專題04基本不等式及其應(yīng)用

【考點(diǎn)預(yù)測】

1.基本不等式

如果那么而4巴也，當(dāng)且僅當(dāng)a=。時，等號成立.其中，幺把叫作a,b的算術(shù)平均數(shù)，4ab

22

叫作。、的幾何平均數(shù).即正數(shù)a,6的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

基本不等式1：若a,beR,則當(dāng)且僅當(dāng)a二人時取等號；

基本不等式2：若〃方￡氏+,貝U巴心之八^（^a+b>2j~ab）,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.

2

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時和或積為定

值，“三相等”指滿足等號成立的條件.（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致.

【方法技巧與總結(jié)】

1.幾個重要的不等式

（1）a2>0（6Ze7?）,^>0（tz>0）,|ti|>0（tzG/?）.

（2）基本不等式：如果則巴吆2而（當(dāng)且僅當(dāng)“。=匕”時取"=”）.

2

特例：a>0,a+->2;-+->2（a/同號）.

aba

（3）其他變形：

@a2+b2>（””）（溝通兩和a+b與兩平方和a2+b2的不等關(guān)系式）

2

212

②ab&-——（溝通兩積ab與兩平方和a2+b2的不等關(guān)系式）

2

③（溝通兩積ah與兩和a+匕的不等關(guān)系式）

④重要不等式串：J拓（。/eR+）即

ab

調(diào)和平均值<幾何平均值<算數(shù)平均值<平方平均值（注意等號成立的條件）.

2.均值定理

已知％,y￡氏+.

（1）如果x+y=S（定值），則孫=弓（當(dāng)且僅當(dāng)“x=y”時取即“和為定值，積有最大值”.

（2）如果孫=P（定值），則x+y22而=2再（當(dāng)且僅當(dāng)“x=y”時取即積為定值，和有最小值”.

3.常見求最值模型

模型一：mjc+—>2\[nm(m>0,n>0),當(dāng)且僅當(dāng)無=J'■時等號成立；

xVm

模型二：mx-\—--=m(x—a)——-——Fma>2y/mn+ma(m>0,n>0),當(dāng)且僅當(dāng)x-i=J'■時等號成立；

x—ax—aVm

模型三：———=——1——一(a>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)x=時等號成立；

ax+bx+c〃x+b+_￡2y/ac+bVa

x

模型四：一詢=回二辿4工?(也士竺)2=心(加>O,〃>O,O<x<0),當(dāng)且僅當(dāng)尤=3時等號

mm24mm2m

成

立.

【題型歸納目錄】

題型一：基本不等式及其應(yīng)用

題型二：直接法求最值

題型三：常規(guī)湊配法求最值

題型四：消參法求最值

題型五：雙換元求最值

題型六：“1”的代換求最值

題型七：齊次化求最值

題型八：利用基本不等式證明不等式

題型九：利用基本不等式解決實(shí)際問題

【典例例題】

題型一：基本不等式及其應(yīng)用

例1.（2022.寧夏?銀川一中二模（理））下列不等式恒成立的是（）

A.xH—22B.a+b>2y[ab

C〉/+少2

D.a2+b2>lab

.2

例2.（2022?黑龍江?哈九中三模（理））已知x,y都是正數(shù)，且沖），則下列選項(xiàng)不恒成立的是（）

xy。

A.B.-+->2

yx

D.xy+->2

xy

例3.（2022?江蘇?高三專題練習(xí)）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西

方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱

之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)F在半圓。上，點(diǎn)C在直徑上，且0/，筋，設(shè)47="，BC=b,

則該圖形可以完成的無字證明為（）

A.25/^（4>0,6>0）B.a2+b2>2y[ab(?>0,Z?>0)

a+b<

C.2。Y〉0,b>0）D.(?>0,&>0)

a+b

例4.（2022?黑龍江?哈爾濱三中高三階段練習(xí)（文））下列不等式中一定成立的是（）

A.->1（XGR）B.sinx+^—>2（尤W左萬，左EZ）

x+1sinx

C.lnk+：[>]nx（x>0）D.x2+1>2|X|（XGR）

（多選題）例5.（2022?全國?高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中最小值為6的是（）

9.）.）3

A.y=\nx+——B.y=6sinx+-~

Inx2r\smxf\

X2+25

C.y=3'+32-xD.

+16

（多選題）例6.（2022.江蘇.揚(yáng)州中學(xué)高三開學(xué)考試）設(shè)。>0,&>0,下列結(jié)論中正確的是（

B.a?+加之2(a+Z?+l)

b2a2a2+b2r-r

C?12a+Z?D.----------之。ab

aba+b

【方法技巧與總結(jié)】

熟記基本不等式成立的條件，合理選擇基本不等式的形式解題，要注意對不等式等號是否成立進(jìn)行驗(yàn)

證.

題型二：直接法求最值

例7.（2022.全國.模擬預(yù)測（文））若實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=l,則劭的最大值為（）

1

A.2B.1C-D.-

J24

例8.（2022?甘肅酒泉?模擬預(yù)測（理））若羽y為實(shí)數(shù)，且x+2y=6,則T+9，的最小值為（)

A.18B.27C.54D.90

例9.（2022?河南河南.三模（理））已知二次函數(shù)/（%）=加+2x+c（xeR）的值域?yàn)椋?,+功，則工+士的

最小值為（）

A.-4B.4C.8D.-8

例10.（2022.湖北十堰.三模）函數(shù)〃尤）=6+*擊的最小值為（）

A.4B.2忘C.3D.472

（多選題）例1L（2022?廣東?汕頭市潮陽區(qū)河溪中學(xué)高三階段練習(xí)）已知。，6是兩個正數(shù)，4是岑與16〃的

等比中項(xiàng)，則下列說法正確的是（）

A.次?的最小值是1B.而的最大值是1

C.工1+1；的最小值是QJD.上1+；1的最大值是!Q

ab4ab2

12b

例12.（2022?四川?廣安二中二模（文））若cR+,且±+b=l,則'的最大值是.

aa

例13.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知正數(shù)x、，滿足x+《=2,則｝的最小值是.

【方法技巧與總結(jié)】

直接利用基本不等式求解，注意取等條件.

題型三：常規(guī)湊配法求最值

例14.（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））若,則y=『-2x+2有（）

2x—2

A.最大值-1B.最小值-1C.最大值1D.最小值1

例15.（2022.全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=3x+—；（尤＞1）的最小值是（

B.273-3

C.2A/3D.273+3

x2y

例16.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若x＞。，，＞。且x+VF,則二+Q的最小值為（）

B.-+y[6C.3+76D.3+2行

2

尤2—y?1

例17.（2022.上海.高三專題練習(xí)）若x＞l,則函數(shù)＞_上口的最小值為

例18.（2021.江蘇?常州市北郊高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知孫=1,且則昔點(diǎn)7最大值為

4

例19.（2022?全國?高三專題練習(xí)）（1）求函數(shù)〉=無+工石。：＞1）的最小值及此時x的值；

（2）已知函數(shù)y=Cl°,%?_2,口），求此函數(shù)的最小值及此時x的值.

x+2

【方法技巧與總結(jié)】

1.通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式.

2.注意驗(yàn)證取得條件.

題型四：消參法求最值

例20.（2022?浙江紹興.模擬預(yù)測）若直線6-勿-3=03＞0,6＞0）過點(diǎn)（1,-1）,則而T+揚(yáng)方的最大值

為.

例21.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)x,z滿足--3孫+4y2-z=0,則當(dāng)現(xiàn)取得最大值時,

212

一+----的最大值為（

例22.（2022.全國?高三專題練習(xí)（理））已知正實(shí)數(shù)a,b滿足"+2。-2=0,則4a+6的最小值是（）

B.472-2C.4^-2

例23.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)。，

例24.（2022.全國?高三專題練習(xí)）若x,yeR+,（x-y）2=（Ay）3,則'的最小值為___________.

xy

例25.（2022?浙江紹興?模擬預(yù)測）若0>0力>0,4/+62-24=2,則竺斗的取值范圍是

2a+b

【方法技巧與總結(jié)】

消參法就是對應(yīng)不等式中的兩元問題，用一個參數(shù)表示另一個參數(shù)，再利用基本不等式進(jìn)行求解.解題

過程中要注意“一正，二定，三相等”這三個條件缺一不可！

題型五：雙換元求最值

例26.（2022?浙江省江山中學(xué)高三期中）設(shè)。>0,6>0,若/+62一代4=1,則石/一油的最大值為（）

A.3+石B.2A/3C.1+也D.2+百

4cL-\-h

例27.（2022.天津南開.一模）若Q>0,Z?>0,c>0,a+b+c=2,則----+----的最小值為______.

a+bc

]x

例28.（2022?天津市薊州區(qū)第一中學(xué)一模）已知x+y=1,y>0,x>0,則五+—的最小值為.

例29.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知。>0,b>0,a+勸=1,則取到最小值為.

3a+4ba+3b

例30.（2022.全國?高三專題練習(xí)）若龍,yeR+,且x+2y=l,則二+三的最小值為_________

x+1y+2

42v2

例31.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)%,>滿足2x+y=2,則一X的最小值是

y+12x+2

【方法技巧與總結(jié)】

若題目中含是求兩個分式的最值問題，對于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運(yùn)用兩個分式的

分母為兩個參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個參數(shù)的不等關(guān)系.

1.代換變量，統(tǒng)一變量再處理.

2.注意驗(yàn)證取得條件.

題型六：“1”的代換求最值

21

例32.（2022?遼寧?模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)x,y滿足一+—=1,貝U4孫-3x—6y的最小值為（）

■尤y

A.2B.4C.8D.12

例33.（2022?河南?鶴壁高中模擬預(yù)測（文））設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，若邑°、=2013,則

一+的最小值為（）

“2“2012

A.1B.2C.4D.8

8滿足2。+八3]",…J,則J]3的最

例34.（2022?安徽?南陵中學(xué)模擬預(yù)測（理））若實(shí)數(shù)

小值為（）

A.6B.4C.3D.2

21

例35.（2。22.安徽.南陵中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知心。，…,6?廣，則五+66的最小值為（）

A.13B.19C.21D.27

例36.（2022?四川?石室中學(xué)三模（文））已知。>0,b>0且a+b=l,則++|j的最小值是（）

A.49B.50C.51D.52

例37.（2022?河南?寶豐縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知正數(shù)〃，Z?滿足"-i-b=。，貝|4a+b的最小

值為.

尤2+1

例38.（2022?天津?南開中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)x>0,y>0,x+y=l,則一」的最小值為______.

2xy

例39.（2022?新疆阿勒泰?三模（理））函數(shù)y=qi+l圖象過定點(diǎn)A,點(diǎn)A在直線〃眈+〃丫=3（〃工>1,〃>0）上，

17

則」7+士最小值為.

m-1n

【方法技巧與總結(jié)】

1的代換就是指湊出1,使不等式通過變形出來后達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過程

中要特別注意等價變形.

1.根據(jù)條件，湊出T,利用乘“1”法.

2.注意驗(yàn)證取得條件.

題型七：齊次化求最值

例40.（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知a>03>0,滿足3/廿一24-3k+9=0,則迎+學(xué)的最小值是（

ab

A.2A/6B.4A/3C.4&D.673

例41.（2022.浙江嘉興.二模）已知函數(shù)=+法+c（a<6）的定義域?yàn)榉矂t.與;4c的最大值是

例42.（2022.全國?高三專題練習(xí)（理））若a,b,c均為正實(shí)數(shù)，則，…—r的最大值為（）

A.yB.-C.立D."

2422

?7AJ-

例43.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知三次函數(shù)/（工）=加+加;2+5+1（〃〈5）在H上單調(diào)遞增，則1-------

b-a

最小值為（）

人2y+5口A/6+5c7+y/s「2A/T-+5

A.------D.---------------C.--------D.------

2323

1h

例44.（2022?天津幅三專題練習(xí)）已知a>0,b>0,且，+2〃=1,貝！的最小值為____________.

b2a+b

例45.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）已知x,y,z為正實(shí)數(shù)，且x+2y-4z=0,則？的最大值為

Z

4x+3y

例46.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若x>0,y>0且log23'+log29y=log481,則最+9上的最小值為

【方法技巧與總結(jié)】

齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時除以得到一個整體，然后轉(zhuǎn)化為運(yùn)用基本不等式進(jìn)

行求解.

題型八：利用基本不等式證明不等式

例47.（2022.安徽?馬鞍山二中模擬預(yù)測（理））已知a>0,b>0.

23

（1）若2a+b=l,證明：—<a+3b2<3；

48

Q）若2a+b=ab,證明：4a+b+ab>10+4y/6.

例48.（2022?陜西渭南?二模（文））設(shè)函數(shù)”x）=|x+l|-|2彳-4|.

⑴求不等式>2x-3的解集.

⑵若〃x）的最大值為標(biāo)+方、。?，證明：ab+bc+ca<3.

例49.（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知正數(shù)。，b,c滿足a+b+c=3.

⑴求血的最大值；

⑵證明：a3b+b3c+c3a>3abc-

例50.（2022?安徽省蕪湖市教育局高三期末（理））設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=l.證明:

⑴—’工

a+bb+cc+a2

ab+bc+ca-3abc

(2)a3+b3+c3>

2

例51.(2022?河南洛陽?一模(文))已知mb,c都是正數(shù).

(1)證明：a+b+c>yfab+y/bc+yfac;

1113

(2)右a+Z?+c=3,證明：----+----1-------2—.

a+bb+cc+a2

【方法技巧與總結(jié)】

類似于基本不等式的結(jié)構(gòu)的不等式的證明可以利用基本不等式去組合、分解、運(yùn)算獲得證明.

題型九：利用基本不等式解決實(shí)際問題

例51.（2021?全國?高三專題練習(xí)（理））設(shè)計用32小的材料制造某種長方體形狀的無蓋車廂，按交通部門

的規(guī)定車廂寬度為2m，則車廂的最大容積是（）

A.（38-3.V73）n?B.16m3C.4&m3D.14m3

例53.（2021.全國?高三專題練習(xí)）如圖，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個更大的矩形花壇AWPN,要求點(diǎn)

B在AM上，點(diǎn)。在AN上，且對角線過點(diǎn)C,已知AB=4,AD=3,那么當(dāng)時，矩形

花壇的AMPN面積最小，最小面積為.

N

例54.（2022?全國?高二課時練習(xí)）根據(jù)不同的程序，3D打印既能打印實(shí)心的幾何體模型，也能打印空心的

幾何體模型.如圖所示的空心模型是體積為小叵萬的球挖去一個三棱錐尸一.。后得到的幾何體，其

6

中R4_LAB,平面%8,BC=lcm.不考慮打印損耗，求當(dāng)用料最省時，AC的長.

例55.（2022?全國?高三課時練習(xí)）為響應(yīng)國家擴(kuò)大內(nèi)需的政策，某廠家擬在2019年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查

測算，該產(chǎn)品的年銷量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費(fèi)用t（tK））萬元滿足x=4-鼻（k為常數(shù)）.如果不

搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件.已知2019年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬

件該產(chǎn)品需要再投入12萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固

定投入和再投入兩部分）.

（1）將該廠家2019年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用t萬元的函數(shù)；

（2）該廠家2019年的年促銷費(fèi)用投入多少萬元時廠家利潤最大？

【方法技巧與總結(jié)】

1.理解題意，設(shè)出變量，建立函數(shù)模型，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最值問題.

2.注意定義域，驗(yàn)證取得條件.

3.注意實(shí)際問題隱藏的條件，比如整數(shù)，單位換算等.

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2022?甘肅省武威第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知點(diǎn)E是AABC的中線3。上的一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）.若

____21...........

AE=xAB+yAC,則一+一的最小值為（）

%y

A.4B.6C.8D.9

19

2.（2022?河南安陽?模擬預(yù)測（文））已知。,6為正實(shí)數(shù)，且。+6=6+—+；,則a+b的最小值為（）

ab

A.6B.8C.9D.12

3.（2022?安徽馬鞍山?三模（理））若q>0,6>0,lga+lgb=lg（a+36）,則a+b的最小值為（）

A.4A/3B.4+273C.6D.3+3/

4.（2022?重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知I，1為平面的單位向量，且其夾角為奇，若

|2%61+ye2|=V2（x,yeR）,則2元+y的最大值為（）

A.2A/3B.2>/2C.-V3D.-273

41

5.（2022?天津紅橋?一模）設(shè)?！?,b>\,若〃+b=2,則一+；--的最小值為（）

ab-1

A.6B.9C.3拒D.18

6.（2022?山西運(yùn)城?模擬預(yù)測（理））已知等比數(shù)列｛q｝的公比為4,且%=1，則下列選項(xiàng)不正確的是（）

A.%+%22B.%+牝〉？C.-2?6+1>0D.一+—=4+%

7.（2022?河南?鶴壁高中模擬預(yù)測（文））已知〃，bwR,滿足e，+H=l,則下列錯誤的是（）

A.4z+Z?<-21n2B.ea+Z;<0

C.ab>\D.2（e2fl+e2；,）>l

8.（2022?河北保定?二模）已知a,&e（0,+oo）,5.a2+3a&+4Z?2=7,則a+2b的最大值為（）

A.2B.3C.2A/2D.3亞

二、多選題

9.（2022?河北張家口?三模）已知x,yeR+，x+y=〃?（根是常數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（）

14

A.若一+—的最小值為〃z+1,則刈=3

xy+1

B.若％（y+D的最大值為4,則機(jī)=3

C.若五十J7的最大值為相，則根=2

D.若〃=4,則匕2的最小值為2

X

10.（2022.河北?模擬預(yù)測）已知。>0/>0,/+廿=2,則以下不等式成立的是（）

A.a+b>2B.a3+b3>2C.Ia+yIZ?+->4D.-+->2

l。八a）ab

11.（2022?山東荷澤?二模）設(shè)4,匕為兩個正數(shù)，定義。，匕的算術(shù)平均數(shù)為A（a,b）=審，幾何平均數(shù)為

G（a,Z?）=y/ab.上個世紀(jì)五十年代，美國數(shù)學(xué)家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”,即L（〃,/?）=：十一］

ap+bp

其中p為有理數(shù).下列結(jié)論正確的是（）

A.k5（a，b1MLi（a，b）B.￡0（a,b）<G（a,b）

C.￡3（?,&）<A（<7,Z?）D.4+I（a,b）<力）

12.（2022?湖北?荊門市龍泉中學(xué)二模）已知函數(shù)〃x）=|log2x|,且正實(shí)數(shù)。，b滿足/（。）+/3）=1,則下

列結(jié)論可能成立的是()

3

A.a=2bB.2~+2