第三節(jié)一無一次方程的應(yīng)用

第六章一元一次方程魯教版六年級數(shù)學(xué)下冊

典型例題題型一

列一元一次方程解形積問題1.解等長問題例①一個長方形養(yǎng)雞場的長邊靠墻，墻長為14m，其他三邊用竹籬笆圍成，現(xiàn)有長35m的竹籬笆，小明打算把它圍成一個長比寬多5m的養(yǎng)雞場，小李打算把它圍成一個長比寬多2m的養(yǎng)雞場，你認(rèn)為誰的設(shè)計符合實際？按照他的設(shè)計，養(yǎng)雞場的面積是多少？解：把小王的設(shè)計，設(shè)寬為xm，則長為(x+5)m.

根據(jù)題意，得2x+(x+5)=35

解得：x=10x+5=15>14,不符合題意，所以小王的設(shè)計不符合實際。按小李的設(shè)計，設(shè)寬為xm，則長為(x+2)m

由題意得：2x+(x+2)=35

解得：x=1111+2=13<14,所以小李的設(shè)計符合題意。此時養(yǎng)雞場的面積為：11X13=143(m2)練習(xí)

一塊長方形草坪的長比寬多10m,它的周長是132m，求寬。點拔：在形積變化問題中，解題關(guān)鍵是在變化的問題中尋找不變的量，如周長、面積、體積、質(zhì)量等。然后恰當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù)建立方程模型解決問題，體現(xiàn)了模型觀念。2.解面積問題

例②把一塊梯形空地如圖，改成寬為30m的長方形運動場地，要求面積不變，則應(yīng)對原梯形空地的上、下底邊做怎樣的調(diào)整？30m60m30m分析：題目中的等量關(guān)系：梯形空地的面積=長方形運動場地的面積。采用間接設(shè)未知數(shù)。第一種解法

解：設(shè)改成后的長方形的長為xm.

則30×x=30(30+60)×30÷2

解得x=45

因此將原梯形空地的下底邊長由60m，縮小到45m，將上底邊長由30m擴(kuò)大到45m.第二種解法解：設(shè)將下底邊縮短xm,則長方形的長是（60-x)m.

由題意得30×（60+x)=(30+60)×30÷2

解得：x=15練習(xí)

用兩根等長的鐵絲分別圍成一個正方形和一個圓，已知正方形的邊長比圓的半徑長2（π-2）m，求這兩根等長的鐵絲的長度，并通過計算說明圍成的正方形和圓哪個面積大。3.解等容（體）積問題

例③一個棱長為8cm的正方笨玻璃體容器里有6cm高的純凈水，把它全部倒入底面積為40cm2、高為12cm的圓柱形容器里，這時水面高為多少厘米？分析：倒入圓柱形容器前后水的體積不變，據(jù)此列方程求解。

解：設(shè)這時水面高為xcm.

根據(jù)題意得：8×8×6=40x

解得：x=9.6

因此這時水面高為9.6cm.練習(xí)

某種鋼錠的截面是正方形，其邊長是20cm，要鍛造成長、寬、高分別為40cm、30cm、10cm的長方體，則應(yīng)截取這種鋼錠多長？題型二

勞動調(diào)配問題

例④在甲地勞動的有27人，在乙地勞動的有19人，現(xiàn)在另調(diào)20人去支援，使甲地人數(shù)為乙地人數(shù)的3倍，問應(yīng)往甲、乙兩地各調(diào)多少人？

類

別

調(diào)配前人數(shù)

調(diào)配后人數(shù)

甲

地2727+x

乙地1919+（20-x)分析一：設(shè)應(yīng)調(diào)往甲地x人，則調(diào)配前后甲、乙兩地人數(shù)可用下表表示：方法一：設(shè)應(yīng)調(diào)往甲地x人，乙地(20-x)人。根據(jù)題意，

得27+x=2[19+(20+x)]

解得：x=17

所以20-x=3

因此，應(yīng)調(diào)往甲地17人，乙地3人。

類

別

調(diào)配前人數(shù)

調(diào)配后人數(shù)

調(diào)往人數(shù)

甲

地272x2x-27

乙地19xx-19解法二：設(shè)調(diào)完人后乙地有x人，因此調(diào)往甲乙兩地的總?cè)藬?shù)為20人。

可用下表表示：所以(2x-27）+(x-19)=20

解得：x=222×22-27=17

因此應(yīng)調(diào)往甲地17人，乙地3人。練習(xí)

在春運期間，某火車站加大了安檢力度，原來在北廣場執(zhí)勤的有10人，在南廣場執(zhí)勤的有6人，現(xiàn)共調(diào)50人去支援，調(diào)往北廣場x人。

（1）則南廣場增援后的人數(shù)為

（用含有x的代數(shù)式表示）；(2)若要使在北廣場的人數(shù)是在南廣場人數(shù)的2倍，問應(yīng)調(diào)往北廣場、南廣場兩處各多少人？題型三

一元一次方程的和、差、分問題例⑤某公司計劃生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品共20件，其總產(chǎn)值達(dá)到1170萬元，相關(guān)數(shù)據(jù)如下表。為此該公司應(yīng)生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品各多少件？

產(chǎn)品名稱

每件產(chǎn)品的產(chǎn)值/萬元

甲45

乙75

解：設(shè)該公司應(yīng)生產(chǎn)甲產(chǎn)種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)乙種產(chǎn)品（20-x)件

依題意得45x+75(20-x)=1170

解得x=1120-x=9

因此，該公司應(yīng)生產(chǎn)甲種產(chǎn)品11件，乙種產(chǎn)品9件。練習(xí)

某商場計劃撥款9萬元從廠家進(jìn)購40臺電視機(jī)。已知該廠家生產(chǎn)兩種不同型號的電視機(jī)，出廠價分別為甲種電視機(jī)每臺2200元，乙種型號的電視機(jī)每臺2400元，那么該商場應(yīng)分別購進(jìn)甲乙兩種電視各多少臺？題型四

行程問題1.行程中的相向、相背問題例⑥已知甲地和乙地相距1500km，一輛慢車從甲地開出，速度為60km/h，一輛快車從乙地開出，速度為90km/h(假設(shè)本題中的行駛路線都是直線）（1）若兩車相向而行，慢車先開30min，則快車開出后幾小時兩車相遇？（2）若兩車同時開出，相背而行，經(jīng)過多長時間兩車相距1800km?(3)若兩車同時開出，相向而行，經(jīng)過多長時是兩車相距300km？慢車行駛60xkm快車行駛90xkm甲乙甲甲乙乙1500km慢車先開

60×－km21圖11500km慢車行駛60ykm快車行駛90ykm1800km圖2乙甲慢車行駛60tkm快車行駛90tkm300km1500km圖3慢車行駛60t′km快車行駛90t′km300km1500km圖4分析：（1）慢車先開30min，即－h(huán)，設(shè)快車開出后xh兩車相遇，則慢車行駛的路程為（60×－+60x），快車行駛的路程為90xkm，用示意圖1表示。2121（2）設(shè)經(jīng)過的時間為yh，則慢車和快車所行駛的路程分別為60ykm和90ykm，用示意圖2表示所示。（3）兩車相距300km，存在相遇前相距300km和相遇后相距30km兩種情況。設(shè)所用時間分別為th、t′h,相遇前相距300km的示意圖3所示，相遇后相距300km的示意圖4所示。解：（1)設(shè)快車開出后xh兩車相遇。

根據(jù)題意，得60（x+－)+90x=1500解得x=9.8

因此快車開出后9.8小時兩車相遇21（2）設(shè)經(jīng)過yh時兩相距1800km

根據(jù)題意，得60y+90y+1500=1800

解得y=2

因此，經(jīng)過2h兩車相距1800km.

(3)若兩車相遇前相距300km，設(shè)所用時間為th

則（60+90)t+300=1500，解得t=8

若兩車相遇后相距300km，設(shè)所用時間為t′h

則(60+90)t′-300=1500解得t′=12

因此經(jīng)過8h或12h，兩車相距300km.2.相對運動問題例⑦鐵路旁的一條平行小路上有一行人與一騎車人同時向東行進(jìn)，行人的速度為3.6km/h，騎車人的速度為10.8km/h,如果一列火車從他們背后開過來，它通過行人用了22s，通過騎車人用了26s，問：這列火車的車身長為多少米？行人行進(jìn)路程火車火車火車行進(jìn)路程火車火車騎車人行進(jìn)路程火車行進(jìn)路程（1）（2）分析：火車分別通過行人和騎車人的示意圖如（1），（2）所示：解：設(shè)火車的速度為vm/s，行人的速度為3.6m/h.即1m/s，騎車人的速度為10.8m/h,即3m/s.根據(jù)題意，得(v-1)×22=(v-3)×26解得v=14

所以(v-1)×22=(14-1)×22=286(m)

因此

火車的車身長為286m.練習(xí)1.已知A、B兩地相距480km，一輛慢車從A地出發(fā)，每小時行駛60km，一輛快車從B地出發(fā)每小時行駛65km。（1）若兩車同時出發(fā)，同向而行，快車在慢車后面，經(jīng)過多長時間快車追上慢車？（2）若兩車同時開出，背向而行經(jīng)過多長時間兩車相距730km?2.一個車隊共有n（n為正整數(shù)）輛小轎車，正以36km/h的速度在一條筆直的街道上勻速行駛，行駛時車與車的間隔均為5.4m.甲停在路邊等人，他發(fā)現(xiàn)該車隊從第一輛車的車頭到最后一輛車的車尾經(jīng)過自己身邊共用了20s的時間,假設(shè)每輛車的車長均為4.87m.(1)求n的值;(2)若乙在街道一側(cè)的人行道上與車隊同向而行，速度為vm/s,當(dāng)?shù)谝惠v車的車頭到最后一輛車的車尾經(jīng)過他身邊時共用了40s,求v的值。3.環(huán)形跑道問題例8小明小杰兩人在400m的環(huán)形賽道上練習(xí)跑步，小明每分鐘跑300m，小杰每分鐘跑220m。（1）若小明，小杰兩人同時同地反向出發(fā)，則出發(fā)幾分鐘后，兩人第一次相遇？（2）若小明、小杰兩人同時同向出發(fā)，起跑時，小杰在小明前面100m處。①出發(fā)幾分鐘后兩人第一次相遇？②出發(fā)幾分鐘后，兩人的路程第一次相距20m?解（1）設(shè)出發(fā)xmin后，兩人第一次相遇。

由題意得300x+200x=100解得x=－

因此出發(fā)13/11min后兩人第一次相遇。1113解（2）①設(shè)出發(fā)ymin后，兩人第一次相遇。

由題意得300y-200y=100解得y=－

因此出發(fā)5/4min后兩人第一次相遇。45解（2）②設(shè)出發(fā)zmin后，兩人第一次相遇。

由題意得300z-200z+20=100解得z=1

因此出發(fā)1min后兩人第一次相遇。練習(xí)

甲乙兩人沿運動場中一條周長為400米的環(huán)形跑道勻速跑步，甲的速度是乙的速度的1.5倍，他們從同一地點，朝同一方向同時出發(fā)，8秒后甲第一次追上乙。（1）求甲乙兩人跑步的速度（2）若甲乙兩人從同一地點，同時背向而行，經(jīng)過多長時間兩人恰好第五次相遇？題型五

列一元一次方程解決方案設(shè)計問題例9.某牛奶加工廠現(xiàn)有鮮牛奶9t，若在市場上直接銷售，每噸可獲利500元；若制成酸奶片銷售，每噸可獲利2000元。該工廠的生產(chǎn)能力：如果制成酸奶，每天可加工3t；如果制成奶片，每天可加工1t。受人員限制，兩種加工方式不可同時進(jìn)行，受氣溫限制，這批牛奶必須在4天內(nèi)全部銷售或加工完畢（不考慮中間損耗）。為此該廠設(shè)計了兩種可行方案：方案一：盡可能地制成奶片，其余鮮奶直接銷