1/6《實際問題與反比例函數(shù)(第1課時)》教案一、教學(xué)目標(biāo)【知識與技能】1.靈活運用反比例函數(shù)的意義和性質(zhì)解決實際問題；2.能夠根據(jù)實際問題確定自變量的取值范圍.【過程與方法】通過分析實際問題中變量之間的關(guān)系，建立反比例函數(shù)模型，再利用反比例函數(shù)解決實際問題，在具體問題中探索反比例函數(shù)的應(yīng)用.．【情感態(tài)度與價值觀】體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系，增強應(yīng)用意識，提高運用代數(shù)方法解決問題的能力．二、課型新授課三、課時第1課時共2課時四、教學(xué)重難點【教學(xué)重點】 利用反比例函數(shù)的知識分析、解決實際問題.【教學(xué)難點】 分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，正確寫出函數(shù)解析式.五、課前準(zhǔn)備 教師：課件、直尺、三角板等.學(xué)生：直尺、三角板.六、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課（出示課件2）你吃過拉面嗎？你知道在做拉面的過程中滲透著數(shù)學(xué)知識嗎？⑴體積為20cm3的面團做成拉面，面條的總長度y（單位：cm）與面條粗細(xì)（橫截面積）s（單位：cm2）有怎樣的函數(shù)關(guān)系？生口答：（S＞0）（2）某家面館的師傅手藝精湛，他拉的面條粗1mm2，面條總長是多少？（二）探索新知知識點利用反比例函數(shù)解決實際問題考點1利用反比例函數(shù)解答幾何圖形問題出示課件4～6：例市煤氣公司要在地下修建一個容積為104m3的圓柱形煤氣儲存室.(1)儲存室的底面積S（單位：m2）與其深度d（單位：m）有怎樣的函數(shù)關(guān)系?(2)公司決定把儲存室的底面積S定為500m2，施工隊施工時應(yīng)該向地下掘進多深?(3)當(dāng)施工隊按(2)中的計劃掘進到地下15m時，公司臨時改變計劃，把儲存室的深度改為15m.相應(yīng)地，儲存室的底面積應(yīng)改為多少(結(jié)果保留小數(shù)點后兩位)?學(xué)生分組思考后，師生共同解答：解：⑴根據(jù)圓柱體的體積公式，得Sd=104，∴S關(guān)于d的函數(shù)解析式為.（2）把S=500代入中，得∴d=20（m）如果把儲存室的底面積定為500m2，施工時應(yīng)向地下掘進20m深.（3）根據(jù)題意，把d=15代入，得.∴當(dāng)儲存室的深度為15m時，底面積應(yīng)改為666.67m2.教師問：第（1）問的解題思路是什么？第（2）問和第（3）問與過去所學(xué)的解分式方程和求代數(shù)式的值的問題有何聯(lián)系？（出示課件7）師生一起解答：第（1）問首先要弄清此題中各數(shù)量間的關(guān)系，然后根據(jù)圓柱的體積公式：圓柱的體積＝底面積×高，由題意知S是函數(shù)，d是自變量，改寫后所得的函數(shù)關(guān)系式是反比例函數(shù)的形式.第（2）問實際上是已知函數(shù)S的值，求自變量d的取值，第（3）問則是與第（2）問相反．出示課件8～10，學(xué)生獨立思考后自主解答，教師訂正.考點2利用反比例函數(shù)解答運輸問題出示課件11～12：例碼頭工人每天往一艘輪船上裝載30噸貨物，裝載完畢恰好用了8天時間.(1)輪船到達(dá)目的地后開始卸貨，平均卸貨速度v(單位：噸/天)與卸貨天數(shù)t之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系?(2)由于遇到緊急情況，要求船上的貨物不超過5天卸載完畢，那么平均每天至少要卸載多少噸?師生共同分析：根據(jù)“平均裝貨速度×裝貨天數(shù)=貨物的總量”，可以求出輪船裝載貨物的總量；再根據(jù)“平均卸貨速度=貨物的總量÷卸貨天數(shù)”，得到v關(guān)于t的函數(shù)解析式.解：（1）設(shè)輪船上的貨物總量為k噸，根據(jù)題意得k=30×8=240，所以v關(guān)于t的函數(shù)解析式為；（2）把t=5代入中，得：（噸/天）.從結(jié)果可以看出，如果全部貨物恰好用5天卸載完，則平均每天卸載48噸.而觀察求得的反比例函數(shù)的解析式可知，t越小，v越大.這樣若貨物不超過5天卸載完，則平均每天至少要卸載48噸.教師問：題目中蘊含的等量關(guān)系是什么？我們知道“至少”對應(yīng)于不等號“≥”，那么需要用不等式來解決第（2）問嗎？學(xué)生討論后教師總結(jié)：此題類似應(yīng)用題中的“工程問題”，關(guān)系式為工作總量＝工作速度×工作時間，題目中貨物總量是不變的，兩個變量分別是速度v和時間t，因此具有反比關(guān)系．第（2）問涉及了反比例函數(shù)的增減性，即當(dāng)自變量t取最大值時，函數(shù)值v取最小值．出示課件14～15，學(xué)生獨立思考后一生板演，教師訂正.考點3利用反比例函數(shù)解答行程問題出示課件16：例一司機駕駛汽車從甲地去乙地，他以80千米/時的平均速度用6小時到達(dá)乙地.（1）甲、乙兩地相距多少千米？（2）當(dāng)他按原路勻速返回時，汽車的速度v與時間t有怎樣的函數(shù)關(guān)系？師生共同分析后，一生板演：解：⑴80×6=480（千米）答：甲、乙兩地相距480千米.⑵由題意得vt=480，整理得（t＞0）.出示課件17，學(xué)生獨立思考后口答，教師訂正.（三）課堂練習(xí)（出示課件18-27）引導(dǎo)學(xué)生練習(xí)課件18-27題目，約用時15分鐘（四）課堂小結(jié)（出示課件28）本節(jié)課你有哪些收獲？你還有什么困惑嗎？（引導(dǎo)學(xué)生思考答復(fù)）師生一起提煉本節(jié)課的重要知識和必須掌握的技能：用反比例函數(shù)解決實際問題的一般步驟:一審題:弄清題意分清條件和結(jié)論理順數(shù)量關(guān)系.二建模:將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用反比例函數(shù)等知識，建立函數(shù)模型.三解模:求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.四還原:將用數(shù)學(xué)知識和教學(xué)數(shù)學(xué)方法求得的解得出結(jié)論還原為實際問題的結(jié)果.（五）課前預(yù)習(xí)預(yù)習(xí)下節(jié)課（26.2第2課時）的相關(guān)內(nèi)容.能應(yīng)用反比例函數(shù)解決其他實際問題.七、課后作業(yè)1.教材第15頁練習(xí)第3題.2.課堂第24～25頁第1,2，8題.八、板書設(shè)計26.2實際問題與反比例函數(shù)（第1課時）考點1考點2考點3九、教學(xué)反思教學(xué)時注意到學(xué)生的實際生活，從切實發(fā)生在學(xué)生身邊的實際情景導(dǎo)入新課，創(chuàng)設(shè)了輕松和諧的學(xué)習(xí)氣氛，引起學(xué)生的興趣，讓學(xué)生自己利用已經(jīng)具備的知識分析實例，通過合作討論將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（反比例函數(shù)），再用函數(shù)的觀點處理實際問題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用過程.堂上鼓勵性語言較少，基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生課堂反饋仍然很少.知能演練提升能力提升1.一司機駕駛汽車從甲地去乙地,當(dāng)汽車以80km/h的平均速度行駛時,到達(dá)乙地用了4小時,當(dāng)按原路勻速返回時,汽車的速度v(單位:km/h)與時間t(單位:h)的函數(shù)解析式是()A.v=320t B.v=320C.v=20t D.v=202.如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,點P在邊BC上運動,連接DP,過點A作AE⊥DP,垂足為E.設(shè)DP=x,AE=y,則能反映y與x之間的函數(shù)的大致圖象是()3.某蔬菜生產(chǎn)基地在氣溫較低時,用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種在自然光照且溫度為18℃的條件下生長最快的新品種.某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后,大棚內(nèi)溫度y(單位:℃)隨時間x(單位:h)變化的函數(shù)圖象如圖所示,其中BC段是雙曲線y=kx的一部分.恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚內(nèi)溫度18℃的時間有h;k=;當(dāng)x=16時,大棚內(nèi)的溫度約為℃.4.如圖,邊長為4的正方形ABCD的對稱中心是坐標(biāo)原點O,AB∥x軸,BC∥y軸,反比例函數(shù)y=2x與y=-2x的圖象均與正方形ABCD的邊相交,則圖中陰影部分的面積之和是(第4題圖)5.某人利用一個最大電阻為200Ω的滑動變阻器及電流表測電源電壓,如圖所示.(1)該電源電壓為;

(2)電流I(單位:A)與電阻R(單位:Ω)之間的函數(shù)解析式為;

(3)當(dāng)電阻在2~200Ω之間時,電流應(yīng)在范圍內(nèi),電流隨電阻的增大而;

(4)若限制電流不超過20A,則電阻應(yīng)在之間.

6.某蓄水池的排水管每小時排水8m3,6h可將滿池水全部排空.(1)蓄水池的容積是多少?(2)如果增加排水管,使每小時的排水量達(dá)到Q(單位:m3),那么將滿池水排空所需的時間t(單位:h)將如何變化?(3)寫出t與Q的函數(shù)解析式.(4)如果準(zhǔn)備在5h內(nèi)將滿池水排空,那么每小時的排水量至少為多少?(5)已知排水管的最大排水量為每小時12m3,那么最少多長時間可將滿池水全部排空?7.杠桿原理在生活中被廣泛應(yīng)用(杠桿原理:阻力×阻力臂=動力×動力臂),小明利用這一原理制作了一個稱量物體質(zhì)量的簡易“秤”(如圖①).制作方法如下:第一步:在一根勻質(zhì)細(xì)木桿上標(biāo)上均勻的刻度(單位長度為1cm),確定支點O,并用細(xì)麻繩固定,在支點O左側(cè)2cm的A處固定一個金屬吊鉤,作為秤鉤;第二步:取一個質(zhì)量為0.5kg的金屬物體作為秤砣.(1)圖①中,把重物掛在秤鉤上,秤砣掛在支點O右側(cè)的B處,秤桿平衡,就能稱得重物的質(zhì)量.當(dāng)重物的質(zhì)量變化時,OB的長度隨之變化.設(shè)重物的質(zhì)量為xkg,OB的長為ycm.寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式;若0<y<48,求x的取值范圍.(2)調(diào)換秤砣與重物的位置,把秤砣掛在秤鉤上,重物掛在支點O右側(cè)的B處,使秤桿平衡,如圖②.設(shè)重物的質(zhì)量為xkg,OB的長為ycm,寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式,完成下表,畫出該函數(shù)的圖象.x/kg……0.250.5124……y/cm……?

……8.制作一種產(chǎn)品,需先將材料加熱達(dá)到60℃后,再進行操作,設(shè)該材料溫度為y(單位:℃),從加熱開始計算的時間為x(單位:min).據(jù)了解,該材料加熱時,溫度y與時間x成一次函數(shù)關(guān)系,停止加熱進行操作時,溫度y與時間x成反比例關(guān)系,如圖,已知該材料在操作加工前的溫度為15℃,加熱5min后的溫度達(dá)到60℃.(1)分別求出將材料加熱和停止加熱進行操作時,y關(guān)于x的函數(shù)解析式;(2)根據(jù)工藝要求,如果當(dāng)材料的溫度低于15℃時,需停止操作,那么從開始加熱到停止操作共經(jīng)歷了多長時間?9.(2023·寧夏中考)給某氣球充滿一定質(zhì)量的氣體,在溫度不變時,氣球內(nèi)氣體的氣壓p(單位:kPa)是氣體體積V(單位:m3)的反比例函數(shù),其圖象如圖所示.(1)當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓超過150kPa時,氣球會爆炸,若將氣球近似看成一個球體,試估計氣球的半徑至少為多少時氣球不會爆炸(球體的體積公式V=43πr3,π(2)請你利用p與V的關(guān)系試解釋為什么超載的車輛容易爆胎.創(chuàng)新應(yīng)用★10.某廠從2021年起開始投入技術(shù)改進資金,經(jīng)技術(shù)改進后,其產(chǎn)品的生產(chǎn)成本不斷降低,具體數(shù)據(jù)如下表:年度2021202220232024投入技改資金x/萬元2.5344.5產(chǎn)品成本y/(萬元/件)7.264.54(1)請你認(rèn)真分析表中數(shù)據(jù),從你所學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)中確定哪種函數(shù)能表示其變化規(guī)律,說明確定是這種函數(shù)而不是其他函數(shù)的理由,并求出它的解析式.(2)按照這種變化規(guī)律,若2025年投入技改資金5萬元.①預(yù)計生產(chǎn)成本每件比2024年降低多少萬元?②若打算在2025年把每件產(chǎn)品的成本降低到3.2萬元,則還需投入技改資金多少萬元?(結(jié)果精確到0.01萬元)

知能演練·提升能力提升1.B由題意知vt=80×4,則v=320t2.C如圖,連接AP,S△APD=12AD·AB=12AE·PD=6,所以xy=12,y=因為3≤DP≤5,所以其大致圖象為選項C.3.1021613.54.8觀察題圖,看出陰影部分的面積是正方形ABCD的面積的一半.正方形ABCD的面積為16,所以陰影部分的面積之和為8.5.(1)144V(2)I=144R(3)0.(4)7.2~200Ω6.解(1)蓄水池的容積是6×8=48(m3).(2)增加排水管會使時間縮短,將滿池水排空所需的時間t會減少.(3)因為容積V=48m3,所以解析式為t=48Q(4)48Q≤5,Q≥9.6(m3),即每小時的排水量至少為9.6m3(5)設(shè)最少用xh將滿池水排空,根據(jù)題意,得12x≥48,解得x≥4,即最少用4h可將滿池水全部排空.7.解(1)∵阻力×阻力臂=動力×動力臂,∴重物的質(zhì)量×OA=秤砣的質(zhì)量×OB.∵OA=2cm,重物的質(zhì)量為xkg,OB的長為ycm,秤砣的質(zhì)量為0.5kg,∴2x=0.5y,∴y=4x.∵4>0,∴y隨x的增大而增大,又當(dāng)y=0時,x=0;當(dāng)y=48時,x=12,∴當(dāng)0<y<48時,0<x<12.(2)∵阻力×阻力臂=動力×動力臂,∴秤砣的質(zhì)量×OA=重物的質(zhì)量×OB.∵OA=2cm,重物的質(zhì)量為xkg,OB的長為ycm,秤砣的質(zhì)量為0.5kg,∴2×0.5=xy,∴y=1x當(dāng)x=0.25時,y=10.當(dāng)x=0.5時,y=10.當(dāng)x=1時,y=1;當(dāng)x=2時,y=12當(dāng)x=4時,y=14故答案為4;2;1;12作出函數(shù)的圖象如下圖.8.解(1)設(shè)材料加熱時,y關(guān)于x的一次函數(shù)解析式為y=k1x+b(k1≠0),由題意知,當(dāng)x=0時,y=15;當(dāng)x=5時,y=60.代入y=k1x+b,得b解得k所以y=9x+15,x的取值范圍是0≤x≤5.設(shè)停止加熱進行操作時,y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=k2x(k2由題意,當(dāng)x=5時,y=60,代入函數(shù)解析式,得60=k2所以k2=300,即進行操作時y與x的函數(shù)解析式為y=300x(x≥5)(2)由題意知,當(dāng)y=15時,由y=300x,得300x=所以x=20,即當(dāng)x=20min時,材料溫度為15℃,由反比例函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)x>20時,y<15,即從開始加熱到停止操作共經(jīng)歷了20mi