專題08基本不等式

【題型歸納目錄】

題型一：對基本不等式的理解及簡單應用

題型二：利用基本不等式比較大小

題型三：利用基本不等式證明不等式

題型四：利用基本不等式求最值

（1）直接法求最值

（2）常規(guī)湊配法求最值

（3）消參法求最值

（4）換元求最值

（5）“1”的代換求最值

（6）條件等式求最值

題型五：利用基本不等式求解恒成立問題

題型六：基本不等式在實際問題中的應用

【知識點梳理】

知識點一：基本不等式

1、對公式及巴心^^的理解.

2

（1）成立的條件是不同的：前者只要求6都是實數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；

（2）取等號“=”的條件在形式上是相同的，都是“當且僅當。=6時取等號”.

2、由公式/+6222a6和空勺2面可以引申出常用的常用結論

2

@—+—>2（a,6同號）；

ab

②2+q《一2（q,b異號）；

ab

③告4疝嚀4白心>（）…）或融*守*義￡（”（）,6>0）

---1---

ab

知識點詮釋：/+/22仍可以變形為：M4土土工，巴心W而可以變形為：ab<（^）2.

222

知識點二：基本不等式而V*的證明

2

方法一：幾何面積法

如圖，在正方形/BCO中有四個全等的直角三角形.

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設直角三角形的兩條直角邊長為a、b,那么正方形的邊長為4r二廬.這樣，4個直角三角形的面

積的和是2仍，正方形/BCD的面積為由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，所以：

a2+b2>2ab.當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即?6時，正方形瓦心〃縮為一個點，這時有

a2+b2=lab.

得到結論：如果Q,beR+,那么（當且僅當Q=6時取等號“一）

特別的，如果a>0,b>0,我們用人、聲分別代替a、b,可得：

如果a>0,b>0,貝！|a+6N2而，（當且僅當a=6時取等號

通常我們把上式寫作：如果。>0,b>0,癡W色,（當且僅當。=6時取等號“=”）

2

方法二：代數(shù)法

Va2+b2-2ab=（a-b）2>0,

當"6時，（a-4>0；

當a=6時，（a-6）2=0.

所以仍，（當且僅當°=6時取等號“="）.

知識點詮釋：

特別的，如果a>0,b>0,我們用夜、而分別代替a、b,可得：

如果a>0,b>0,貝（Ja+622新，（當且僅當a=6時取等號

通常我們把上式寫作：

如果a>0,b>0,，石4色也，（當且僅當”=6時取等號“=”）.

2

知識點三：基本不等式而4厘的幾何意義

2

如圖，48是圓的直徑，點C是N3上的一點，AC=a,BC=b,過點。作。CJ.N8交圓于點D,連

易證?而ADC8,那么CD2=cac3,即。。=而.

這個圓的半徑為"J它大于或等于CD,即巴吆2標，其中當且僅當點C與圓心重合，即a=6時,

22

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等號成立.

知識點詮釋：

1、在數(shù)學中，我們稱叱為。,6的算術平均數(shù)，稱而為a,6的幾何平均數(shù).因此基本不等式可敘

2

述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

2、如果把*看作是正數(shù)a,6的等差中項，癡看作是正數(shù)a,6的等比中項，那么基本不等式可以

2

敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.

知識點四：用基本不等式疝4*求最大（?。┲?/p>

2

在用基本不等式求函數(shù)的最值時，應具備三個條件：一正二定三取等.

①一正：函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；

②二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；

③三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值.

知識點詮釋：

1、兩個不等式：/+/22"與疝成立的條件是不同的，前者要求a,6都是實數(shù)，后者要

2

求Q,b都是正數(shù).

2、兩個不等式：/+/N2必與*2疝都是帶有等號的不等式，對于“當且僅當……時，取"=”

2

號這句話的含義要有正確的理解.

3、基本不等式的功能在于“和積互化”.若所證不等式可整理成一邊是和，另一邊是積的形式，則考慮

使用平均不等式；若對于所給的“和式”中的各項的“積”為定值，則“和”有最小值，對于給出的“積式”中的

各項的“和''為定值，貝『積''有最大值.

4、利用兩個數(shù)的基本不等式求函數(shù)的最值必須具備三個條件：

①各項都是正數(shù)；

②和（或積）為定值；

③各項能取得相等的值.

5、基本不等式在解決實際問題中有廣泛的應用，在應用時一般按以下步驟進行：

①先理解題意，設變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；

②建立相應的函數(shù)關系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；

③在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大或最小值；

④寫出正確答案.

【典例例題】

題型一：對基本不等式的理解及簡單應用

例1.（2023?福建寧德?高一福建省寧德第一中學?？茧A段練習）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（幾何方法

研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù).通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠

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通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明；如圖所示圖形，點。、尸在圓。上，點C在直徑上，且。尸，Z8,

該圖形完成言＜癡＜彳＜”的無

CDLAB,CE，。。于點E,設NC=a,BC=b(a>b>0),

字證明.則圖中表示。，6的調(diào)和平均數(shù)當、平方平均數(shù)

的線段分別是（）

a+b

C.DE,CFD.OF,CD

ACCBQ+Z?a-b

【解析】由圖形可知:OF=LAB=,OC^AC-OA^a-^-

2

在尸中，由勾股定理得CF

在尺〃。0。中，由勾股定理得C。

因為CD_L/5,

所以RtKOD?Rt^ECD,

DC2ab_2ab

噴畸,即小

DOa+ba+b?

所以圖中表示。，6的調(diào)和平均數(shù)當

、平方平均數(shù)的線段分別是DE,CF,

a+b

故選：C

例2.（2023?上海靜安?高一校考期中）給出下列命題中，真命題的個數(shù)為（)

①已知a,6eR,貝=2成立；

ab\ab

②已知XER且xwO,貝1」|工+3=|%|+|322||工|.|3二4成立；

XX\X

則J42+2+

③已知xeR的最小值為2；

Vx+2

④已知a,beR,ab<0,貝九^+q=-(-?+W)<一2](-2)?(一旦)=一2成立.

ababVab

A.1個B.2個C.3個D.4個

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【答案】B

【解析】當。6<0時，①中的不等式是錯誤的，①錯；

因為x與一4同號，所以|x+43=|x|+4|」是正確的，且|刈=4廣|，即尤=±2時等號成立，所以②中的基本不等

XXXX

式計算是正確的，②對；

6+2+-^^=>2（當4r時，/=-1無解，等號不成立），故③錯；

y/x2+2W+2

因為9<0,所以-￡>0且-2>0,且一2=；,即a=-b時等號成立，所以④中的基本不等式運算是正

baab

確的，④對.

故選:B.

例3.（2023?上海普陀?高一校考期中）下列不等式中等號可以取到的是（）

AX+5H—/2

A/2B.X2+2+———>2

7777/+2

21cD.㈤+3+,"

C.XH—722

X

【答案】C

【解析】對于A,因為+5>0，所以Jx?+5+5：L=2,當且僅當

J/+5即/=-4,故等號不成立，故A不符合;

對于B,因為一+2>0,所以/+2+^^22、(/+2).=」=2,當且僅當/+2=下二

即X2=—11

X2+2V'X2+2X2+2

故等號不成立，故B不符合；

對于C,因為/>0,所以22、%E=2,當且僅當V=A，即》=±1時取等號，故C符合；

xVxX

對于D,因為忖+3>0,所以國+3+后（國+3>?匕=2,當且僅當國+3=備，即國=一2,故

等號不成立，故D不符合.

故選：C.

變式1.（2023?北京豐臺?高一北京市第十二中學?？计谥校┫铝薪Y論正確的是（）

7

A.當x<2時，xd--—>4B.當x22時，x+4的最小值是2夜

x—2

C.當x>0時，五+。》4D.當x>0時，x+—一的最小值為1

7xX+1

【答案】c

【解析】對于ATX時，x+lrT故A錯誤,

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對于B,當x>0時，X+->242,當且僅當彳=后時等號成立，故B錯誤,

當且僅當&=吃即x=4時等號成立，故C正確,

對于C,當x〉0時,

對于D,當x>-1時，x+1H---------12—1=1,當且僅當x+1=------即x=0時等號成立，故D錯誤，

x+1x+1

故選：C

題型二：利用基本不等式比較大小

例4.(2023?重慶沙坪壩?高一重慶市第七中學校?？茧A段練習)若實數(shù)x，“皿滿足|》-優(yōu)|>4-機］,則稱

x比y遠離m.

⑴解不等式國>3

(2)若x比：遠離1,求實數(shù)x的取值范圍；

(3)若加￡1,x+y=2,試問：x與d+y2哪一個更遠離加，并說明理由.

【解析】(1)令加=0,y=3即有國>|3|,所以x比3遠離0,

從數(shù)軸上可得x的取值范圍是(-8,-3)0(3,+8)；

(2)由x比;遠離1,則|》一1|>彳—1,BP|x—11>—,

222

或％—1<----,解得X>一或x<一,

2222

?,?%的取值范圍是卜%+8)；

(3)因為1+為N(％；V)=2Nm,+y2-m^=x2+y2-m,

因為x+>=2,所以/+/=/+(2一］)2=2/—公+4,

從而|x2+y2-m|-\x-m\=2x2-4x+4-m-\x-m\,

①當冽時，

|x2+y2-m|-|x-m\=2x2-4x+4-m-(x-rri)=2x2-5x+4三〉(，ISP|x2+j；2-m|>|x-m|；

②當x<機時，

I27I223A23

|x+y-rr^-\x-m\=2x-4x+4-m+(x-m)=2x-3x+4-2m=2x—I+^--2?,

23

又加￡1,貝!j----2m>0,

8

/.+^-2m>0,UP|x2+j/2-m|>|x-m|,

綜上，卜2+j?一加卜1%一刈，即d+f比1更遠離加.

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例5.(2023?全國?高一專題練習)若0<°<1,0<6<1,且/b,試找出0+6,/+廬2疝，2a6中的

最大者.

【解析]：0<a<1,0<Z)<1,且/b,

??a+b>2y[ab,a~+b2>lab,

四個數(shù)中最大者應從a+4a2+b2中選擇.

而^+從一(a+b)=a(kl)+仇Z7-1),

V0<a<L0<b<l,

a(a~l)<0,b(b~l)<0,

/.a2~\~b2—(<T+ZJ)<0,

即a2+b2<a+b,a+b最大.

例6.(2023?高一課時練習)某種產(chǎn)品的兩種原料相繼提價，產(chǎn)品生產(chǎn)者決定根據(jù)這兩種原料提價的百分

比，對產(chǎn)品分兩次提價，現(xiàn)在有三種提價方案：

方案甲：第一次提價2％,第二次提價9%;

方案乙：第一次提價4%,第二次提價夕％；

方案丙：第一次提價“答％,第二次提價中％.

22

其中p>q>0,比較上述三種方案，哪一種提價少？哪一種提價多？

【解析】不妨設提價前的價格為1,則

方案甲：兩次提價后的價格為：(l+P%)(l+4%)=l+P%+0%+O.Olp?%

方案乙：兩次提價后的價格為：(l+4%)(l+p%)=l+p%+0%+O.Olp?%

12

方案丙：(1+^^%)(1+^%)=1+p°/o+q°/o+0.01x(^^)%

222

由于p>4>0,由均值不等式？+”2廊，當且僅當〃=?時等號成立

故(―且pwq,故等號不成立，即(一)2>pq

因此方案丙提價最多，方案甲、乙少，且提價一樣

2

變式2.(2023?湖南長沙?高一長沙一中?？茧A段練習)(1)a>6>0,比較久。-6)與幺的大??；

4

25

(2)已知a>b>0,求代數(shù)式—工的最小值及取最小值時。力的值.

b(a-b)

【解析】(1)a>b>0f：.a-b>0,

.?.6(1)平+(當且僅當6=。一6,即26=。時，等號成立.

_2J4

2

所以b(a-b)<^~.

(2)由(1)知0<b(Q-b)W幺，N一

'74b{a-b)a

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?2+2L2-^-=20,當且僅當/=學時取等號,

b(a-b)aVaQ

b-a-b

a=VlU

25/=粵，解得<

顯然要使力+-一或=20成立，需滿足,Vio

b（a-b）ab=-----

〃>02

綜上可知，當"所"平，代數(shù)式/+已取得最小值20.

變式3.（2023?高一課時練習）已知心6",你能比較出4與（二+/-［㈤的大小嗎?

\a-bb-c）

【解析】+1-］（用巨4，理由如下：

Ia-bb-c）

因為ac=（ab）+（bc）,

所以+：］［（仍）+（忖］

Va-bb-c）

當且僅當三=產(chǎn)時，取等號.

a-bb-c

題型三：利用基本不等式證明不等式

例7.（2023?高一課時練習）證明：

222

【解析】(1)x+^—=X+1+-71--1>2J(X+1)--1=1,

x2+lx2+lV'x2+l

當且僅當d+i=i時，即x=0時，等號成立.

￥+3—+2+1I~2^711/21-

(2)I'=-I—飛x+2d—>>2G+2-/=2,

VX2+2yjx2+2&+2V/+2

當且僅當+2=時取等號，此時無2

VX2+2

顯然x的值不存在，所以等號不成立,

LLItY+3

所以方=^^=>2

G+2

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例8.(2023?全國?高一假期作業(yè))已知。>0,b>0,c>0,+b2+c2>ab+bc+ca.

【解析】Va2+b2..2ab,①

b2+c2...2bc,②

c2+a2..2ac,③

①+②+③得；2/+2/+2c2..2a6+26c+2ac.

a2+b2+c2...ab+bc+ca(當且僅當a=6=c等號成立).

例9.(2023?全國?高一專題練習)利用基本不等式證明：已知a,b,c都是正數(shù)，求證：

(a+b)(b+c)(c+a)?8abe

【解析】?",瓦。都是正數(shù)，+而>0(當且僅當。=b時取等號)；b+c>2^>0(當且僅當6=c

時取等號)；c+a>2y[^a>Q(當且僅當時取等號)；

(a+Z))(/?+c)(c+a)>2y/ab-2\jbc-2&一=&tbc(當且僅當a=6=c時取等號)，

即(a+6)0+c)(c+a)>8abe.

變式4.(2023?高一單元測試)若0<a<b,則下列不等式哪些是成立的？若成立，給予證明；若不成立,

請舉出反例.

1,1

(1)a+—<b+—；

ba

/、21、1

(2)a+—>a+—；

aa

a?b1

(3)1--------->a+b.

ba

【解析】(1)正確a+“二式…,+口]<0

ba\ab)

(2)正確Q2+3_1Q+']-2][QJ+1]20

a<a)\a)\a)\a八a)

221

/c、十本/1Ab220b2,?ab7

(D)111(01]---卜b〉2a,—Fu〉2b—F—Fa+b>2〃+2b.—\~—4a+b

bababa

題型四：利用基本不等式求最值

(1)直接法求最值

例10.(2023?新疆省直轄縣級單位?高一?？奸_學考試)若a>0,b>0,且。+6=6,則ab的最大值為(：

A.5B.6C.8D.9

【答案】D

【解析】因為。>0,b>0,且。+6=6,

所以[與]2=9,當且僅當。=6=3時等號成立，

所以ab的最大值為9.

故選:D.

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例11.（2023?新疆昌吉?高一?？计谀┮阎獂>0/>0,且x+y=12,則冷的最大值為（）

A.16B.25C.36D.49

【答案】C

【解析】因為x>0/>0,x+y=n>2^，即xyV36,當且僅當x=y=6時取到等號，故孫的最大值

為36.

故選：C

4

例12.（2023?云南?高一統(tǒng)考期末）已知x>0,則x+—+l的最小值為（）

x

A.72+1B.272+1C.4D.5

【答案】D

【解析】由x>0可知，利用基本不等式可得X+±+122、%M+1=5,

當且僅當x=2時，等號成立，

4

即X+-+1的最小值為5.

x

故選：D

變式5.（2023?江蘇連云港?高一期末）設尤>0,y>0,且中=4,求工+工的最小值是（）

xy

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】A

【解析】因為x>0,y>0,且盯=4,

所以工>0,->o,

xy

-+->2At^=2AP=2x1=1,當且僅當工=’,即x=y=2時取等號，

xy\yv2xy

故選：A.

變式6.（2023?廣西桂林?高一統(tǒng)考期末）設x,且x+y=4,則3、+3,的最小值為（）

A.10B.6GC.8A/3D.18

【答案】D

【解析】3*+3、2j3T=2^^=18，當且僅當尤=>=2時，等號成立.

故選：D.

（2）常規(guī)湊配法求最值

變式7.（2023?全國?高一專題練習）函數(shù)/（x）=%2~^+3（x..O）的最小值是（）

A.-1B.3C.6D.12

【答案】A

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【解析】/（x）=x2~5x+3=（x+1）+--7（x.O）.

X+1X+1

因為x...O,所以x+l+—...2A/9=6,（當且僅當x+l=3,即x=2時，等號成立）.

x+1

故/（X）最小值為-1,

故選：A

變式8.（2023嘿龍江哈爾濱?高一?？茧A段練習）若,則歹J-2、+2有（）

2x-2

A.最大值-1B.最小值-1C.最大值1D.最小值1

【答案】A

【解析】因則0<1-x<2,

于是得y=（1X）-+1=_）+Jw_L2）.--1,當且僅當1一X=J-,即x=0時取

21—x21—x2V1—x1—%

a一，，,

所以當x=0時，-'22二+2有最大值_].

2x-2

故選：A

變式9.（2023?天津薊州?高一?？茧A段練習）函數(shù)y=3x+—[。>1）的最小值是（）

x-l

A.4B.273-3

C.2A/3D.2月+3

【答案】D

【解析】由了=3（x-l）+」？+3,利用基本不等式求最小值即可.因為X>1,所以

j=3（x-l）+—+3>21（r-l）K-^+3=2有+3,當且僅當3（x-l）=白，即x=1+理時等號成立.

所以函數(shù)>=3》+—二。>1）的最小值是2g+3.

x-1

故選：D.

變式10.（2023?高一課時練習）若x>4,則>=》+—L的最值情況是（）

x-4

A.有最大值-6B.有最小值6C.有最大值-2D.有最小值2

【答案】B

【解析】若x>4,貝!Jy=xH——---X-4-1————I-4>2,me-4）———F4=6，

x4x—4Yx—4

當且僅當工-4=」7即x=5等號成立，

x-4

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所以若44時'y=x+上有最小值為6,無最大值.

故選：B.

（3）消參法求最值

變式11.（2023?安徽?涇縣中學高一階段練習）設正實數(shù)X、了、z滿足4X2_3XV+/-Z=0,則？的最大

Z

值為（）

A.0B.2C.1D.3

【答案】C

【解析】因為正實數(shù)X、了、z滿足4/一3孫+F-z=0,貝12=4x2-3切+/，

xy=xy1<「］__1

貝I］Z—4x2-3xy+y2~&+j一百丁一,當且僅當y=2x>0時取等號.

Vx\yx

故里的最大值為1.

Z

故選：C.

變式12.（2023?貴州遵義?高一期末）負實數(shù)X、y滿足x+y=-2,則x-工的最小值為（）

y

A.0B.—1C.—y/2,D.

【答案】A

［解析】因為負實數(shù)x、了滿足x+y=-2,則x=_2_y<0,可得一2<y<0,

由基本不等式可得x-5=-2-y-f3-2+2］（-力<=0,

當且僅當-了=-（（y<0）時，即當>=-1時，等號成立.

故X-'的最小值為0.

y

故選：A.

變式（2023,全國,高一'課時練習）已知正實數(shù)a,b滿足。+：=2,則2a—的最小值是（

13.)

ba

59L

A.—B.3C.—D.2v2+1

【答案】A

【解析】因為。+4=2,所以a=2-：>0,所以0<b<2,

bb

所以2必+工=21一：”+小=2(26-1)+/^

a\b)2/?-12/7-1

令26-1=1,則6=上，且-1<1<3，

2

第12頁共33頁

什1]1Q7

所以2"+、2什三=2什：七當且僅當2，=五，即，=，6="。=*，取等號,

at2，2丫2，22

所以2勘+工的最小值是：.

a2

故選：A.

(4)換元求最值

變式14.(2023?全國?高三專題練習)求下列函數(shù)的最小值

(1)y=X"+X+1(x>0)；

X

,、x2+2x+6

(2)y=--------------(x>1).

x-1

【解析】(1)y=-2+X+-=x+-+l

XX

VX>0,.-.X+->2AL--2(當且僅當X=L,即產(chǎn)1時取等號)

X\XX

...y=x+x+l(x〉o)的最小值為3；

X

(2)令方=%-1(1>0),則x=￡+l,

X2+2X+6?+1)2+2?+1)+6/+今+99人~~9,“

,\y=-------------=-——--------——--=------------=t-h-+4>2t-+4=1(

x-1ttt\t

9

當且僅當，='即Q3時取等號

t

-y的最小值為10

變式15.(2023?上海?高一專題練習)求下列函數(shù)的最小值

+X+l/.

(1)y=-----------(%>o)；

X

_/+5/

(2)y=~r~:——;

+4

x2+2x+6,

%2+X+1l

【解析】(I)-x—=x+x

'：x>0,：.x+->2jxx-=2(當且僅當x=L,即時取“=”)

X\xX

即y=*+x+l(x>0)的最小值為3；

(2)令f=&+4”2),貝!］〉=/+1(/±2)在［2,+3)是單增,

第13頁共33頁

當z=2時，y取最小值Bin=2+g=g;

即y的最小值為m

（3）令f=x-l（/>0）,則.二廠+2丁+6@>1）可化為:

x-1

9I~9

y=t+—+4>2Jtx—+4=10

當且僅當1=3時取』”

即y的最小值為10

變式16.（2023?全國?高一單元測試）若正數(shù)a,6滿足2a+b=l,則+―J的最小值是

2-2a2-b

【答案】逑__L

32

2—u

【解析】設〃=2_24#=2—6,則〃=----,b=2-v,可得"+v=3（〃#〉0）,

2

所以a?b

2-2。2-b

1v2u、3、1/c_v2u〃、331'八2V一232V2

=￡(3+—+-)--^-(3+2.-------)--=l+———

5uv25\uv23232

當且僅當y=6-3A/^,〃=3>/^-3時，等號成立，取得最小值.

故答案為：逆一

32

（5）“1”的代換求最值

14

變式17.（2023?高一?？颊n時練習）已知〃〉0,b>0,a+b=2,則>=—+—的最小值是（)

ab

79

A.-B.4C.-D.5

22

【答案】c

【解析】丁a>0,1>0,a+「=2,

a+b1

------=I,

2

今*得=（當且僅當6=2”?時等號成立）,

故選：C

變式18.（2023?河南?高一校聯(lián)考期中）已知正實數(shù)。，6滿足2a+6-9ab=0,則。+26的最小值為（）

第14頁共33頁

1

A.3B.1C.9D.-

3

【答案】B

1?

【解析】因為2〃+6-946=0,變形得一+：=9.

ab

由題意〃9+26）1+/5+y+y5+2V4,當且僅當絲?，即a=6=?時，等號成立.

a+2b=--------------=-----———>------=〕ab3

999

故選：B.

變式19.（2023?吉林延邊?高一統(tǒng)考期末）已知a>0,b>0,且!+告=1,則4a+96的最小值是（）

ab

A.23B.26C.22D.25

【答案】D

【解析】由題意得Q>0,b>0—I—=1,

fab

故4。+奶=仕+工］（4〃+96）二竺T+13>J——+13=2：,

\ab）ab\ab

9A4/71I55

當且僅當吆=:，結合工+：=1,即〃=?方二彳時取等號，

abab23

故4Q+96的最小值是25,

故選：D

b4

變式20.（2023?湖南衡陽?高一衡陽市一中?？计谥校┤粽龜?shù)。"滿足2Q+6=1,則；的最小值為（）

2ab

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【解析】正數(shù)b滿足2〃+b=1,

rmib41—2。4141-7、/14、1/b8〃、4c

貝1J——+-=-----+—=——+--l=(2a+b)(——+-)-l=4+——+——>4+2=8,

2ab2ab2ab2ab2ab

當且僅當即一叱時取等號,

所以白b+74的最小值為8.

2ab

故選：C

變式21.（2023?河南安陽?高一統(tǒng)考期末）若a>0,b>0,且a+6=4,則工+工的最小值為（）

ab

A.-B.1C.2D.4

4

【答案】B

【解析】因為。+6=4,

第15頁共33頁

所以:+:=；伍+6）

當且僅當a=2,6=2時，等號成立，故工+，的最小值為1.

ab

故選：B.

1+V1

變式22.（2023?河南洛陽?高一?？茧A段練習）正實數(shù)x,V滿足x+y=l,則—+一的最小值是（）

xy

11

A.3+2逝B.2+272C.5D.

~2

【答案】B

【解析】因為正實數(shù)x,V滿足x+〉=l,

x+y=l廣「

當且僅當廠，即無=2—血,y=血一1時等號成立.

x=72y

故上”+工的最小值是2+2夜.

xy

故選:B.

變式23.（2023?青海玉樹?高一校聯(lián)考期末）若實數(shù)x>0,'<0滿足2砂+x_2y=0,貝—2y的最小值

為（）.

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】由題設x-2y=-2冷，且x>0,->>0,故'-1=1,

x2y

所以無-2y=（無一2y）（工一；）=2+［（--）+（-^）］=2+2/（--）（-F）=4，

x2yx2y\x2y

當且僅當x=-2y=2,即x=2,y=-l時等號成立，

所以目標式的最小值為4.

故選：A

23

變式24.（2023?江西吉安?高一永新中學?？计谥校┤粢?—=1無>0/>0）,則2x+3y的最小值為（）

xy

A.16B.20C.24D.25

【答案】D

【解析】因為正數(shù)X、歹滿足2+2=1,所以，（2》+3日（2+口=13+欠+如并3+2、回叵=25,

V.xy）xy］lxy