11.1不等式重難點(diǎn)目錄重難點(diǎn)目錄TOC\o"11"\h\u【重難點(diǎn)1】不等式的定義 1【重難點(diǎn)2】不等式的解和解集 3【重難點(diǎn)3】在數(shù)軸上表示不等式的解集 5【重難點(diǎn)4】運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行變形 7【重難點(diǎn)5】比較大小 9【重難點(diǎn)5】含參數(shù)的不等式 10重難點(diǎn)概覽重難點(diǎn)概覽內(nèi)容索引·?？碱}型內(nèi)容?？碱}型重點(diǎn)01不等式的定義選擇題、填空題重點(diǎn)02不等式的解和解集選擇題、填空題重點(diǎn)03在數(shù)軸上表示不等式的解集選擇題、解答題難點(diǎn)01運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行變形選擇題、填空題、解答題難點(diǎn)02比較大小選擇題、填空題、解答題易錯(cuò)點(diǎn)含參數(shù)的不等式填空題重難點(diǎn)1重難點(diǎn)1重難點(diǎn)重難點(diǎn)【重難點(diǎn)1】不等式的定義像3>2，2x<3這樣用符號(hào)“<”或“>”表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式．常見(jiàn)的不等號(hào)符號(hào)名稱(chēng)實(shí)際意義讀法舉例<小于號(hào)小于、不足小于1+2<4>大于號(hào)大于、高出大于2+1>1≤小于等于號(hào)不大于、不超過(guò)、至多小于或等于x≤3≥大于等于號(hào)不小于、不低于、至少大于或等于x≥5≠不等于號(hào)不相等不等于2≠3典型例題典型例題例1：【典例1】（2025春?漣源市期中）下列式子屬于不等式的是（）A．x+1 B．x＝1 C．x≠1 D．1【答案】C【分析】根據(jù)不等式的定義，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、x+1不屬于不等式，故A不符合題意；B、x＝1屬于方程，不屬于不等式，故B不符合題意；C、x≠1屬于不等式，故C符合題意；D、1x不屬于不等式，故D故選：C．【典例2】（2025春?鄲城縣期中）下列式子①﹣2＜0，②x＝1，③x≠﹣1，④x2﹣3x中，不等式有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)不等式的定義求解即可．【解答】解：不等式的有①﹣2＜0，③x≠﹣1，故選：B．【典例3】（2025春?三元區(qū)期中）下列各式中，屬于不等式的是（）A．y＝x﹣4 B．a(chǎn)﹣2 C．2x﹣5＝0 D．2x≠1【答案】D【分析】用“＞”或“＜”號(hào)表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式，用“≠”號(hào)表示不等關(guān)系的式子也是不等式，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【解答】解：y＝x﹣4，a﹣2，2x﹣5＝0不是不等式，2x≠1是不等式，故選：D．方法點(diǎn)撥要注意方程與不等式的區(qū)別：方程表示相等關(guān)系，不等式表示不等關(guān)系．重難點(diǎn)2重難點(diǎn)2重難點(diǎn)重難點(diǎn)【重難點(diǎn)2】不等式的解和解集（1）不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值叫作不等式的解．（2）不等式的解集：一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個(gè)不等式的解集．求不等式的解集的過(guò)程叫作解不等式．典型例題典型例題例1：【典例4】（2025春?驛城區(qū)校級(jí)月考）下列4種說(shuō)法：①x=54是不等式4②x=52是不等式4③x＞54是不等式4④x＞2中任何一個(gè)數(shù)都可以使不等式4x﹣5＞0成立，所以x＞2也是它的解集．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】分別解出兩個(gè)不等式的解集，進(jìn)行檢驗(yàn)，x的值是否滿足不等式的解集．【解答】解：①不等式4x﹣5＞0的解集為x＞5②x=52＞54，所以③正確；④∵x＞2包含在不等式的解集中，∴x＞2也是它的解集的一部分，故④錯(cuò)誤．故選：B．【典例5】（2025春?閔行區(qū)期中）已知某個(gè)不等式的解集是x＜﹣2，下列說(shuō)法正確的是（）A．0是這個(gè)不等式的解 B．﹣3不是這個(gè)不等式的解 C．小于﹣3的數(shù)都是這個(gè)不等式的解 D．小于﹣1的數(shù)都是這個(gè)不等式的解【答案】C【分析】根據(jù)不等式的解集的意義解答即可．【解答】解：不等式的解集是x＜﹣2，則0不是這個(gè)不等式的解，故選項(xiàng)A不符合題意；﹣3是這個(gè)不等式的解，故選項(xiàng)B不符合題意；小于﹣3的數(shù)都是這個(gè)不等式的解，故選項(xiàng)C符合題意；小于﹣1的數(shù)不一定是這個(gè)不等式的解，如﹣1.5不是這個(gè)不等式的解，故選項(xiàng)D不符合題意．故選：C．【典例6】（2025?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）寫(xiě)出不等式x﹣2＞﹣1的一個(gè)解：．【答案】x＝2（答案不唯一）．【分析】運(yùn)用一元一次不等式的解法不等式解的定義進(jìn)行求解．【解答】解：解不等式x﹣2＞﹣1，得x＞1，∴x＝2是該不等式的一個(gè)解，故答案為：x＝2（答案不唯一）．方法點(diǎn)撥1．一個(gè)不等式的解可以有多個(gè)，它是指在某一范圍內(nèi)的數(shù)，用它代替不等式中的未知數(shù)，不等式成立．2．不等式的解集必須符合兩個(gè)條件：（1）解集中的每一個(gè)數(shù)值都能使不等式成立；（2）能夠使不等式成立的所有的數(shù)值都在該解集中．重難點(diǎn)3重難點(diǎn)3重難點(diǎn)重難點(diǎn)【重難點(diǎn)3】在數(shù)軸上表示不等式的解集用數(shù)軸表示不等式的解集：不等式的解集表示的是未知數(shù)的取值范圍，所以不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來(lái)．一般來(lái)說(shuō)，一元一次不等式的解集用數(shù)軸表示有以下四種情況（設(shè)a<0）．不等式的解集數(shù)軸表示x>ax<ax≥ax≤a典型例題典型例題例1：【典例7】（2025?東莞市校級(jí)模擬）關(guān)于x的不等式中，某個(gè)不等式的解集如圖所示，則這個(gè)不等式的解集為（）A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1【答案】A【分析】根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上的表示方法即可得出結(jié)論．【解答】解：∵﹣1處是實(shí)心圓點(diǎn)，且折線向右，∴這個(gè)不等式的解集為x≥﹣1．故選：A．【典例8】（2025春?鄲城縣期中）解集x＞﹣1在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)在數(shù)軸上表示不等式解集的方法進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵x＞﹣1，∴在﹣1處是空心圓點(diǎn)且折線向右，∴在數(shù)軸上表示為：故選：D．【典例9】（2025春?天長(zhǎng)市期中）不等式x≤1的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將已知解集表示在數(shù)軸上即可．【解答】解：不等式x≤1的解集在數(shù)軸上表示正確的是：故選：C．方法點(diǎn)撥不等式的解集在數(shù)軸上的表示（1）步驟：第一步，畫(huà)數(shù)軸；第二步，定界點(diǎn)；第三步，定方向．（2）規(guī)律：用數(shù)軸表示不等式的解集，應(yīng)記住下面的規(guī)律：大于向右畫(huà)，小于向左畫(huà)．重難點(diǎn)4重難點(diǎn)4重難點(diǎn)重難點(diǎn)【重難點(diǎn)4】運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行變形1．與等式類(lèi)似，關(guān)于不等式，有以下兩個(gè)基本事實(shí)．（1）交換不等式兩邊，不等號(hào)的方向改變：如果a>b，那么b<a．例如，由5>x，可得x<5．（2）不等關(guān)系可以傳遞：如果a>b，b>c，那么a>c．例如，由y>x，x>3，可得y>3．2．不等式的性質(zhì)1：不等式兩邊加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變．不等式的性質(zhì)2：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變．不等式的性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．典型例題典型例題【典例10】（2025?碧江區(qū)模擬）若a＞b，則在下列式子中，正確的是（）A．2a＜2b B．﹣3a＞﹣3b C．a(chǎn)﹣2＜b﹣2 D．1﹣a＜1﹣b【答案】D【分析】利用不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：已知a＞b，兩邊同乘2得2a＞2b，則A不符合題意；已知a＞b，兩邊同乘﹣3得﹣3a＜﹣3b，則B不符合題意；已知a＞b，兩邊同時(shí)減去2得a﹣2＞b﹣2，則C不符合題意；已知a＞b，兩邊同乘﹣1再同時(shí)加上1得1﹣a＜1﹣b，則D符合題意；故選：D．【典例11】（2025春?五華區(qū)校級(jí)期末）下列說(shuō)法正確的是（）A．若a＞b，則a﹣2＜b﹣2 B．若a＞b，則a2＞b2 C．若a＞b，則ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，則a＞b【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：A、若a＞b，則a﹣2＞b﹣2，計(jì)算不正確，不符合題意；B、當(dāng)a＝﹣1，b＝﹣2時(shí)，a＞b，a2＜b2，計(jì)算不正確，不符合題意；C、若a＞b，當(dāng)c≠0時(shí)，ac2＞bc2，計(jì)算不正確，不符合題意；D．、若ac2＞bc2，則a＞b，計(jì)算正確，符合題意．故選：D．【典例12】（2025春?桑植縣期中）若a＜b，則下列式子正確的是（）A．a(chǎn)﹣5＞b﹣5 B．2a+4＜2b+4 C．﹣2a＜﹣2b D．a(chǎn)【答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷．【解答】解：A、若a＜b，則a﹣5＜b﹣5，原變形錯(cuò)誤，不符合題意；B、若a＜b，2a+4＜2b+4，正確，符合題意；C、若a＜b，﹣2a＞﹣2b，原變形錯(cuò)誤，不符合題意；D、若a＜b，a3故選：B．方法點(diǎn)撥不等式的三個(gè)性質(zhì)是不等式變形的重要依據(jù)．不等式的性質(zhì)和等式的性質(zhì)基本類(lèi)似，其中性質(zhì)3是不等式特有的性質(zhì)，容易出錯(cuò)．當(dāng)不等式兩邊同乘或除以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要改變．反過(guò)來(lái)，若一個(gè)不等式在乘（或除以）一個(gè)數(shù)之后，不等號(hào)的方向改變了，則這個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)；若不等號(hào)的方向未改變，則這個(gè)數(shù)是正數(shù)．重難點(diǎn)5重難點(diǎn)5重難點(diǎn)重難點(diǎn)【重難點(diǎn)5】比較大小1．在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．2．作差法是比較兩個(gè)數(shù)大小的常用方法．典型例題典型例題例1：【典例13】（2025?泰州二模）已知a＞b，則2﹣a與3﹣b的大小關(guān)系是（）A．2﹣a＞3﹣b B．2﹣a＝3﹣b C．2﹣a＜3﹣b D．無(wú)法比較【答案】C【分析】根據(jù)作差法即可求解．【解答】解：2﹣a﹣（3﹣b）＝2﹣a﹣3+b＝﹣1+b﹣a，∵a＞b，∴b﹣a＜0，∴﹣1+b﹣a＜0，即2﹣a＜3﹣b，故選：C．【典例14】（2024春?農(nóng)安縣期末）比較大?。阂阎猰＞n，則﹣2m+1﹣2n+1．【答案】＜．【分析】由不等式的性質(zhì)：兩邊同時(shí)乘以﹣2得﹣2m＜﹣2n，兩邊同時(shí)加1得﹣2m+1＜﹣2n+1．【解答】解：∵m＞n，∴﹣2m＜﹣2n，∴﹣2m+1＜﹣2n+1．故答案為：＜．【典例15】（2025春?新鄭市月考）已知：x＜y，試比較6+27x和6+27y的大小，并說(shuō)明理由．將下面的解題過(guò)程補(bǔ)充完整．解：6+27x6+27y，理由如下：∵x＜y，∴（不等式的基本性質(zhì)2），∴（不等式的基本性質(zhì)1）．【答案】＜，27x＜27y，6+27x＜6+27y【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)解答即可．【解答】解：6+27x＜6+27y．理由如下：∵x＜y，∴27x＜27y，∴6+27x＜6+27y．故答案為：＜，27x＜27y，6+27x＜6+27y．方法點(diǎn)撥由數(shù)軸上點(diǎn)的位置關(guān)系得到對(duì)應(yīng)的數(shù)的大小關(guān)系，進(jìn)而利用不等式的性質(zhì)求解．重難點(diǎn)6重難點(diǎn)6重難點(diǎn)重難點(diǎn)【重難點(diǎn)5】含參數(shù)的不等式在解含有字母的不等式時(shí)，我們可以運(yùn)用不等式的性質(zhì)，通過(guò)推理得出一些字母的取值范圍．典型例題典型例題例1：【典例16】（2025春?桐柏縣期中）若x＞y，且（m﹣2）x+5＜（m﹣2）y+5，則m的取值范圍是．【答案】m＜2．【分析】原不等式兩邊同時(shí)乘以m﹣2后不等號(hào)改變方向，則m﹣2＜0，則m＜2．【解答】解：∵（m﹣2）x+5＜（m﹣2）y+5，∴（m﹣2）x＜（m﹣2）y，∵x＞y，∴m﹣2＜0，∴m＜2，故答案為：m＜2．【典例17】（2025春?鐵嶺期中）若關(guān)于m的不等式（1﹣m）x＞2可化為x＜21?m，則m的取值范圍為【答案】m＞1．【分析】觀察已知條件中的不等式和其解集，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)列出關(guān)于m的不等式，解不等式求出m的取值范圍即可．【解答】解：∵關(guān)于