜想：在△ABC中，若點D為AB邊上的分割點，如圖2所示，則直線CD是△ABC的分割

線，你認為對嗎？說說你的理由；

(2)請你說明：三角形的中線是否是該三角形的分割線.

ACBC

23.如圖①，點C將線段A3分成兩部分，如果署=算，那么稱點C為線段的分割點.某研究小組

在進行課題學習時，由分割點聯(lián)想至U“分割線”，類似地給出“分割線”的定義：直線1將一個面積為s的圖

形分成兩部分，這兩部分的面積分別為a，s?如果言=今，那么稱直線1為該圖形的分割線.

(1)研究小組猜想：在AABC中，若點D為邊上的分割點(如圖②)，則直線CD是AABC的分割線.你

認為對嗎？為什么？

(2)請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的分割線？

(3)在(1)中的AMC中，研究小組在進一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點C任作一條直線交A3于點E,再過點D

作直線//CE,交AC于點F,連接跖(如圖③)，則直線跖也是的分割線.請你說明理由；

(4)如圖④，點E是平行四邊形ABCD的邊A3的分割點，過點E作EFV/A3,交。C于點F,顯然直線

跖是平行四邊形ABCD的分割線.請你畫一條平行四邊形A3C。的分割線，使它不經(jīng)過平行四邊形A3。

各邊分割點.

DE

圖③

24.一般地，點C把線段A3分成兩條線段AC和2C,如果空=空，那么稱線段被點C分割，點C

ABAC

叫做線段A3的分割點，AC與A3的比叫做比.請計算比.

???

4____CB

25.閱讀與思考

分割

分割起源于古希臘的畢達哥拉斯學派，公元前4世紀，古希臘數(shù)學家歐多克索斯第一個系統(tǒng)研究了分割比

例這一問題，并建立起比例理論.后來歐幾里得進一步系統(tǒng)論述了分割，其《幾何原本》成為最早的有關

分割的論著.分割指的是把一條線段分成兩部分，使其中較長部分與線段總長之比等于較短部分與較長部

分之比.

分割在美學、藝術、建筑和日常生活方面有看廣泛的應用.如埃及的金字塔、印度的泰姬陵等，都可發(fā)現(xiàn)

與比有聯(lián)系的數(shù)據(jù).20世紀70年代，這種方法經(jīng)過我國著名數(shù)學家華羅庚的倡導在我國得到大規(guī)模推廣，

取得了很大的成就

如圖1的作法是由《幾何原本》中給出：

(1)以線段為邊作正方形A5CD.

(2)取AD的中點E,連接BE.

(3)在D4的延長線上取點F，使=

(4)以線段A廠為邊作正方形AbGH.

點H就是線段A3的分割點.

以下是證明點”是線段A3的分割點的部分過程.

證明：設正方形ABC。的邊長為1,則AB=AZ)=1.

,點E是AD的中點，.?.AE=[AO=!

22

在RtZkABE中，由勾股定理得：BE=^AE-+AB2=

~2

任務:

(1)請根據(jù)上面的操作步驟，將上述證明過程補充完整.

(2)如圖2,點C,。是線段A3的兩個分割點，且AC=2君-2,則=,BC

ADCB

圖1圖2

參考答案

1.B

【分析】

根據(jù)分割點的概念進行計算，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項,

這樣的線段分割叫做分割，他們的比值墾叫做比.

2

【詳解】

解：根據(jù)分割點的概念得：AC=@AB=4亙*2=石-1

22

BC=ABAC=2-(A/5-1)=3-75；

故選：B.

【點撥】本題考查了分割點的概念，熟悉比的值是解題的關鍵.

2.B

【分析】

根據(jù)分割比代入求值即可.

【詳解】

由題意知：*與

：AB=339,

ABP=ABPA=339PA,

代入得：339一抬=四,

PA2

解得：B4?210,

故選：B.

【點撥】此題考查分割比的定義及比值，難度一般.

3.C

【分析】

把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做分割,

比為止二1,據(jù)此進行解答即可得答案.

2

【詳解】

,/點C是線段AB的分割點，且AB=6cm,

/.BC=AB=x6=3V53,

22

或BC=6^^-AB=93小，

2

故選C.

【點撥】本題考查了分割點的概念，熟記比的值是解題的關鍵.

4.B

【分析】

根據(jù)分割比求出AP,PB計算即可;

【詳解】

;點P是線段A3的分割點，AP>PB,

.AP75-1

??----=--------

AB2

令=%，

；?AP=

."_6-1_布+1

''~PB=3-&=2

故答案選B.

【點撥】本題主要考查了分割的知識點，準確計算是解題的關鍵.

5.A

【分析】

根據(jù)分割的定義的BPi=亙AB,則APi=ABBPi=UAB=上空，利用同樣的方法可得到

222

AP2=^^AP1=（等j,AP3=d/，按此規(guī)律易得APn的長度=（學

【詳解】

解答：解：：線段AB=1,點P1是線段AB的分割點（AP1VBP1）,

；.BP尸且AB

2

APi=ABBPi=t&B±阻

22

:點P2是線段AP1的分割點（AP2<PIP2）,

.??P1P2=亨明

2

.".AP2=AP1P1P2=(

3

同理可得AP3=（誓）

/c百、2017

.32017=(等)

故選A.

【點撥】此題重點考察學生對分割的理解，理解分割點是解題的關鍵.

6.A

【分析】

作AFLBC,根據(jù)等腰三角形ABC的性質(zhì)求出AF的長，再根據(jù)分割點的定義求出BE、CD的長度，得到

△ADE中DE的長，利用三角形面積公式即可解題.

【詳解】

解：過點A作AFLBC,

VAB=AC,

.,.BF=^-BC=2,

在RtAABF,AF=ylAB2-BF2=732-22=6，

D是邊BC的兩個“分害廣點，

.CDV5-1CDA/5-1

即Bn----=------

BC242

解得CD=26-2,

同理BE=26-2,

CE=BCBE=4(2A/52)=62岔，

；.DE=CDCE=4宕8,

SAABC=—xDExAF=—x^4A/5—8jx^/5=10—45/5,

22

故選：A.

BDFEC

【點撥】本題考查了“分割比”的定義、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的應用以及三角形的面積公式，求出

DE和AF的長是解題的關鍵。

7.C

【分析】

根據(jù)比例線段、分割的定義逐個判斷即可得.

【詳解】

①如果線段d是線段。，b,c的第四比例項，則有?=「，正確;

ba

4/?AC

②如果點C是線段AB的中點，則會=2,黑=1,

ACnC

什?ABAC

所以——?！?，

ACBC

所以AC不是A3、3C的比例中項，錯誤;

③如果點C是線段A3的分割點，且AC>3C,

ACV5-1BCAB-ACAB,2#>-l

劃=,=-1=-7=1=，

AB2ACACAC亞—12

,ACBCABAC

所CCI以>——=——，即an——=——，

ABACACBC

所以AC是AB與3c的比例中項，正確；

④如果點C是線段A3的分割點，AC>BC,且AB=2,

則生=6一1,即芷=避二

AB222

所以AC=6-1,正確；

綜上，正確的判斷有①③④，

故選：C.

【點撥】本題考查了比例線段、分割，熟練掌握分割的定義是解題關鍵.

8.B

【分析】

由勾股定理求出入。=2人，貝!|AC=AE=4。-。E=2^/^-2,得-AC=6-2石即可.

【詳解】

解：'：BD±AB,BD=-AB,BD=2,

2

：.AB=4,

'-AD=^AB^+BD1=〃+T=2退,

,:DE=BD=2,

：.AC=AE=AD-DE=2耶-2,

：.BC=AB-AC=-4-(275-2)=6-2^；

故選：B.

【點撥】本題考查勾股定理，掌握勾股定理是解題的關鍵.

9.B

【分析】

設某人身高為mem,脖子下端至肚臍的長度為ncm,由腿長為105cm,可得如坐＞必二！“o.618,解

1052

得機＞169.890,根據(jù)一次辿一=避二0.618得到機＜178.218,由此得到答案.

m—(n+26)2

【詳解】

解：設某人身高為mem,脖子下端至肚臍的長度為ncm,則由腿長為105cm,可得竺2里〉史二1。0.618,

1052

解得根＞169.890.

由頭頂至脖子下端的長度為26cm,

可得竺＞避二J0,618,

n2

解得口＜42.071.

26+〃A/5-1

由已知可得-0.618,

m—(ji+26)2

解得用＜178.218.

綜上，此人身高山滿足169.890＜加＜178.218.

所以其身高可能為175cm.

故選：B

【點撥】此題考查比例的性質(zhì)，根據(jù)題意設定未知數(shù)后得到對應成比例的線段，由此解答問題是解答此題

的關鍵.

10.(475+4)

【分析】

先根據(jù)分割的定義求出AP,然后把AP的長度代入求出AB的長即可.

【詳解】

解：為A3的分割點(AP＞PB),

.-.AP=^^-AB,

2

=A尸x8=(4百+4)cm

V5-1V5-1'''

故答案是：(475+4).

【點撥】本題主要考查了分割點的定義，若把線段AB分成兩條線段AC和BC（AOBC）,且使AC是

AB和BC的比例中項，叫做把線段AB分割，點C叫做線段AB的分割點，其中AC=避二^AB.

2

11.10

【分析】

先根據(jù)迎1求出S"￡+—（"為正整數(shù)）的值，從而可得"，…島的值，再求和即可得.

【詳解】

解:?/ab=l,

1an

-----1---------（〃為正整數(shù)），

1+/an(l+bn)

1an

-----1---------

l+anan+(ab)n

1an

-----1-----

l+anan+l

=1,

Sx=S2='??=Sl0=1,

貝IjSi+S2H----FS10=10,

故答案為：10.

【點撥】本題考查了二次根式的運算、分式的運算，正確發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律是解題關鍵.

12575+5

2

【分析】

根據(jù)分割的定義即可進行計算解答.

【詳解】

,??點尸是線段的分割點，且AP>BP,

,BPV5-1

,,------------，

AP2

???BP=5,

4n2x55布+5

,舊-12'

故答案為：地至.

2

【點撥】本題考查了分割的知識，把線段A3分成兩條線段AC和BC（AC>8。，且使AC是AB和BC的比

例中項，叫做把線段AB分割.

【解析】

試題分析：若點4是線段AB=1的分割點（M<期），則BPX=告^A3="■，有

APt=1-與1=土豐,同理點￡是線段4片的分割點（AP2<陽廁AP2=（1-與也=（三5）2，

點鳥是線段AP2的分割點（A鳥<￡鳥），則AP3=（1鳥=（主咨了也=….

考點：分割點.

14.(475-4)cm

【分析】

利用分割的定義計算出AP.

【詳解】

?.?2為48的分割點（">網(wǎng)），

二.AP=3^AB="^X8=4君一4（叫

故答案為：（475-4）cm.

【點撥】此題考查分割的定義，分割物體的較大部分等于與整體的墾1■.

2

15.675-12

【分析】

根據(jù)比值為止二1進行計算即可得到答案.

2

【詳解】

解：；點C為線段AB的分割點，AB=6,

.?.AC=@^X6=3>53,

2

BC=6（3^53）=9375,

ACBC=3氐（93退）=6印2；

故答案為：675-12

【點撥】本題考查的是分割的知識和二次根式的計算，理解分割的概念，找出分割中成比例的對應線段是

解決問題的關鍵.

16.75-2

【分析】

過4作8c于H,先由分割點的定義得B￡=CO=好二IgC,然后表示出2。、OE的長，再由三角形

2

面積公式求解即可.

【詳解】

解：過A作于X,如圖所示：

,/D、E是邊BC的兩個“分割”點，

:.BE=CD=^^~BC,

2

：.BD=BC-CD=BC-BC=3~BC,

22

：.DE=BE-BD=BC-?-出BC=（非-2）48,

22

]DExAH

LADE馬4ABC的面積之比=1--------=喀=（癢2?C=下

LBCXAHBCBC

2

故答案為：舊-2.

【點撥】本題考查了分割：把線段分成兩條線段AC和BC（AOBC）,且使AC是A3和2C的比例

中項（即A3：AC=AC：BC）,叫做把線段AB分割，點C叫做線段AB的分割點.其中AC=避二'AB,

2

并且線段AB的分割點有兩個.

17.錯誤

【解析】

【分析】

先根據(jù)分割的定義列式計算AC的長，再進行比較即可判斷.

【詳解】

由己知可得AC=叵4=必二6=匕叵工5-好.

2222

故答案為：錯誤

【點撥】本題考查了分割的定義：把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例

中項，這樣的線段分割叫做分割，他們的比值，亙叫做比，熟記定義是解題的關鍵.

2

18.且上1或

22

【分析】

根據(jù)分割點的定義，分線段AC為較長的線段和較短的線段兩種情況解答即可.

【詳解】

①若AC是較長的線段，VAC=lcm,

.\AB?^^-=AC=1,

2

解得AB=X1上1；

2

②若AC是較短的線段，：AC=lcm,

.?.AB?3~^=AC=1,

2

解得AB=I^,

2

綜上所述，AB的長是近工或會.

22

故答案為墾1或且±2.

22

【點撥】本題考查了分割點的概念，解題時注意這里的AC可能是較長線段，也可能是較短線段；熟記比

的值進行計算是解題的關鍵.

19.4

【解析】

【分析】

根據(jù)分割的概念把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段

分割叫做分割.

【詳解】

由題意得：AB-BC=AC2=4.

故答案為：4.

【點撥】此題考查分割，解題關鍵可知與掌握其概念.

20.(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

(4)無數(shù)條

【解析】解：

—必

一人

R-支+-|<?

(1)滿足區(qū)見F*0.618的矩形是矩形；

BP

JD

(2)由'=k得,BP=lxk=k,從而AP=l-k,

逑二里

由婢屋得，BP2=APXAB,

即k2=(1-k)xl,

-1二小

解得k=2,

Vk>0,

01

2

：.k=-0.618；

_A_P=-BP

(3)因為點P是線段AB的分割點，所以*尸以8

設△ABC的AB上的高為h,則

——^iPxhfnc—BPxhr>TJ

S二JPC_2=迫S二BPC_2=竺

S-BPC-BP^hBPS*LiBxh3

22

?；迦電，1

二直線CP是AABC的分割線.

(4)由(2)知，在BC邊上也存在這樣的分割點Q,則AQ也是分割線，設AQ與CP交于點W,則過

點W的直線均是△ABC的分割線，故分割線有無數(shù)條.

(1)類比三角形的定義進行定義；

(2)(3)根據(jù)線段分割點的概念和三角形的面積公式進行分析；

(4)根據(jù)(2)中的結(jié)論，得到這樣的直線有無數(shù)條.

21.3-75

【分析】

首先根據(jù)正五邊形的相關性質(zhì)判定四邊形ABNE為平行四邊形，進而求出EN的長度，再根據(jù)分割點進行

計算即可得到的長.

【詳解】

解：：五邊形ABCQE為正五邊形

：.AE=AB,ZEAB=IO8°

：.ZAEB=ZABE=36°

同理可得NCB￡Y6。

，ZABD=108o-36°=12°

ZEAB+ZABD=108°+72°=180°

：.AE//BD

同理可證明EC//AB

四邊形ABNE為平行四邊形

:.EN=AB=2

N為CE的分割點

點為EN的分割點

EM=6匚EN=75-1

2

二MN=2-(6-1)=3-A/5,

故答案為：3-75.

【點撥】本題主要考查了正多邊形的相關性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)及判定，分割點等相關內(nèi)容，熟練掌握

分割點的計算方法是解決本題的關鍵.

22.⑴見解析;⑵見解析.

【解析】

【分析】

(1)結(jié)合線段的分割點的概念和三角形的面積公式進行分析計算；

(2)根據(jù)三角形的中線的概念可知分成的兩個三角形的面積相等，顯然不符合分割線的概念.

【詳解】

由力??SAACD_也SABCD_￡￡

9

腫：*SAABC~AB'S^CD~AD

又：D是AB的分割點,

.竺_￡￡SLD_SABCD

ABADS^BCSAACD

???CD是AABC的分割線;

(2)不是.

VCDABC的中線，

.*.AD=DB,

?SLD_1

**SAABC2，

?SLDHS.CD

SAABCSAACD

二中線不是分割線.

【點撥】考查的是線段的分割點的概念和三角形的面積公式.

23.（1）對；理由見解析；（2）三角形的中線不可能是該三角形的分割線；（3）理由見解析；（4）圖

見解析.

【詳解】

（1）解：直線CD是4WC的分割線.理由如下：

設AABC的邊A3上的高為h.

則以AOC="AD-h,SABDC=2BDh,S8ABe=—AB-h,

._4。SABDC_BD

,。一南，一罰.

又：點D為邊A3的分割點，

.ADBD

??一,

ABAD

,*qAADC_QqABDC

%ABC^AADC

故直線CD是AABC的分割線；

（2）解：???三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，

15.5

.?心=邑=尸，即節(jié)工不9

2D5

故三角形的中線不可能是該三角形的分割線；

（3）