第04講基本不等式

[3知識(shí)梳理

1.基本不等式礪W業(yè)

2

⑴基本不等式成立的條件：a>0,b>0.

(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)取等號(hào).

(3)其中寸叫做正數(shù)°,6的算術(shù)平均數(shù)，礪叫做正數(shù)°,6的幾何平均數(shù).

2.幾個(gè)重要的不等式

(1)tz2+ft22ab(a,b￡R).

(2)-+-^2(6Z,b同號(hào)).

ab

pz+zH

(3)MWLTJ2(Q,b￡R).

S，b￡R).

以上不等式等號(hào)成立的條件均為a=b.

3.用基本不等式求最值

用基本不等式癡W士求最值應(yīng)注意：一正二定三相等.

2

(1)Q,6是正數(shù)；

⑵①如果仍等于定值尸，那么當(dāng)時(shí)，和有最小值20；

②如果等于定值S,那么當(dāng)a=b時(shí)，積仍有最大值42.

4

(3)討論等號(hào)成立的條件是否滿足.

由基本不等式比較大小

第1頁(yè)共12頁(yè)

例L(1)若。,6ER,且/>0,則下列不等式中，恒成立的是(

I—1126a

A.a9+b9>2abB.a+b>C.~+T>~ryrD.—+—>2

ab7abab

(2)設(shè)兒/=3；3",1=(6\\尸=福(其中0<x<y),則"，N,P的大小順序是()

A.P<N<MB.N<P<M

C.P<M<ND.M<N<P

(3)設(shè)〃=噫3,Z>=21og32,c=2-log32,則0b,c的大小順序?yàn)?)

A.b<c<aB.c<b<a

C.a<b<cD.b<a<c

【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：比較大小有以下幾種方法：

(1)利用函數(shù)單調(diào)性比較大??；

(2)中間量法比較大??；

(3)作差法、作商法比較大小.

利用基本不等式求最值

命題點(diǎn)1配湊法

例2.(1)當(dāng)x>l時(shí)，求2x+一冬一的最小值；

%—1

(2)已知無>3，求/。)=4工-2+—^的最小值.

44x-5

(3)已知x<*,求函數(shù)y=4x-2+—?—的最大值.

44x-5

(4)已知函數(shù)y(x)=——(X<—1),貝！|()

x+1

A.於)有最小值4B.於)有最小值一4

C.八刈有最大值4D.加)有最大值一4

命題點(diǎn)2常數(shù)代換法

例3.(1)若正數(shù)出〃滿足2〃?+〃=1,則'+1的最小值為()

mn

A.3+2/B.3+也

第2頁(yè)共12頁(yè)

C.2+2/D.3

21

(2)已知正實(shí)數(shù)Q,b滿足2。+6=6,則一+丁大的最小值為()

ab+2

4499

A.—B.—C.—D.一

5384

(3)已知非負(fù)實(shí)數(shù)x,y滿足一一+丁二=i,則x+y的最小值為.

命題點(diǎn)3消元法

例4.(1)已知％>0,y>0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為.

(2)已知x>0,y>0,x-\-3y-\-xy=9,求盯的最大值.

(3)若實(shí)數(shù)x,y滿足砂+3X=3(°4(］，貝心+’的最小值為________.

xy—3

【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：⑴前提：“一正”“二定”“三相等”.

(2)要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式.

(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法；三

是消元法.

在解含有兩個(gè)以上變?cè)淖钪祮栴}時(shí)，通過代換的方法減少變?cè)?，把問題化為兩個(gè)或一個(gè)變?cè)膯栴}，再

使用基本不等式求解.

命題點(diǎn)4建立求解目標(biāo)不等式求最值

例5.(1)已知a>0,b>0,且a+6+l+l=5,則a+b的取值范圍是()

ab

A.lWa+bW4B.a+6與2

C.l<a+b<4D.a+b>4

(2)正數(shù)o,b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是.

第3頁(yè)共12頁(yè)

(3)正實(shí)數(shù)x,y滿足4苫2+/+初=1,則砂的最大值為；2x+y的最大值為.

【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：利用基本不等式與已知條件建立求解目標(biāo)的不等式，求出不等式的解集即得求解目標(biāo)的最

值.

三.基本不等式的綜合應(yīng)用

命題點(diǎn)1基本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問題

例6.(1)設(shè)加eR,過定點(diǎn)A的動(dòng)直線尤+用了=0和過定點(diǎn)3的動(dòng)直線加x-y-加+3=0交于點(diǎn)P(x,y),

則尸目的最大值是()

A.4B.10C.5D.V10

22

(2)已知耳，耳是橢圓C：上+匕=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在。上，則|兒/卜|〃引的最大值為()

一94''

A.13B.12C.9D.6

(3)在中，角4叢C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為°也c,若/+/=2C2,則cosC的最小值為()

C-TD-4

(4)(多選)設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列｛%｝滿足(%+%。)2=2%%+20,貝!!()

A.a2a9的最大值為10B.。2+。9的最大值為2加

C/看的最大值為：

D.W+W的最小值為200

命題點(diǎn)2求參數(shù)值或取值范圍

例7.(1)對(duì)任意冽，幾￡(0,+8),都有加2—Q冽〃+2/20,則實(shí)數(shù)Q的最大值為()

9

A.也B.2^2C.4D.-

2

(2)若的內(nèi)角滿足3sin4=sin5+sinC,則cos/的最小值是()

27

A.-B.1C.-D.-

3939

第4頁(yè)共12頁(yè)

(3)若玉e［4,6］使得不等式》+々-。＜0成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍()

x-3

22

A.a>7B.a<7C.a>5D.a>—

3

(4)已知正實(shí)數(shù)0、6滿足［+:="7

若+的最小值為4,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

ab

A.{2}B.[2,+oo)C.(0,2]D.(0,+e)

【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)當(dāng)基本不等式與其他知識(shí)相結(jié)合時(shí)，往往是提供一個(gè)應(yīng)用基本不等式的條件，然后利用

常數(shù)代換法求最值.

(2)求參數(shù)的值或范圍時(shí)，要觀察題目的特點(diǎn)，利用基本不等式確定等號(hào)成立的條件，從而得到參數(shù)的值或

范圍.

1.已知55<8313“<85.設(shè)a=logi38,b=log；3,c=logg5,則()

A.c<a<bB.b<c<a

C.b<a<cD.a<b<c

5

2.已知》=,y=logq5,z=logs4，則％、y、z的大小關(guān)系為()

A.y>x>zB.X>y>zc.z>x>yD.x>z>y

3.下列不等式中，一定成立的是()

4

A.x+->4B.InxH----N2

XInx

C.4ab<^

D.2X+2-X>2

2

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4.已知0<x<2,則y=的最大值為()

A.2B.4C.5D.6

4

5.設(shè)實(shí)數(shù)x滿足x>0,函數(shù)y=2+3x+——；的最小值為()

x+1

A.473-1B.46+2C.4拒+1D.6

6.設(shè)“zeR,過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my=0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線用x-y-7〃+3=0相交于點(diǎn)尸（P與45不重

合）,

則AP/8面積的最大值是（）

5

A.VioB.5c.2A/5D.

2

7.在中,4=120。，BC=6,則AASC的面積的最大值為（)

l_3百

A.B.1c.D.

F3百

8.函數(shù)/(x)=二+1的值域?yàn)椋?

「1IT

A.B-

C.PHD.-1)U

9.若正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+v+8盯=2,則孫的取值范圍為（）

B隈1

A.c.D.

_4?8_

10.已知3"=4"=12,則不可能滿足的關(guān)系是()

A.a+b>4B.ab>4C.(tz—1)"+(/>—I)2>2D.a~+b~<3

IL下列函數(shù)中最小值為4的是()

，?,?4

A.y=x2+2x+4B.y=|sinx|+二一,

,|sinx|

4

C.y=2'+22TD.y=lnx+—

Inx

第6頁(yè)共12頁(yè)

】2.若對(duì)任意…’二〃恒成立'則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.B.C.卜［D.17

13.已知實(shí)數(shù)x>o,y>0,貝！|“2，+2>《4"是"孫41”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

______31

14.在AABC中，E為AC上一點(diǎn)，AC=3AE,P為BE上任一點(diǎn)，若AP=mAB+nAC（m>0,n〉0）,則一+—

mn

的最小值是（）

A.9B.10C.11D.12

15.已知關(guān)于x的不等式Q2+26X+4<0的解集為其中加<0,則鄉(xiāng)的最小值為（）

<mJ4ab

A.-2B.1C.2D.8

416

16.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足x+>=3,且不等式一；+—〉加2—3加+5恒成立，則實(shí)數(shù)冽的取值范圍為（）

x+iy

A.1m|-4<m<ljB.［加何〈一1或加>4}

C.1m|-l<m<4}D.同冽<0或加>3}

14

17.已知%>0,>>0且一+—=1,若x+>〉加2+8加恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

xy

A.卜B.[x\x<-3}}C.{x|x>l}D.{x|-9<x<1}

18.若正數(shù)％、V滿足x+2y=2盯，若不等式x+2y2冽的恒成立，則加的最大值等于（

9

A.4B.-C.472D.8

第7頁(yè)共12頁(yè)

2i

19.設(shè)a>0,6>0,lg應(yīng)是Ig4。與lg2d的等差中項(xiàng)，則一+7的最小值為（）

ab

A.2A/2B.3C.9D.3亞

20.過定點(diǎn)N的直線（a+l）x-y+2=0與過定點(diǎn)3的直線x+（a+l）了-4a-2=0交于點(diǎn)P（P與48不重合）,

則面積的最大值為（）

A.V2B.C.2D.4

22

21.已知產(chǎn)是橢圓二=1（。>6>0）的一個(gè)焦點(diǎn)，若直線丫=丘與橢圓相交于4,8兩點(diǎn)，且“B=120。,

ab

則橢圓離心率的取值范圍是（）

x2-x+3,x<1,

60.已知函數(shù)〃x）=2設(shè)aeR,若關(guān)于x的不等式+在R上恒成立，則a的取值

XH—,x>l.2

X

范圍是（）

4739.［一百，當(dāng)

A.[q,2]B.r[---,—]C.[-2A/3,2]D.2

161616

22.（多選）已知。、6均為正實(shí)數(shù)，則下列不等式不一定成立的是（

71r

A.。+6+-I——23

7ab

a2+b2

C.->a+b

4ab

23.（多選）已知。>0,6>0,且a+26=l,則（）

A.仍的最大值為!B.上+；的最小值為9

9ab

C./+〃的最小值為:D.（a+l）（b+l）的最大值為2

第8頁(yè)共12頁(yè)

24.（多選）若x,y滿足/+/一9=[,貝[J（

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>\

25.（多選）已知Q>0,b>0,且o+b=l,則（）

A.a2+b2>-B.T-b>-

22

C.log2a+log2b>-2D.4a+4b<V2

26.（多選）已知3"=9=15,則。，b滿足下列關(guān)系的是（）

A.ab>4B.a+b>4C.+b2<4D.(Q+1)?+(6+1)?>16

27.已知Q>0,6>0,Q6=8,則當(dāng)a的值為時(shí)log??！筼g2（26）取得最大值.

28.已知Q>0,b>0,且4/+952—2Q6=20,則/的最大值為

29.已知”為正實(shí)數(shù)，則+^的最小值為--------

30.函數(shù)y=*+2：+2的值域是_____

X+1

31.已知非負(fù)實(shí)數(shù)x,V滿足一一+丁二=1,則x+y的最小值為_____________.

3x+y2y+2

722

32.已知ob>0,a+b=3,則--+——的最小值為_____.

a+26+1

第9頁(yè)共12頁(yè)

(x+l)(2y+1)

33.設(shè)x>0,y>0,x+2y=5,則的最小值為.

34.已知x〉0,y〉0,且2x+8y-盯=0,若不等式+V恒成立，則實(shí)數(shù)。的范圍是.

35.已知。，b都是正數(shù)，且決）+。+6=3,則岫的最大值是，。+2〃的最小值是.

則2。+器的最小值為

36.已知Q,6ER,且〃一3/7+6=0,

37.已知x＞。，-1,且則—+4最小值為--------

38.已知￡（0,+8）,且x+y=l,若不等式/+/+孫＞[3加2+1a加恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范i-r圍a

39.“5C的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是。，b,c,已知---+—-=-，則A的取值范圍是

cba

40.在“SC中，角45C的對(duì)邊分別為Q也c.若。=36,則cos5的最小值是.

41.已知。，瓦c分別為2切。三個(gè)內(nèi)角d&C的對(duì)邊，a=2,且門-心而,-.5）=（5為血。,

則_VL5C面積的最大值為.