第五章

定積分及其應(yīng)用本章主要內(nèi)容定積分的概念、性質(zhì)、計算及簡單應(yīng)用.目錄第一節(jié)

定積分的概念和性質(zhì)第二節(jié)

微積分基本定理第三節(jié)

定積分的換元積分法與分部積分法第四節(jié)

廣義積分第五節(jié)

定積分的應(yīng)用第

一

節(jié)

定積分的概念與性質(zhì)

二、一、引例二、二、定積分的概念二、三、函數(shù)的平均值二、四、定積分的性質(zhì)高等數(shù)學(xué)第5.1節(jié)定積分的概念與性質(zhì)一、引例引例1曲邊梯形的面積.

問題：如何求曲邊圖形的面積？面積=？高等數(shù)學(xué)第5.1節(jié)定積分的概念與性質(zhì)（五個小矩形）（十個小矩形）觀察發(fā)現(xiàn)：小矩形越多，小矩形面積之和就越接近曲邊梯形的面積．分割曲邊梯形，用小矩形的面積近似取代小曲邊梯形的面積.無限分割，小矩形面積之和的極限就是曲邊梯形的面積.高等數(shù)學(xué)第5.1節(jié)定積分的概念與性質(zhì)

解決步驟:（1）分割（2）近似（以不變代變）

則整個曲邊梯形被分成n個小曲邊梯形.高等數(shù)學(xué)第5.1節(jié)定積分的概念與性質(zhì)（3）求和

（4）取極限

極限值就是曲邊梯形的面積:取極限,

高等數(shù)學(xué)第5.1節(jié)定積分的概念與性質(zhì)引例2變速直線運動的路程.設(shè)物體作變速直線運動，速度

是時間

的連續(xù)函數(shù)

，且

，求該

物體從時刻

到時刻

這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程.

（1）分割.（3）

求和.（2）近似.第

個小區(qū)間

的長度為物體在小時間段

所經(jīng)過的路程（4）取極限.記物體在時間間段

內(nèi)所經(jīng)過的路程為高等數(shù)學(xué)第5.1節(jié)定積分的概念與性質(zhì)兩個問題的共性:

解決問題的思想與方法:

所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:

分割,近似替代,求和,取極限.特殊和式的極限.這種和式的極限可以抽象為一般的數(shù)學(xué)概念，即定積分.引例中的兩個問題：高等數(shù)學(xué)第5.1節(jié)定積分的概念與性質(zhì)二、定積分的概念定義1

定積分高等數(shù)學(xué)第5.1節(jié)定積分的概念與性質(zhì)積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分和積分上限積分變量

引例中

高等數(shù)學(xué)第5.1節(jié)定積分的概念與性質(zhì)說明：

（1）定積分是一個特殊和式的極限值，因此它是一個數(shù).定積分的值僅有被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的字母選取無關(guān).即（2）定義中對區(qū)間的分法以及在每個小區(qū)間上選取的點

都是任意的.(3)在定積分的定義中，總假設(shè)

，如果

，規(guī)定如果

，規(guī)定（4）如果函數(shù)

在區(qū)間

上連續(xù)或只有有限個第一類間斷點，則函數(shù)在區(qū)間

上可積.高等數(shù)學(xué)第5.1節(jié)定積分的概念與性質(zhì)定積分的幾何意義

曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值

各部分面積的代數(shù)和高等數(shù)學(xué)第5.1節(jié)定積分的概念與性質(zhì)例1

利用定義計算定積分解取極限得所要計算的積分為高等數(shù)學(xué)第5.1節(jié)定積分的概念與性質(zhì)三、函數(shù)的平均值連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值的計算.把區(qū)間分成

n等份,設(shè)分點為每個小區(qū)間的長度為.設(shè)在這些分點處的函數(shù)值依次為在區(qū)間上的平均值:高等數(shù)學(xué)第5.1節(jié)定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)２

函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差),即性質(zhì)１

被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號前面,即四、定積分的性質(zhì)這一結(jié)論可推廣到任意有限多個函數(shù)代數(shù)和的情況.設(shè)a＜c＜b,則性質(zhì)3由幾何意義易知該結(jié)論.定積分對積分區(qū)間具有可加性不論a,b,c的相對位置如何，總有等式高等數(shù)學(xué)第5.1節(jié)定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)4

如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≡1,則性質(zhì)5

如果在區(qū)間[a,b]上,則推論1

如果在區(qū)間[a,b]上

，則推論2證即高等數(shù)學(xué)第5.1節(jié)定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)6設(shè)M,m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值,則性質(zhì)7（積分中值定理）

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上至少存在一點

使得積分中值公式的幾何解釋高等數(shù)學(xué)第5.1節(jié)定積分的概念與性質(zhì)證則即高等數(shù)學(xué)第5.1節(jié)定積分的概念與性質(zhì)例2

試估計定積分

值的范圍.解易驗證

在

上調(diào)增加,

最大值為即

故其最小值為于是由得第

二

節(jié)

微積分基本定理二、二、一、

問題提出二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、三、微積分基本定理高等數(shù)學(xué)第5.2節(jié)微積分基本定理一、問題的提出解引例

又由定積分的定義可知注意所以一般地，若

在

上連續(xù)，則有這里高等數(shù)學(xué)第5.2節(jié)微積分基本定理二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)1.積分上限函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)

在區(qū)間

上可積，

為

上的一點，則

在區(qū)間

上也可積.對于每一個取定的

值，定積分

都有一個對應(yīng)的值，這樣就定義了

上的一個函數(shù)，記為它是積分上限

的函數(shù)，稱為積分上限函數(shù).高等數(shù)學(xué)第5.2節(jié)微積分基本定理2.積分上限函數(shù)的性質(zhì)

定理1(原函數(shù)存在定理)

設(shè)函數(shù)

在區(qū)間

上連續(xù),則積分上限函數(shù)在

上可導(dǎo)且

即

是

在

上的一個原函數(shù).證給自變量

一個增量

，當(dāng)

時，有

其中

介于

與

之間.高等數(shù)學(xué)第5.2節(jié)微積分基本定理于是得到由于

時,有

從而

而

是連續(xù)函數(shù),故上式兩邊取極限，便得即

在

上可導(dǎo)，且高等數(shù)學(xué)第5.2節(jié)微積分基本定理推論

若?(x)在[a,b]上連續(xù),

(x)在[a,b]上可導(dǎo),則更一般地，有高等數(shù)學(xué)第5.2節(jié)微積分基本定理例1

求解

由定理1例2

求解例3

求極限解高等數(shù)學(xué)第5.2節(jié)微積分基本定理例4求解高等數(shù)學(xué)第5.2節(jié)微積分基本定理

定理2

設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),F(x)是

f(x)在[a,b]上的一個原函數(shù),則證

因F(x)與都是

f(x)在[a,b]上的原函數(shù),所以它們僅相差

一個常數(shù)C,即三、微積分基本定理令

，由

有從而特別當(dāng)

時，有故高等數(shù)學(xué)第5.2節(jié)微積分基本定理由于定積分與積分變量所用字母無關(guān)，所以上式可以寫為----微積分基本公式（牛頓-萊布尼茨公式）

微積分基本定理揭示了定積分與不定積分的聯(lián)系，而Newton--Leibniz公式則為定積分的計算提供了有效的計算方法.積分中值公式微分中值公式牛--萊公式為方便，記于是高等數(shù)學(xué)第5.2節(jié)微積分基本定理例5計算下列定積分.解（3）因為所以第

三

節(jié)

定積分的換元積分法與分部積分法二、一、定積分的換元積分法二、二、定積分的分部積分法高等數(shù)學(xué)第5.3節(jié)定積分的換元積分法與分部積分法一、定積分的換元積分法

定理

設(shè)函數(shù)

在區(qū)間

上連續(xù)，作變換

，如果（1）（2）

在區(qū)間

（或

）上單調(diào)且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有證設(shè)F(x)是?(x)的一個原函數(shù),于是有定積分的換元公式高等數(shù)學(xué)第5.3節(jié)定積分的換元積分法與分部積分法(3)

求出

的一個原函數(shù)

后，不必像求不定積分那樣把

在應(yīng)用換元公式計算定積分時,應(yīng)注意以下幾個問題:(1)所選擇的代換式

x=

(t)必須滿足定理中的條件;(2)定積分換元的關(guān)鍵是換限.記住“上限對上限,下限對下限”;還原成x的函數(shù),而只須直接將

t的上、下限代入相減即可.換元公式的應(yīng)用是雙向的，即湊微分法拆微分法一般地，湊微分法高等數(shù)學(xué)第5.3節(jié)定積分的換元積分法與分部積分法例1

求定積分于是也可以不引入新的積分變量，解法如下：解

令

則

當(dāng)

時，

當(dāng)

時，例2

計算

解

令

則

當(dāng)

時，

當(dāng)

時，于是高等數(shù)學(xué)第5.3節(jié)定積分的換元積分法與分部積分法注

由幾何意義知,此定積分即為圓在第Ι象限的面積.例3

計算解令

，則

，且當(dāng)

時，

當(dāng)時，

所以高等數(shù)學(xué)第5.3節(jié)定積分的換元積分法與分部積分法證

當(dāng)

為偶函數(shù)時,則有

，故令,則

，于是對于定積分當(dāng)

為奇函數(shù)時,則有

，故例4

設(shè)函數(shù)

在

上連續(xù),則由定積分的可加性，有積分區(qū)間關(guān)于原點對稱時，“偶倍奇零”高等數(shù)學(xué)第5.3節(jié)定積分的換元積分法與分部積分法例5

求定積分解

注利用此結(jié)論可簡化奇函數(shù)或偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分的計算.例6設(shè)

是一個以

為周期的連續(xù)函數(shù)，證明對任意常數(shù)

，有解令則所以

與

無關(guān)，因此

即

高等數(shù)學(xué)第5.3節(jié)定積分的換元積分法與分部積分法二、定積分的分部積分法

設(shè)函數(shù)

在區(qū)間

上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),則有兩邊從

到

求定積分，有即移項，得高等數(shù)學(xué)第5.3節(jié)定積分的換元積分法與分部積分法即定積分的分部積分公式例１

計算解例２

計算解高等數(shù)學(xué)第5.3節(jié)定積分的換元積分法與分部積分法例３

計算解高等數(shù)學(xué)第5.3節(jié)定積分的換元積分法與分部積分法例４

計算解高等數(shù)學(xué)第5.3節(jié)定積分的換元積分法與分部積分法例5

計算解先證明等式成立.令

則

且當(dāng)

時，

當(dāng)

時，下面計算于是高等數(shù)學(xué)第5.3節(jié)定積分的換元積分法與分部積分法0移項整理，可得遞推公式又故由遞推公式可推得高等數(shù)學(xué)第5.3節(jié)定積分的換元積分法與分部積分法例如第

四

節(jié)

廣義積分二、一、無窮區(qū)間上的廣義積分二、二、無界函數(shù)的廣義積分高等數(shù)學(xué)第5.4節(jié)廣義積分一、無窮區(qū)間上的廣義積分定義極限記作

即

類似地,函數(shù)?(x)在區(qū)間

上連續(xù)，任取t<b，可定義

上的廣義積分，[a,+∞)定義1

設(shè)函數(shù)?(x)在[a,+∞)上連續(xù),任取t>a

,?(x)

在區(qū)間為函數(shù)若極限

存在,則稱廣義積分

發(fā)散.收斂，否則稱廣義積分高等數(shù)學(xué)第5.4節(jié)廣義積分只有當(dāng)廣義積分積分

和函數(shù)?(x)在區(qū)間

上的廣義積分

收斂，否則稱廣義積分

發(fā)散.同時收斂時,才稱廣義積分無窮區(qū)間上的廣義積分又稱為無窮積分.高等數(shù)學(xué)第5.4節(jié)廣義積分設(shè)

是

在區(qū)間

上的一個原函數(shù)，若記則當(dāng)

存在時，有

當(dāng)

不存在時，廣義積分

發(fā)散.其他情形類似.例1

計算廣義積分解有了記號，例1可以這樣寫高等數(shù)學(xué)第5.4節(jié)廣義積分例2

計算廣義積分該積分的幾何意義？解位于曲線

的下方、x軸上方的圖形的面積為高等數(shù)學(xué)第5.4節(jié)廣義積分例3討論無窮積分

的斂散性.解

當(dāng)

p

=1

時,當(dāng)

p≠1

時,-----重要結(jié)論當(dāng)

p>1時,

收斂;

發(fā)散.當(dāng)

p≤1時,綜上，知高等數(shù)學(xué)第5.4節(jié)廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分

如果函數(shù)

在點

的任一鄰域內(nèi)無界，則稱點

為

的瑕點（或奇點）.為無界函數(shù)

在區(qū)間

定義2

設(shè)函數(shù)

在(a,b]上連續(xù),點

為

的瑕點，定義(a,b]上的廣義積分，仍記作

即分

發(fā)散.若極限

存在，則稱廣義積分

收斂.否則稱廣義積高等數(shù)學(xué)第5.4節(jié)廣義積分類似地，設(shè)函數(shù)

在[a,b)上連續(xù),點

為

的瑕點，定義廣義積分設(shè)函數(shù)

在[a,b]上除點

外連續(xù),點

為

的瑕點，定義廣義積分當(dāng)兩個廣義積分

和

都收斂時，廣義積分

收斂，否則，廣義積分

發(fā)散.無界函數(shù)的廣義積分又稱為瑕積分.高等數(shù)學(xué)第5.4節(jié)廣義積分例4計算廣義積分解高等數(shù)學(xué)第5.4節(jié)廣義積分當(dāng)

p≠1時,------重要結(jié)論當(dāng)p≥1時,發(fā)散.當(dāng)p<1時,收斂;解

因

x=0

為瑕點,而當(dāng)

p=1時,有

例5

討論瑕積分(p>0)的斂散性.當(dāng)

p<1時,

收斂;

發(fā)散.當(dāng)

p≥1

時,綜上，知更一般的結(jié)論高等數(shù)學(xué)第5.4節(jié)廣義積分與定積分類似，廣義積分也有換元法.例6

計算廣義積分解第

五

節(jié)

定積分的元素法二、一、定積分的元素法二、二、定積分在幾何上的應(yīng)用二、三、定積分在物理上的應(yīng)用二、四、定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)第5.5節(jié)定積分的應(yīng)用一、定積分的元素法能夠用定積分來計算的量

，都有兩個共性：（1）所求量

連續(xù)分布在某個區(qū)間[a,b]上；（2）所求量

對區(qū)間[a,b]具有可加性.

用定積分的定義來推導(dǎo)所求量的積分表達(dá)式，要經(jīng)過分割、近似、求和、取極限四個步驟，過于復(fù)雜.因此引入定積分的元素法.要想得到

的積分表達(dá)式，關(guān)鍵要得到積分中的被積表達(dá)式.假設(shè)令則

在區(qū)間[a,b]連續(xù)時，有

，稱為

的(積分）元素.高等數(shù)學(xué)第5.5節(jié)定積分的應(yīng)用

為了得到所求量的積分表達(dá)式，先求出所求量的元素，再以所求量的元素作為被積表達(dá)式在區(qū)間上的積分便是所求量.這一方法稱為定積分的元素法.可加性，用元素法求量

的步驟：若所求量

與變量

的變化區(qū)間

有關(guān)，并對區(qū)間

具有（1）在

中任取一個小區(qū)間

，將所求量

在這小區(qū)間上相應(yīng)的部分量

近似地表示為

；（通常采用以直代曲、以勻代變的方法）

（2）檢驗

是否滿足：

在

上連續(xù)，且（3）若

滿足(2),則,于是高等數(shù)學(xué)第5.5節(jié)定積分的應(yīng)用二、定積分在幾何上的應(yīng)用1、平面圖形的面積

由連續(xù)曲線

及直線

所圍成的平面圖形如圖所示.如何求該平面圖形的面積？連續(xù)函數(shù)

在

上有最大值M和最小值m,所以所求量在小區(qū)間

上相應(yīng)部分量可近似地表示為小矩形的面積

，即

于是面積元素1)直角坐標(biāo)情形高等數(shù)學(xué)第5.5節(jié)定積分的應(yīng)用類似地，如下圖由曲線

及直線所圍成平面圖形的面積為高等數(shù)學(xué)第5.5節(jié)定積分的應(yīng)用例1求由兩條拋物線

與

所圍成的平面圖形的面積.解解方程組得交點為及所圍平面區(qū)域（如圖）為故所求平面圖形的面積為高等數(shù)學(xué)第5.5節(jié)定積分的應(yīng)用例2求拋物線

與直線

所圍成的平面圖形的面積.解解方程組得交點為及所圍平面區(qū)域（如圖）為故所求平面圖形的面積為思考：該題若選

x為積分變量，結(jié)果如何呢？高等數(shù)學(xué)第5.5節(jié)定積分的應(yīng)用

求拋物線

與直線

所圍成的平面圖形的面積.所圍平面區(qū)域（如圖）分兩部分：取x為積分變量所求平面圖形的面積為高等數(shù)學(xué)第5.5節(jié)定積分的應(yīng)用2）極坐標(biāo)情形設(shè)平面圖形由曲線

及射線圍成（簡稱曲邊扇形），如圖所示.這里

在連續(xù)且非負(fù).如何求該平面圖形的面積？在區(qū)間

上任取一個小區(qū)間該小區(qū)間對應(yīng)的小曲邊扇形的面積

，可用半徑為

、中心角為

的扇形的面積來近似，即由

連續(xù)，易證所以曲邊扇形的面積元素為從而所求曲邊扇形的面積為高等數(shù)學(xué)第5.5節(jié)定積分的應(yīng)用

例3

解

高等數(shù)學(xué)第5.5節(jié)定積分的應(yīng)用例4

求心形線圍成的圖形的面積..解高等數(shù)學(xué)第5.5節(jié)定積分的應(yīng)用2、已知平行截面面積的立體的體積

如右圖所示，取定軸為

軸，并設(shè)該立體在過點

且垂直于

軸的兩個平面之間.設(shè)

為過點

且垂直于

軸的截面的面積.假定

為已知的連函數(shù).如何計算該立體的體積？

任一小區(qū)間

對應(yīng)的薄片的立體的體積近似等于底面積為

、高為

的柱體的體積，即由

連續(xù)，易證

時，有

故體積元素為從而所求立體體積為高等數(shù)學(xué)第5.5節(jié)定積分的應(yīng)用3、旋轉(zhuǎn)體的體積

所謂旋轉(zhuǎn)體，就是一平面圖形繞該平面內(nèi)一條定直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.例如

，圓柱、圓錐、圓臺都是旋轉(zhuǎn)體.

一般地，由曲線

直線

和

軸所圍成的曲邊梯形繞

軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體，如何求該旋轉(zhuǎn)體的體積？

任一小區(qū)間

對應(yīng)的薄片的立體的體積近似等于底面半徑為

、高為

的圓柱體的體積，

即由

連續(xù)，易證

時，

故體積元素為從而所求旋轉(zhuǎn)體的體積為高等數(shù)學(xué)第5.5節(jié)定積分的應(yīng)用

cd

易知體積元素

易故旋轉(zhuǎn)體的體積為

高等數(shù)學(xué)第5.5節(jié)定積分的應(yīng)用計算由橢圓所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體該旋轉(zhuǎn)橢球體可以看作是由上半橢圓及x軸圍成的圖形繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的立體.解例5的體積.故所求體積為高等數(shù)學(xué)第5.5節(jié)定積分的應(yīng)用三、定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用1）變力作功

例6

從地面垂直向上發(fā)射質(zhì)量為

m的火箭，問初速度至少為多大時，火箭開始能超出地球的引力范圍.解

設(shè)地球的半徑為,質(zhì)量為.由萬有引力定律，當(dāng)火箭距地面的高度為

為引力常數(shù).時，即所以時，火箭受地球的引力為從而當(dāng)火箭從距地面高度

升高到距地面高度

時，地球引力對它所做

的功故功元素為高等數(shù)學(xué)第5.5節(jié)定積分的應(yīng)用于是，當(dāng)火箭距地面高度為

時，地球引力所做的功為當(dāng)

時，

若火箭離開地面的初速度為

，它具有動能

根據(jù)能量轉(zhuǎn)換定律，為了使火箭超出地球引力范圍，必須

即（這里

）.也就是說，為了使火箭超出地球引力范圍，它的初速必須大于高等數(shù)學(xué)第5.5節(jié)定積分的應(yīng)用

例7

有一個圓柱形貯水桶，高為5m,

底圓半徑為3m，桶內(nèi)盛滿了水.試問要將桶內(nèi)的水全部吸出需要做多少功？

解作x軸如圖所示，取深度x為積分變量，它的變化區(qū)間為相應(yīng)于

上的任一小區(qū)間

的一薄層水的高度為

水的密度為

，

這薄層水的重力為這薄層水被吸出桶外需做的功為故功元素為于是所求的功為高等數(shù)學(xué)第5.5節(jié)定積分的應(yīng)用2）液體的靜壓力由物理學(xué)知，在液體深為h處的壓強(qiáng)為

這里

是液體的密度.如果有一面積為A的平板水平地放置在液體深為h的地方，那么平板一側(cè)所受的靜壓力為如果平板垂直放置在液體中，由于液體不同深處的壓強(qiáng)不相等，所以平板一側(cè)所受液體的靜壓力就不能用上述方法計算.高等數(shù)學(xué)第5.5節(jié)定積分的應(yīng)用

例8

一等腰梯形的閘門，上下底寬分別為10m和6m,高為20m,且上底位于水面，計算閘門一側(cè)所受的水壓力.解建立坐標(biāo)系如圖所示，梯形兩腰的方程為相應(yīng)于

上的任一小區(qū)間

的小等腰梯形的面積近似為

其上各點的壓強(qiáng)近似為

帕（水的密度為

），于是這一小等腰梯形所受壓力為故壓力元素為故閘門一側(cè)所受到的水壓力為高等數(shù)學(xué)第5.5節(jié)定積分的應(yīng)用3）引力由物理學(xué)知，質(zhì)量分別為

，相距為

的兩質(zhì)點間的引力大小為

其中

為引力常數(shù).

如果要計算一根細(xì)棒對一個質(zhì)點的引力，由于細(xì)棒上各點與該質(zhì)點的距離是變化的，就不能用上述公式來計算.高等數(shù)學(xué)第5.5節(jié)定積分的應(yīng)用

例9

設(shè)有一長度為

質(zhì)量為

的均勻細(xì)棒，另有一質(zhì)量為

的質(zhì)點和細(xì)棒在一條直線上，質(zhì)點到細(xì)棒近端的距離為

計算細(xì)棒對質(zhì)點的引力.

解

建立坐標(biāo)系如圖所示，以

為積分變量，

任取一小區(qū)間

，對應(yīng)的小段細(xì)于是這一小段細(xì)棒對質(zhì)點的引力為它的變化區(qū)間為棒的質(zhì)量為故引力元素為

，所以細(xì)棒對質(zhì)點的引力為高等數(shù)學(xué)第5.5節(jié)定積分的應(yīng)用四、定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用1）已知邊際函數(shù)求總量函數(shù)設(shè)固定成本為

，邊際成本為

，邊際收益為

，其中

為產(chǎn)量，并假定產(chǎn)品處于產(chǎn)銷平衡狀態(tài)，即產(chǎn)量=需求量=銷售量，則總成本函數(shù)總收益函數(shù)總利潤函數(shù)高等數(shù)學(xué)第5.5節(jié)定積分的應(yīng)用

例10若一企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本是產(chǎn)量

的函數(shù)固定成本

，求總成本函數(shù).解所求總成本函數(shù)為高等數(shù)學(xué)第5.5節(jié)定積分的應(yīng)用

例11設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品

單位時的邊際收入為求生產(chǎn)40單位時的總收入及平均收入，并求再增加生產(chǎn)10單位時所增加的總收入.解所以生產(chǎn)40單位的總收入為平均收入為再增加10單位所增加的總收入為高等數(shù)學(xué)第5.5節(jié)定積分的應(yīng)用

例12已知某產(chǎn)品的邊