第二章函數(shù)的概念與性質(zhì)第3課時(shí)函數(shù)的奇偶性、周期性[考試要求]

1．了解函數(shù)奇偶性的含義，了解函數(shù)的周期性及其幾何意義．2．會(huì)依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用．鏈接教材·夯基固本1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有－x∈D，且______________，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于____對(duì)稱f(－x)＝f(x)y軸奇偶性定義圖象特點(diǎn)奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有－x∈D，且_______________，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于____對(duì)稱f(－x)＝－f(x)原點(diǎn)2．周期性(1)周期函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)每一個(gè)x∈D都有x＋T∈D且_______________，那么函數(shù)y＝f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)____的正數(shù)，那么這個(gè)________就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小最小正數(shù)[常用結(jié)論]1．函數(shù)奇偶性常用結(jié)論(1)如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，則一定有f(0)＝0．如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．(2)在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．(3)若y＝f(x＋a)是奇函數(shù)，則f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則f(－x＋a)＝f(x＋a)．

一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數(shù)． (

)(2)存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)． (

)(3)偶函數(shù)圖象不一定過(guò)原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖象一定過(guò)原點(diǎn)． (

)×√×

√√2．(人教A版必修第一冊(cè)P203練習(xí)T4改編)若f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2)時(shí)，f(x)＝2－x，則f(2025)＝________．

－2－x－2x＋1－1

4．(人教A版必修第一冊(cè)P85練習(xí)T1改編)設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－5，5]，若當(dāng)x∈[0，5]時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)<0的解集為____________________．(－2，0)∪(2，5]

典例精研·核心考點(diǎn)

(3)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．∵當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，則f(－x)＝(－x)2＋x＝x2＋x＝f(x)；當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，則f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)；綜上可知：對(duì)于定義域內(nèi)任意x，總有f(－x)＝f(x)成立，∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．

名師點(diǎn)評(píng)

判斷函數(shù)奇偶性的兩個(gè)必備條件及方法(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先判斷函數(shù)的定義域是不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立．(3)判斷函數(shù)奇偶性的方法：①定義法；②圖象法．

奇√

(2)由題意得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＝f(0)＋f(0)＋2，故f(0)＝－2．令y＝－x，則f(0)＝f(x)＋f(－x)＋2，故f(x)＋2＝－f(－x)－2＝－[f(－x)＋2]．故f(x)＋2為奇函數(shù)．]

√√√

√

名師點(diǎn)評(píng)

(1)選擇、填空題中，已知奇偶性求參數(shù)值，可采用特值法，如f(－1)＝－f(1)，f(－1)＝f(1)．(2)利用奇偶性求解析式，求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)，自變量轉(zhuǎn)移．

√

√

名師點(diǎn)評(píng)

(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)值或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值．(2)利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合圖象直觀求解相關(guān)問(wèn)題．

√

4

5

√5

√

D

[依題意，定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝f(x)－2，所以f(x＋1)＋2(x＋1)＝f(x)＋2x，所以y＝f(x)＋2x是周期為1的周期函數(shù)．故選D．]√3．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，則f(2025)＝________．0

[用－x替代x，得到f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)，所以T＝6，所以f(2025)＝f(337×6＋3)＝f(3)．因?yàn)閒(3－x)＝f(x)，所以f(3)＝f(0)＝0．所以f(2025)＝0．]0名師點(diǎn)評(píng)

利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問(wèn)題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問(wèn)題；利用函數(shù)的周期性，能實(shí)現(xiàn)自變量的轉(zhuǎn)移，把自變量大化?。甗跟進(jìn)訓(xùn)練]3．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)＝2x－x2．(1)f(x)的最小正周期是________；(2)當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f(x)＝____________；(3)計(jì)算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2025)＝________．(1)4

(2)x2－6x＋8

(3)1

[(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)，且f(x)的最小正周期是4．4x2－6x＋81(2)當(dāng)x∈[－2，0]時(shí)，－x∈[0，2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2．又f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2．∴f(x)＝x2＋2x．又當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，x－4∈[－2，0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8．即當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f(x)＝x2－6x＋8．(3)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，且f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＋f(2023)＝0．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2025)＝f(0)＋f(1)＝1．]題號(hào)135246879101112

13課后作業(yè)(九)函數(shù)的奇偶性、周期性√

題號(hào)13524687910111213

題號(hào)13524687910111213√題號(hào)13524687910111213D

[顯然函數(shù)f(x)＝(x＋a－2)(x2＋a－1)的定義域?yàn)镽且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝(x＋a－2)(x2＋a－1)為奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即(a－2)(a－1)＝0，即a＝2或a＝1，且當(dāng)a＝2時(shí)，有f(x)＝x(x2＋1)，從而有f(－x)＝－x(x2＋1)＝－f(x)，當(dāng)a＝1時(shí)，有f(x)＝x2(x－1)，但f(－1)＝－2≠－f(1)＝0，所以a＝2，即f(x)＝x(x2＋1)，所以f(a)＝f(2)＝2×(22＋1)＝10．故選D．]

題號(hào)135246879101112√13B

[由f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0，又由f(x)滿足f(x)＋f(2－x)＝0，即f(2－x)＝－f(x)，則有f(2－x)＝f(－x)，可得f(x＋2)＝f(x)，即函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，故f(20)＝f(0)＝0．故選B．]題號(hào)13524687910111213

題號(hào)135246879101112√13

題號(hào)13524687910111213題號(hào)135246879101112

13√題號(hào)135246879101112

13題號(hào)135246879101112又由f(x)是周期為8的奇函數(shù)，則f(x)＝f(x－8)＝－f(8－x)＝－(x2－12x＋32)＝－x2＋12x－32，故f(x)＝－x2＋12x－32，x∈[6，8]．故選D．]13題號(hào)135246879101112

13√

題號(hào)135246879101112

13√√題號(hào)13524687910111213

題號(hào)13524687910111213

題號(hào)135246879101112

13√√題號(hào)135246879101112AC

[由函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，得f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0．由f(2＋x)＝f(2－x)，得f(4＋x)＝f(－x)＝－f(x)，即f(8＋x)＝f(x)，于是函數(shù)y＝f(x)的周期為8．對(duì)于A，f(2024)＝f(8×253)＝f(0)＝0，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閒(－x－2)＝－f(x＋2)＝－f(2－x)＝f(x－2)，f(x－2)的定義域是全體實(shí)數(shù)，13題號(hào)135246879101112所以y＝f(x－2)是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，f(4－x)＝－f(x－4)＝－f((x＋4)－8)＝－f(x＋4)，故C正確；對(duì)于D，y＝f(x)是周期為8的周期函數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選AC．]13題號(hào)135246879101112

13(－1，1)

題號(hào)135246879101112(－1，1)

[由f(x)為偶函數(shù)且在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，故f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，又f(1)＝2，故當(dāng)f(x)>2，可得x∈(－1，1)，又f(－x)＝f(x)，故f(x)＋f(－x)>4等價(jià)于f(x)>2，故x的取值范圍為(－1，1)．]13題號(hào)135246879101112

13339題號(hào)135246879101112339

[因?yàn)閒(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2026＝6×337＋4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2026)＝337×1＋1＋2－1＋0＝339．]13題號(hào)13524687910111211．(多選)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足：?x