線

性

代

數(shù)第3版

線性代數(shù)是高等院校理工科及經(jīng)濟(jì)管理等專業(yè)的學(xué)生必修的一門公共基礎(chǔ)課，屬于考試課．

本課程為后繼一些專業(yè)課程的學(xué)習(xí)提供重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．課

程

簡介

比如化學(xué)專業(yè)的學(xué)生要學(xué)習(xí)的物理化學(xué)、量子化學(xué)、分析化學(xué)、高分子化學(xué)等課程.線性代數(shù)課程對化學(xué)專業(yè)的作用還體現(xiàn)在：在處理多原子分子的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)時，需要通過線性組合原子軌道來構(gòu)建分子軌道.分子軌道理論通過線性代數(shù)中的矩陣運算，可以確定晶體在不同對稱操作下的變換規(guī)律，從而深入理解晶體的結(jié)構(gòu)和性質(zhì).晶體結(jié)構(gòu)分析量子化學(xué)中薛定諤方程求解離不了線性代數(shù)的理論和方法.量子化學(xué)方面線性代數(shù)的地位和作用線性代數(shù)的主要內(nèi)容矩陣線性方程組行列式矩陣矩陣的初等變換與線性方程組向量組的線性相關(guān)性相似矩陣二次型工具：行列式和矩陣主線：矩陣課程特點和學(xué)習(xí)要求課程特點內(nèi)容抽象，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透；邏輯性較強(qiáng)；概念多、性質(zhì)結(jié)論多，符號多；計算原理簡單但思路靈活且計算量大；證明簡潔但技巧性強(qiáng).學(xué)習(xí)要求理解基本概念和原理，多做練習(xí)，通過練習(xí)來加強(qiáng)對理論、方法的理解和掌握.加強(qiáng)交流，學(xué)習(xí)過程中遇到自己無法解決的問題時，不妨多向老師或同學(xué)尋求幫助，或參考一些優(yōu)秀教材、參考書或在線資源或借助AI等及時解決問題.01行列式主要內(nèi)容行列式的定義行列式的性質(zhì)計算方法目錄01

二階與三階行列式02n

階行列式的定義05克萊姆（Cramer）法則04行列式按行（列）展開03行列式的性質(zhì)線性代數(shù)二階與三階行列式第1.1節(jié)

二階與三階行列式

二、一、二階行列式二、三階行列式線性代數(shù)二階與三階行列式線性代數(shù)二階與三階行列式一、二階行列式1、二階行列式的引入用消元法解二元線性方程組(1)(2)消去未知數(shù)：線性代數(shù)二階與三階行列式得方程組的唯一解為當(dāng)

時，由方程組的4個系數(shù)確定兩式相減，得類似地，消去，得這是二元線性方程組滿足一定條件時的公式解，但這種形式不方便記.線性代數(shù)二階與三階行列式

定義1

由4個數(shù)排成二行二列（橫排稱行(row)，豎排稱列(column)）的數(shù)表即稱表達(dá)式

為上述數(shù)表所確定的二階行列式，并記作注意(1)二階行列式的記號；（2）實質(zhì)是兩行兩列的數(shù)表按一定運算規(guī)則作運算.2、二階行列式的定義線性代數(shù)二階與三階行列式列標(biāo)(表明該元素位于第j列）在行列式中，數(shù)稱為該行列式的元素或元.行列式

(determinant)一般用字母表示.元行標(biāo)(表明該元素位于第

i行)線性代數(shù)二階與三階行列式綠色的虛線稱為副對角線.紅色的實線稱為主對角線，例1

計算二階行列式解3、二階行列式的計算——對角線法則線性代數(shù)二階與三階行列式對于二元線性方程組當(dāng)時，方程組有唯一解：利用二階行列式的概念,方程組的解可以寫成系數(shù)行列式4、用行列式表示二元線性方程組的解線性代數(shù)二階與三階行列式例2

求解二元線性方程組解由于因此線性代數(shù)二階與三階行列式二、三階行列式1、三階行列式的引入三元線性方程組如何求解滿足一定條件下，解得線性代數(shù)二階與三階行列式定義2

設(shè)有9個數(shù)排成三行三列的數(shù)表記作述數(shù)表所確定的三階行列式，2、三階行列式的定義表達(dá)式稱為由上線性代數(shù)二階與三階行列式即(1)6項的代數(shù)和;

(2)每一項都是三個元素相乘；(3)每項相乘的三個元素取自不同行不同列.注線性代數(shù)二階與三階行列式（1）對角線法則（沙路法）（2）拓展對角線法3、三階行列式的計算+++沙路主對角線正號+沙路副對角線負(fù)號

嘗試計算例4

求解方程解方程左端的三階行列式由，解得或例3

計算三階行列式解按對角線法則，有線性代數(shù)二階與三階行列式線性代數(shù)二階與三階行列式小結(jié)二階行列式三階行列式對角線法則只適用于二階與三階行列式.

二階與三階行列式是由解二元和三元線性方程組的需要產(chǎn)生的.線性代數(shù)n

階行列式第1.2節(jié)

n階行列式二、三、n階行列式四、n階行列式的其他定義形式一、全排列與逆序數(shù)二、對換線性代數(shù)一、全排列與逆序數(shù)如何計算

？

將個不同的元素排成一行，稱為這個元素的一個全排列，也簡稱

元排列，

個不同的元素所有可能的排列種數(shù)，稱為全排列數(shù)，通常用

表示.由分步乘法原理，例如，用1,2,3三個數(shù)字作排列，排列數(shù)3種情況2種情況1種情況123，132，213，231，312，321.它們是n

階行列式線性代數(shù)

對

個不同的元素，先規(guī)定各元素之間有一個標(biāo)準(zhǔn)次序,個不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.

規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)次序后，在這

個元素的任一排列中，當(dāng)某兩個元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時，就說這兩個元素構(gòu)成一個逆序.一個排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個排列的逆序數(shù).逆序數(shù)為奇數(shù)(偶數(shù))的排列稱為奇排列(偶排列).n

階行列式一般地，

個自然數(shù)

的任意一個排列記作

，如果比

大且排在

前面的元素有

個，就說元素

的逆序數(shù)是.一個排列中全體元素的逆序數(shù)之和就是這個排列的逆序數(shù).排列的逆序數(shù)可記為線性代數(shù)計算排列的逆序數(shù)的方法：

從左至右分別計算出排列中每個元素前面比它大的元素的個數(shù)（即每個元素的逆序數(shù)），然后把這些個數(shù)加起來即為所求排列的逆序數(shù).例1

求排列43512的逆序數(shù).解在排列43512中,4排在首位,逆序數(shù)為0;3的前面比3大的數(shù)有1個;于是排列43512的逆序數(shù)為5的前面比5大的數(shù)有0個;1的前面比1大的數(shù)有3個;2的前面比2大的數(shù)有3個;奇排列n

階行列式線性代數(shù)二、對換

將一個排列中任意兩個元素的位置對調(diào)，其余元素不動，而得到一個新排列的過程稱為對換．若對換的是相鄰的兩個元素，則稱為相鄰對換.定理1

一個排列進(jìn)行一次對換，排列改變奇偶性一次.相鄰對換的情形:排列的逆序數(shù)增加1或減少1，排列奇偶性改變.一般對換的情形:作m次相鄰對換作m+1次相鄰對換排列作奇數(shù)次相鄰對換，排列奇偶性改變.

推論

奇（偶）排列對換成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇（偶）數(shù).n

階行列式1、以舊導(dǎo)新回顧三階行列式任一項不考慮正負(fù)號時可寫成,是1,2,3這3個數(shù)的某個排列，共有3！=6種，對應(yīng)上式右邊共6項.這里行標(biāo)成標(biāo)準(zhǔn)排列，列標(biāo)排列

線性代數(shù)三、n階行列式觀察發(fā)現(xiàn)(1)展開式的每一項都恰是位于不同行、不同列的3個元素的乘積，n

階行列式各項前面所取的正負(fù)號與列標(biāo)排列的對應(yīng)情況：取正號的三項列標(biāo)排列分別是：取負(fù)號的三項列標(biāo)排列分別是：都是偶排列，取負(fù)號的三項列標(biāo)排列都是奇排列，因此各項所取的正負(fù)號可表示為均為偶排列均為奇排列123，231，312；321，132，213.線性代數(shù)觀察發(fā)現(xiàn)(2)各項的正負(fù)號與列標(biāo)排列的奇偶性有關(guān).取正號的三項列標(biāo)排列,其中

為該項列標(biāo)排列

的逆序數(shù).n

階行列式綜合觀察發(fā)現(xiàn)（1）和（2），知三階行列式可以寫成：線性代數(shù)其中

為排列

的逆序數(shù)，

是1,2,3的某排列，連加號表示對1，2，3這3個數(shù)的所有排列對應(yīng)的項求和.

n

階行列式，即得形如定義1

設(shè)有個數(shù)，排成行列的數(shù)表nn作出表中位于不同行不同列的個數(shù)的乘積n線性代數(shù)2.n階行列式的定義并冠以符號n

階行列式這樣的項，其中為自然數(shù)的一個排列，由于這樣的排列共有個，因而形如這樣的項共有項.所有這項稱為階行列式，記作線性代數(shù)的代數(shù)和n

階行列式簡記為其中數(shù)為行列式的

元.

即行列式中每個元素的下標(biāo)能表示該元素的位置時，行列式可以簡記.等號右邊稱為行列式

D的展開式.線性代數(shù)n

階行列式（1）階行列式是項的代數(shù)和；（2）階行列式的每一項都是位于不同行不同列的

個元素的乘積；（4）一階行列式不要與絕對值記號相混淆.（3）每一項的行標(biāo)成標(biāo)準(zhǔn)排列時，由列標(biāo)排列的奇偶性決定該項前面的正負(fù)號；按此定義的二階、三階行列式與用對角線法則定義的二階、三階行列式顯然是一致的.線性代數(shù)說明n

階行列式3、幾種特殊形式的行列式（1）上三角形行列式可能不為0的元素

滿足即展開式的一般項為而

是

這n個數(shù)中互不相同的數(shù)，故只有故D展開式中可能不為0的項只有一項，符號為正.作為計算公式識記線性代數(shù)n

階行列式（2）下三角形行列式展開式中一般項可能不為0的元素

滿足即只能線性代數(shù)n

階行列式（3）對角行列式（4）其他特殊形式行列式線性代數(shù)n

階行列式線性代數(shù)n

階行列式線性代數(shù)小結(jié)與思考n階行列式思考n階行列式展開式中每一項都是位于不同行不同列的n個元素的乘積，如果交換乘積中相乘元素的順序后結(jié)果怎樣？n

階行列式線性代數(shù)四、n階行列式的其他定義形式n階行列式

的展開式中的一般項偶奇記則故即

與

奇偶性一樣.值不變行標(biāo)排列與列標(biāo)排列都作一次對換n

階行列式線性代數(shù)說明若干次對換后特別地對換成列指標(biāo)成自然排列，即一般項為于是，一般項（1）行標(biāo)排列與列標(biāo)排列同時都做了一次對換；（2）行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的奇偶性同時發(fā)生變化；（3）行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變.交換乘積中任兩個元素的位置，將引起：n

階行列式線性代數(shù)n階行列式的其他定義形式更一般的有

其中n

階行列式線性代數(shù)課堂練習(xí)(1)判斷在四階行列式中，

應(yīng)取什么符號？(2)求多項式中的系數(shù)（3）P30第3題n

階行列式線性代數(shù)行列式的性質(zhì)第1.3節(jié)

行列式的性質(zhì)

二、一、行列式的性質(zhì)二、應(yīng)用舉例行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.線性代數(shù)行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1（

的轉(zhuǎn)置行列式）transpose記則線性代數(shù)行列式的性質(zhì)性質(zhì)2

性質(zhì)1表明行列式中行與列具有同等的地位，行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也成立，反之亦然.對換行列式的兩行（列），行列式的值變號.設(shè)

是由

交換

i,j兩行得到的，則線性代數(shù)行列式的性質(zhì)其中記則故符號說明行列式的第

i行用

表示；行列式的第i列用

表示；對換行列式的

i,j兩行用

表示；對換行列式的

i,j兩列用

表示.線性代數(shù)行列式的性質(zhì)

推論若行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式的值等于零.性質(zhì)3行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一個數(shù)k，等于用數(shù)k乘以此行列式.推論1行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面.線性代數(shù)行列式的性質(zhì)性質(zhì)4若行列式中有兩行(列)元素對應(yīng)成比例，則此行列式值為零.推論2行列式中某一行（列）的元素全為零時，行列式的值為零.線性代數(shù)行列式的性質(zhì)性質(zhì)5若行列式的某一行（列）的元素都是兩個數(shù)的和，例如第i行的元素都是兩數(shù)之和：則該行列式D等于下面兩個行列式之和：線性代數(shù)行列式的性質(zhì)性質(zhì)5表明：行列式當(dāng)某一行（或列）為兩數(shù)之和時，行列式關(guān)于該行（或列）可分解為兩個行列式.思考：若n

階行列式每個元素都表示成兩數(shù)之和，則它可分解為幾個行列式呢？例如線性代數(shù)行列式的性質(zhì)性質(zhì)6把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一個數(shù)后加到另一行（列）對應(yīng)的元素上去，行列式的值不變.例如注意盡管涉及兩行（列）但僅“另一行（列）”變了線性代數(shù)行列式的性質(zhì)（1）轉(zhuǎn)置不變（2）對換取反（3）倍乘可提出（5）倍加不變（4）行(列)加法拆項法則同行(列)化零零行(列)化零同比化零行列式的性質(zhì)利用行列式的運算

，

，

和,,可以簡化行列式的計算，特別是利用運算

或

可以將行列式中許多元素化為0.計算行列式常用的一種方法就是利用運算

或

將行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值.

線性代數(shù)行列式的性質(zhì)把行列式化為上三角行列式的一般步驟為：

（1）若（1,1）元為0，先將第一行與其他行交換，使得交換后的行列式其第一列第一個元素不為0，然后把第一行分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到其他各行，使得第一列除第一個元素外，其余元素全化為0；

（2）用同樣的方法處理除去第一行第一列后余下的低一階的行列式，如此反復(fù)下去，直到使它變?yōu)樯先切辛惺?，這時主對角線上元素的乘積就是所求行列式的值.

用歸納不難證明任何n階行列式總能只利用行運算或只利用列運算把它化為上三角行列式或化為下三角行列式.線性代數(shù)行列式的性質(zhì)例1.8

計算行列式解二、應(yīng)用舉例線性代數(shù)行列式的性質(zhì)例1.9

計算

n階行列式解特點：每行的和一樣處理：從2列起，各列加到第一列，然后提公因子線性代數(shù)行列式的性質(zhì)有其他計算方法嗎？線性代數(shù)行列式的性質(zhì)例1.10

計算行列式解注意

幾個運算寫在一起時，各個運算先后次序一般不能顛倒.因為后一次運算是作用在前一次運算結(jié)果上的.線性代數(shù)行列式的性質(zhì)例1.11試證即分塊下三角形行列式

等于主對角線上各分塊行列式的乘積.線性代數(shù)行列式的性質(zhì)證明線性代數(shù)行列式的性質(zhì)線性代數(shù)行列式按行（列）展開第1.4節(jié)

行列式按行（列）展開

二、一、余子式及代數(shù)余子式二、展開法則二、三、展開法則的推論線性代數(shù)行列式按行（列）展開第4節(jié)

行列式按行（列）展開

能否用低階行列式來表示高階行列式？以三階行列式為例來探討：線性代數(shù)行列式按行（列）展開一、余子式及代數(shù)余子式

定義2

在階行列式中，把元所在的第行和第列劃去后，余下的元素（依原來的排法）所構(gòu)成的階行列式，稱為元

的余子式，記作

；

記

稱為元的代數(shù)余子式.某元素的余子式或代數(shù)余子式與該元素所在行(列)中的元素?zé)o關(guān).（因為都劃掉了）例如

三階行列式

中(2,1)元的余子式為代數(shù)余子式為線性代數(shù)行列式按行（列）展開二、展開法則

引理一個

階行列式

，如果第行所有元素除

元

外全為零，那么該行列式等于

與它的代數(shù)余子式的乘積，即

例如線性代數(shù)行列式按行（列）展開證按分塊下三角行列式的結(jié)論，有又從而再證一般的情形,此時此時先證的情形，線性代數(shù)行列式按行（列）展開

將的第行依次與第行，第行，第1行交換

，得線性代數(shù)行列式按行（列）展開再將第列依次與第列，第列，第1列交換，得線性代數(shù)行列式按行（列）展開

注意到行列式中（1,1）元的余子式就是行列式

中

的余子式

而中(1,1)元為

，第1行其余元素都為0，利用前面的結(jié)果，有于是注：該引理對于列也成立.線性代數(shù)行列式按行（列）展開

定理4

（展開法則）

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即或證線性代數(shù)行列式按行（列）展開類似地，可以得到關(guān)于列的結(jié)論.線性代數(shù)行列式按行（列）展開行列式按行（列）展開法則：

利用這一法則結(jié)合行列式的性質(zhì)可以簡化行列式的計算.利用性質(zhì)去“造0”，利用展開法則去降階，從而簡化行列式的計算.按第

i行展開按第j列展開應(yīng)用展開法則雖然實現(xiàn)了降階

，但需要計算的低一階的行列式的個數(shù)多了.選擇什么樣的行或列展開可以減少運算量呢選零元多的行或列去展開行列式可以減少運算.線性代數(shù)行列式按行（列）展開展開法則應(yīng)用舉例例1.8

計算行列式解“造0”降階線性代數(shù)行列式的性質(zhì)例1.12

計算階行列式未寫出的元素均為0.線性代數(shù)行列式的性質(zhì)解按第1行展開，有由此遞推公式遞推下去，得線性代數(shù)行列式按行（列）展開例1.13證明范德蒙德(Vandermonde)行列式注：n個變元在n個列上；從列看：每列都是首項為1的等比數(shù)列；從行看：冪一致，變元兩兩不同；從右邊看：結(jié)果等于所有變量對的“逆序差（按照逆序作差）”之積.連乘號線性代數(shù)行列式按行（列）展開

證用數(shù)學(xué)歸納法.因為所以當(dāng)

時

（1）式成立.假設(shè)（1）式對

階范德蒙行列式成立，要證（1）式對

階范德蒙行列式也成立.為此，設(shè)法把

降階：從第

行開始，依次后行減去前行的

倍，有線性代數(shù)行列式按行（列）展開按第一列展開，并把每列的公因子提出，就得n-1階范德蒙德行列式由歸納假設(shè),故第2行各元素兩兩不同.可認(rèn)為行列式D的第二行的元素與第一行對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和線性代數(shù)行列式按行（列）展開三、展開法則的推論（代數(shù)余子式的另一重要性質(zhì)）以三階行列式為例來探討可以展開式寫在等號前，行列式寫在等號后，作為公式用線性代數(shù)行列式按行（列）展開一般地，對于n階行列式，也有可作為公式線性代數(shù)行列式按行（列）展開對列作相仿討論，也有

推論

行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即或關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：設(shè)有線性代數(shù)行列式按行（列）展開補(bǔ)充例題

設(shè)

的元的代數(shù)余子式記為

，求.解線性代數(shù)二階與三階行列式小結(jié)行列式按行（列）展開法則及推論

元素的余子式與代數(shù)余子式某元素的余子式與代數(shù)余子式與該元素所在行所在列中的元素?zé)o關(guān).線性代數(shù)行列式按行（列）展開D中(3,3)元的余子式也是

中(1,1)元的余子式.線性代數(shù)克拉默法則第1.5節(jié)

克萊姆法則

二、一、克拉默法則二、齊次線性方程組相