第1頁（共1頁）2025年黑龍江省龍東地區(qū)中考數(shù)學試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)4?a3＝a6 B．2a+3b＝6ab C．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9 D．（﹣a+b）（a+b）＝a2﹣b22．（3分）我國古代有很多關于數(shù)學的偉大發(fā)現(xiàn)，其中包括很多美麗的圖案，下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）2025年2月7日至2月14日第九屆亞冬會在哈爾濱市舉辦，本屆亞冬會的吉祥物是一對可愛的東北虎“濱濱”和“妮妮”．某專賣店“濱濱”和“妮妮”套盒紀念品連續(xù)六天的銷售量（單位：套）分別為：136，129，180，154，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．136，136 B．138，136 C．136，129 D．136，1384．（3分）一個由若干個大小相同的小正方體搭成的幾何體，它的主視圖和俯視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個數(shù)最少是（）A．7 B．8 C．6 D．55．（3分）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車已經(jīng)逐漸成為人們喜愛的交通工具．某品牌新能源汽車的月銷售量由一月份的8000輛增加到三月份的12000輛，則可列方程為（）A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x）2＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000 D．8000×2（1+x）＝120006．（3分）已知關于x的分式方程﹣＝3解為負數(shù)，則k的值為（）A．k＜﹣4 B．k＞﹣4 C．k＜﹣4且k≠﹣ D．k＞﹣4且k≠﹣7．（3分）為促進學生德智體美勞全面發(fā)展，某校計劃用1200元購買足球和籃球用于課外活動，其中足球80元/個，共有多少種購買方案（）A．6 B．7 C．4 D．58．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A、點B都在雙曲線y＝（k≠0）上，點A的橫坐標為﹣1，∠AOB＝∠ABO＝45°（）A． B．﹣ C． D．﹣9．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，且AD＝4，CE＝3，點M、N分別是AC、DE的中點，連接MN（）A． B． C．2 D．10．（3分）如圖，在正方形ABCD中，點F在BC邊上（不與點B、C重合），且BE＝BF，連接AC、AE、AF，分別交AB、AC、DC于點M、H、N．則下列結(jié)論：①MN＝AF；②∠EAH＝∠EHA；④若BF：FC＝3：4，則tan∠FAC＝（）A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤二、填空題（每小題3分，共30分）11．（3分）電影《哪吒之魔童鬧?！纷陨嫌骋詠恚迷u如潮，截至2025年4月22日，再次刷新中國電影票房紀錄．將數(shù)據(jù)157億用科學記數(shù)法表示為．12．（3分）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是．13．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，請?zhí)砑右粋€條件，使平行四邊形ABCD為菱形．14．（3分）如圖，隨機閉合開關K1、K2、K3中的兩個，能讓兩盞燈泡L1、L2同時發(fā)光的概率為．15．（3分）關于x的不等式組恰有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是．16．（3分）如圖，PA、PB是圓O的切線，A、B為切點，∠BAC＝35°，∠P＝．17．（3分）若圓錐的底面半徑為3，高為4，則圓錐側(cè)面展開圖的面積為．18．（3分）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝9，點M是△ABC內(nèi)部一點，若CM＝3，則AM+．19．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AD＝6，點E是邊CD的中點，點F是對角線AC上一動點，若PE⊥AC，則CF的長為．20．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣，交y軸于點B．四邊形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，A3A4B4C4，?都是正方形，頂點A1，A2，A3，A4，?都在x軸上，頂點B1，B2，B3，B4，?都在直線y＝﹣x+3上，連接BA1，B1A2，B2A3，B3A4，?分別交C1B1，C2B2，C3B3，C4B4，?于點D1，D2，D3，D4，?．設△BB1D1，△B1B2D2，△B2B3D3，△B3B4D4，?的面積分別為S1，S2，S3，S4，?，則S2025＝．三、解答題（滿分60分）21．（5分）先化簡，再求值：?+，其中a＝2sin60°﹣1．22．（6分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，△ABC的三個頂點坐標分別為A（2，﹣1），B（1，﹣3），C（3，﹣4）．（1）將△ABC向上平移5個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到△A1B1C1，畫出兩次平移后的△A1B1C1，并寫出點C1的坐標；（2）畫出△A1B1C1繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2C2，并寫出點C2的坐標；（3）在（2）的條件下，求點C1旋轉(zhuǎn)到點C2的過程中，所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留π）．23．（6分）如圖，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于點A、點B，交y軸于點C，且點A在點B的左側(cè)（3，﹣4）．（1）求b與c的值．（2）在x軸上方的拋物線上是否存在點P，使△PBC的面積與△ABC的面積相等．若存在，請直接寫出點P的橫坐標，請說明理由．24．（7分）2025年6月5日是中國的第11個環(huán)境日，育華中學八年級學生積極參加公益活動，為了解活動時間（單位：h），用得到的數(shù)據(jù)繪制出如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)相關信息，解答下列問題：（1）m＝，扇形統(tǒng)計圖中a＝，并補全條形統(tǒng)計圖；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，求參加公益活動時間為7h所對應扇形圓心角的度數(shù)；（3）若育華中學八年級共有學生1200人，請根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計育華中學八年級參加公益活動的時間是10h的學生有多少人？25．（8分）一條公路上依次有A、B、C三地，一輛轎車從A地出發(fā)途經(jīng)B地接人，停留一段時間后原速駛往C地，送貨到達B地后立即原路原速返回C地（卸貨時間忽略不計）．兩車同時出發(fā)h到達終點，兩車均按各自速度勻速行駛．如圖是轎車和貨車距各自出發(fā)地的距離y（單位：km）（單位：h）之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問題：（1）圖中a的值是，b的值是；（2）在貨車從B地返回C地的過程中，求貨車距出發(fā)地的距離y（單位：km）與行駛時間x（單位：h）；（3）直接寫出轎車出發(fā)多長時間與貨車相距40km．26．（8分）已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，點D是直線BC上一動點，連接AD，連接DE、BE，過點E作EF⊥BC（1）若α＝60°時，如圖①，點D在CB延長線上時，易證：BF＝DF+BC；如圖②，點D在BC延長線上時，試探究線段BF、DF、BC之間存在怎樣的數(shù)量關系，并說明理由．（2）若α＝120°，點D在CB延長線上時，如圖③，不需要證明．27．（10分）2024年8月6日，第十二屆世界運動會口號“運動無限，氣象萬千”在京發(fā)布，準備購買“蜀寶”和“錦仔”獎勵在活動中表現(xiàn)優(yōu)秀的學生．已知購買3個“蜀寶”和1個“錦仔”共需花費332元，購買2個“蜀寶”和3個“錦仔”共需380元．（1）購買一個“蜀寶”和一個“錦仔”分別需要多少元？（2）若學校計劃購買這兩種吉祥物共30個，投入資金不少于2160元又不多于2200元，有哪幾種購買方案？（3）設學校投入資金W元，在（2）的條件下，哪種購買方案需要的資金最少？最少資金是多少元？28．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的邊OA在x軸上，OA的長是一元二次方程x2﹣3x﹣18＝0的根，過點C作CQ⊥OA交OA于點Q，交對角線OB于點P．動點M從點O以每秒1個單位長度的速度沿OA向終點A運動個單位長度的速度沿BO向終點O運動，M、N兩點同時出發(fā)（1）求點P坐標；（2）連接MN、PM，求△PMN的面積S關于運動時間t的函數(shù)解析式；（3）當t＝3時，在對角線OB上是否存在一點E，使得△MNE是含30°角的等腰三角形．若存在；若不存在，請說明理由．

2025年黑龍江省龍東地區(qū)中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案CBDABACDAC一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)4?a3＝a6 B．2a+3b＝6ab C．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9 D．（﹣a+b）（a+b）＝a2﹣b2【解答】解：a4?a3＝a8，則A不符合題意，2a與3b不是同類項，無法合并，（﹣7a2b3）5＝﹣8a6b6，則C符合題意，（﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2，則D不符合題意，故選：C．2．（3分）我國古代有很多關于數(shù)學的偉大發(fā)現(xiàn)，其中包括很多美麗的圖案，下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．圖形是軸對稱圖形，不符合題意；B．圖形既是中心對稱圖形，符合題意；C．圖形是中心對稱圖形，不符合題意；D．圖形既不是軸對稱圖形，不符合題意；故選：B．3．（3分）2025年2月7日至2月14日第九屆亞冬會在哈爾濱市舉辦，本屆亞冬會的吉祥物是一對可愛的東北虎“濱濱”和“妮妮”．某專賣店“濱濱”和“妮妮”套盒紀念品連續(xù)六天的銷售量（單位：套）分別為：136，129，180，154，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．136，136 B．138，136 C．136，129 D．136，138【解答】解：將這組數(shù)據(jù)重新排列為129，136，140，180，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為136，中位數(shù)為，故選：D．4．（3分）一個由若干個大小相同的小正方體搭成的幾何體，它的主視圖和俯視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個數(shù)最少是（）A．7 B．8 C．6 D．5【解答】解：如圖所示：組成該幾何體所需小正方體的個數(shù)最少是：1+1+5+2+2＝4．故選：A．5．（3分）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車已經(jīng)逐漸成為人們喜愛的交通工具．某品牌新能源汽車的月銷售量由一月份的8000輛增加到三月份的12000輛，則可列方程為（）A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x）2＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000 D．8000×2（1+x）＝12000【解答】解：由題意可得，8000（1+x）2＝12000，故選：B．6．（3分）已知關于x的分式方程﹣＝3解為負數(shù)，則k的值為（）A．k＜﹣4 B．k＞﹣4 C．k＜﹣4且k≠﹣ D．k＞﹣4且k≠﹣【解答】解：，得，得x+3k＝2x﹣12，解得：，根據(jù)題意，解，即6k+12＜0，解得：k＜﹣4，∵分母x﹣6≠0，即x≠4，即，解得：，∴k＜﹣4，故選：A．7．（3分）為促進學生德智體美勞全面發(fā)展，某校計劃用1200元購買足球和籃球用于課外活動，其中足球80元/個，共有多少種購買方案（）A．6 B．7 C．4 D．5【解答】解：設購買x個足球，y個籃球，根據(jù)題意得：80x+120y＝1200，∴y＝10﹣x，又∵x，y均為正整數(shù)，∴或或或，∴共有4種購買方案．故選：C．8．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A、點B都在雙曲線y＝（k≠0）上，點A的橫坐標為﹣1，∠AOB＝∠ABO＝45°（）A． B．﹣ C． D．﹣【解答】解：如圖，過點A作MN∥x軸，作BM⊥MN，∵∠AOB＝∠ABO＝45°，∴AB＝AO，∠BAO＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，在△BMA和△ANO中，，∴△BMA≌△ANO（AAS），∴AN＝BM＝1，ON＝AM，∵點A的橫坐標為﹣1，∴A（﹣6，﹣k），∴ON＝AM＝﹣k，∴B（﹣1+k，﹣k﹣1），∵點A、B在反比例函數(shù)圖象上，∴k＝（﹣2+k）（﹣1﹣k）＝1﹣k8，整理得k2+k﹣1＝3，解得k＝（舍去）或k＝．故選：D．9．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，且AD＝4，CE＝3，點M、N分別是AC、DE的中點，連接MN（）A． B． C．2 D．【解答】解：連接CD，取CD的中點K，NK，∵點M、N分別是AC，∴MK、NK分別是△ACD和△DCE的中位線，∴MK∥AB，NK∥BCADCE，∵AD＝4，CE＝2，∴MK＝2，NK＝，∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，∴MK⊥NK，∴∠MKN＝90°，∴MN＝＝．故選：A．10．（3分）如圖，在正方形ABCD中，點F在BC邊上（不與點B、C重合），且BE＝BF，連接AC、AE、AF，分別交AB、AC、DC于點M、H、N．則下列結(jié)論：①MN＝AF；②∠EAH＝∠EHA；④若BF：FC＝3：4，則tan∠FAC＝（）A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤【解答】解：如圖1，過點B作BK∥EN，在正方形ABCD中，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB∥CD，∴△ABC、△ADC是等腰三角形，AB＝AB，∴△AEB≌△AFB（SAS），∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE，∴△AEF是等腰三角形，∵EG⊥AF，∴∠NEC+∠AFE＝90°，又∵∠BAF+∠AFE＝90°，∴∠NEC＝∠BAF，∵BK∥EN，∴∠KBC＝∠NEC，∠BKC＝∠ENC，∴∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE，設∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE＝α，∵∠EAH＝∠BAE+∠BAC＝α+45°，∠AHE＝∠HEC+∠ACB＝α+45°，∴∠EAH＝∠AHE，故結(jié)論②正確；∴EA＝EH，即△AEH是等腰三角形，∵在△ABF和△BCK中，，∴△ABF≌∠BCK（AAS），∴BK＝AF，∠CKB＝∠AFE＝∠AEF＝90°﹣α，∵BK∥EN，AB∥CD，∴四邊形BMNK是平行四邊形，∴MN＝BK，∴MN＝AF，故結(jié)論①正確，∵∠NEC＝∠BAF，∠BCD＝∠ABC＝90°，∴△NEC﹣△BAF，∴，∴EN?BF＝CN?AF，∵∠EAH＝∠AHE＝∠CHN＝45°+α，∠ACE＝∠ACN＝45°，∴△AEC∽△HNC，∴，∴CN?AE＝EC?HN，∵AE＝AF，∴CN?AF＝EC?HN，∴EN?BF＝EC?HN，故結(jié)論③正確，過點F作FP⊥AC，如圖2；設BF＝6x，由BF：FC＝3：4可得FC＝5x，∴AF2＝AB2+BF8＝（7x）2+（2x）2＝58x2，∵∴AP＝＝＝5，∴，故結(jié)論④正確，∠CNE＝90°﹣α，α＜45°，∴∠CNE不一定等于∠CHN，α＜45°，∴△CNH不一定是等腰三角形，故等腰三角形有△ABC、△ADC、△AEH，故結(jié)論⑤錯誤，綜上所述：正確結(jié)論有①②③④．故選：C．二、填空題（每小題3分，共30分）11．（3分）電影《哪吒之魔童鬧海》自上映以來，好評如潮，截至2025年4月22日，再次刷新中國電影票房紀錄．將數(shù)據(jù)157億用科學記數(shù)法表示為1.57×1010．【解答】解：157億1.57×1010．故答案為：1.57×1010．12．（3分）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是x≠﹣3．【解答】解：由題意得：x+3≠0，解得：x≠﹣4，故答案為：x≠﹣3．13．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，請?zhí)砑右粋€條件AC⊥BD（答案不唯一），使平行四邊形ABCD為菱形．【解答】解：∵對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，∴添加一個條件AC⊥BD，使平行四邊形ABCD為菱形．故答案為：AC⊥BD（答案不唯一）．14．（3分）如圖，隨機閉合開關K1、K2、K3中的兩個，能讓兩盞燈泡L1、L2同時發(fā)光的概率為．【解答】解：列表如下：K1K2K3K1（K1，K8）（K1，K3）K7（K2，K1）（K2，K3）K3（K6，K1）（K3，K6）共有6種等可能的結(jié)果，其中能讓兩盞燈泡L1、L4同時發(fā)光的結(jié)果有：（K1，K3），（K2，K1），共2種，∴能讓兩盞燈泡L7、L2同時發(fā)光的概率為．故答案為：．15．（3分）關于x的不等式組恰有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是﹣2≤a＜﹣1．【解答】解：由2x﹣3≤5得，x≤．由x﹣a＞4得，x＞a．因為此不等式組恰有3個整數(shù)解，則這3個整數(shù)解為3，0，﹣1，所以﹣2≤a＜﹣1．故答案為：﹣2≤a＜﹣3．16．（3分）如圖，PA、PB是圓O的切線，A、B為切點，∠BAC＝35°，∠P＝70°．【解答】解：∵PA、PB是圓O的切線，∴PA＝PB，∵AC是⊙O的直徑，∠BAC＝35°，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°，∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°，∴∠P＝180°﹣∠PBA﹣∠PAB＝180°﹣55°﹣55°＝70°，故答案為：70°．17．（3分）若圓錐的底面半徑為3，高為4，則圓錐側(cè)面展開圖的面積為15π．【解答】解：圓錐的母線長＝＝5，所以圓錐側(cè)面展開圖的面積＝×2π×5×5＝15π．故答案為：15π．18．（3分）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝9，點M是△ABC內(nèi)部一點，若CM＝3，則AM+5．【解答】解：在BC上取點G，使CG＝1，又∵BC＝9，CM＝8，，又∵∠MCG＝∠MCB，∴△MCG∽△BCM，∴，∴，∴，∴，∴，即當M在AG上時，取最小值為，故答案為：．19．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AD＝6，點E是邊CD的中點，點F是對角線AC上一動點，若PE⊥AC，則CF的長為3或9．【解答】解：如圖所示，連接PC，延長PE交AC于點H，∵在矩形ABCD中，AD＝6，∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝12，，∵點E是邊CD的中點，∴，∵點C關于直線EF的對稱點P，∴，∠EGC＝∠EGP＝90°，∵PH⊥AC，∴∠EHC＝∠EHF＝90°，∠ACD＝30°，∴∠CEH＝∠CAD＝60°，∴∠PEC＝120°，∵PE＝CE，∴，∵∠PEG＝∠FEH，∠EGP＝∠EHF＝90°，∴∠CPE＝∠EFC＝30°，∴△CEF是等腰三角形，，在Rt△CEH中，，∠HCE＝30°，CH＝CE?cos∠HCE＝3×＝，∴CF＝2CH＝9；如圖，當點P在AC下方時，∵PE⊥AC，∴∠CHE＝90°，∵∠ACD＝30°，∴∠CEP＝60°，CH＝CE?cos∠ACD＝8×＝，由對稱的性質(zhì)得PE＝CE，∴△CEP是等邊三角形，∴∠P＝60°，CE＝PC＝PE＝7，∴∠HEF＝30°，，，∴CF＝CH﹣HF＝3；綜上，CF的長為6或9．故答案為：3或7．20．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣，交y軸于點B．四邊形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，A3A4B4C4，?都是正方形，頂點A1，A2，A3，A4，?都在x軸上，頂點B1，B2，B3，B4，?都在直線y＝﹣x+3上，連接BA1，B1A2，B2A3，B3A4，?分別交C1B1，C2B2，C3B3，C4B4，?于點D1，D2，D3，D4，?．設△BB1D1，△B1B2D2，△B2B3D3，△B3B4D4，?的面積分別為S1，S2，S3，S4，?，則S2025＝．【解答】解：當x＝0時，，∴點B的坐標是（6，3），∵點B1在直線，設點B7的坐標是，則點A2的坐標是（x1，0），點C8的坐標是，∵四邊形OA5B1C1是正方形，∴OA3＝A1B1，OA4∥C1B1，∴，解得：x1＝7，∴B1的坐標是（2，4），∴正方形OA1B1C3的邊長為2，∴OC1＝OA6＝A1B1＝B7C1＝2，∴BC5＝BC﹣OC1＝3﹣7＝1，∵OA1∥C5B1，∴△BC1D7∽△BOA1，∴，∴，解得：，∴，∴；設點B2的坐標為，則點A2的坐標是（x2，7），點C2的坐標是，∴A1A2＝x3﹣x1＝x2﹣2，∵四邊形A1A2B8C2是正方形，∴A1A8＝B2A2，A5A2∥C2B7，∴，解得：，∴，∴B2的坐標是，∴，∴，∵A1A8∥C2B2，∴△B6C2D2∽△B7A1A2，∴，∴，解得：，∴，∴，∵B1的坐標是（5，2），B2的坐標是，∴，∵B5的坐標是（2，2），3），∴，∵，，∴，又∵四邊形OA1B7C1和A1A7B2C2均為正方形，∴B7C1∥x軸，B2C4∥x軸，∴B1C1∥B3C2，∴∠BB1C3＝∠B1B2C2，∴△BB1D1∽△B6B2D2，且相似比為，∴，∴當時，，同理可證△B7B2D2∽△B7B3D3，且相似比為，則，…，∴，故答案為：．三、解答題（滿分60分）21．（5分）先化簡，再求值：?+，其中a＝2sin60°﹣1．【解答】解：?+＝?+＝+＝＝，當a＝2sin60°﹣1＝2×﹣5＝，原式＝＝＝．22．（6分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，△ABC的三個頂點坐標分別為A（2，﹣1），B（1，﹣3），C（3，﹣4）．（1）將△ABC向上平移5個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到△A1B1C1，畫出兩次平移后的△A1B1C1，并寫出點C1的坐標；（2）畫出△A1B1C1繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2C2，并寫出點C2的坐標；（3）在（2）的條件下，求點C1旋轉(zhuǎn)到點C2的過程中，所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留π）．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C8即為所求．由圖可得，點C1的坐標為（4，8）．（2）如圖，△A2B2C5即為所求．由圖可得，點C2的坐標為（﹣1，7）．（3）由勾股定理得，OC1＝＝，∴點C2旋轉(zhuǎn)到點C2的過程中，所經(jīng)過的路徑長為＝．23．（6分）如圖，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于點A、點B，交y軸于點C，且點A在點B的左側(cè)（3，﹣4）．（1）求b與c的值．（2）在x軸上方的拋物線上是否存在點P，使△PBC的面積與△ABC的面積相等．若存在，請直接寫出點P的橫坐標，請說明理由．【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c的頂點坐標為（3，﹣4），∴y＝（x﹣3）2﹣3＝x2﹣6x+4，∴b＝﹣6，c＝5；（2）存在，理由如下：對于拋物線y＝x7﹣6x+5，當y＝8，x2﹣6x+5＝0，解得：x1＝2，x2＝5，當x＝4，y＝5，∴OB＝OC＝5，AB＝5﹣1＝4，∵∠COB＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，過點B作x軸的垂線，在x軸上方的垂線上截取BD＝BA＝3，連接AD與BC交于點E，則D（5，∴∠DBC＝90°﹣∠OBC＝45°＝∠OBC，∴BC⊥AD，ED＝EA，過點D作BC平行線與拋物線交點即為點P，，∴S△BCA＝S△BCP，設直線BC：y＝mx+n，則，∴，∴直線BC：y＝﹣x+4，∵BC∥PD，∴設直線PD：y＝﹣x+q，代入D（5，解得：q＝9，∴直線PD：y＝﹣x+7，與拋物線解析聯(lián)立得：，整理得：x2﹣3x﹣4＝0，解得：或，∴點P的橫坐標為或．24．（7分）2025年6月5日是中國的第11個環(huán)境日，育華中學八年級學生積極參加公益活動，為了解活動時間（單位：h），用得到的數(shù)據(jù)繪制出如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)相關信息，解答下列問題：（1）m＝200，扇形統(tǒng)計圖中a＝30，并補全條形統(tǒng)計圖；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，求參加公益活動時間為7h所對應扇形圓心角的度數(shù)；（3）若育華中學八年級共有學生1200人，請根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計育華中學八年級參加公益活動的時間是10h的學生有多少人？【解答】解：（1）抽取了該校八年級學生有：m＝20÷10%＝200（名），a%＝×100%＝30%，∴a＝30；故答案為：200，30；9h的人數(shù)為：200×25%＝50（名），補全條形統(tǒng)計圖：（2）360°×＝54°，答：參加公益活動時間為7h所對應扇形圓心角的度數(shù)為54°；（3）1200×＝240（人），答：估計育華中學八年級參加公益活動的時間是10h的學生有240人．25．（8分）一條公路上依次有A、B、C三地，一輛轎車從A地出發(fā)途經(jīng)B地接人，停留一段時間后原速駛往C地，送貨到達B地后立即原路原速返回C地（卸貨時間忽略不計）．兩車同時出發(fā)h到達終點，兩車均按各自速度勻速行駛．如圖是轎車和貨車距各自出發(fā)地的距離y（單位：km）（單位：h）之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問題：（1）圖中a的值是300，b的值是2；（2）在貨車從B地返回C地的過程中，求貨車距出發(fā)地的距離y（單位：km）與行駛時間x（單位：h）；（3）直接寫出轎車出發(fā)多長時間與貨車相距40km．【解答】解：（1）由圖象可知，A、B兩地之間的距離為180km，B，180+120＝300（km），∴a＝300，轎車的速度為180÷1.5＝120（km/h），300÷120＝5.5（h），根據(jù)圖象，得1.3+（3﹣b）＝2.4，解得b＝2．故答案為：300，2．（2）8﹣＝（h），∴N（，0），÷2＝（h），∴M（，120），貨車的速度為120÷＝90（km/h），y＝120﹣90（x﹣）＝﹣90x+240，∴在貨車從B地返回C地的過程中，求貨車距出發(fā)地的距離y（單位：km）與行駛時間x（單位：h）之間的函數(shù)解析式為y＝﹣90x+240（）．（3）當0≤x≤時，得（120+90）x+40＝300，解得x＝，當1.6≤x≤2時，得90（x﹣，解得x＝，當2＜x≤時，得180+120（x﹣2）+40﹣90x+240＝300，解得x＝，∴出轎車出發(fā)h或h與貨車相距40km．26．（8分）已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，點D是直線BC上一動點，連接AD，連接DE、BE，過點E作EF⊥BC（1）若α＝60°時，如圖①，點D在CB延長線上時，易證：BF＝DF+BC；如圖②，點D在BC延長線上時，試探究線段BF、DF、BC之間存在怎樣的數(shù)量關系，并說明理由．（2）若α＝120°，點D在CB延長線上時，如圖③，不需要證明．【解答】（1）①證明：∵AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BCA＝∠ACB＝60°，∵∠BAC＝∠EAD＝α＝60°，∴∠BAC+∠BAD＝∠EAD+∠BAD，即∠BAE＝∠CAD，∴在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝60°，∴∠EBF＝180°﹣∠ABE﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵EF⊥BC，∴在Rt△BEF中，，∵CD＝BD+BC＝BF+DF+BC，CD＝BE＝2BF，∴3BF＝BF+DF+BC，∴BF＝DF+BC；②解：BF＝DF﹣BC，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BCA＝60°，∴∠ACD＝180°﹣∠BCA＝120°，∵4∠BAC＝∠EAD＝α＝60°，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAD，∴在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝120°，∴∠EBF＝∠ABE﹣∠ABC＝120°﹣60°＝60°，∵EF⊥BC，∴在Rt△BEF中，，∵CD＝BD﹣BC＝BF+DF﹣BC，CD＝BE＝6BF，∴2BF＝BF+DF﹣BC，∴BF＝DF﹣BC；（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝α＝120°，∴，∵∠BAC＝∠EAD＝α＝120°，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠EAD﹣∠BAD，即∠DAC＝∠EAB，∴在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝30°∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝30°+30°＝60°，∵EF⊥BC，∴在Rt△BEF中，，∵CD＝BC﹣BD＝DF﹣BF+BC，CD＝BE＝2BF，∴2BF＝DF+BC﹣BF，∴3BF＝DF+BC．27